Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Algebra und Zahlentheorie

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1 FB 3: Mathematik/Naturwissenschaften Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Frank / Dr. D. Habeck Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Algebra und Zahlentheorie Name: Vorname: Matrikel-Nr.: Studiengang: Frau Hupp (Di., 10-12) Frau Hupp (Di., 12-14) Übungsgruppe: Herr Rockenfeller (Di., 12-14) Herr Frank (Do., 10-12) Herr Habeck (Do., 10-12) Herr Rockenfeller (Fr., 12-14) keine Übung Aufgabe Punkte Erz. Punkte Erreichte Punktzahl: von max. 42 Punkten Die Modulprüfung ist bestanden ja / nein Note: Technische Hinweise: 1. Taschenrechner sind nicht zugelassen! 2. Handys bitte ausschalten. 3. Eigenes Papier ist nicht zugelassen, bitte verwenden Sie zum Ausprobieren das Blatt am Ende der Arbeit oder die Rückseiten. 4. Steht eine Lösung nicht unmittelbar unter der Aufgabe, ist ein Querverweis unbedingt erforderlich. 5. Die Heftklammer darf nicht entfernt werden, auch das Notizblatt darf nicht von der Arbeit getrennt werden.

2 Aufgabe 1: a) Wie ist die Euler-Funktion ϕ(n) definiert? ϕ(n) ist die Anzahl der zu n N teilerfremden Zahlen, die kleiner gleich n sind. b) Berechnen Sie ϕ(147). ϕ(147) ϕ(3 7 2 ) ϕ(3) ϕ(7 2 ) c) Bestimmen Sie drei Zahlen n N mit ϕ(n) Zahl: n Zahl: n Zahl: n 246 Insgesamt erfüllen alle n {123, 132, 164, 165,, 200, 220, 246, 264, 300, 330} die Gleichung ϕ(n) 80, denn es gilt: ϕ(123) ϕ(3 41) ϕ(3) ϕ(41) ϕ(132) ϕ( ) ϕ(2 3 ) ϕ(3) ϕ(11) ϕ(164) ϕ(2 2 41) ϕ(2 2 ) ϕ(41) ϕ(165) ϕ(3 5 11) ϕ(3) ϕ(5) ϕ(11) ϕ() ϕ(2 4 11) ϕ(2 4 ) ϕ(11) ϕ(200) ϕ( ) ϕ(2 3 ) ϕ(5 2 ) ϕ(220) ϕ( ) ϕ(2 2 ) ϕ(5) ϕ(11) ϕ(246) ϕ(2 3 41) ϕ(2) ϕ(3) ϕ(41) ϕ(264) ϕ( ) ϕ(2 3 ) ϕ(3) ϕ(11) ϕ(300) ϕ( ) ϕ(2 2 ) ϕ(3) ϕ(5 2 ) ϕ(330) ϕ( ) ϕ(2) ϕ(3) ϕ(5) ϕ(11)

3 Aufgabe 2: a) Wie lautet der Satz von Euler-Fermat? Für natürliche Zahlen a, n N mit ggt (a, n) 1 gilt a ϕ(n) n 1. b) Begründen Sie, warum gilt. Es gilt ϕ() ϕ( ) ϕ(11) ϕ(2 4 ) Da auch ggt (3, ) 1 ist, liefert der Satz von Euler-Fermat die gewünschte Aussage. c) Finden Sie ein x Z mit 3x Begründen Sie Ihre Lösung. x 61 Begründung: Statt der gegebenen Kongruenz reicht es nach Teilaufgabe b) aus, die Kongruenz 3x 7 zu lösen. Diese ist äquivalent zu 3x 183. Da aber ist, löst x 61 die Ausgangskongruenz. 3

4 Aufgabe 3: a) Begründen Sie kurz, warum (Q \ {0}, :) ein Verknüpfungsgebilde ist. Begründung: (Q \ {0}, :) ist ein Verknüpfungsgebilde, da für alle a, b Q \ {0} auch a : b Q \ {0}. (Denn wäre a 0, so folgt a b 0 0 im Widerspruch zur b Annahme a 0.) b) Beweisen oder widerlegen Sie: (1) (Q \ {0}, :) ist assoziativ. Die Aussage ist FALSCH Beweis durch Gegenbeispiel: Für a b c 2 erhält man (a : b) : c (2 : 2) : 2 1 : 2 1 2, aber andererseits a : (b : c) 2 : (2 : 2) 2 : 1 2. (2) (Q \ {0}, :) besitzt ein rechtsneutrales Element. Die Aussage ist WAHR Beweis: Für alle a Q \ {0} gilt a : 1 a, d.h. 1 ist rechtsneutral. (3) (Q \ {0}, :) besitzt ein linksneutrales Element. Die Aussage ist FALSCH Beweis: Angenommen, e ist linksneutral, d.h. für alle a Q\{0} gilt a : e a. Dann folgt für a 1 aber mit 1 : e 1 sofort e 1. Andererseits erhält man für a 2 aber mit 2 2 : e dann e 2. Daher existiert kein rechtsneutrales Element. 4

5 Aufgabe 4: a) Es sei f 1 : (Z, ) (Z, ) eine verknüpfungstreue Abbildung mit f 1 (3) 9 und f 1 (5) 25. Bestimmen Sie f 1 (15). f 1 (15) 225 Begründung: Da f 1 verknüpfungstreu ist, gilt f 1 (a b) f 1 (a) f 1 (b) für alle a, b Z. Mit a 3 und b 5 folgt dann f 1 (15) f 1 (3 5) f 1 (3) f 1 (5) b) Es sei f 2 : (Z, +) (Z, +) eine Abbildung mit f 2 (3) 9 und f 2 (5) 25. Beweisen Sie, dass f 2 nicht verknüpfungstreu ist. (Hinweis: Nehmen Sie an, dass f 2 verknüpfungstreu ist und leiten Sie damit zwei verschiedene Werte für f 2 (15) her.) Beweis: Angenommen, f 2 ist verknüpfungstreu, d.h. f 1 (a+b) f 1 (a)+f 1 (b) für alle a, b Z. Dann berechnet man f 2 (15) f 2 (10 + 5) f 2 (5) + f 2 (10) f 2 (5) + f 2 (5) + f 2 (5) 3f 2 (5) 75. Andererseits erhält man f 2 (15) f 2 (3) + f 2 (12) f 2 (3) + f 2 (3) + f 2 (9) 2f 2 (3) + f 2 (3) + f 2 (6) 3f 2 (3) + f 2 (3) + f 2 (3) 5f 2 (3) 45. Dies ist ein Widerspruch und somit ist f 2 NICHT verknüpfungstreu. 5

6 ge- Aufgabe 5: ( ) x a) Welche Kongruenzabbildung f der Ebene ist durch f( ) y geben? Begründen Sie Ihre Aussage. ( ) ( x y ) f ist 90 -Drehung um den Ursprung in mathematisch positiver Richtung. Begründung: Als Kongruenzabbildung in der Ebene ist f durch die Bilder der nicht kolinearen Punkte A (0, 0), B (1, 0) und C (0, 1) eindeutig bestimmt. Da A ein Fixpunkt ist und f(b) C bzw. f(c) ( 1, 0) gilt, ist f die 90 -Drehung um den Ursprung in mathematisch positiver Richtung. b) Beweisen oder widerlegen Sie, dass im Ring der reellen 2 2-Matrizen gilt: ( ) 1 0 (1) ist das neutrale Element der Multiplikation. 0 1 Die Aussage ist WAHR Beweis: Für eine beliebige Matrix mit den Einträgen a, b, c, d R gilt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b 1 0 a b 1 0 a b. c d 0 1 c d 0 1 c d (2) ( ) 0 1 ist eine Einheit. 1 0 Die Aussage ist WAHR Beweis: Man berechnet ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) Es gibt keine Nullteiler. Die Aussage ist FALSCH Beweis: Man berechnet (1 ) ( ) ( ) Damit sind die beiden Matrizen (auf der linken Seite der obigen Gleichung) Nullteiler. ( ) ( ) ( ) x 1 1 x c) Durch g( ) ist eine y 1 1 y Ähnlichkeitsabbildung g : R2 R 2 gegeben. (Das müssen Sie nicht beweisen.) Bestimmen Sie den Ähnlichkeitsfaktor k von g. Der Ähnlichkeitsfaktor ist k 2. Begründung: Mit den Punkten A (0, 0) und B (1, 0) folgt A g(a) A und B g(b) (1, 1). Dann berechnet man k A B AB

7 Aufgabe 6: a) Wie lautet der Satz von Lagrange? Sei G eine endliche Gruppe und U eine Untergruppe von G. Dann ist die Ordnung von U ein Teiler der Ordnung von G. b) Wie lautet der Satz von Leonardo da Vinci? Die endlichen Untergruppen von (K 2, ) sind die Gruppen {id}, {id, σ d }, D + n und D n (mit n N, n 2). c) Welche endlichen Untergruppen U von (K 2, ) enthalten (unter anderem) zwei Spiegelungen, deren Geraden sich im Winkel von 36 schneiden? Begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe des Satzes von Leonardo da Vinci. Mögliche Untergruppen U sind: D n mit n 5 k, k N Begründung: Da die Untergruppe U zwei Spiegelungen enthält, kommt nach dem Satz von Leonardo da Vinci nur eine Diedergruppe D n in Frage, da keine der anderen Gruppen mindestens zwei Spiegelungen enthalten. Weiterhin ist mit den beiden Spiegelungen auch die 72 -Drehung um den Schnittpunkt der beiden Spiegelachsen Element von U. Somit enthält U auch die von dieser Drehung erzeugte Gruppe. Da diese Drehung die Ordnung 5 besitzt, muss (nach Lagrange) 5 ein Teiler von n sein. 7