Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien

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1 3 Endliche Automten Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien Üerführungsfunktion eines NFA (Folien 107 und 108) Wie sieht die Üerführungsfunktion us? δ : Z Σ P(Z) Ds heißt, jedem Pr us Zustnd und Alphetsymol wird eine Menge von Zuständen zugeordnet. Beispiel: der Automt uf Folie?? wird folgendermßen textuell drgestellt: M = ({z 0, z 1, z 2, z 3 }, {, }, δ, {z 0, z 3 }, {z 3 }), woei: δ(z 0, ) = {z 1 } δ(z 1, ) = δ(z 2, ) = {z 3 } δ(z 3, ) = {z 0 } δ(z 0, ) = {z 0, z 2 } δ(z 1, ) = {z 3 } δ(z 2, ) = δ(z 3, ) = Erweiterung uf Wörter Genuso wie ei DFAs, ist ˆδ die Erweiterung von δ von Alphetsymolen uf Wörter. Sei Z = {z 1,..., z n }. Dnn edeutet ds gleiche wie: Beispiel (siehe Automt uf Folie??): z Z ˆδ(δ(z, ), x) ˆδ(δ(z 1, ), x) ˆδ(δ(z n, ), x) ˆδ({z 0 }, ) = ˆδ(δ(z 0, ), ) = ˆδ({z 0, z 2 }, ) = ˆδ(δ(z 0, ), ɛ) ˆδ(δ(z 2, ), ɛ) = ˆδ({z 1 }, ɛ) ˆδ({z 3 }, ɛ) = {z 1 } {z 3 } = {z 1, z 3 } Ds heißt, dss ds Einlesen des Wortes den Automten vom Zustnd z 0 entweder in den Zustnd z 1 oder in den Zustnd z 3 führt. NFA-Beispiele (Zu Folie 111) Die vom NFA kzeptierten Sprche ist: K = {x ds 3-letzte Zeichen von x ist } Folgender NFA kzeptiert die Sprche L = {x x fängt mit n und endet mit }: z 0 z 1 z 2, 1

2 Potenzmengenkonstruktion: Korrektheitseweis (Folie 114) Stz. Sei M = (Z, Σ, δ, S, E) eine NFA, und M = (P(Z), Σ, δ, s 0, E ) die durch die Potenzmengenkonstruktion us M entstndene DFA. Es gilt L(M) = L(M ). Beweis. Wir zeigen, dss für lle x Σ gilt, dss x T (M) x T (M ). Sei x = 1... n, woei 1,..., n Σ. Dnn gilt: x T (M) ˆδ(S, x) E es git Zustndsmengen Z 1,..., Z n Z mit ˆδ(S, 1 ) = Z 1, ˆδ(Z 1, 2 ) = Z 2,..., ˆδ(Z n 1, n ) = Z n und Z n E es git Zustndsmengen Z 1,..., Z n Z mit δ (S, 1 ) = Z 1, δ (Z 1, 2 ) = Z 2,..., δ (Z n 1, n ) = Z n und Z n E ˆδ (S, x) E x T (M ) (Bemerkung: gdw heißt: genu dnn wenn.) Potenzmengenkonstruktion: Beispiele (Folie 114) Wir wenden die Potenzmengenkonstruktion n, um den folgenden NFA (üer ds Alphet Σ = {, }) in einen DFA umzuwndeln: Mnchml ist es hilfreich, eine Telle zu erstellen. Wir fngen n mit der Menge von Anfngszuständen ({z 1, z 4 }), und gucken welche Mengen von Zuständen drus nch dem Einlesen eines Symols erreicht werden. Die erreichten Zustände werden wieder in die Telle eingefügt: 2

3 {1, 4} {2, 3} {3} {2, 3} {3} Für lle Mengen von Zuständen, die in die Telle ufgenommen werden, gucken wir welche Mengen von Zuständen nch dem Einlesen einzelner Alphetsymole erreicht werden, und fügen diese in die Telle ein (flls sie noch nicht vorhnden sind). Im Beispiel sieht die Telle m Ende folgendermßen us: {z 1, z 4 } {z 2, z 3 } {z 3 } {z 2, z 3 } {z 2, z 3 } {z 3 } {z 3 } {z 3 } Auf diese Weise nehmen wir nur die erreichre Zustände des DFA in die Telle uf. (Es sei ngemerkt, dss der vollständige Potenzmengenutomt 2 4 = 16 Zustände ht, von denen wir nur 4 ngegeen hen.) Die Zustände {z 2, z 3 } und {z 3 } sind Endzustände des NFA, denn sie enthlten einen Endzustnd des NFA. Der DFA, der dieser Telle enspricht, ist: {1, 4} {2, 3} {3}, Hier sei ngemerkt, dss Zustände des konstruierten DFAs Mengen von Zuständen des ursprünglichen NFAs sind. Hinweis: Owohl die Telle hilfreich sein knn, ist es nicht notwendig sie nzugeen. Mn knn die Zustände uch sofort ufzeichnen nsttt sie in die Telle ufzunehmen. (Insesondere drf mn ds uch in der Prüfung zw. Klusur mchen.) Mit Hilfe der Potenzmengenkonstruktion, wird der NFA von Seite 1 in den folgenden DFA umgewndelt (nicht erreichre Zustände, wie z.b. {z 2, z 3 }, sind nicht ngegeen). {z 0 } {z 1 } {z 1, z 2 }, 3

4 Größe von NFAs und DFAs Ein Beispiel für eine Klsse von Sprchen wo der kleinste DFA exponentiell größer ist ls der kleinste NFA ist: L k = {x {, } x k, ds k-letzte Zeichen von x ist } L k wird durch einen NFA mit k + 1 Zuständen erknnt und mn knn zeigen, dss der kleinste DFA, der L k erkennt, mindestens 2 k Zustände hen muss (dzu später mehr). Sei zum Beispiel der folgende NFA gegeen.,,, Dieser Automt ht 4 Zustände und seine Sprche ist L 3. Wenn wir den Automt mit Hilfe der Potenzmengenkonstruktion in einen DFA umwndeln, entsteht der folgende DFA: {1, 2, 3, 4} {1, 3, 4} {1, 2, 3} {1, 2, 4} {1} {1, 2} {1, 3} {1, 4} Dieser ht 8 Zustände. Es git ttsächlich keinen kleineren DFA, der die gleiche Sprche kzeptiert. Wir werden später sehen, wie wir ds forml eweisen können, er vielleicht können wir schon informl einsehen, dss es keinen kleineren DFA für diese Sprche git, indem wir ermitteln, ws die Zustände edeuten. Durch die Zustände wird gespeichert, wo sich in den letzten drei eingelesenen Symolen die s efinden: uf jeder Position git es entweder ein oder etws nderes (ein, oder ds Wort ist noch nicht lng genug lso wurde noch gr kein Symol eingelesen). Den Automt können wir dnn folgendermßen drstellen: 4

5 Es git keinen kleineren Automten für diese Sprche, weil lle Zustände eine ndere Bedeutung hen. (Wie gesgt, wir werden dieses Argument später noch formlisieren.) Reguläre Grmmtik DFA: Korrektheit der Konstruktion (Folie 117) Stz. Sei G = (V, Σ, P, S) eine Grmmtik und M = (Z, Σ, δ, S, E) der durch die Konstruktion uf Folie 117 entstndene NFA. Es gilt: L(G) = T (M). Beweis. Zu zeigen ist: für jedes Wort w Σ gilt: w L(G) w T (M). Sei w = 1... n, für 1,..., n Σ. w L(G) es git Vrilen A 1,..., A n 1 so dss S 1 A A n 1 A n n es git Zustände A 1,..., A n mit δ(s, 1 ) A 1, δ(a 1, 2 ) A 2,..., δ(a n 1, n ) X w T (M) (Bemerkung: gdw edeutet: genu dnn wenn.) Reguläre Grmmtik NFA: Beispiel (Folie 117) Gegeen Sei G = ({S, U}, {, }, P, S), woei P wie folgt definiert ist: S S U U U S Wir wndeln diese Grmmtik in einen NFA M = (Z, {, }, δ, S, E) um. Wir hen: Z = {S, U, X} E = {X} und δ wie folgt: 5

6 S X U 6

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