Sage-Prozeduren für das 2:3-Eimodell

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1 Sage-Prozeduren für das 2:3-Eimodell Herbert Möller In dem folgenden Text werden drei Dateien unterschieden: die Hauptdatei (in unserem Falle ZweiDreiEi.tex), die die Sage-Ergebnisse aufnimmt, die Sage-Datei, mit der die Zeilen vorbereitet werden, die im Sage- Python-Terminal einzugeben sind und die Datei Eimodell.tex dieses Artikels, die das Paket sagetex benutzt. Die Abschnittsüberschriften dieses Textes stimmen mit den entsprechenden der Hauptdatei überein. 4. Parameterdarstellung der 2:3-Eikurve Die 3D-Darstellung des 2:3-Eikörpers in Abbildung 6 wird mit den folgenden hier eingerückt wiedergegebenen Zeilen (ohne \) aus der Sage-Datei erzeugt: t,u=var( t u ) p=t^2*(3-2*t); q=3/5*t*(1-t)*(t+2) Ei1=parametric_plot3d((p,q*cos(u),q*sin(u)),(t,0,1),\ (u,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.1)) show(ei1,aspect_ratio=[1,1,1],mesh=true,frame=false) Durch show wird die 3D-Figur im Jmol-Fenster wiedergegeben. Sie kann dort mit der Maus gedreht werden. Die aktuelle Ansicht lässt sich als Pdf-Datei speichern und als \begin{figure}[htb] \centering \includegraphics*[trim= , scale=0.65]{bild3.pdf} \caption{3d-darstellung des 2:3-Eik\"{o}rpers mit Gitterlinien} \label{f.6} \end{figure} in die Hauptdatei einfügen. Die 2D-Darstellung in Abbildung 7 wird durch pl1=plot(p,0,1) vorbereitet. Der Aufruf von pl1 im Sage-Python-Terminal ergibt eine png-figur in einem eigenen Fenster. Eine Pdf-Datei mit pl1 als Vektorgrafik erhält man durch 1

2 2 Herbert Möller save(pl1, pl1.pdf,aspect_ratio=1) Diese und alle folgenden Pdf-Grafiken werden wie oben mit \includegraphics in die Hauptdatei eingefügt. 5. Berechnungen Die jeweils schon definierten Variablen und Funktionen werden übernommen. p1=p.diff(t) q1=q.diff(t) s1=p1^2+q1^2 # Radikand von K(1): expand(25/9*s1) # K(1): i1=sqrt(s1) numerical_integral(i1,0,1)[0] # Integrand bei V(1): s2=p1*q^2 expand(25/54*s2) # V(1): i2=pi*s2 integral(i2,t,0,1) _.n() # Differenz: (213/ *pi/3500).n() # O(1): i3=2*pi*q*i1 numerical_integral(i3,0,1)[0] # Maximumparameter tm=(sqrt(7)-1)/3; tm.n() # P(1): p(tm).simplify_rational() p(tm).n()

3 Sage-Prozeduren für das 2:3-Eimodell 3 # D(1): (2*q(tm)).simplify_rational() (2*q(tm)).n() # U(1): (2*pi*q(tm)).n() 6. Krümmungsfunktion und Evolute Abbildung 8 wird wie folgt erzeugt: p2=p1.diff(t) q2=q1.diff(t) d1=p2*q1-p1*q2 k=d1/(s1*i1) pl2=parametric_plot((p,q), 0, 1) pl2+=parametric_plot((p,k), 0, 1, color= red ) save(pl2, pl2.pdf,aspect_ratio=1) Abbildung 9 besteht aus sechs Teilen: t1=k.find_maximum_on_interval(0.01, 0.02)[1] t2=k.find_minimum_on_interval(0.4, 0.45)[1] t3=k.find_maximum_on_interval(0.8, 0.85)[1] xi=p+q1*s1/d1 yi=q-p1*s1/d1 u1=p(t1); v1=q(t1); w1=xi(t1); z1=yi(t1) u2=p(t2); v2=q(t2); w2=xi(t2); z2=yi(t2) u3=p(t3); v3=q(t3); w3=xi(t3); z3=yi(t3) w4=xi(1.0); z4=yi(1.0) pl3=parametric_plot((p,q), 0, 1) pl3+=parametric_plot((xi,yi), 0, 1, color= red ) pl3+=line([(u1,v1),(w1,z1)], rgbcolor=(0,1,0)) pl3+=line([(u2,v2),(w2,z2)], rgbcolor=(0,1,0)) pl3+=line([(u3,v3),(w3,z3)], rgbcolor=(0,1,0)) pl3+=line([(w4,z4),(1.0,.0)], rgbcolor=(0,1,0)) save(pl3, pl3.pdf,aspect_ratio=1) 7. Schwerpunkt, Neigung und Rollkreis # Integrand bei S(1): s3=p*p1*q^2 expand(3500/(3*2520)*s3)

4 4 Herbert Möller # S(1): i4=3500/339*s3 sp=integral(i4,t,0,1); sp sp.n() # t0, xl, yl und rl Ab=(p-sp)^2+q^2 Abd=Ab.diff(t) f1=abd.factor_list()[3][0]; f1 t0=find_root(f1, 0.3, 0.5); t0 xl=p(t0); xl yl=q(t0); yl rl=sqrt((xl-sp)^2+yl^2); rl # Abbildung 10 pl4=parametric_plot((p,q),0,1) pl4+=parametric_plot((p,-q),0,1) pl4+=line([(sp,0),(xl,-yl)],rgbcolor=(1,0,0)) pl4+=line([(xl,-yl),(xl,yl)],rgbcolor=(0,1,0)) pl4+=circle((sp,0),rl,rgbcolor=(1,0,0)) save(pl4, pl4.pdf,aspect_ratio=1) # Neigungswinkel und Rollkreisradius (180/pi*arctan((sp-xL)/yL)).n() (rl*yl/(sp-xl)).n() 8. Vergleiche Kegelschnitt-Eimodelle Da d(t) : = (p(t) x s (t)) 2 + (q(t) y s (t)) 2 sowohl für 0 t t 1 als auch für t 1 t 1 mehrere lokale Maxima haben kann, liefert d.find_maximum_on_interval(a, b)[0] nicht immer das gewünschte Ergebnis. Deshalb erzeugen wir mit der folgenden for-schleife 27 Vektorgrafik-Figuren für ρ-werte zwischen 0,373 und 0,386 im Abstand 0,0005. Die Figuren sind in der Datei Vergleiche.pdf in der Abteilung Sonstiges im Mathkompass enthalten. for k in range(27): r=0.373+k* u=1-r # Parameter der Grenznormalen g=(r-q)*q1+(u-p)*p1

5 Sage-Prozeduren für das 2:3-Eimodell 5 t1=find_root(g,0,1) # Vergleich mit Viertelkreis sp1=p1^2+q1^2 h=q+p*p1/q1 su1=u*q1+h*p1 x1=q1*(su1-sqrt(su1^2-(1-2*r+h^2)*sp1))/sp1 y1=h-x1*p1/q1 dy1=q-y1 del1=sqrt((p-x1)^2+dy1^2) # Vergleich mit Viertelellipse f1=(r/u)^2 sp2=p1^2+f1*q1^2 su2=f1*u*q1+h*p1 x2=q1*(su2-sqrt(su2^2-h^2*sp2))/sp2 y2=h-x2*p1/q1 dy2=q-y2 del2=sqrt((p-x2)^2+dy2^2) pl5=parametric_plot((p,del2),0,t1) pl5+=parametric_plot((p,dy2/8),0,t1,color= purple ) pl5+=parametric_plot((p,del1),t1,1,color= red ) pl5+=parametric_plot((p,dy1/8),t1,1,color= orange ) pl5+=line([(0,0.01),(1,0.01)],rgbcolor=(0,1,0)) n=str(r.n(digits=4)) pl5+=text(n,(0.1,0.009)) save(pl5, filename="r"+n[2:]+".pdf") # Die for-schleife endet mit einer Leerzeile Die purpur- und orangefarbenen Graphen zeigen an, auf welcher Seite der x-achse der entsprechende Teil des Graphen der mit Vorzeichen versehenen Abstandsfunktion (wie in Abbildung 13) liegt. Der beste Wert von und das zugehörige ϱ wurden durch fortgesetzte Intervallhalbierung gewonnen. Als Vorbereitung können die letzten beiden Figuren in der Datei Vergleiche.pdf dienen. Aus den ersten 27 Figuren ist zu entnehmen, dass für r 0,3775 die Abstandsfunktion del1 genau zwei Maximumstellen besitzt und dass das Maximum von del1 größer ist als das von del2. Figur 28 zeigt außerdem, dass die zugehörigen Parameter in zwei sehr schmalen Bereichen liegen. Werden die Funktionen der linken beziehungsweise rechten Maximumwerte von del1 mit m1 und m2 bezeichnet, so lässt Figur 29 erkennen, dass m1 m2 eine streng monoton wachsende Funktion von r ist, deren Nullstelle von dem eingezeichneten Startintervall ausgehend mit dem Intervallhalbierungsverfahren approximiert werden kann.

6 6 Herbert Möller a=0.380; b=0.382 r=(a+b)/2 while (b-a)>1e-10: sp1=p1^2+q1^2 h=q+p*p1/q1 su1=(1-r)*q1+h*p1 x1=q1*(su1-sqrt(su1^2-(1-2*r+h^2)*sp1))/sp1 y1=h-x1*p1/q1 del1=sqrt((p-x1)^2+(q-y1)^2) m1=del1.find_maximum_on_interval(0.622,0.636)[0] m2=del1.find_maximum_on_interval(0.846,0.857)[0] if (m1-m2)>0: b=r else: a=r r=(a+b)/2 print r (r,m1,m2) Für das 3 -Kegelschnitt-Ei werden nach der Eingabezeile r=0.375 die Zeilen 3 8 bis 22 der obigen for-schleife übernommen. Um Abbildung 13 direkt erzeugen zu können, muss ein Ersatz für die Signum-Funktion definiert werden, die Sage bisher nicht zur Verfügung stellt. m=del2.find_maximum_on_interval(0,t1)[0]; m signum(x)=x/abs(x) pl6=parametric_plot((p,del2),0,t ) pl6+=parametric_plot((p,signum(dy1)*del1),t ,1,\ color= red ) save(pl6, pl6.pdf ) Kreisbogen-Eimodell r=(4+sqrt(2))/14 u=1-r # Parameterwert der Normalen durch (u,r) g1=(r-q)*q1+(u-p)*p1 tf=find_root(g1,0.56,0.6); tf # Vergleich mit Halbkreis sp1=p1^2+q1^2 h=q+p*p1/q1 su1=u*q1+h*p1 x1=q1*(su1-sqrt(su1^2-(1-2*r+h^2)*sp1))/sp1;

7 Sage-Prozeduren für das 2:3-Eimodell 7 y1=h-x1*p1/q1 dy1=q-y1 del1=sqrt((p-x1)^2+dy1^2) # Vergleich mit Achtelkreisbogen h2=q+p*p1/q1 sp2=p1^2+q1^2 su2=u*q1+(h2+r)*p1 x2=q1*(su2-sqrt(su2^2-((h2+r)^2+u^2-4*r^2)*sp2))/sp2 y2=h2-x2*p1/q1 dy2=q-y2 del2=sqrt((p-x2)^2+dy2^2) ma=del2.find_maximum_on_interval(th,tf,t)[0]; ma # Normalenparameter am Achtelkreisbogenbeginn s=1-2*r v=s/sqrt(2) g2=(v-q)*q1+(s-v-p)*p1 th=find_root(g2,0.14,0.16); th # Vergleich mit Viertelkreisbogen h3=q+p*p1/q1 sp3=p1^2+q1^2 su3=s*q1+h3*p1 x3=q1*(su3-sqrt(su3^2-h3^2*sp3))/sp3 y3=h3-x3*p1/q1 dy3=q-y3 del3=sqrt((p-x3)^2+dy3^2) pl7=parametric_plot((p,del3),0,th,color= green ) pl7+=parametric_plot((p,signum(dy2)*del2),th,tf) pl7+=parametric_plot((p,signum(dy1)*del1),tf,1,color= red ) save(pl7, pl7.pdf ) Schokoladenei 9. Anwendungen s1=p1^2+q1^2 w=sqrt(s1) # Delta0: del0=q*w/p1 del0.find_minimum_on_interval(0.01,0.99)[0] # Delta1 kap=(p1*q2-p2*q1)/(s1*w) del1=-1/kap del1.find_minimum_on_interval(0,0.1)[0]

8 8 Herbert Möller # Schokoladenei-Kurven (Abbildung 16) y=p+0.05*q1/w; z=q-0.05*p1/w u=p-0.008*q1/w; v=q+0.008*p1/w pl8=parametric_plot((p,q),0,1,color= brown ) pl8+=parametric_plot((y,z),0,1) pl8+=parametric_plot((u,v),0,1,color= red ) save(pl8, pl8.pdf,aspect_ratio=1) # Volumen der Abstandskörper lam=p1/w i4=pi*p1*q*(2*lam-q*kap) K1=numerical_integral(i4,0,1)[0]; K1 i5=pi*p1*lam*(lam-2*q*kap) K2=numerical_integral(i5,0,1)[0]; K2 i6=-pi*p1*kap*lam^2 K3=numerical_integral(i6,0,1)[0]; K3 Vd=lambda d: 125*(339*pi.n()/3500+K1*d+K2*d**2+K3*d**3) V1=Vd(0.008); V1 V2=Vd(0); V2 V3=Vd(-0.05); V3 # Glasurvolumen 10000*(V1-V2) # Schokoladenvolumen 10000*(V2-V3) # Fruchtsirupvolumen 5000*V3 Ringkämpfer (Abbildung 17) tm=(sqrt(7)-1)/3 a=0.95 r=q*cos(u) s=q*sin(u) co=cos(1.0) si=sin(1.0) co1=cos(1.2) si1=sin(1.2) d=1-co Ei2=parametric_plot3d((a*(co*p+si*r),a*(-si*p+co*r),a*s),\ (t,0,tm),(u,0,2*pi), rgbcolor=(1.0,157/255,21/255)) Ei2+=parametric_plot3d((a*(co*p+si*r),a*(-si*p+co*r),a*s),\ (t,tm,1),(u,0,2*pi), rgbcolor=(42/255,158/255,0.0)) Ei2+=parametric_plot3d((co1*p-si1*r,si1*p+co1*r+0.07,s),\ (t,0,tm),(u,0,2*pi),rgbcolor=(1.0,202/255,112/255))

9 Sage-Prozeduren für das 2:3-Eimodell 9 Ei2+=parametric_plot3d((co1*p-si1*r,si1*p+co1*r+0.07,s),\ (t,tm,1),(u,0,2*pi),rgbcolor=(193/255,76/255,0)) show(ei2,aspect_ratio=[1,1,1],frame=false,adaptive=true) Das Uter (Abbildung 18) tb=cos((arccos(0.9)-2*pi.n())/3)+0.5 v=0.05*p1(tb)/q1(tb) a=v/(1+0.05/sqrt(0.05^2+v^2)) r=(v-a)/(20*v) ym=0.15+a # Äußerer Ringradius ym+r # Innerer Ringradius ym-r q1=ym+r*sin(s) Ei3=parametric_plot3d((r*(1+cos(s)),q1*cos(u),q1*sin(u)),\ (s,0,2*pi),(u,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.13)) Ei3+=parametric_plot3d((p,q*cos(u),q*sin(u)),(t,0,1),\ (u,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.13)) show(ei3,aspect_ratio=[1,1,1],frame=false,adaptive=true) Hochkuppel und Flachkuppel (Abbildungen 19 und 20) tm=(sqrt(7)-1)/3 Ei4=parametric_plot3d((p,q*cos(u),q*sin(u)),(t,0,tm),\ (u,0,2*pi),rgbcolor=(235/255,187/255,95/255)) show(ei4,aspect_ratio=[1,1,1],mesh=true,frame=false,\ adaptive=true) Ei5=parametric_plot3d((p,q*cos(u),q*sin(u)),(t,tm,1),\ (u,0,2*pi),rgbcolor=(95/255,187/255,235/255)) show(ei5,aspect_ratio=[1,1,1],mesh=true,frame=false,\ adaptive=true)

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