Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC: eine quantitative Betrachtung

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1 Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC: eine quantitative Betrachtung Karl Worthmann Mathematisches Institut, Universität Bayreuth in Zusammenarbeit mit Lars Grüne gefördert vom DFG Schwerpunktprogramm 1305 Regelungstheorie digital vernetzter dynamischer Systeme Workshop Mathematische Systemtheorie, Elgersburg, 11.Februar 2013

2 Gliederung Problemformulierung Kontrollsystem Arbeitspunktstabilisierung Modellprädiktive Regelung (MPC) Stabilität in MPC benötigter Prädiktionshorizont Steuerbarkeitsbedingung Akkumulierte Schranken Vergleich Kombination der Verfahren möglich? Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 2

3 Notation: Kontrollsystem Nichtlineare zeitdiskrete Systeme: Systemdynamik: x + = f(x, u) Zustand x 0 X, Kontrollfolge u = (u(n)) n N0 U x u (n + 1) = f(x u (n), u(n)), x u (0) = x 0. Zustandsraum X und Kontrollwertemenge U: Hilberträume f(0, 0) = 0 x = 0 Gleichgewicht Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 3

4 Differentialgleichungen Synchrongenerator: ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = b 1 x 3 (t) sin x 1 (t) b 2 x 2 (t) + P ẋ 3 (t) = b 3 cos x 1 (t) b 4 x 3 (t) + E + u(t) Frage: Können wir solche Systeme behandeln? Antwort: Ja Abtastsystem mit Abtastzeit T > 0: Zustandsraum X := R d, d = 3 Kontrollwertemenge U := L ([0, T ), R m ), m = 1. Systemdynamik x + = f(x, u) := Φ(T ; x, u) Alternativ: stückweise konstante Steuerungen U = R m. Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 4

5 Partielle Differentialgleichungen Reaktions-Diffusions-Gleichung: y t (z, t) = y(z, t) + f(y(z, t))y(z, t) + v(z, t) Ω (0, ) y(z, t) = 0 Ω (0, ) y(z, 0) = y 0 (z) Ω Behandlung: völlständig analog Abtastsystem mit Abtastzeit T > 0: Zustandsraum X := H0(Ω) 1 Kontrollwertemenge U := L ([0, T ), L 2 (Ω)). Systemdynamik x + = f(x, u) := Φ(T ; x, u) Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 5

6 Arbeitspunktstabilisierung Finde Zustandsrückführung µ : X U so, dass der geschlossene Regelkreis x µ (n + 1) = f(x µ (n), µ(x µ (n))), x µ (0) = x 0 bzgl. des Gleichgewichts x asymptotisch stabil ist, das heißt: x µ (n) x β( x 0 x, n) n 0 x 0 X. Steuer- & Zustandsbeschränkungen U U bzw. X X Zulässigkeit: µ(x µ (n)) U und f(x µ (n), µ(x µ (n))) X X muss kontrollinvariant sein! Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 6

7 Optimale Steuerung Optimale Steuerung Stufenkosten l : X U R 0 mit l(0, 0) = 0 und l(x, u) > 0 für alle x 0. Definiere J (ˆx, u) := l(x u (n; ˆx), u(n)) n=0 V (ˆx) := inf u zulässig J (ˆx, u) Falls J (ˆx, u ) = V (ˆx) für u = (u (n)) n N0 µ (ˆx) = u (0) Lyapunov Gleichung gilt, definiere V (f(ˆx, µ (ˆx))) = V (ˆx) l(ˆx, µ (ˆx)). + Technische Voraussetzungen = asymptotische Stabilität Aber: Lösen dieser Lyapunov Gleichung i.a. sehr schwer! Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 7

8 Modellprädiktive Regelung Alternative: Modellprädiktive Regelung (MPC) Idee: ersetze das Originalproblem minimiere J (x, u) = l(x(n), u(n)) n=0 durch eine iterativ zu lösende Folge von Problemen auf endlichem Horizont minimiere J N (x(n), ū) := N 1 k=0 l( x(k), ū(k)), x(0) = x(n) Motivation: effiziente Löser verfügbar Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 8

9 Prinzip der Modellprädiktiven Regelung Regelung mittels wiederholter Prädiktion & Optimierung 1. Messe aktuellen Zustand 2. Prädiziere & berechne opt. Steuerung 3. Wende opt. Steuergröße an Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 9

10 Modellprädiktive Regelung: Algorithmus Grundidee: optimiere bzgl. endlichem Horizont N < Algorithmus: 1. Messe aktuellen Zustand x(0) := x(n). 2. Minimiere J N (x(n), ū) = N 1 k=0 l( x(k), ū(k)) u. d. Nb. x(k + 1) = f( x(k), ū(k)) mit x(0) = x(n) x(k + 1) X und ū(k) U für k {0, 1,..., N 1}. optimale Steuerfolge ū (0), ū (1),..., ū (N 1). 3. Wende erste Steuergröße ū (0) an. Definiere Zustandsrückführung mittels µ N (x(n)) := ū (0) Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 10

11 Typischer Stabilitätsnachweis Bekannt: modifiziert man das MPC Optimalsteuerungsproblem geeignet [Chen/Allgöwer ] Endbedingung x u (N; x 0 ) E Endkosten F : E R 0 : für jedes x E existiert ein u x U mit f(x, u x ) X und x u (1; x 0 ) x 0 x u (N ; x 0 ) x u (N 2; x 0 ) x u (N 1; x 0 ) F (f(x, u x )) F (x) l(x, u x ). E x kann rekursive Zulässigkeit und Stabilität gezeigt werden Zulässigkeit des Anfangsproblems Horizontlänge abhängig von Endregion Regelgüte? Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 11

12 MPC Schemata ohne Endbedingung Frage: Sind MPC Schemata ohne Endbedingung stabil? Antwort: Ja, falls eine Steuerbarkeitsbedingung erfüllt ist und der Prädiktionshorizont hinreichend lang ist [Alamir/Bornard 95, Jadbabaie/Hauser 05, Grimm et al. 05]. kann man das quantifizieren? Wir gehen wie folgt vor: Stabilitätstheorem relaxierte Lyapunov Ungleichung Steuerbarkeitsbedingung Verfahren um den Prädiktionshorizont abzuschätzen konkurriender Ansatz basierend auf akkumulierten Schranken Vergleich beider Techniken Kombination verbesserte Schranken Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 12

13 Stabilitätstheorem Theorem [Grüne/Rantzer 08]: Existiert α (0, 1] so, dass die relaxierte Lyapunov Ungleichung V N (f(x, µ N (x))) V N (x) αl(x, µ N (x)) für alle x X gilt. Dann erhalten wir die Güteabschätzung J (x, µ N ) V (x)/α. Asymptotische Stabilität (mit V N als Lyapunov Funktion) folgt, falls zusätzlich folgende Ungleichungen erfüllt sind: η( x ) inf l(x, u) and V (x) η( x ). u U,f(x,u) X wir bekommen Stabilität und Suboptimalität! Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 13

14 Steuerbarkeitsbedingung Frage: wie relaxierte Lyapunov Ungleichung sicherstellen? Benötigte Annahme: Steuerbarkeitsbedingung, das heißt summierbare Folge (c n ) n N0 mit c n c m c n+m so, dass x 0 X eine Folge (u x0 (n)) n N0 U (x 0 ) existiert: l(x ux0 (n), u x0 (n)) c n inf l(x 0, u) =: c n l (x 0 ). u U, f(x 0,u) X Beispiel: c n := Cσ n mit C = 2 und σ = 2/3 l (x ux0 (i)) l(x ux0 (n), u x0 (n)) Cσ n i l (x ux0 (i)) Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 14

15 Bedingungen an optimale Trajektorien u optimale Steuerfolge relaxierte Lyapunov Ungleichung: V N (f(x, u (0))) }{{} =:ν N 1 n=0 l(x u (n), u (n)) }{{} α l(x, u (0)) }{{} =:λ n =λ 0. Steuerbarkeitsbedingung: V N (x) N 1 n=0 c nl (x) N 1 n=0 λ n N 1 n=0 c nλ 0. zusätzlich Bellman sches Opt.prinzip (j = 1, 2,..., N 2): J N j (x u (j), u ( + j)) N j 1 n=0 c n l (x u (j)) N 1 n=j λ n N j 1 n=0 c n λ i. Schätze V N (f(x, u (0))) = ν ab (j = 1, 2,..., N 1): ν j 1 n=1 λ n + N j n=0 c nλ j. Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 15

16 Lösungsformel Suboptimalitätsgrad α kann mittels linearem Programm α := inf λ 0 >0,λ 1,...,λ N 1,ν 0 ν N 1 n=0 λ n λ 0 unter Berücksichtigung der hergeleiteten Nebenbedingungen charakterisiet werden [Grüne 09]. Lösung gegeben durch [Grüne, Pannek, Seehafer, W. 10] α = α N = (γ N 1) N i=2 (γ i 1) [ N i=2 γ i ] with γ i := N i=2 (γ i 1) i 1 c n. n=0 Stabilitätsbedingung α N > 0 ist für hinreichend großes N erfüllt. Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 16

17 Synchrongenerator Frage: Steuerbarkeitsbedingung erfüllt für ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = b 1 x 3 (t) sin x 1 (t) b 2 x 2 (t) + P ẋ 3 (t) = b 3 cos x 1 (t) b 4 x 3 (t) + E + u(t) mit x ( , 0, ) T und Stufenkosten l(x, u) = T 0 Φ(t; x, ũ( )) x 2 dt + λt u 2? Antwort: Ja, z.b., Wahl von X als kontrollinv. Subniveaumenge von V 6 bzgl. Zustandsbeschränkungen 0 x 1 π/2, x 3 0. Berechne für jeden Zustand x X eine Folge (c n (x)) n N0. Dann kann c n als sup x X c n (x) definiert werden. Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 17

18 Synchrongenerator fortgesetzt Setze berechnete Kontrollfolge (c n ) n N0 in α-formel ein Stabilitätsbedingung α N > 0 sichergestellt für N Performance Estimate α N Prediction Horizon N Fazit: geeignete Horizontlänge kann bestimmt werden. Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 18

19 Alternativer Ansatz Annahme (akkumulierte Schranken): Existenz einer monotonen beschränkten Folge (M i ) i N R 1 mit der Eigenschaft V i (x) M i l (x) x X. relaxierte Lyapunov Ungleichung [Tuna, Messina, Teel 06] mit N 1 α N := 1 (M 2 1)(M N 1 ) i=2 M i 1 M i 0. Beobachtung: Steuerbarkeitsbed. M i := γ i = i 1 k=0 c n. Jedoch gilt i.a. M i γ i, weil M i := sup x X i 1 c k (x) k=0 akkumulierte Schranken besser. i 1 k=0 sup c k (x). x X Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 19

20 Synchrongeneratorbeispiel Vergleich beider Ansätze Performance Estimate α N Prediction Horizon N Beobachtung: erster Ansatz liefert bessere Abschätzungen α N. Erklärung : zusätzliche Ungleichungen werden berücksichtigt. Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 20

21 Kombiniere beide Ansätze Ziel: nutze akkumulierte Schranken und folglich schärfere Abschätzungen in der ersten Methode. Idee: Definiere eine äquivalente Folge (c n ) n N O.B.d.A. M 1 = 1 c 0 := 1 and c n := M n+1 M n, n N >1. Beobachtung: die gleiche Konstruktion (lineares Programm) kann durchgeführt werden. Falls c n c m c n+m gilt: Lösungsformel bleibt unverändert. α N α N kann gezeigt werden. Andernfalls gilt Relation für Lösung des linearen Programms. Zudem verringert sich die asymptotische Wachstumsrate des minimalen stabilisierenden Horizont (kleinstes N mit α N > 0) γ ln(γ) anstelle von 2γ ln(γ) für γ := lim i M i Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 21

22 Beispiel fortgesetzt Steuerbarkeitsbedingung lineares Programm (Grüne): N = 41 Akkumulierte Schranken Formel (Tuna et al.): N = 51 Vorgeschlagene Methodik Wachstumsbedingung: N = Performance Estimate α N Formula (Gruene) Growth Condition Formula (Tuna et. al.) Prediction Horizon N Fazit: deutliche Verbesserung beobachtbar. Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 22

23 Zusammenfassung Prädiktionshorizont N Stabilitätsbedingung α N > 0 Steuerbarkeitsbedingung Grüne Akkumulierte Schranken Tuna, Messina, Teel >= Güteabschätzung basierend auf linearem Program Güteabschätzung basierend auf Induktion Akk. Schranken & lin. Programm beste Abschätzungen. Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 23

24 Reaktions-Diffusions-Gleichung Frage: Steuerbarkeitsbedingung erfüllbar für y t (z, t) = y(z, t) + f(y(z, t))y(z, t) + v(z, t) mit Stufenkosten l(z(n), u(n)) = 1 2 y(x, nt ) 2 L 2 (Ω) + ν 2 v(x, nt ) 2 L 2 (Ω)? Antwort: Ja, zum Beispiel wenn Nichtlinearität f : R R stetig differenzierbar und beschränkt (M) ist. Zustandsrückführung v(x, t) := Ky(x, t). c n := Cσ n mit C = (1 + νk 2 ) und σ = e 2T (λ 1 M+K) Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 24

25 Beispiel: 1d Reaktions-Diffusions-Gleichung mit T = 0.025, M = 13 und ν = 0.01 α N > 0 für N = 13 (K 7.21) asymp. Stabilität Akkumulierte Schranken γ: optimiere jedes γ i einzeln i 1 inf K R n=0 i 1 C(K)σ(K) n C(K)σ(K) n Horizontverkürzung N = 9. n=0 Karl Worthmann, Abschätzung des Optimierungshorizonts in MPC, p. 25