Analysis I- III, WS 2011/2012, SS 2012, WS 2012/2013

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1 Anlysis I- III, WS 2011/2012, SS 2012, WS 2012/2013 Holger Dette Ruhr-Universität Bochum Fkultät für Mthemtik Bochum Germny emil: FAX: Tel.: November 25, 2012 I. Mengen, Abbildungen, der Körper der reellen Zhlen 1 Mengen 1.1 Definition: Eine Menge M ist eine Zusmmenfssung von wohlbestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschuung und unseres Denkens, die Elemente von M gennnt werden (niver Mengenbegriff). Ist x Element der Menge M, so schreiben wir x M, ist x kein Element von M, x M. 1.2 Definition: Für Mengen A, B heißt A Teilmenge von B (Schreibweise A B) genu dnn, wenn gilt x A x B Wir nennen die Mengen A und B gleich oder identisch (Schreibweise: A = B) genu dnn, wenn gilt A B und B A A heißt nichtleer genu dnn, wenn gilt: es gibt ein x A (Schreibweise x A). A heißt leer oder die leere Menge (Schreibweise A = ) genu dnn, wenn gilt: A ist nicht nichtleer für lle x (Schreibweise: x) gilt x A. 1

2 Die Menge P(A) := {M M A} heißt Potenzmenge von A. 1.3 Folgerungen: Es seien A, B, C Mengen. (i) A (ii) A A (iii) A B, B C A C 1.5 Definition: Es seien A, B, X Mengen A B := {x x A und x B} heißt Durchschnitt von A und B. A B := {x x A oder x B} heißt Vereinigung von A und B. A\B := {x x A und x B} heißt mengentheoretische Differenz von A und B. Ist A X, so heißt A c := X\A ds Komplement von A bezüglich X. 1.6 Schreibweisen: Es sei F System von Mengen M := {x x M für lle M F} M F heißt Durchschnitt der Mengen, die zu F gehören. M := {x x M für mindestens ein M F} M F heißt Vereinigung der Mengen, die zu F gehören. 1.7 Stz: Es seien A, B, C M Mengen. Ds Komplement werde jeweils bzgl. der Menge M gebildet. (i) A = A = A A; A = A A c = A A c = M = A M; A A = A M = A (ii) (Assozitivität) A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C (iii) (Distributivität) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (iv) (De-Morgn Regeln) (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c 2

3 1.8 Aufgben: () Seien A, B Mengen, so gilt (Kommuttivität) A B = B A; A B = B A (b) Sei M 0 Menge, F ein System von Mengen mit der Eigenschft M M 0 für lle M F. Dnn gilt für die bzgl. M 0 gebildeten Komplemente ( M) c = M c M F ( M F M F M) c = M F M c 1.9 Definition: Für Mengen X, Y heißt die Menge ller geordneten Pre X Y := {(x, y) x X; y Y } ds crtesische Produkt der Mengen X und Y. 2 Abbildungen 2.1 Definition: Es seien X, Y nichtleere Mengen. Eine Funktion f (oder Abbildung) von der Menge X in die Menge Y ist eine Vorschrift, die jedem x X in eindeutiger Weise ein y Y zuordnet, ds mit f(x) bezeichnet wird. X heißt Definitionsbereich von f, f(x) ds Bild (oder der Funktionswert) von x unter der Abbildung f. Schreibweise: Für A X heißt f : { X Y x f(x) f(a) := {f(x) x A} = {y x A mit f(x) = y} Y ds Bild von A unter f. f(x) heißt Wertebereich von f. Die Menge heißt Grph von f. Für B Y heißt ds Urbild von B. Grph f := {(x, f(x)) x X} X Y f 1 (B) := {x X f(x) B} X Die Abbildungen f : X Y und g : X Y heißen gleich (Schreibweise: f = g) genu dnn, wenn gilt: f(x) = g(x) für lle x X. 3

4 2.2 Definition: Sei X eine Menge, dnn heißt die Funktion { X X I : x I(x) = x die Identität uf X. Sind X, Y, Z Mengen und f : Y Z, g : X Y Abbildungen, dnn heißt { X Z f g : x (f g)(x) := f(g(x)) die Komposition von f und g (Sprechweise: f nch g). 2.3 Übung: Sind V, X, Y, Z Mengen, f : V X, g : X Y, h : Y Z Abbildungen, so gilt: h (g f) = (h g) f (dher werden die Klmmern oft weggelssen). 2.4 Definition: Sei f : X Y eine Abbildung f heißt injektiv genu dnn, wenn für lle x 1, x 2 X gilt: x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) f heißt surjektiv genu dnn, wenn f(x) = Y f heißt bijektiv genu dnn, wenn f injektiv und surjektiv ist. Bechte: f ist injektiv, wenn gilt f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. Ist f bijektiv, so existiert zu jedem y Y genu ein x X mit f(x) = y. D.h. durch { Y X g : y x, wo f(x) = y wird eine Abbildung von Y uf X definiert. g heißt Umkehrbbildung von f und wird uch mit f 1 bezeichnet. 2.5 Bezeichnung: Ist f : X Y eine Abbildung, A X, so heißt die Abbildung { A Y h : x h(x) := f(x) Restriktion von f uf A und wird mit f A bezeichnet. 4

5 2.6 Übung: Sei f : X Y ; A und B Systeme von Teilmengen von X bzw. Y, A c = X\A, B c = Y \B. Mn zeige (1) (2) A 1, A 2 A : A 1 A 2 f(a 1 ) f(a 2 ) B 1, B 2 B : B 1 B 2 f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) f 1 ( B B B) = B B f 1 (B) ; f 1 ( B B B) = B B f 1 (B) (3) f 1 (B c ) = (f 1 (B)) c 3 Der Körper der reellen Zhlen 3.1 Definition: Es sei K eine nichtleere Menge und es gebe zwei Abbildungen { { K K K K K K + : : (x, y) x + y (x, y) x y (Addition und Multipliktion), die den folgenden Axiomen genügen sollen. (A1) Für lle x, y, z K gilt: x + (y + z) = (x + y) + z (A2) Es existiert ein Element 0 K mit: x + 0 = x für lle x K (A3) Zu jedem x K existiert ein y K mit x + y = 0 (A4) Für lle x, y K gilt: x + y = y + x (A5) Für lle x, y, z K gilt: x (y z) = (x y) z (A6) Es existiert ein Element 1 K\{0} mit: 1 x = x für lle x K (A7) Zu jedem x K\{0} existiert ein y K mit x y = 1 (A8) Für lle x, y K gilt: x y = y x (A9) Für lle x, y, z K gilt x (y + z) = x y + x z Eine Menge K mit den obigen Eigenschften heißt Körper. Die Eigenschften (A1) und (A5) heißen Assozitivitätsgesetz; (A4) und (A8) Kommuttivitätsgesetz und (A9) Distributivgesetz. 5

6 3.2 Einfche Folgerungen: (i) Die Elemente 0 und 1 us (A2) und (A6) sind eindeutig bestimmt. (ii) Die Elemente y K in (A3) und (A7) sind eindeutig bestimmt und werden mit x bzw. x 1 := 1 x bezeichnet. (iii) Für lle x K gilt: 0 x = 0 (iv) ( 1) ( 1) = 1 (v) Für lle x, y K gilt: () ( x) y = (x y) (b) ( x)( y) = x y (vi) Wir definieren x y := x + ( y), x y := x 1 y x, y K;, b, c, d K mit b, d 0 : (flls y 0) dnn gilt für lle () (x y) z = x z y z (b) b + c d + bc = d bd (c) b c d = c b d (vii) Bezeichnung: (viii) Sind x, y K\{0} dnn gilt: x y 0 x + y + z : = x + (y + z) = (x + y) + z x y z : = (x y) z = x (y z) 3.3 Definition: Es sei K Körper und P K eine Teilmenge von K mit folgenden Eigenschften (A10) Für jedes x K gilt entweder x P oder x = 0 oder x P, wobei jede dieser Eigenschften die ndere usschließen soll. (A11) x, y P x + y P ; x y P K heißt ngeordneter Körper, P heißt Menge der positiven Elemente. x K heißt positiv : x P (Schreibweise: x > 0) x K heißt negtiv : x 0, x / P (Schreibweise: x < 0) Bechte: Mit der Bezeichnung x < y : y x > 0 gilt: x < 0 0 x > 0 x > 0 x 0, x P, d.h. x ist negtiv. 6

7 3.4 Rechenregeln für Ungleichungen: Sei K ngeordneter Körper, x, y, z,... K (i) 1 > 0 (ii) x < 0; y < 0 x y > 0 (iii) x > 0; y < 0 x y < 0 (iv) x 0 x 2 := x x > 0 (v) x > 0 1 > 0 x (vi) x < y; y < z x < z (Trnsitivität) (vii) x < y, (viii) x < y, (ix) x < y; z > 0 x z < y z z K x + z < y + z z < 0 x z > y z (x) 0 < x < y 1 y < 1 x (xi) x < y, u < v x + u < y + v 3.5 Bezeichnung: Sei K ngeordneter Körper, x, y K (i) x y : x y : x < y oder x = y x > y oder x = y (ii) Für x K heißt x := { x flls x 0 x flls x < 0 Betrg von x (mn bechte x K). 3.6 Einfche Eigenschften: Seien x, y, δ K, K ngeordneter Körper (i) x < y x y (ii) x = x (iii) x x ; x x ; x x x (iv) x < δ δ < x < δ x δ δ x δ 7

8 3.7 Stz: Sei K ngeordneter Körper, x, y K, dnn gilt: (i) x 0; x = 0 x = 0 (ii) x y = x y (iii) x + y x + y (Dreiecksungleichung) 3.8 Folgerung: Sei K ngeordneter Körper; x, y K, dnn gilt: (i) x y x + y x + y (ii) x y x y x + y 3.9 Definition: Sei K ngeordneter Körper, M K. M heißt nch oben beschränkt : es existiert ein c K mit der Eigenschft: für lle x M gilt: x c. c heißt in diesem Fll eine obere Schrnke von M. M heißt nch unten beschränkt : es existiert ein b K mit der Eigenschft: für lle x M gilt: x b. b heißt in diesem Fll eine untere Schrnke von M. M heißt beschränkt : M ist nch oben und unten beschränkt. γ K heißt kleinste obere Schrnke von M oder Supremum von M (Schreibweise: γ = sup M) wenn gilt (i) γ ist eine obere Schrnke von M (ii) ist γ eine weitere obere Schrnke von M γ γ β K heißt größte untere Schrnke von M oder Infimum von M (Schreibweise: β = inf M) wenn gilt (i) β ist eine untere Schrnke von M (ii) ist β eine weitere untere Schrnke von M β β. 8

9 3.10 Definition: Ein ngeordneter Körper K heißt vollständig, genu dnn, wenn gilt (A12) jede nichtleere, nch oben beschränkte Teilmenge von K besitzt ein Supremum in K Stz: Es gibt einen vollständigen, ngeordneten Körper, der im wesentlichen eindeutig bestimmt ist und mit R bezeichnet wird. R heißt Körper der reellen Zhlen, seine Elemente heißen reelle Zhlen Stz: Jede nichtleere, nch unten beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Infimum Stz: Sei M R, γ R, dnn gilt () γ = sup M { (i) x γ x M (ii) ε > 0 x M : x > γ ε (b) β = inf M { (i) x β x M (ii) ε > 0 x M : x < β + ε 3.14 Übung: Sei A B R, dnn gilt: Ist B nch oben beschränkt sup A sup B. Ist B nch unten beschränkt inf B inf A Definition: Sei M R eine Teilmenge der reellen Zhlen. M ht ein größtes (kleinstes) Element, wenn es ein x 0 M gibt mit x x 0 (x x 0 ) für lle x M. x 0 heißt dnn Mximum (Minimum) von M. Schreibweise x 0 = mx M(x 0 = min M) Beispiel: Seien x, y R, dnn gilt: mx{x, y} = 1 {x + y+ x y } 2 min{x, y} = 1 {x + y x y } 2 9

10 3.17 Definition: Sei A R. Eine Abbildung f : A R heißt monoton wchsend : x 1, x 2 A : x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) streng monoton wchsend : x 1, x 2 A : x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) monoton fllend : x 1, x 2 A : x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) streng monoton fllend : x 1, x 2 A : x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ) f heißt nch oben (unten) beschränkt, flls f(a) nch oben (unten) beschränkt ist. 4 Die ntürlichen, gnzen und rtionlen Zhlen 4.0 Definition: Eine Menge M R heißt induktive Menge, wenn gilt: (i) 1 M (ii) x M x + 1 M 4.1 Bemerkung: 1) R, {x R x > 0} sind induktive Mengen. 2) Der Durchschnitt beliebig vieler induktiver Mengen ist eine induktive Menge. 4.2 Definition: Sei F := {M R M induktive Menge}, und N := M R, M F dnn heißt N0 = N {0} die Menge der ntürlichen Zhlen. 10

11 4.3 Stz: (Prinzip der vollständigen Induktion) Die Aussge A(n) sei für lle ntürlichen Zhlen n n 0 definiert und es gelte: (i) Die Aussge A(n 0 ) ist richtig. (ii) Für jedes n n 0 : Ist die Aussge A(k) für k = n 0, n 0 + 1,..., n richtig, dnn ist uch die Aussge A(n + 1) richtig. Dnn ist die Aussge A(n) für lle n n 0 richtig. 4.4 Beispiele: (i) n N : n = n(n + 1). 2 (ii) Seien x 1,..., x n R; x j > 0 (j = 1,..., n) dnn gilt: x 1 x 2 x n = 1 x 1 + x x n n. 4.5 Stz: (i) Für lle n N gilt: n 1. (ii) Für lle m, n N gilt: m > n m n 1. (iii) Jede nichtleere Teilmenge M von N besitzt ein kleinstes Element. (iv) N ist nicht nch oben beschränkt. 4.6 Stz: (Archimedische Eigenschft von N) (i) Zu jedem, b R,, b > 0 existiert ein n N mit: n > b. (ii) Zu jedem ε > 0 existiert ein n N mit: 1 n < ε. 4.7 Bezeichnungen und Beispiele: (Summen- und Produktzeichen) Sei n N, 1,..., n R. Mit den Bezeichnungen gilt n j := n ; n j := 1... n ; 11 0 j := 0 0 j := 1

12 (i) n j = n = n(n + 1) 2 (vergl. 4.4) (ii) n j 2 = n 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 (iii) (iv) n j j + 1 = n 1 n n n + 1 = 1 n + 1 Mit der Bezeicnung q k := k q (k N) gilt für lle q R\{1}: n j=0 q j = 1 + q q n = 1 qn+1 1 q. (v) Sei h R, h 1, n N; dnn gilt die Bernoullische Ungleichung (1 + h) n 1 + nh. 4.8 Rechenregeln: n (i) ( j + b j ) = n j + n b j n (ii) c j = n c j (iii) n = n. 4.9 Bezeichnungen: (Fkultät, Binomilkoeffizient) (i) 0! := 1; für n N : n! = n (ii) Für α R, k N heißt ( ) α := 1 0 ( ) α := k α(α 1)... (α k + 1) k! Binomilkoeffizient (Sprechweise: α über k). Bechte: 12

13 1) ( α k) = k α j+1 j 2) 0 α j := 1 0 α j := 0 3) ( α 1) = 1 4) k, n N, k n : ( ) n k = n! 5) k N : ( ) ( α k + α ) ( k+1 = α+1 ) k+1 k!(n k)! 4.10 Stz: (Binomischer Lehrstz) Für, b R, n N gilt: ( + b) n = n k=0 ( ) n k b n k. k 4.11 Definition: Es sei k N, N(k) := {j N j k} = {1, 2,..., k}. Eine Menge M heißt endlich, wenn sie entweder leer ist oder es ein k N und eine bijektive Abbildung von N(k) uf M gibt. In diesem Fll heißt #M := k die Anzhl der Elemente von M(# = 0). M heißt unendlich, wenn M nicht endlich ist Beispiel: Es sei M Menge mit #M = n Elementen, dnn gilt für k N 0, 0 k n ( ) n Ck n := #{A M #A = k} =. k D.h. die Anzhl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge ist ( n k) Definition: Z := N {0} {x x N} heißt die Menge der gnzen Zhlen. Die Menge Q := {x R x = p ; p, q Z; q 0} q heißt die Menge der rtionlen Zhlen. Die Menge R\Q heißt die Menge der irrtionlen Zhlen Stz: (die k-te Wurzel) Sei k N. Zu jedem x R, x 0 gibt es genu ein y R; y 0 mit y k = x. Dieses y wird mit k x oder x 1/k bezeichnet. 13

14 4.15 Definition: Sei k N, R + 0 := {x R x 0} die Menge der nichtnegtiven Zhlen; die Abbildung { R + 0 R + 0 f : x f(x) = x k heißt Potenzfunktion. Die Abbildung { R + 0 R + 0 g : x g(x) := x 1/k heißt Wurzelfunktion (bechte: g ist die Umkehrfunktion von f) Definition: (Potenzen mit rtionlen Exponenten) Sei > 0, 0 < r = p q Q und p, q N. Wir definieren (i) r := ( q p ) = ( p ) 1/q (ii) r = 1 r (iii) 0 = Stz: 2 = 2 2 Q, lso ist R\Q Stz: (Q liegt dicht in R). Es sei x R (i) Zu jedem ε > 0 existiert ein r Q mit r x < ε. (ii) Zu jedem ε > 0 existiert ein y R\Q mit y x < ε Stz: Q ist ngeordeter Körper ber nicht vollständig Definition: Eine Menge M heißt bzählbr, wenn es eine bijektive Abbildung von N uf M gibt. Eine solche Abbildung : N M; n n := (n) liefert eine Abzählung der Menge M Übung: Es seien A, B Mengen, A bzählbr. Existiert eine bijektive Abbildung von A uf B, so ist uch B bzählbr. 14

15 4.22 Stz: Ist A bzählbr, B A, so ist B endlich oder bzählbr Stz: Jede unendliche Menge enthält eine bzählbre Teilmenge Übung: Sei A bzählbr und f : A B surjektive Abbildung, dnn ist B endlich oder bzählbr Hilfsstz: Es seien A 1, A 2,... bzählbre Mengen (i) A 1 A 2 = {(, b) A 1, b A 2 } ist bzählbr. (ii) A := n N A n ist bzählbr (d.h. die bzählbre Vereinigung bzählbrer Mengen ist bzählbr) Stz: Die Menge der rtionlen Zhlen Q ist bzählbr. 15

16 II. Der Grenzwertbegriff für Folgen und Reihen 5 Folgen, Konvergenz, Divergenz 5.1 Definition: Sei A eine Menge. Eine Abbildung : N A heißt Folge in A. heißt reelle Zhlenfolge flls A R. 5.2 Bezeichnungen: Ds Bild von n unter der Abbildung wird oft mit n sttt (n) bezeichnet. Die Folge (bzw. Abbildung) wird oft in der Form ( n ) n N ; ( n ); 1, 2, 3,... mit dem Zustz n A ngegeben. Die n heißen Glieder (oder Elemente) der Folge, n heißt Index des Gliedes n. Wir betrchten huptsächlich Folgen in R und nennen solche Folgen (reelle) Zhlenfolgen. 5.3 Definition: Es sei A eine Menge und : N A eine Folge in A. (i) Ist b : N N streng monoton wchsend, so heißt die Folge b : N A Teilfolge von. (ii) Ist b : N N bijektiv, so heißt die Folge b : N A Umordnung der Folge. 5.4 Bemerkung: b ist selbst Folge. Mn schreibt b oft in der Form b : N N, k n k, lso (n k ) k N ; n k N. Dmit knn die Teilfolge (bzw. Umordnung) mit bezeichnet werden. ( nk ) k N 16

17 5.5 Definition: Eine reelle Zhlenfolge ( n ) n N heißt konvergent, wenn es ein R gibt, für ds gilt: Zu jedem ε > 0 existiert ein n 0 (ε) N mit der Eigenschft n < ε für lle n n 0 (ε). In diesem Fll heißt Grenzwert (Limes) der Folge ( n ) und mn sgt: die Folge ( n ) konvergiert gegen. Schreibweisen: lim n n = oder n für n oder n. n Die Folge ( n ) heißt divergent, wenn sie nicht konvergent ist. 5.6 Stz: Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt. 5.7 Stz: Sei ( n ) n N konvergente Folge mit Grenzwert. (i) Jede Teilfolge von ( n ) n N ist konvergent mit Grenzwert. (ii) Jede Umordnung von ( n ) n N ist konvergent mit Grenzwert. 5.8 Stz: (Konvergenzkriterien für monotone Folgen) Es sei ( n ) n N reelle Zhlenfolge. (i) Ist ( n ) n N monoton wchsend und nch oben beschränkt, dnn ist ( n ) n N konvergent mit Grenzwert sup{ n n N}. (ii) Ist ( n ) n N monoton fllend und nch unten beschränkt, dnn ist ( n ) n N konvergent mit Grenzwert inf{ n n N}. 5.9 Stz: Jede konvergente reelle Zhlenfolge ist beschränkt Beispiele: (i) Die Folge der Zhlen n = ( 1) n+1 ist divergent. (ii) Die Folge der Zhlen n = n j=0 1 j! = ! + 1 2! n! 17

18 ist konvergent. Der Grenzwert wird mit e := lim n n = lim n ( n j=0 ) 1 j! bezeichnet und heißt Eulersche Zhl. Zhlenbeispiel (uf 8 Stellen gerundet) (iii) Die Folge der Zhlen n n b n = n 1 j = n heißt hrmonische Reihe und ist divergent Stz: Sind ( n ) n N, (b n ) n N konvergente Zhlenfolgen mit Grenzwerten bzw. b, dnn gilt: (i) Die Folge ( n + b n ) n N ist konvergent mit Grenzwert + b. (ii) Die Folge ( n b n ) n N ist konvergent mit Grenzwert b. (iii) Ist 0, so gibt es ein n 0 N, so dss n 0 für lle n n 0 gilt und die Folge ( 1 n ) n n0 ist konvergent mit Grenzwert 1 bn. Insbesondere ist ( n ) n n0 konvergent mit Grenzwert b Stz: Es seien ( n ) n N, (b n ) n N konvergente Zhlenfolgen mit Grenzwert bzw. b, n 1 N (i) Flls die Ungleichung n b n für lle n n 1 erfüllt ist, so gilt für die Grenzwerte b. (ii) Ist = b und (c n ) n N reelle Zhlenfolge mit n c n b n für lle n n 1, dnn ist uch die Folge (c n ) n N konvergent mit Grenzwert. 18

19 5.13 Beispiele: (i) lim n 3n (n + 2)(n + 3) = 3. (ii) Für die Eulersche Zhl gilt: 2 e 3. (iii) Für die Eulersche Zhl gilt: Zhlenbeispiel (uf 8 Stellen gerundet) e = lim n (1 + 1 n )n. n n Beispiel: Für > 0 sei die Funktion { R + R + f : x f (x) = 1(x + ) 2 x definiert. Für gegebenes 1 > 0 nd n 1 definieren wir rekursiv n+1 = f ( n ). Dnn gilt lim n n =. Zhlenbeispiel (uf 6 Stellen gerundet) für = 3. n n 2 n n 2 n

20 5.15 Definition: Es seien, b R, b Die Menge [, b] := {x R x b} heißt bgeschlossenes Intervll Die Menge (, b) := {x R < x < b} heißt offenes Intervll Die Mengen [, b) := {x R x < b} und (, b] := {x R < x b} heißen hlboffene Intervlle. Die Zhl b heißt Intervlllänge. Ist x R, ε > 0, so heißt die Menge eine ε-umgebung von x. U ε (x) = (x ε, x + ε) = {z R x ε < z < x + ε} 5.16 Definition: Eine Folge ([ n, b n ]) n N von bgeschlossenen Intervllen heißt Intervllschchtelung, wenn für lle n N gilt: (i) [ n+1, b n+1 ] [ n, b n ] (ii) lim n (b n n ) = Stz: Es sei ([ n, b n ]) n N eine Intervllschchtelung, dnn existiert genu ein x R mit x [ n, b n ] für lle n N Übung: Es seien, b R, 0 < < b und für n 1 1 = b b 1 = + b 2 n+1 = n b n b n+1 = n + b n 2 dnn wird durch die Folge ([ n, b n ]) n N eine Intervllschchtelung definiert. Die durch diese Intervllschchtelung erfsste Zhl M(, b) heißt rithmetisch-geometrisches Mittel. Zhlenbeispiel (uf 6 Stellen gerundet) für = 1, b = 2 n n b n

21 6 Häufungswerte 6.0 Definition: x R heißt Häufungswert einer reellen Zhlenfolge ( n ) n N, wenn gilt: für jedes ε > 0 gibt es unendlich viele Indizes n N mit n x < ε. 6.1 Beispiele: (i) x ist Häufungswert der reellen Zhlenfolge ( n ) n N genu dnn, wenn gilt: für lle ε > 0 ist die Menge {n N n x < ε} unendlich. (ii) Für n N sei n = ( 1) n + 1. Die Punkte 1 und 1 sind Häufungswerte der Folge n ( n ) n N. (iii) Nch Stz 4.26 ist Q bzählbr, d.h. es existiert eine bijektive Abbildung { N Q r : n r n Jede Zhl x R ist Häufungswert der Folge (r n ) n N. 6.2 Stz: x R ist genu dnn Häufungswert der Folge ( n ) n N, wenn es eine Teilfolge ( nk ) k N von ( n ) n N gibt, die gegen x konvergiert. 6.3 Stz: (Bolzno, Weierstrß) Jede beschränkte reelle Zhlenfolge ht mindestens einen Häufungswert. Genuer: Sei ( n ) n N beschränkte reelle Zhlenfolge, dnn ist die Menge der Häufungswerte von ( n ) n N nicht leer und besitzt ein größtes und kleinstes Element, ds mit bzw. bezeichnet wird. Es gilt lim sup n n (oder lim n n ) lim inf n (oder lim n ) n n lim sup n := mx{x x ist Häufungswert von ( n ) n N } n = lim sup{ k k n} n lim inf n := min{x x ist Häufungswert von ( n ) n N } n = lim inf{ k k n}. n 21

22 6.4 Übung: Eine beschränkte Zhlenfolge ( n ) n N ist genu dnn konvergent, wenn lim sup n = lim inf n. n n 6.5 Stz: Es sei ( n ) n N beschränkte reelle Zhlenfolge. (i) x = lim inf n n genu dnn, wenn für jedes ε > 0 gilt: () n > x ε mit Ausnhme von höchstens endlich vielen n (b) n < x + ε für unendlich viele n (ii) y = lim sup n genu dnn, wenn für jedes ε > 0 gilt: n () n < y + ε mit Ausnhme von höchstens endlich vielen n (b) n > y ε für unendlich viele n. 6.6 Übung: Für beschränkte Zhlenfolgen ( n ) n N, (b n ) n N gilt: (i) lim sup n ( n + b n ) lim sup (ii) lim inf n ( n + b n ) n lim inf n n + lim sup b n n n + lim inf n b n. 6.7 Definition: Eine reelle Zhlenfolge ( n ) n N heißt Cuchy-Folge genu dnn, wenn gilt: zu jedem ε > 0 existiert ein n 0 N, so dss für lle n, m n 0 gilt: n m < ε. Bechte: ( n ) n N ist eine Cuchy-Folge, wenn gilt: ε > 0 n 0 N, so dss n n 0 p N : n+p n < ε. 6.8 Stz: Eine reelle Zhlenfolge ( n ) n N ist genu dnn konvergent, wenn sie Cuchy- Folge ist. 22

23 6.9 Definition: Eine reelle Zhlenfolge ( n ) n N heißt bestimmt divergent gegen (bzw. ), wenn es zu jedem K R ein n 0 N gibt, so dss für lle n n 0 gilt: n > K (bzw. n < K). Schreibweise: n (bzw. n ). Bechte: Anschulich knn mn + und ls zwei neue Elemente (keine reellen Zhlen) uffssen und die erweiterte Zhlengerde R = R { } { } definieren. Die Ordnungsxiome können dnn durch x R : < x; x < ; < uf R usgedehnt werden (die Reltion wird entsprechend uf R erweitert). Wir vereinbren ußerdem die folgenden Rechenregeln ( ) = ( ) = + x + = + x = x = + x = x = x = für < x für x < für 0 < x x = x = für x < 0 (insbesondere bleiben Ausdrücke wie 0, undefiniert) Bezeichnungen: Sei ( n ) n N reelle Zhlenfolge. Wir setzen: lim sup n = sup{ n } =, flls ( n ) n N nicht nch oben beschränkt ist n lim inf n n = inf{ n } =, flls ( n ) n N nicht nch unten beschränkt ist. Für Mengen M R gilt durch sup M = (flls M nicht nch oben beschränkt), inf M = (flls M nicht nch unten beschränkt) eine entsprechende Definition Übung: Sei ( n ) n N reelle Zhlenfolge, dnn gilt: lim sup n = ( n ) n N enthält eine gegen bestimmt divergente Teilfolge. n lim inf n n = ( n ) n N enthält eine gegen bestimmt divergente Teilfolge. 23

24 7 Reihen 7.1 Definition: Es sei ( n ) n k0 eine Folge, k 0 Z, und für n N s n := n j=k 0 j = k0 + k n (s n := 0 für n < k 0 ). Die Folge (s n ) n N heißt (die mit der Folge ( n ) n k0 gebildete) unendliche Reihe. Schreibweise: j=k 0 j = k0 + k Ds n-te Folgenglied von (s n ) n N heißt n-te Prtilsumme, heißt der n-te Rest der Reihe. Eine Reihe j=k 0 j j=n+1 j heißt konvergent, wenn die Folge (s n ) n N ihrer Prtilsummen konvergiert, sonst divergent. Ist lim n s n = s, so heißt s der Wert der Reihe (oder Summe) und mn schreibt: ( ) j=k 0 j = s. Die Schreibweise ( ) bedeutet lso immer, dss die Reihe konvergent ist und ihr Wert s ist. 7.2 Bemerkung: (i) Ist b m = k0 +m(m 0) und σ n die n-te Prtilsumme der Reihe m=0 b m, so gilt s n = σ n k0 für n k 0 und beide Reihen hben dsselbe Konvergenzverhlten. Dher lässt mn die Summtion oft bei 0 oder 1 beginnen. (ii) Ds Konvergenzverhlten einer Reihe wird nicht geändert, wenn mn endlich viele Glieder der zugehörigen Folge ändert. Der Wert (im Fll der Konvergenz) knn sich ntürlich ändern. 24

25 7.3 Beispiele: (i) j=0 1 j! = e (ii) 1 j = (hrmonische Reihe) (d.h. die Folge der zugehörigen Prtilsummen ist bestimmt divergent). (iii) Für q < 1 gilt (iv) Für q < 1, l N gilt: (v) j=0 q j = 1 1 q ; q j = j=l ql 1 q ; 1 j(j + 1) = Stz: Sind j, b j konvergente Reihen, λ, µ R, so ist uch die Reihe j=0 j=0 (λ j + µb j ) konvergent und es gilt: (λ j + µb j ) = λ j + µ b j. j=0 j=0 j=0 j=0 7.5 Stz: (Cuchy-Kriterium) Eine Reihe j ist genu dnn konvergent, wenn es zu jedem ε > 0 ein n 0 N gibt mit: j=0 Für lle n n 0, p N gilt: n+p j=n+1 j < ε. 25

26 7.6 Folgerung: Es sei (i) lim n n = 0. (ii) lim n j=n+1 j = 0 j konvergente Reihe, dnn gilt j=0 (d.h. die Folge der Reihenreste konvergiert gegen 0). 7.7 Definition: Eine Reihe konvergent ist. j j=0 heißt bsolut konvergent, genu dnn wenn j j=0 7.8 Stz: Ist j bsolut konvergent, so uch konvergent und es gilt: j=0 j j=0 j. j=0 7.9 Stz: Es sei n 0 für lle n N, dnn gilt: die Folge ihrer Prtilsummen beschränkt ist. j ist konvergent genu dnn, wenn j= Stz: (Mjornten-/Minorntenkriterium) Es seien j, b j Reihen. (i) Ist n b n für lle n N und ist b j konvergent, so ist die Reihe j bsolut konvergent (Mjorntenkriterium). (ii) Ist 0 n b n für lle n N und ist die Reihe j divergent, so ist uch die Reihe b j divergent (Minorntenkriterium). Bechte: Die Aussgen (i), (ii) bleiben richtig, wenn die Ungleichungen mit Ausnhme von höchstens endlich vielen n N erfüllt sind. 26

27 7.11 Konvergenzkriterien: Es sei j eine Reihe j=0 () Wurzelkriterium: Ist α = lim sup n n n < 1 (bzw. α > 1), so ist die Reihe j bsolut konvergent (bzw. divergent). j=0 (b) Quotientenkriterium: Ist lim sup n n+1 < 1 (bzw. lim inf n+1 > 1), n n n so ist die Reihe j bsolut konvergent (bzw. divergent). j= Beispiele: (i) Für jedes x R ist die Reihe n=0 x n n! = 1 + x 1! + x2 2! +... bsolut konvergent. Der Wert der Reihe wird mit exp(x) bzw. e x bezeichnet. Die Funktion { R R exp : x e x heißt Exponentilfunktion. Die Zhl e = e 1 heißt Eulersche Zhl. (ii) Die Reihe (iii) Die Reihe ( n n=1 n+1 )n2 ist konvergent. n=1 1 n p ist für 0 < p 1 divergent und für p > 1 konvergent. 27

28 n= Definition und Stz: Eine Reihe n heißt lternierend, wenn für lle n n=0 N gilt: n n+1 < 0. Ist n eine lternierende Reihe, so dss ( n ) n N eine monoton fllende Folge mit lim n n = 0 bildet, so ist die lternierende Reihe konvergent (Leibnizsches Konvergenzkriterium) Beispiel: Die lternierende hrmonische Reihe s = ( 1) n 1 1 n = n=1 ist konvergent, ber nicht bsolut konvergent. Die durch Umordnung erhltene Reihe ist konvergent mit Wert s/ Übung: (In konvergenten Reihen drf mn Klmmern setzen.) Sei (n k ) k N Teilfolge von (n) n N und n j eine konvergente Reihe. Die durch n 1 b 1 = j ; b k = n k j=n k+1 j (k 2) definierte Reihe ist konvergent und ht denselben Wert, d.h. j = b k. k= Stz: (kleiner Umordnungsstz) Es sei ( n ) n N eine Folge und ( nk ) k N eine Umordnung von ( n ) n N. Ist n bsolut konvergent, dnn ist uch bsolut konvergent und es gilt n=1 nk k=1 n = n=1 nk. k=1 28

29 7.17 Definiton und Stz: (großer Umordnungsstz) Es sei konvergente Reihe, S 1, S 2,... prweise disjunkte Mengen mit n n=1 eine bsolut N = n N S n und I Sj (n) = { 1 flls n S j 0 flls n S j (n N) die chrkteristische Funktion von S j (I Sj (n) = 0 für lle n N, flls S j = ). Die durch b j := n I Sj (n) (j N) definierte Reihe b j heißt totle Umordnung der Reihe n. n=1 Jede totle Umordnung b j von n ist bsolut konvergent und es gilt n=1 b j = n. n=1 n= Definition: Eine Abbildung : { N N R (i, j) ij heißt Doppelfolge [Schreibweise ( ij )]. Sei ϕ : N N N eine Abzählung von N N und für n N : A n := ( ϕ)(n). Unter der durch die Abzählung ϕ gegebenen Doppelreihe i, versteht mn die Reihe A n. Die Doppelreihe heißt (bsolut) konvergent (bezüglich der n=1 Abzählung ϕ) wenn die Reihe A n bsolut konvergent ist. In diesem Fll setzt mn n=1 ij = i, 29 ij A n. n=1

30 7.19 Stz: (Der Wert einer bsolut konvergenten Doppelreihe ist unbhängig von der gewählten Abzählung.) Ist eine Doppelreihe i, ij bzgl. einer Abzählung bsolut konvergent, dnn ist sie uch bzgl. jeder Abzählung bsolut konvergent und es ist (bzgl. jeder Abzählung) ij = i, ( ij ) = i=1 ( ij ). i= Stz: Die Doppelreihe eine der beiden Reihen i, ij ist bsolut konvergent genu dnn, wenn mindestens ( ij ) oder i=1 ( ij ) konvergent ist. Ist eine der beiden Reihen konvergent, dnn ist uch die ndere konvergent und beide Reihen hben denselben Wert. i= Stz: Sind i, i, i=1 b j i b j bsolut konvergent und es gilt: bsolut konvergente Reihen, so ist uch die Doppelreihe i b j = ( i )( b j ). i, i= Folgerung: (Cuchy Produkt) Es seien i ; b j bsolut konvergente Reihen und für n N0 c n = dnn gilt: i=0 n j b n j, j=0 i=0 j=0 n=0 j=0 ( i )( b j ) = c n. Die Reihe c n heißt Cuchy-Produkt der gegebenen Reihen und ist bsolut konvergent. n=0 30

31 7.23 Beispiel: Für die in Beispiel 7.12 für x R definierte Exponentilfunktion gilt für lle x, y R exp(x) = n=0 x n n! exp(x + y) = exp(x) exp(y). Es ist exp(x) > 0 für lle x R und die Exponentilfunktion ist streng monoton wchsend. 31

32 III. Stetige und differenzierbre Funktionen 8 Einfche topologische Grundbegriffe 8.1 Definition: Für x R, ε > 0 heißt U ε (x) := (x ε, x + ε) ε-umgebung von x. heißt punktierte ε-umgebung von x. U ε (x) = U ε (x)\{x} 8.2 Definition: Es sei A R. x R heißt innerer Punkt von A genu dnn, wenn ein ε > 0 existiert mit U ε (x) A. Die Menge heißt Inneres von A. A 0 := {x R x ist innerer Punkt von A} Eine Menge A R heißt offen genu dnn, wenn gilt A A 0 (d.h. jeder Punkt von A ist uch innerer Punkt von A). Eine Menge A R heißt bgeschlossen, wenn R\A offen ist. x R heißt Häufungspunkt von A genu dnn, wenn für lle ε > 0 gilt: U ε (x) A. H(A) bezeichnet die Menge ller Häufungspunkte von A. Die Menge heißt bgeschlossene Hülle von A. Ā := A H(A) x R heißt Rndpunkt von A genu dnn, wenn für lle ε > 0 gilt: U ε (x) A und U ε (x) (R\A). Die Menge heißt Rnd von A. A := {x R x ist Rndpunkt von A} x A heißt isolierter Punkt von A, flls ein ε > 0 existiert mit U ε (x) A = {x} (bechte: x A ist entweder Häufungspunkt oder isolierter Punkt von A). 32

33 8.3 Stz: Eine Menge A R ist bgeschlossen genu dnn, wenn gilt: H(A) A. 8.4 Stz: (i) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen. (ii) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. (iii) Der Durchschnitt beliebig vieler bgeschlossener Mengen ist bgeschlossen. (iv) Die Vereinigung endlich vieler bgeschlossener Mengen ist bgeschlossen. 8.5 Stz: Es sei A R, dnn gilt: y R ist Häufungspunkt von A genu dnn, wenn es eine Folge (x n ) n N gibt mit x n A\{y} und lim n x n = y. 8.6 Folgerung: Es sei A R, dnn gilt: y R ist genu dnn Häufungspunkt von A, wenn in jeder ε-umgebung von y unendlich viele Elemente us A liegen. 8.7 Stz: (Bolzno-Weierstrß) Jede unendliche beschränkte Teilmenge von R besitzt mindestens einen Häufungspunkt. 9 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit 9.1 Definition: Es sei S R; f : S R eine Abbildung und x 0 H(S). Die Funktion f ht n der Stelle x 0 einen Grenzwert, wenn es ein L R gibt mit der Eigenschft: Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0, so dss gilt: f(x) L < ε für lle x U δ (x 0 ) S. L heißt Grenzwert der Funktion f n der Stelle x 0. Schreibweise: lim f(x) = L oder f(x) L für x x 0 oder f(x) x x 0 L. x x0 Sprechweise: der Grenzwert von f n der Stelle x 0 existiert und ist gleich L. 9.2 Übung: Der Grenzwert einer Funktion f n einer Stelle x 0 ist im Flle seiner Existenz eindeutig bestimmt. 33

34 9.3 Definition: Sei = T S, f : S R und x 0 H(S). Ist uch x 0 H(T ), dnn versteht mn unter lim f(x) x x 0 x T den Grenzwert lim f T (x) x x 0 flls dieser existiert. Für die Mengen T > = {x x > x 0 } und T < = {x x < x 0 } benutzt mn die Schreibweisen: f(x 0 ) := f(x 0 +) := lim f(x) := lim f(x) x x 0 0 x x 0 x T< lim f(x) := lim f(x) x x 0 +0 x x 0 x T> und spricht von dem links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert. 9.4 Beispiel: Sei f : R R gegeben durch { 0 für x = 0 f(x) = x für x 0, x dnn ist lim f(x) = 1, lim f(x) = 1, ber lim f(x) existiert nicht. x 0+0 x 0 0 x Stz: Es sei = S R, f : S R eine Funktion und x 0 H(S), dnn gilt: der Grenzwert von f n der Stelle x 0 existiert genu dnn, wenn für jede Folge (x n ) n N, x n S\{x 0 } mit x n x 0 die Folge (f(x n )) n N konvergent ist. 9.6 Stz (Übung): Es sei S und f : S R, g : S R Abbildungen. Für α R sind die Funktionen f + g : S R (f + g)(x) := f(x) + g(x) f g : S R definiert durch (f g)(x) := f(x) g(x) α f : S R (α f)(x) := α f(x). Für S 0 = {x R g(x) 0} definiert mn { 1 g : S0 R x 1 1 (x) :=. g g(x) Mn zeige: ist x 0 H(S), lim f(x) = L, lim g(x) = M, dnn existieren die folgenden x x0 x x0 Grenzwerte und hben die ngegebenen Werte 34

35 (i) lim x x0 (f + g)(x) = L + M. (ii) lim x x0 (f g)(x) = L M; lim (α f)(x) = α L. x x0 (iii) lim x x0 ( 1 g )(x) = 1 M flls M 0. (iv) Gilt zusätzlich f(x) g(x) für lle x S\{x 0 }, dnn ist L M. (v) Ist h : S R eine Funktion mit f(x) h(x) g(x) für lle x S\{x 0 } und ist L = M, dnn ist lim x x0 h(x) = L. Bechte: Die Aussgen (iv) und (v) bleiben gültig, flls die Ungleichungen nur in einer Umgebung U δ (x 0 ) S des Punktes x 0 gelten. 9.7 Definition: (i) Es sei S R nch oben unbeschränkt. Eine Funktion f : S R ht für x einen Grenzwert ( lim x f(x) existiert), wenn es ein L R gibt, mit der Eigenschft Zu jedem ε > 0 gibt es ein x 0 = x 0 (ε) R, so dss für lle x S mit x > x 0 gilt: f(x) L < ε. (ii) Es sei = S R nch unten unbeschränkt. Die Funktion f ht für x einen Grenzwert ( lim f(x) existiert), wenn es eine Zhl L R gibt mit der Eigenschft: x Zu jedem ε > 0 gibt es ein x 0 = x 0 (ε) R, so dss für lle x S mit x < x 0 gilt f(x) L < ε. Schreibweisen: lim f(x) = L; lim f(x) = L. x x 9.8 Bechte: (i) Die Grenzwerte in 9.7 sind eindeutig bestimmt. (ii) Ist S = {x > 0 1 S}, g : S R definiert durch g(x) = f( 1 ), dnn gilt: x x (ein entsprechendes Resultt gilt für lim f(x) = L lim g(x) = L x x 0 lim f(x)). x 35

36 (iii) Es gelten nloge Formen des Folgenkriteriums 9.5 und des Stzes 9.6. Z.B. () lim f(x) = L für jede Folge (x n ) mit x n gilt f(x n ) L. x (b) lim (f 1 + f 2 )(x) = lim f 1 (x) + lim f 2 (x) x x x [im Fll der Existenz der Grenzwerte uf der rechten Seite]. (iv) Für S = N ergibt 9.7(i) den Konvergenzbegriff für Folgen. 9.9 Definition: Es sei = S R, f : S R und x 0 H(S). Die Funktion f divergiert bestimmt gegen für x x 0, wenn für lle K R ein δ = δ(k) > 0 existiert, so dss für lle x U δ (x 0 ) S gilt: f(x) > K. [Schreibweise: lim x x0 f(x) = ]. f divergiert bestimmt gegen für x x 0, : Bechte: lim x definiert. lim f(x) =, lim x x 0 +0 f(x) =, lim x f(x) =, lim x x 0 +0 f(x) =, lim x f(x) =, lim lim x x0 ( f(x)) =. f(x) =, lim x x 0 0 x f(x) =, x x 0 0 f(x) = werden nlog Sprechen wir von einem Grenzwert einer Funktion n der Stelle x 0 oder für x, so verstehen wir drunter immer, dss dieser us R ist Beispiel: Für die in Beispiel 7.12(i) definierte Exponentilfunktion gilt: (i) lim exp(x) = 0 x lim exp(x) = x x k (ii) k N : lim x exp(x) = 0; lim exp(x) = 0 x x k (iii) lim x 0 exp(x) 1 x = Definition: Es sei = S R, x 0 S. Eine Funktion f : S R heißt stetig im Punkt x 0, wenn entweder x 0 isolierter Punkt von S ist oder x 0 Häufungspunkt von S ist und der Grenzwert von f im Punkt x 0 existiert und gleich dem Funktionswert von f im Punkt x 0 ist [ds ist der interessnte und wichtige Fll], d.h. lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 36

37 f heißt unstetig im Punkt x 0, wenn f in x 0 nicht stetig ist. Ist T S, so heißt f stetig uf T, wenn f in jedem Punkt x 0 T stetig ist. Ist T = S, so heißt f stetig Übung: f ist stetig im Punkt x 0 S genu dnn, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dss für lle x U δ (x 0 ) S gilt: f(x) f(x 0 ) < ε Stz: Es sei = S R, f : S R eine Funktion. f ist im Punkt x 0 S stetig genu dnn, wenn gilt: für jede Folge (x n ), x n S mit x n x 0 konvergiert f(x n ) gegen f(x 0 ) Stz: Sei = S R; sind die Funktionen f, g : S R stetig im Punkt x 0, dnn sind uch f + g, f g αf (α R) stetig im Punkt x 0. Ist g(x 0 ) 0, so ist uch 1 g stetig im Punkt x 0, wobei diese Funktion uf S 0 = {x g(x) 0} definiert ist Stz: Es seien S, T R, f : S R, g : T R Funktionen und f(s) T. Es sei x 0 S, f(x 0 ) = y 0. Ist f stetig im Punkt x 0 und g stetig im Punkt y 0, dnn ist g f stetig im Punkt x Beispiele: (i) Es sei f : R R definiert durch f(x) = dnn ist f in jedem Punkt unstetig. { 0 für x R\Q 1 für x Q, (ii) Die uf R durch f(x) = x und f(x) = c (c R) definierten Funktionen sind uf R stetig. (iii) Es seien 0,..., n R; n 0, dnn heißt die durch { R R p : x p(x) = x n x n definierte Funktion Polynom vom Grd n mit Koeffizienten j und ist uf R stetig. 37

38 (iv) Die durch f : R R, f(x) = 1 + 3x 2 definierte Funktion ist uf R stetig. (v) Sind P und Q Polynome, dnn heißt die Funktion { {x Q(x) 0} R R : x R(x) = P (x) Q(x) rtionle Funktion und ist uf ihrem Definitionsbereich {x R Q(x) 0} stetig. (vi) Die Exponentilfunktion ist uf R stetig. (vii) Ist S R, f : S R eine Funktion, x 0 S. Ist f stetig im Punkt x 0, dnn ist uch f im Punkt x 0 stetig Stz: Es sei S R die Funktion; f : S R sei im Punkt x 0 S stetig mit f(x 0 ) > 0. Dnn gibt es ein α > 0 und ein δ > 0, so dss f(x) α für lle x U δ (x 0 ) S gilt Definition: Es sei = S R; f : S R eine Funktion, x 0 S und x 0 H(S). Die Funktion f heißt rechtsstetig (linksstetig) im Punkt x 0, wenn der rechtsseitige (linksseitige) Grenzwert von f n der Stelle x 0 existiert und mit dem Funktionswert n der Stelle x 0 übereinstimmt. D.h. lim f(x) = f(x 0) x x 0 +0 ( lim x x 0 0 f(x) = f(x 0)). Existieren rechts- und linksseitiger Grenzwert von f n der Stelle x 0 und sind diese verschieden, dnn heißt x 0 Sprungstelle von f Beispiele: (i) Die durch f : { R R x x := sup{k Z k x} definierte Funktion ist uf R\Z stetig, in jedem Punkt z Z rechtsstetig und ht dort eine Sprungstelle. (ii) Sei f : [, b] R monoton wchsende Funktion () Ist f in x 0 unstetig x 0 ist Sprungstelle. 38

39 (b) Die Menge der Unstetigkeitsstellen von f ist höchstens bzählbr Stz: Es seien, b R, < b und die Funktion f : [, b] R uf dem Intervll [, b] stetig. Dnn gilt: (i) f ist beschränkt. (ii) f ht uf dem Intervll [, b] ein Mximum M und ein Minimum m. Genuer: M := sup f([, b]) f([, b]) m := inf f([, b]) f([, b]). (iii) Jeder Wert zwischen dem Minimum und Mximum wird von f ngenommen (Zwischenwertstz). Genuer: f([, b]) = [m, M] Folgerung: Es sei f : [, b] R stetig und f() f(b) < 0, dnn existiert ein x 0 [, b] mit f(x 0 ) = 0. x 0 heißt Nullstelle von f Stz: Es sei J ein Intervll der Form [, b], (, b)[, b), (, b], [, ), (, ), (, b], (, b), (, ) und f : J R streng monoton wchsend, W = f(j). Ist g : W J die Umkehrfunktion von f, so ist g stetig uf W Beispiele: (i) Für n N ist die Funktion f : { R + 0 R + 0 x x n stetig und streng monoton wchsend und f(r + 0 ) = R + 0 die Wurzelfunktion { f 1 R + 0 R + 0 : x n x = x 1/n (wrum?). Dmit ist uch stetig. 39

40 (ii) Die in Beispiel 7.12 definierte Exponentilfunktion ist streng monoton wchsend, stetig (vgl. 7.23, 9.16) und es gilt exp(r) = R +. Die Umkehrfunktion { R + R log : x log x := log(x) heißt Logrithmus(funktion) und ist nch 9.22 ebenflls stetig. Sie ist streng monoton wchsend und besitzt die folgenden Eigenschften: 1) log 1 = 0; log e = 1, 2) Für lle x, y R + gilt: log(x y) = log x + log y; log x = log 1 x. 3) Für lle x > 1 gilt: x 1 + x log(1 + x) x Beispiele: Es sei > 0, 1, für x R sei x := exp(x log ). Für > 0 ist die Abbildung x x bijektiv von R uf R + und die zugehörige Umkehrfunktion wird mit Logrithmus zur Bsis bezeichnet { R + R log : x log x := log (x) (i) log ist stetig uf R +. (ii) log x = log x log. (iii) x = 1 x, x+y = x y, log x = x log, ( x ) y = xy. Für α R heißt die Funktion llgemeine Potenzfunktion. { f : x R + R x α 40

41 10 Differenzierbre Funktionen 10.1 Definition: Es sei S R, x 0 S Häufungspunkt von S. Eine Funktion f : S R heißt im Punkt x 0 differenzierbr, wenn der Grenzwert f (x 0 ) := f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h 0 h x 0 +h S\{x 0 } f(x) f(x 0 ) = x x0 lim x S\{x 0 x x } 0 existiert. Im Fll der Existenz heißt dieser Grenzwert Ableitung von f im Punkt x 0. x0 (h) := f(x 0 + h) f(x 0 ) h heißt Differenzenquotient von f im Punkt x 0. Ist T S und T H(T ), so heißt f uf T differenzierbr, flls f in jedem Punkt x 0 T differenzierbr ist Beispiele: (i) Die konstnte Funktion f : R R, x f(x) = c (c R gegeben) ist uf R differenzierbr und es gilt f (x) = 0 für lle x R. (ii) Für k N ist die Potenzfunktion f : R R, x x k uf R differenzierbr und es gilt f (x) = kx k 1 für lle x R. (iii) Die Exponentilfunktion f : R R +, x exp(x) ist uf R differenzierbr und es gilt f (x) = exp(x) für lle x R. (iv) Die Logrithmusfunktion f : R + R, x log x ist uf R + differenzierbr und es gilt f (x) = 1 x für lle x R Definition: Es sei S R, x 0 H(S) und ϕ, ψ : S\{x 0 } R Funktionen. Mn sgt (Lndusches o-symbol). ϕ(x) = o(ψ(x)) für x x 0 : lim x x0 ϕ(x) ψ(x) = Stz: (äquivlente Definition der Differenzierbrkeit) Es sei S R, x 0 S Häufungspunkt von S. Die Funktion f : S R ist im Punkt x 0 differenzierbr, genu dnn wenn es ein L R gibt, so dss ( ) f(x 0 + h) f(x 0 ) = L h + o(h) für h 0. Im Fll der Differenzierbrkeit ist f (x 0 ) = L. 41

42 10.5 Stz: Es sei S R, x 0 S Häufungspunkt von S. Ist f : S R im Punkt x 0 differenzierbr, dnn ist f uch stetig im Punkt x Stz: Es sei S R, x 0 S Häufungspunkt von S und die Funktionen f, g : S R im Punkt x 0 differenzierbr. Dnn ist uch jede der folgenden Funktionen im Punkt x 0 differenzierbr: (i) Für α R : α f mit Ableitung (α f) (x 0 ) = αf (x 0 ). (ii) f + g mit Ableitung (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). (iii) f g mit Ableitung (f g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ) (Produktregel). (iv) Für g(x 0 ) 0 : ( f g f g mit Ableitung ) (x0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g 2 (x 0 ) (Quotientenregel) Beispiele: (i) Jedes Polynom f(x) = n j x j ist uf R differenzierbr und es gilt j=0 f (x) = n j j x j 1. (ii) Jede rtionle Funktion ist uf ihrem Definitionsbereich differenzierbr. (iii) Die Funktion f(x) = e x log x ist uf R + differenzierbr mit Ableitung f (x) = e x ( 1 log x). x 10.8 Stz: (Kettenregel) Seien S, T R, f : T R; g : S R Funktionen mit g(s) T. Ist x 0 S Häufungspunkt von S, y 0 = g(x 0 ) Häufungspunkt von T, f in y 0 und g in x 0 differenzierbr, dnn ist uch f g im Punkt x 0 differenzierbr und es gilt (f g) (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ). 42

43 10.9 Beispiele: (i) Für > 0 ist die Funktion h : { R R + x x uf R differenzierbr mit Ableitung h (x) = x log. (ii) Für α R\{0} ist die Funktion h : { R + R + x x α uf R + differenzierbr mit Ableitung h (x) = αx α 1. (iii) Die Funktion h : { R + R + x x x ist uf R + differenzierbr mit Ableitung h (x) = x x (1 + log x) Stz: (Ableitung der Umkehrfunktion) Für S, T R sei f : S T eine bijektive Abbildung. Ist x 0 S Häufungspunkt von S, f in x 0 differenzierbr mit f (x 0 ) 0 und die Umkehrbbildung f 1 : T S im Punkt y 0 = f(x 0 ) stetig, dnn ist f 1 im Punkt y 0 uch differenzierbr und es gilt: (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ) = 1 f (f 1 (y 0 )) Bemerkung: Sei S R, x 0 S Häufungspunkt von S. Eine Funktion f heißt im Punkt x 0 rechtsseitig (bzw. linksseitig) differenzierbr, wenn f +(x 0 ) := f(x) f(x 0 ) ( lim bzw. f f(x) f(x 0 ) ) x x 0 +0 x x (x 0 ) := lim 0 x x 0 0 x x 0 existiert. Ist f im Punkt x 0 differenzierbr, dnn existieren uch f +(x 0 ) und f (x 0 ) und sind gleich. 43

44 10.12 Definition: Es sei S. Die Funktion f ht im Punkt x 0 S ein bsolutes (oder globles) Mximum (bzw. Minimum), wenn für lle x S gilt: f(x) f(x 0 ) (bzw. f(x) f(x 0 )). f ht in dem inneren Punkt x 0 S 0 ein reltives (lokles) Mximum (bzw. Minimum), wenn es ein δ > 0 gibt, so dss für lle x S U δ (x 0 ) gilt: f(x) f(x 0 ) (bzw. f(x) f(x 0 )). Spricht mn von einem bsoluten/reltiven Extremum, so meint mn entweder ein bsolutes/reltives Minimum oder Mximum Stz: Es sei S R; f : S R im Punkt x 0 S 0 differenzierbr. Ht die Funktion f im Punkt x 0 ein reltives Extremum, dnn gilt f (x 0 ) = Stz: (Rolle) Die Funktion f : [, b] R sei uf dem bgeschlossenen Intervll [, b] stetig und differenzierbr uf dem offenen Intervll (, b) mit f() = f(b) = 0, dnn existiert ein x 0 (, b) mit f (x 0 ) = Stz: (Mittelwertstz der Differentilrechnung) Die Funktion f : [, b] R sei uf dem bgeschlossenen Intervll [, b] stetig und uf dem offenen Intervll (, b) differenzierbr, dnn existiert ein x (, b) mit f(b) f() b = f ( x) bzw. f(b) = f() + (b )f ( x) Stz: Es sei f : [, b] R stetig uf dem bgeschlossenen Intervll [, b] und differenzierbr uf dem offenen Intervll (, b) mit f (x) = 0 für lle x (, b), dnn ist f konstnt Stz: Es sei I ein Intervll (wie in 9.22 spezifiziert) und die Funktion f : I R differenzierbr uf I. Ist für lle x I : f (x) > 0 (bzw. f (x) < 0), dnn ist f streng monoton wchsend (bzw. streng monoton fllend) uf dem Intervll I. f (x) 0 (bzw. f (x) 0), dnn ist f monoton wchsend (bzw. monoton fllend) uf I. 44

45 10.18 Stz: Es sei I ein Intervll (wie in 9.22 spezifiziert), die Funktion f : I R sei differenzierbr uf I und x 0 I 0 mit f (x 0 ) = 0. f ht im Punkt x 0 ein ein reltives Minimum, wenn ds Vorzeichen von f bei wchsendem x n der Stelle x 0 von nch + wechselt. ein reltives Mximum, wenn ds Vorzeichen von f bei wchsendem x n der Stelle x 0 von + nch wechselt Beispiele: (einige wichtige Ungleichungen) (i) Es seien, b > 0, 1 < p <, 1 < q < und 1 p + 1 q = 1, dnn gilt: b p p + bq q. (ii) Es seien 1,..., n, b 1,..., b n R, 1 < p <, 1 < q <, p q Höldersche Ungleichung = 1, dnn gilt die (H) n ( n ) 1 ( n ) 1 j b j j p p b j q q Für p = q = 2 erhält mn die Cuchy-Schwrz Ungleichung: n (C) j b j ( n )( n ). 2 j b 2 j Definition: (höhere Ableitungen) Es sei S R, S H(S) und f : S R differenzierbr uf S. f heißt im Punkt x 0 S zweiml differenzierbr, wenn f im Punkt x 0 differenzierbr ist. In diesem Fll heißt f (x 0 ) = (f ) (x 0 ) die zweite Ableitung von f in x 0. Mn setzt f (1) = f und definiert induktiv für n 1 f (n+1) (x 0 ) = (f (n) ) (x 0 ), flls f (n) uf S existiert und differenzierbr im Punkt x 0 ist. f heißt n-ml differenzierbr uf S, wenn f (n) uf S existiert. Folgende Bezeichnungen sind üblich: C(S) := {f : S R f ist stetig uf S} heißt Menge der uf S stetigen Funktionen, 45

46 C k (S) := {f : S R f k-ml differenzierbr, f (k) C(S)} heißt Menge der uf S k-ml stetig differenzierbren Funktionen, C (S) := {f : S R f C k (S) k N} heißt Menge der unendlich oft differenzierbren Funktionen Übung: Die Funktion R R { f : e 1/x für x > 0 x f(x) := 0 für x 0 ist unendlich oft differenzierbr, d.h. f C (R) Stz: (Stz von Tylor) Es seien, b R, < b und n N0. Die Funktion f : [, b] R sei n-ml differenzierbr uf dem Intervll [, b] und f (n) sei uf [, b] stetig (d.h. f C n ([, b])). Die (n + 1)-te Ableitung von f existiere uf dem offenen Intervll (, b). Für x 0 [, b] heißt ds Polynom T n (x, x 0, f) := f(x 0 ) + f (1) (x 0 ) 1! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! Tylorpolynom vom Grd n von f um den Punkt x 0. Für ds Restglied (in der Approximtion von f(x) durch T n (x, x 0, f)) gilt: Es gibt ein ϑ (0, 1) mit R n (x, x 0, f) = f(x) T n (x, x 0, f) R n (x, x 0, f) = (x x 0) n+1 f (n+1) (x 0 + ϑ(x x 0 )) (n + 1)! (Lgrnge-Restglied) und es gibt ein ϑ (0, 1) mit (Cuchy-Restglied). R n (x, x 0, f) = (x x 0) n+1 (1 n! ϑ) n f (n+1) (x 0 + ϑ(x x 0 )) Beispiele: (i) Für x > 1 gilt: Es gibt ein ϑ (0, 1) mit log(1 + x) = x x2 2 + x3 xn... + ( 1)n 1 3 n + ( 1)n x n+1 n + 1 (1 + xϑ) n+1 46

47 (ii) Für x ( 1, 1] gilt: (d.h. die Reihe konvergiert) (iii) Es sei α R, dnn gilt für x > 1 ( ) ( α α (1 + x) α = 1 + x log(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x ) x ( ) ( ) α α x n + x n+1 (1 + ϑx) α n 1 n n + 1 (iv) Es sei α R, dnn gilt für x ( 1, 1) (1 + x) α = k=0 ( ) α x k. k Stz: (hinreichende Bedingung für Extrem) Die Funktion f : I R sei uf dem Intervll I (wie in 9.22 spezifiziert) n-ml differenzierbr (n 2). Für x 0 I 0 sei Dnn gilt: f (x 0 ) = f (2) (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0; f (n) (x 0 ) 0. (i) Ist n ungerde, dnn ht f im Punkt x 0 kein reltives Extremum. (ii) Ist n gerde, dnn ht f im Punkt x 0 ein reltives Extremum und zwr ein reltives Mximum, flls f (n) (x 0 ) < 0 reltives Minimum, flls f (n) (x 0 ) > Stz: (Regel von de l Hospitl) Es sei < b ; f, g : (, b) R differenzierbre Funktionen, so dss g (x) 0 uf (, b) gilt. Ferner treffe eine der folgenden Annhmen zu (1) lim x f(x) = 0 und lim x g(x) = 0 (2) lim x g(x) = oder lim x g(x) =. Dnn ist f(x) lim x g(x) = lim f (x) x g (x), flls der rechtsstehende Grenzwert existiert (im Sinn von Definition 9.1 oder 9.9). Ein entsprechender Stz gilt für x b. 47

48 10.26 Beispiele: x 2 1 (i) lim x 1 log x = lim 2x x 1 1 x (ii) lim x 0 e x2 1 log(1 + x 2 ) = lim x 0 = 2 2xe x2 2x = lim 1+x 2 x 0 e x2 (1 + x 2 ) = Definition: Es sei I ein Intervll (wie in 9.22 spezifiziert). Eine Funktion f : I R heißt konvex uf I, wenn für jedes Intervll [, b] I ( < b) gilt ( ) für lle t [0, 1] ist f(t + (1 t)b) tf() + (1 t)f(b). Gilt ( ) mit < für t (0, 1) so heißt f strikt konvex uf I. f heißt konkv (bzw. strikt konkv), wenn f konvex (bzw. strikt konvex) ist Übung: Es sei f konvex uf I, dnn gilt: n (1) Für lle x 1,..., x n I, λ 1,..., λ n > 0, λ j = 1 gilt ( n ) n f λ j x j λ j f(x j ). (2) f ist stetig uf I 0. (3) Ist x 0 I 0, so existiert ein m R, so dss für lle x I gilt f(x) m(x x 0 ) + f(x 0 ) Stz: Eine differenzierbre Funktion f : I R ist uf dem Intervll I (strikt) konvex, wenn ihre Ableitung (streng) uf I 0 monoton wchsend ist. Eine uf I zweiml differenzierbre Funktion ist (strikt) konvex, flls für lle x I 0 gilt f (x) 0 (f (x) > 0) Beispiel: (i) Die Funktion f : R + R; f(x) = log x ist strikt konvex uf R +. (ii) Es seien x 1,..., x n R +, µ 1,..., µ n R +, n x µ j j n µ j = 1, dnn gilt n µ j x j. 48

49 IV. Funktionenfolgen und Funktionenreihen 11 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz 11.1 Definition: Es sei S, (f n ) n N, f n : S R eine Folge von Funktionen. (i) Die Folge (f n ) n N heißt uf S punktweise konvergent, wenn es eine Funktion f : S R gibt, so dss für lle x S gilt lim f n(x) = f(x). n Sprechweise: (f n ) n N konvergiert punktweise gegen f. (ii) Die Folge (f n ) n N heißt gleichmäßig konvergent uf S, wenn es eine Funktion f : S R gibt, so dss gilt: Zu jedem ε > 0 existiert ein n 0 N, so dss für lle n n 0 und für lle x S gilt: (iii) Die Reihe f n n=1 f n (x) f(x) < ε. heißt uf S punktweise (bzw. gleichmäßig konvergent, wenn die Folge ihrer Prtilsummen ( n f j ) n N punktweise (bzw. gleichmäßig) konvergiert Beispiele: (i) Es seien f n, f : [0, 1] R gegeben durch f n (x) = x2 + n 2 x 4 + nx 1 + n 2 x 2 ; f(x) = x 2 (f n ) n N konvergiert uf [0, 1] punktweise, ber nicht gleichmäßig. (ii) Es seien f n : R R gegeben durch f n (x) = nxe nx2. Die Folge (f n ) n N konvergiert punktweise ber nicht gleichmäßig uf R gegen f 0. Bechte: für jedes δ > 0 konvergiert (f n ) n N gleichmäßig uf [δ, ) Stz: (Cuchy-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz) Es sei S, (f n ) n N, f n : S R Folge von Funktionen. Die Folge (f n ) n N konvergiert uf S gleichmäßig genu dnn, wenn gilt: Zu jedem ε > 0 gibt es ein n 0 N, so dss f n+p (x) f n (x) < ε für lle n n 0, für lle p N und für lle x S ist. 49

50 11.4 Stz: (Weierstrßkriterium für gleichmäßige Konvergenz von Reihen) Es sei S, (f n ) n N, f n : S R Folge von Funktionen. Ist f n (x) γ n für lle x S und ist γ n konvergent, dnn ist f n bsolut und gleichmäßig konvergent uf S. n=1 n= Stz: Es sei = S; f n, f : S R Funktionen und die Folge (f n ) n N konvergiere gleichmäßig gegen f. Ist x 0 H(S) und existiert lim x x0 f n (x) für jedes n N, dnn gilt lim f(x) = lim ( lim f n (x)) = lim ( lim f n (x)). x x 0 x x0 n n x x0 (Insbesondere existieren diese Grenzwerte!) 11.6 Stz: Es sei S und für n N seien die Funktionen f n : S R stetig im Punkt x 0 S (i) Konvergiert (f n ) n N uf S gleichmäßig gegen f, dnn ist uch f in x 0 stetig. (ii) Konvergiert f n gleichmäßig uf S gegen ϕ, dnn ist uch ϕ stetig in x 0. n= Stz: Es sei I endliches Intervll, d.h. von der Form (, b), [, b), (, b] oder [, b]; für lle n N sei f n : I R uf I differenzierbr und es sei (f n (x 0 )) n N konvergent. Ist die Folge (f n) n N uf I gleichmäßig konvergent, dnn ist uch (f n ) n N uf I gleichmäßig konvergent und die Grenzfunktion f := lim n f n uf I differenzierbr mit f = ( lim n f n ) = lim n f n Beispiel: I = [0, ), f n : I R sei gegeben durch f n (x) = 1 n e x2 n 2. Dnn gilt: f n konvergiert gleichmäßig uf I gegen 0. f n ist nicht punktweise konvergent Stz: (Kriterium von Abel für gleichmäßige Konvergenz) Es sei S und für n N, n, b n : S R Funktionen, für die die folgenden Aussgen erfüllt sein mögen. (i) n ist uf S gleichmäßig konvergent. n=1 (ii) Für jedes x S ist (b n (x)) n N eine monotone Folge. (iii) Es existiere ein K > 0 mit b n (x) K für lle n N und für lle x S. Dnn ist uch die Reihe n b n gleichmäßig konvergent uf S. n=1 50

51 12 Potenzreihen In diesem Abschnitt möchten wir spezielle Funktionenfolgen (f n ) n N der Form f n (x) = n j (x x 0 ) j j=0 betrchten! 12.1 Definition und Stz: Es sei x 0 R und für j N0 sei j R. Eine Reihe der Form j (x x 0 ) j j=0 heißt Potenzreihe mit Koeffizienten j. Die Zhl R = 1 n lim sup n n heißt Konvergenzrdius der Potenzreihe (dbei wird 1 = und 1 0 gilt = 0 gesetzt) und es (i) Ist R = 0, so konvergiert die Potenzreihe nur für x = x 0. (ii) Ist 0 < R < so konvergiert die Potenzreihe für lle x mit x x 0 < R bsolut und divergiert für lle x mit x x 0 > R. Ds Intervll (x 0 R, x 0 + R) heißt Konvergenzintervll der Potenzreihe. (iii) Ist R =, so ist die Potenzreihe für lle x R konvergent. (iv) Ist [, b] (x 0 R, x 0 +R), dnn konvergiert die Potenzreihe uf dem Intervll [, b] gleichmäßig Beispiele: (i) Die Potenzreihe x n ht den Konvergenzrdius R = 1; die Reihe konvergiert für n=0 x ( 1, 1) bsolut und divergiert für x 1. 51

52 (ii) Die Potenzreihe n=1 ( 1) n 1 n x n (vgl. Beispiel 10.23) ht den Konvergenzrdius R = 1; die Reihe konvergiert für x ( 1, 1], für x ( 1, 1) bsolut und divergiert für x (, 1] (1, ). Bechte: es gilt für x ( 1, 1]. (iii) Die Potenzreihe n=1 log(1 + x) = ( 1) n 1 n=1 n 2 n x n ht den Konvergenzrdius R = 1 ; die Reihe konvergiert n 2 2 für x [ 1 2, 1 2 ] bsolut und divergiert für x > 1 2. (iv) Die Potenzreihe n=0 für lle x R bsolut. (v) Die Potenzreihe n=2 x n n! = e x ht den Konvergenzrdius R = ; die Reihe konvergiert x n n log n x n ht den Konvergenzrdius R = 1; die Reihe konvergiert für x [ 1, 1), für x ( 1, 1) bsolut und divergiert für x (, 1) [1, ) Stz: Die Potenzreihe n x n sei im Punkt x = r > 0 konvergent, dnn konvergiert n=0 die Reihe uf dem Intervll [0, r] gleichmäßig (ein entsprechender Stz gilt für den Fll, dss die Reihe in x = r konvergiert). Bechte: Für r = R liefert Stz 12.1 (iv) nichts, wohl ber dieser Stz Stz: Die Potenzreihe n x n hbe den Konvergenzrdius R, 0 < R, dnn n=0 ht die durch die Potenzreihe definierte Funktion ( R, R) R f : x f(x) := n x n die folgenden Eigenschften: n=0 (i) f ist differenzierbr uf dem Intervll ( R, R) und es gilt f (x) = n n x n 1. n=1 Die durch gliedweise Differentition entstndene Potenzreihe (mit Koeffizienten n n, n N) ht wieder den Konvergenzrdius R. 52

53 (ii) f ist uf dem Intervll ( R, R) beliebig oft differenzierbr und mn erhält die höheren Ableitungen jeweils durch gliedweises Differenzieren. (iii) Für lle k N0 ist f (k) (0) = k! k. (iv) (Abelscher Grenzwertstz) Ist die Potenzreihe noch für x = R (bzw. konvergent und erweitert mn die Definition von f durch f(r) = n R n (bzw. f( R) = n ( R) n ) n=0 n=0 x = R) dnn ist f im Punkt x = R (bzw. x = R) linksseitig (bzw. rechtsseitig) stetig Stz: (Identitätsstz) Es seien f(x) = n x n, g(x) = n=0 n=0 b n x n Potenzreihen mit Konvergenzrdien R, R b. Flls ein δ existiert mit 0 < δ < min{r, R b }, so dss für x < δ gilt f(x) = n x n = b n x n = g(x), dnn gilt für lle n N0 : n = b n. n=0 n= Bemerkung: Sei I ein Intervll. Die Funktion f : I R heißt um den Punkt x 0 I 0 in eine Potenzreihe entwickelbr, wenn es eine Potenzreihe n (x x 0 ) n mit positivem Konvergenzrdius R gibt, so dss für lle x (x 0 R, x 0 + R) I gilt f(x) = n (x x 0 ) n. n=0 Nch Stz 12.5 existiert höchstens eine solche Entwicklung um x 0, f muss notwendigerweise unendlich oft differenzierbr sein und für die Koeffizienten muss gelten: n = f (n) (x 0 ). n! n= Stz: Es sei I ein Intervll, f : I R, f C (I), x 0 I 0. Die Reihe f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! n=0 heißt die Tylorreihe von f um den Punkt x 0. Es gilt f (n) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) n n! n=0 53

54 genu dnn, wenn für ds Restglied in der Tylorformel gilt lim R n(x, x 0, f) = 0. n n= Rechenregeln: Sind f(x) = n x n, g(x) = b n x n Potenzreihen mit den Konvergenzrdien R, R b > 0, dnn sind für x < min{r, R b } und α R die folgenden Funktionen in eine Potenzreihe entwickelbr (i) (f + g)(x) = f(x) + g(x) = ( n + b n )x n n=0 (ii) (α f)(x) = αf(x) = α n x n n=0 n (iii) (f g)(x) = f(x) g(x) = ( j b n j )x n. n=0 j=0 n= Beispiel: (Die Komposition von in Potenzreihen entwickelbren Funktionen) Die Reihen n x n, b n x n hben die Konvergenzrdien R > 0 bzw. R b > 0. n=0 n=0 Für die durch diese Reihen definierten Funktionen ( R, R ) R f : x f(x) = n x n n=0 ( R b, R b ) R g : x g(x) = b n x n gelte b 0 = g(0) < R, dnn lässt sich die Funktion f g in eine Potenzreihe c n x n entwickeln, die mindestens für lle diejenigen x ( R b, R b ) konvergiert, für die b j x j < R j=0 gilt. Mn erhält die Koeffizienten c n, indem mn die Reihe für g in die Reihe für f einsetzt, usmultipliziert und nch Potenzen von x ordnet. n=0 n=0 54

55 12.10 Beispiel: Ist in Beispiel 12.9 b 0 0, dnn ist die Funktion 1/g um x 0 = 0 in eine Potenzreihe entwickelbr. Dzu wendet mn 12.9 mit f(x) = (1+x) 1 und g(x) = n und erhält 1 g(x) = 1 b 0 f( g(x)). Wegen 12.8 ist dnn uch f/g in eine Potenzreihe entwickelbr und mn erhält f(x) g(x) = n=0 nx n n=0 b nx = d n n x n für x < δ und δ hinreichend klein. Die Koeffizienten d n bestimmt mn us der Gleichung n x n = n=0 b n x n n=0 d n x n = n=0 Wegen des Identitätsstzes 12.5 gilt nämlich n=0 n ( b j d n j )x n. n=0 j=0 b j b 0 x j n = n b j d n j n = 0, 1, 2,... j=0 und die Koeffizienten d n können nun rekursiv berechnet werden Beispiel: (Hyperbelfunktionen) (i) Wir definieren für x R die Funktionen cosh x := 1 2 (ex + e x ) (Cosinus hyperbolicus) sinh x := 1 2 (ex e x ) tnh x := sinh x cosh x coth x := cosh x (x 0) sinh x (ii) Für lle x R konvergieren die Reihen (Sinus hyperbolicus) (Tngens hyperbolicus) (Cotngens hyperbolicus) cosh x = sinh x = j=0 j=0 x 2j (2j)! x 2j+1 (2j + 1)! 55

56 (iii) (sinh x) (cosh x) (iv) (cosh x) 2 (sinh x) 2 = 1 für lle x R. = cosh x = sinh x (tnh x) = 1 (tnh x) 2 (coth x) = 1 (coth x) 2 (v) tnh x ist um x 0 = 0 in eine Potenzreihe entwickelbr und es gilt: tnh x = x 1 3 x x x Beispiel: (die trigonometrischen Funktionen) Wir definieren für jedes x R die Funktionen ( 1) j cos x := (2j)! x2j = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! +... (Cosinus) sin x := j=0 j=0 ( 1) j (2j + 1)! x2j+1 = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... (Sinus) (mn bechte, dss beide Reihen für jedes x R konvergieren.) (i) cos ist eine gerde Funktion, d.h. cos( x) = cos x. sin ist eine ungerde Funktion, d.h. sin( x) = sin x. Beide Funktionen sind für jedes x R differenzierbr und es gilt: (cos x) (ii) Für jedes x R gilt: sin 2 x + cos 2 x = 1. = sin x (sin x) = cos x. (iii) Für lle x, y R gelten die Additionstheoreme cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x (iv) Die Funktion cos besitzt eine kleinste positive Nullstelle, die mit π 2 D.h. es gilt cos π 2 = 0 und cos x > 0 in [0, π 2 ) bezeichnet wird. (bechte cos 0 = 1). Es gilt ußerdem sin π 2 = 1. 56

57 (v) cos(x + π ) = sin x; cos(x + π) = cos x; cos(x + 2π) = cos x 2 sin(x + π ) = cos x; sin(x + π) = sin x; sin(x + 2π) = sin x Beispiel: (Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen). (i) Die Funktion x sin x ist uf dem Intervll [ π, π ] streng monoton wchsend und 2 2 bildet dieses Intervll uf [ 1, 1] b. Die zugehörige Umkehrfunktion wird mit rcsin (Arcussinus) bezeichnet und ist ebenflls streng monoton wchsend uf [ 1, 1] und uf dem Intervll ( 1, 1) differenzierbr. Es gilt (rcsin x) = 1 1 x 2 für x ( 1, 1), und rcsin x = ( ) 1/2 ( 1) j j 2j + 1 x2j+1 für x [ 1, 1]. j=0 (ii) Die Funktion x cos x ist uf dem Intervll [0, π] streng monoton fllend und bildet dieses Intervll bijektiv uf [ 1, 1] b. Die zugehörige Umkehrfunktion wird mit rccos (Arcuscosinus) bezeichnet und ist ebenflls streng monoton fllend uf [ 1, 1] und uf dem Intervll ( 1, 1) differenzierbr. Es gilt (rccos x) 1 = 1 x 2 für x ( 1, 1), und rccos x = π 2 ( ) 1/2 ( 1) j j 2j + 1 x2j+1 für x [ 1, 1] j=0 (iii) Für lle x [ 1, 1] gilt: rcsin x + rccos x = π Übung: Die Funktionen Tngens und Cotngens werden definiert durch R\{(2k + 1) π k Z} R 2 tn : x tn x := sin x cos x { R\{kπ k Z} R cot : x cot x := cos x, sin x dnn gilt (wenn immer die entsprechenden Ausdrücke definiert sind) 57

58 (i) (Periodizität) tn(x + π) = tn x cot(x + π) = cot x (ii) (tn x) = 1 + tn 2 x = 1 cos 2 x (cot x) = (1 + cot 2 x) = 1 sin 2 x (iii) tn(x + y) = cot(x + y) = tn x + tn y 1 tn x tn y cot x cot y 1 cot x + cot y (iv) Die Funktion tn ist uf dem Intervll ( π, π ) streng monoton wchsend und bildet 2 2 dieses Intervll bijektiv uf R b. Die zugehörige Umkehrfunktion wird mit rctn (Arcustngens) bezeichnet, ist streng monoton wchsend und differenzierbr. Es gilt : (rctn x) = rctn x = x, 2 ( 1) j 2j + 1 x2j+1 für x 1 j=0 π 4 = (v) Die Funktion cot ist uf dem Intervll (0, π) streng monoton fllend und bildet dieses Intervll bijektiv uf R b. Die zugehörige Umkehrfunktion wird mit rccot (Arcuscotngens) bezeichnet, ist streng monoton fllend und differenzierbr. Es gilt für x < 1 : (rccot x) = x 2, rccot x = π 2 j=0 ( 1) j 2j + 1 x2j+1 für x 1. 58

59 V. Integrlrechnung 13. Ds Riemnn-Integrl 13.1 Definition: Es sei I = [, b] bgeschlossenes Intervll. Die Menge B([, b]) := {f f : [, b] R, f beschränkt} heißt Menge der beschränkten Funktionen (uf dem Intervll [, b]). Ein (n + 1)-Tupel Z n = (x 0,..., x n ) heißt Zerlegung des Intervlls [, b], wenn gilt = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b (dbei ist n N beliebig). Die Punkte x 0,..., x n heißen Teilpunkte von Z. Die Menge ller Zerlegungen des Intervlls [, b] wird mit ζ = ζ([, b]) bezeichnet. Für Z ζ heißt Z := mx{x j x j 1 j = 1,..., n} Feinheitsmß der Zerlegung Z und I j = [x j 1, x j ] ds j-te Teilintervll von Z ζ. Eine Zerlegung Z ζ heißt äquidistnt, wenn gilt. x 1 x 0 = x 2 x 1 =... = x n x n 1 = b n Für Zerlegungen Z, Z ζ heißt Z Verfeinerung von Z, wenn jeder Teilpunkt von Z uch Teilpunkt von Z ist (Schreibweise Z Z ). Für Z, Z ζ ist Z + Z diejenige Zerlegung des Intervlls [, b], die genu die Teilpunkte von Z und Z enthält. Z + Z heißt Überlgerung von Z und Z Definition: Für f B([, b]) und Z = (x 0,..., x n ) ζ heißt S(Z) = n (x j x j 1 ) inf f(i j ) Untersumme von f (bzgl. der Zerlegung Z) und S(Z) = n (x j x j 1 ) sup f(i j ) Obersumme von f (bzgl. der Zerlegung Z). Mnchml wird uch die Bezeichnung S(Z, f) bzw. S(Z, f) benutzt, um die Abhängigkeit von der Funktion f zu verdeutlichen. 59

60 13.3 Einfche Eigenschften: (i) S(Z, f) S(Z, f) S(Z, f) = S(Z, f) (ii) Es sei f B([, b]), f(x) K für lle x [, b] und Z, Z ζ mit Z Z. Besitzt die Zerlegung Z p Teilpunkte mehr ls die Zerlegung Z, dnn gilt: S(Z) S(Z ) S(Z) + 2pK Z S(Z) S(Z ) S(Z) 2pK Z (iii) Für f B([, b]), Z, Z ζ gilt stets S(Z, f) S(Z, f) (d.h. die Menge der Untersummen ist nch oben und die Menge der Obersummen nch unten beschränkt.) 13.4 Definition: Für f B([, b]) heißt A(f) = b unteres Riemnn-Integrl und Ā(f) := ā b f(x)dx := sup{s(z, f) Z ζ([, b])} f(x)dx := inf{ S(Z, f) Z ζ([, b])} oberes Riemnn-Integrl. Die Funktion f heißt Riemnn-integrierbr uf dem Intervll [,b], wenn A(f) = Ā(f) gilt. In diesem Fll heißt A(f) = b f(x)dx := A(f) = Ā(f) Riemnn-Integrl von f uf dem Intervll [, b]. Die Menge [, b] heißt Integrtionsintervll und (bzw. b) untere (bzw. obere) Integrtionsgrenze. R([, b]) bezeichnet die Menge ller beschränkten Funktionen, die uf dem Intervll [, b] Riemnn-integrierbr sind Bemerkung: Für f B([, b]) gilt: (i) A(f) = Ā( f) (ii) A(f) Ā(f). 60

61 13.6 Stz: (Riemnnsches Integrbilitätskriterium) Es sei f B([, b]), dnn ist f Riemnn-integrierbr uf dem Intervll [, b] genu dnn, wenn gilt: Zu jedem ε > 0 existiert eine Zerlegung Z ζ([, b]) mit S(Z, f) S(Z, f) < ε Beispiele: (i) Die Funktion f : { R R x f(x) = c (c R gegeben) ist uf jedem Intervll [, b] integrierbr und es gilt: b f(x)dx = c (b ). (ii) Die Funktion f : { R R x f(x) = x ist uf jedem Intervll [, b] integrierbr und es gilt: b xdx = 1 2 (b2 2 ). (iii) Ist f : [, b] R monoton, dnn ist f uch uf dem Intervll [, b] Riemnnintegrierbr Stz: Es sei f B([, b]) und (Z n ) n N, Z n ζ([, b]) eine Folge von Zerlegungen mit lim n Z n = 0, dnn gilt: lim S(Z n, f) = A(f); n lim S(Zn, f) = Ā(f). n 13.9 Definition: Es sei f B([, b]) und Z = (x 0,..., x n ) ζ eine Zerlegung des Intervlls [, b]. Für j = 1,..., n sei ξ j [x j 1, x j ] ein Zwischenpunkt und ξ = (ξ 1,..., ξ n ) ein zu Z pssender Vektor von Zwischenpunkten. Die Summe σ(z, ξ) := n f(ξ j )(x j x j 1 ) 61

62 heißt Riemnn-Summe (oder Zwischensumme) von f bzgl. (Z, ξ). Stz 13.10: Eine Funktion f B([, b]) ist uf dem Intervll [, b] Riemnn-integrierbr, genu dnn, wenn es ein α R gibt, so dss gilt: Für lle ε > 0 existiert ein δ > 0 mit σ(z, ξ) α < ε für jede Zerlegung Z und für jeden zu Z pssenden Vektor von Zwischenpunkten ξ mit Feinheitsmß Z < δ Folgerung: Es sei f B([, b]), dnn gilt: f ist Riemnn-integrierbr uf dem Intervll [, b] genu dnn, wenn für jede Folge (Z n, ξ (n) ) n N von Zerlegungen Z n ζ und Zwischenpunkten ξ (n) (pssend zu Z n ) mit lim Z n = 0 die Folge (σ(z n, ξ (n) )) n N n konvergent ist. In diesem Fll liefern lle Folgen denselben Grenzwert, d.h. lim σ(z n, ξ (n) ) = A(f) = n b f(x)dx Stz: (1. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Die Funktion f : [, b] R sei differenzierbr uf dem Intervll [, b] und f sei Riemnn-integrierbr uf dem Intervll [, b], dnn gilt: b f (x)dx = f(b) f() Vereinbrungen: (1) Schreibweise: b f (x)dx = f(x) b = f(b) f() (2) Die Funktion f : I R (I Intervll) ht uf I eine Stmmfunktion F, wenn es eine differenzierbre Funktion F : I R gibt mit F = f. Der Stz lutet in diesem Fll für f R([, b]) : b f(x)dx = F (b) F (). 62

63 13.14 Beispiele: (i) 1/2 0 dx 1 x 2 = π 6. (ii) Für < b, α R\{ 1} gilt: b x α dx = bα+1 α+1 α + 1 (iii) Für 0 < < b gilt: (iv) Für π 2 < b π 2 gilt b dx x = log b log b sin xdx = cos cos b (v) Für 0 < < b gilt: b log xdx = b + b log b log Stz: Es sei f B([, b]) und < c < b, dnn gilt: f R([, b]) f R([, c]) f R([c, b]). In diesem Fll ist dnn: b f(x)dx = c f(x)dx + b c Wir vereinbren ußerdem die folgenden Bezeichnungen b f(x)dx := f(x)dx := 0; b f(x)dx. f(x)dx (flls < b) f(x)dx := 0; ā f(x)dx := Stz: Es seien f, g R([, b]); α, β R, dnn gilt: (i) α f + β g R([, b]) und b [αf(x) + βg(x)]dx = α b f(x)dx + β b g(x)dx. 63

64 (ii) Ist g(x) f(x) für lle x [, b], dnn ist b f(x)dx b g(x)dx Definition und Stz: Es sei γ (0, 1] und I ein Intervll. Eine Funktion H : I R heißt Hölder-stetig der Ordnung γ, wenn es eine Konstnte L > 0 gibt, so dss für lle x, y I gilt: H(x) H(y) L x y γ. Für γ = 1 heißt H uch Lipschitz stetig. Ist I ein Intervll, H : I R Lipschitz-stetig und f R([, b]) mit f([, b]) I, so ist H f Riemnn-integrierbr uf dem Intervll [, b] Beispiele: Es seien f, g Riemnn-integrierbr uf dem Intervll [, b], dnn gilt: (i) f g ist uf dem Intervll [, b] Riemnn-integrierbr. (ii) f ist uf dem Intervll [, b] Riemnn-integrierbr. (iii) ist f(x) δ > 0 für lle x [, b], dnn ist uch die Funktion 1/f uf dem Intervll [, b] Riemnn-integrierbr Bemerkung: Ist f R([, b]), so gilt b f(x)dx b f(x) dx Stz: Es sei f : [, b] R uf dem Intervll [, b] Riemnn-integrierbr und m f(x) M für lle x [, b], dnn gilt: m(b ) b Die Zhl µ := 1 b heißt Mittelwert von f uf dem Intervll [, b]. f(x)dx M(b ). b f(x)dx Stz: Die Funktion f : [, b] R sei uf dem Intervll [, b] beschränkt und Riemnn-integrierbr. Dnn ist die durch { [, b] R F : x F (x) := x f(t)dt 64

65 definierte Funktion uf dem Intervll [, b] stetig. Ist ußerdem die Funktion f im Punkt x 0 [, b] stetig, dnn ist F in x 0 differenzierbr und es gilt: F (x 0 ) = f(x 0 ) Stz: Ist f : [, b] R uf dem Intervll [, b] stetig, dnn ist f uf dem Intervll [, b] uch Riemnn-integrierbr Stz: (2. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Es sei f : [, b] R stetig uf dem Intervll [, b]. Dnn ist die durch ( ) F (x) := x f(t)dt definierte Funktion F uf dem Intervll [, b] differenzierbr und es gilt: F (x) = f(x). D.h. die durch ( ) definierte Funktion ist eine Stmmfunktion von f Stz: Es sei (f n ) n N eine Folge von stetigen Funktionen f n : [, b] R, die gleichmäßig uf dem Intervll [, b] gegen f : [, b] R konvergiert. Dnn ist f Riemnnintegrierbr und es gilt: lim n b f n (x)dx = b f(x)dx Beispiele: (i) Für x < 1 gilt: 1 2 log 1 + x 1 x = 1 x dt x3 dt = x + 2 x 1 + t 3 + x5 5 + x (ii) Die durch f n : { [0, 1] R x f n (x) = 2nxe nx2 definierte Funktionenfolge konvergiert uf [0, 1] nicht gleichmäßig, ber punktweise gegen die Funktion f : [0, 1] R; x f(x) = 0. Außerdem gilt: 1 = lim n 1 0 f n (x)dx 0 = 1 0 f(x)dx. 65

66 13.26 Stz: (prtielle Integrtion) Die Funktionen f, g : [, b] R seien differenzierbr uf dem Intervll [, b] und es sei f g R([, b]), f g R([, b]). Dnn ist b f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b b f (x)g(x)dx Stz: (Substitutionsregel) Es sei I R ein Intervll und f : I R stetige Funktion. Ist die Funktion ϕ : [, b] I stetig differenzierbr (d.h. f C 1 ([, b]) ), dnn gilt: b f(ϕ(t))ϕ (t)dt = ϕ(b) ϕ() f(x)dx Beispiele: (i) Für n N0 sei I n = π/2 0 (sin x) n dx dnn gilt für n 2 : I n = (n 1)I n 2 (n 1)I n (ii) 1 (iii) Für p, q N gilt: I pq := x2 dx = π 4 x p (1 x) q dx = p!q! (p + q + 1)! Beispiel: (Wllissche Produktformel) (i) π 2 = lim k k (ii) π = lim k (k!) 2 2 2k (2k)! k (2j) 2 (2j 1)(2j + 1) Stz: (Stirlingsche Formel) (i) lim n n! n n e n 2πn = 1 (ii) Zu jedem n N gibt es ein ϑ n (0, 1), so dss n! = n n e n 2πn exp( ϑ n 12n ). 66

67 14. Unbestimmte und uneigentliche Integrle 14.1 Definition: Es sei I R ein Intervll und F, f : I R Funktionen. Die Abbildung F heißt Stmmfunktion oder unbestimmtes Integrl von f uf dem Intervll I, flls F uf I differenzierbr ist und für lle x I gilt F (x) = f(x). Bechte: Sind F 1, F 2 Stmmfunktionen von f uf dem Intervll I, dnn existiert ein c R mit F 1 (x) = F 2 (x) + c für lle x I. Alle in diesem Abschnitt uftretenden Gleichungen mit unbestimmten Integrlen sind wie folgt zu interpretieren: Es besteht Gleichheit bei Whl einer pssenden Stmmfunktion. Schreibweise: f(x)dx bzw. fdx bezeichne irgendeine Stmmfunktion Stz : Es sei I R ein Intervll und f : I R stetig, dnn besitzt f eine Stmmfunktion uf I Rechenregeln für Stmmfunktionen: Es sei I R ein Intervll, f, g : I R Funktionen. () Hben f, g uf I eine Stmmfunktion, so ht für lle α, β R die Funktion αf + βg eine Stmmfunktion und es gilt (αf + βg)(x)dx = α f(x)dx + β g(x)dx. (b) Sind f und g uf I differenzierbr und ht f g eine Stmmfunktion uf I, dnn ht uch f g eine Stmmfunktion uf I und es gilt f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx (prtielle Integrtion). (c) Ist I 1 R ein Intervll, ϕ : I 1 I differenzierbr und ht f eine Stmmfunktion F uf I, dnn ht uch (f ϕ) ϕ uf I 1 eine Stmmfunktion und es gilt f(ϕ(t))ϕ (t)dt = (F ϕ)(t) = f(x)dx x=ϕ(t) (Substitutionsregel). (d) Ist I 1 R ein Intervll, ϕ : I 1 I differenzierbr mit ϕ (t) 0 t I 1 und ht (f ϕ) ϕ eine Stmmfunktion G uf I 1, dnn ht uch f eine Stmmfunktion uf I und es gilt f(x)dx = (G ϕ 1 )(x) = f(ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ 1 (x) (Substitutionsregel). 67

68 14.4 Tbelle einiger Stmmfunktionen: f(x) F (x) = f(x)dx Definitionsbereich x k+1 x k, k Z, k 1 k + 1 x α x α+1, α R, α 1 α log x x 1 rctn x 1 + x 2 x R für k 0, x R\{0} für k 2 x R + x R\{0} sin x cos x x R cos x sin x tn x log cos x 1 cos 2 x tn x x R\{(k + 1 )π k Z} 2 cot x log sin x 1 sin 2 x sinh x cot x x R\{kπ k Z} cosh x cosh x sinh x x R tn hx log(cosh x) cot hx log sinh x x R\{0} 1 1 x 2 rcsin x x ( 1, 1) 68

69 14.5 Beispiele: (i) x sin xdx = x cos x + sin x (ii) e x cos xdx = 1 2 ex (sin x + cos x) dt (iii) 3t 2 = 1 log 3t 2 3 dx (iv) x(1 + 3 x) = 6( 6 x rctn 6 x) 14.6 Integrtion rtionler Funktionen: Es seien P, Q Polynome vom Grd m bzw. n N und R(x) = P (x) Q(x) eine rtionle Funktion. Gesucht ist eine Stmmfunktion von R. Ist m n, liefert Division die Drstellung R(x) = P 1 (x) + P 2(x) Q(x) wobei P 1, P 2 Polynome sind und der Grd von P 2 kleiner ls der Grd von Q ist. D die Bestimmung einer Stmmfunktion von P 1 trivil ist, setzen wir O.B.d.A. m < n vorus. Es gilt (vgl. Heuser, Anlysis I, Kp. 69): Es existierten Konstnten c, λ 1,..., λ r, 1, b 1,..., s, b s R α 1,..., α r N0, β 1,..., β s N0, so dss ds Polynom Q die Drstellung ( ) Q(x) = c r (x λ j ) α j s (x 2 + j x + b j ) β j besitzt. Dbei gilt n = r α j + 2 s β j, die Konstnten λ 1,..., λ r sind die prweise verschiedenen reellen Nullstellen von Q mit Multiplizitäten α 1,..., α r und die Polynome D j (x) = x 2 + j x+b j hben keine reellen Nullstellen. Die Drstellung ( ) ist eindeutig und mit dieser Drstellung ht die rtionle Funktion R die folgende Prtilbruchzerlegung R(x) = P (x) Q(x) = α r j i=1 A (j) s i (x λ j ) + i β j i=1 B (j) i x + C (j) i. D j (x) i Für die Bestimmung der Stmmfunktion R(x)dx sind dher die Stmmfunktionen der in der Prtilbruchzerlegung uftretenden Funktionen zu ermitteln Berechnung der bei der Prtilbruchzerlegung uftretenden Integrle: dx (i) = log x c x c 69

70 (ii) (iii) dx (x c) = ( 1) p p 1 1 (p > 1) (x c) p 1 dx x 2 + bx + c = 2 rctn 2x + b flls D = 4c b 2 > 0 (Mn bechte, dss der D D Fll D 0 in der Prtilbruchzerlegung nicht uftritt, d ds Polynom x 2 + bx + c in diesem Fll reelle Nullstellen besitzt). (iv) Für I p+1 := (v) Für J p+1 := dx (x 2 + bx + c) p+1 mit D = 4c b2, 0, gilt die Rekursionsformel I p+1 = wobei I p in (iv) definiert ist. 2x + b pd(x 2 + bx + c) p + (2 1 p )2 D I p; p 1 xdx (x 2 + bx + c) p+1 mit D = 4c b2, 0, gilt die Rekursionsformel bx + 2c J p+1 = pd(x 2 + bx + c) (2 1 p p ) b D I p; p Beispiele: x + 1 (i) x 4 x dx = log x log x log x2 + x rctn 2x dx (ii) (x 2 + x + 1) = 2x (x 2 + x + 1) x + 1 rctn 3 3 sin x (iii) 1 + cos x dx = 2 log cos x Definition: (i) Es sei f : [, ) R Riemnn-integrierbr uf [, c] für jedes c >. f heißt uneigentlich Riemnn-integrierbr über [, ) (Schreibweise f R([, )), wenn der Grenzwert I := lim c c f(x)dx existiert. In diesem Fll sgt mn, dss ds uneigentliche Integrl ( ) f(x)dx konvergiert (bzw. existiert) und bezeichnet dmit den obigen Grenzwert. Flls dieser Grenzwert nicht existiert, heißt ds Integrl divergent. Ds Integrl in ( ) heißt bsolut konvergent, wenn f(x) dx konvergent ist. 70

71 (ii) Es sei f : [, b) R nicht beschränkt und f R([, c]) für jedes c (, b). f heißt uneigentlich Riemnn-integrierbr über [, b) wenn der Grenzwert J := lim c b 0 c f(x)dx existiert. In diesem Fll sgt mn, dss ds uneigentliche Integrl b f(x)dx konvergiert (bzw. existiert) und bezeichnet J mit b f(x)dx. Andernflls heißt ds uneigentliche Integrl b f(x)dx divergent. Bechte: () Ist f beschränkt uf [, b) und f R([, c]) für jedes c (, b), dnn ist f R([, b]) und J ist einfch ds Riemnn-Integrl von f über [, b]. (b) Absolute Konvergenz eines uneigentlichen Integrls b f(x)dx wird wie in 14.9(i) definiert. (c) Ds uneigentliche Integrl f(x)dx wird nlog zu 14.9(i) definiert. Anlog zu 14.9(ii) ist ds uneigentliche Integrl definiert. b f(x)dx = lim c +0 b c f(x)dx Beispiele: (i) 1 0 dx 1 x 2 = π 2 (ii) Ds uneigentliche Integrl ist für β 1 divergent und für β < 1 konvergent mit Wert (1 β) 1. (iii) Ds uneigentliche Integrl 1 0 ist für α 1 divergent und für α > 1 konvergent mit Wert (α 1) dx x β dx x α

72 14.11 Bechte: Die folgenden Sätze werden nur für den Fll 14.9(i) ngegeben. Es gelten ber nloge Resultte für den Fll 14.9(ii) Stz: Es seien f, g uneigentlich Riemnn-integrierbre Funktionen über [, ), dnn gilt: (i) Für jedes b > ist f uneigentlich Riemnn-integrierbr über [b, ) und es ist: (ii) f(x)dx = b lim b b (iii) Ist f(x) g(x) für lle x [, ), dnn ist: f(x)dx f(x)dx + f(x)dx = 0 b g(x)dx f(x)dx Stz: Es sei f : [, ) R Riemnn-integrierbr uf [, c] für jedes c >, dnn gilt: f(x)dx ist konvergent Zu jedem ε > 0 gibt es ein x 0 >, so dss x, x > x 0 gilt: x f(t)dt < ε. x Folgerung: Ist f(x)dx bsolut konvergent, dnn ist ds uneigentliche Integrl uch konvergent und es gilt: f(x)dx f(x) dx Stz: (Mjornten/Minorntenkriterium) Die Funktionen g, f : [, ) R seien Riemnn-integrierbr uf [, c] für jedes c > und es sei b >. (i) Ist f(x) g(x) für lle x b und ist g(x)dx konvergent, dnn ist ds uneigentliche Integrl b f(x)dx bsolut konvergent. b (ii) Ist f(x) g(x) 0 für lle x b und ist g(x)dx divergent, dnn ist ds b uneigentliche Integrl f(x)dx divergent. b 72

73 14.16 Bezeichnungen: Es sei f : R R, R und die uneigentlichen Integrle seien konvergent. Mn setzt: f(x)dx und f(x)dx f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx [Mn bechte, dss wegen Stz die linke Seite unbhängig von der Whl von ist!] f(x)dx = f(x)dx; f(x)dx = f(x)dx. Es sei f : (, b) R Riemnn-integrierbr uf jedem Intervll [, b ] (, b). Weiter sei f weder in einer rechtsseitigen Umgebung von noch in einer linksseitigen Umgebung von b beschränkt und es seien für ein c (, b) die uneigentlichen Integrle konvergent, dnn setzt mn b c f(x)dx und c f(x)dx b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx [dieser Wert ist unbhängig von der Whl der Konstnten c]. Es sei f : (, ) R Riemnn-integrierbr uf jedem Intervll [, b ] [, ) und in einer rechtsseitigen Umgebung von unbeschränkt. Existieren für c > die uneigentlichen Integrle so setzt mn c f(x)dx f(x)dx = c und (eine nloge Definition gilt für b f(x)dx). c f(x)dx + f(x)dx c f(x)dx Beispiel: Für jedes α > 0 ist ds uneigentliche Integrl Γ(α) := 0 x α 1 e x dx konvergent. Die so uf der positiven reellen Achse definierte Funktion heißt Gmm-Funktion. Es gilt: (i) α > 0 : Γ(α + 1) = Γ(α) α 73

74 (ii) n N : Γ(n) = (n 1)! Integrlkriterium für unendliche Reihen: Es sei p N, f : [p, ) R Riemnn-integrierbr uf jedem Intervll [p, x](x p), monoton fllend und f(x) 0 x p. Dnn gilt: p f(x)dx konvergiert f(n) konvergiert. n=p Im Fll der Konvergenz gilt: ( ) f(n) f(x)dx n=p+1 p n=p f(n) Beispiel: Die Reihe n=2 1 n(log n) c ist für c > 1 konvergent und für c 1 divergent Beispiel: 0 e t2 dt = 1 2 π 74

75 15. Ds Riemnn-Stieltjes Integrl 15.1 Definition: Es seien f, α : [, b] R Funktionen, f B[, b], Z = (x 0,..., x n ) eine Zerlegung von [, b] mit zugehörigem Zwischenwertvektor ξ = (ξ 1,..., ξ n ). Die Summe S α (f, Z, ξ) := n f(ξ k )[α(x k ) α(x k 1 )] k=1 heißt Riemnn-Stieltjessche Summe von f bzgl. α und Z (RS-Summe). Konvergiert für jede Folge (Z n ) n N von Zerlegungen mit Z n 0 und zugehörigen Zwischenvektoren ξ (n) die RS-Folge (S α (f, Z, ξ (n) )) n N gegen einen und dmit ein und denselben Grenzwert, so bezeichnet mn diesen ls Riemnn-Stieltjes-Integrl (RS-Integrl) von f über [, b] bzgl. α. Schreibweisen b f(x)dα(x); b fdα; b fdα(x) R α [, b] bezeichnet die Menge ller Funktionen, die über [, b] bzgl. Riemnn-Stieltjes integrierbr sind. der Funktion α 15.2 Bemerkung: Ds Riemnn-Stieltjes-Integrl ist bzgl. Integrnd und Integrtor liner, d.h. (i) f R α [, b], g R α [, b] f + g R α [, b] und es gilt: b (f + g)(x)dα(x) = b f(x)dα(x) + (ii) f R α [, b] R β [, b] f R α+β [, b] und es gilt: b f(x)d[α(x) + β(x)] = b f(x)dα(x) + (iii) f R α [, b], c R c f R α [, b], f R c α [, b] und es gilt b c f(x)dα(x) = b f(x)d(c α(x)) = c b b b g(x)dα(x) f(x)dβ(x) f(x)dα(x) Beispiele: (1) Ist α konstnt, dnn ist jedes f Riemnn-Stieltjes integrierbr über [, b] bzgl. α und es gilt: b f(x)dα(x) = 0 75

76 (2) Es sei x := sup{z Z z x}, dnn gilt für jede stetige Funktion f uf [0, m](m N) : m m f(x)d x = f(k) 0 k=1 D.h. jede endliche Summe knn ls Riemnn-Stieltjes-Integrl geschrieben werden. (3) 1 0 xdx 2 = Stz: (prtielle Integrtion) Ist f Riemnn-Stieltjes-integrierbr uf [, b] bzgl. α, dnn ist uch α Riemnn-Stieltjes-integrierbr uf dem Intervll [, b] bzgl. f und es gilt b f(x)dα(x) + b α(x)df(x) = f(x)α(x) b = f(b)α(b) f()α() Bemerkung: Es werden nloge Bezeichnungen verwendet und es gelten nloge Eigenschften wie in Abschnitt 13 und 14. So wird z.b. für eine monoton wchsende Funktion α die Riemnn-Stieltjes-Obersumme (bzgl. α und Z) definiert ls S α (Z, f) := n sup f(i j ) (α(x j ) α(x j 1 )). Entsprechend definiert mn oberes und unteres Riemnn-Stieltjes-Integrl (vgl. 13.4). Es gilt: (1) f ist Riemnn-Stieltjes-integrierbr über [, b] bzgl. der Funktion α genu dnn, wenn gilt: Für lle ε > 0 existiert ein δ > 0 so dss für lle Zerlegungen Z mit Z < δ von [, b] für die Riemnn-Stieltjes Ober- und Untersumme von f bzgl. α und Z gilt S α (Z, f) S α (Z, f) < ε. (2) Ist < c < b, dnn gilt: f R α [, b] f R α [, c] R α [c, b]. Außerdem ist b f(x)dα(x) = c f(x)dα(x) + b c f(x)dα(x) (diese Aussge gilt für beliebige Funktionen α, für die ds Integrl existiert). 76

77 15.6 Stz: Es sei f : [, b] R stetig und α monoton wchsend, dnn ist f Riemnn- Stieltjes-integrierbr uf [, b] bzgl. α Stz: Ist f : [, b] R monoton wchsend und α : [, b] R stetig, dnn ist f uf [, b] Riemnn-Stieltjes-integrierbr bzgl. α Bemerkung: Es seien α, f, g : [, b] R Funktionen, f R α [, b]. Unterscheiden sich f und g nur n endlich vielen Stellen z 1,..., z k [, b] und ist α in diesen Punkten stetig, dnn gilt g R α [, b] und b g(x)dα(x) = b f(x)dα(x). Bechte: Im Fll des Riemnn-Integrls ist α(x) = x und die Stetigkeit der Funktion α dmit utomtisch erfüllt Stz: Es sei α : [, b] R monoton wchsend und differenzierbr. Sind f, α : [, b] R Riemnn-integrierbr uf [, b], dnn ist f uf [, b] bzgl. α Riemnn-Stieltjesintegrierbr und es gilt b f(x)dα(x) = b f(x)α (x)dx Beispiele: (i) Es sei F : [, b] R monoton wchsend und stetig differenzierbr, dnn gilt für k N 0, b F k (x)df (x) = 1 k + 1 (F k+1 (b) F k+1 ()). (ii) 2 1 xd log x = 1. (iii) Es sei f : [, b] R stetig differenzierbr mit f() = f(b) = 0 und b f 2 (x)dx = 1, dnn ist b xf(x)f (x)dx = Stz: Es sei α : [, b] R eine Treppenfunktion, d.h. es gibt = x 0 < x 1 <... < x k = b und Konstnten c 1,..., c k R, so dss α die Drstellung k α(x) = c j I (xj 1,x j )(x) x [, b]\{x 0,..., x n } 77

78 besitzt. Dnn ist jede stetige Funktion f : [, b] R bzgl. α Riemnn-Stieltjesintegrierbr und es gilt mit α 0 = c 1 α(), α j = c j+1 c j, j = 1,..., k 1, α k = α(b) c k b f(x)dα(x) = k α j f(x j ). j=0 D.h. ds Riemnn-Stieltjes-Integrl ist gleich der Summe der Funktionswerte n den Sprungstellen multipliziert mit den entsprechenden Sprunghöhen Beispiel: Für p, n N sei S p (n) = n jp, dnn gilt die Rekursion n(n + 1) S 1 (n) = 2 [ S p (n) = 1 p 1 ( ) ] p n(n + 1) p S k (n) p + 1 k 1 k= Stz: Es seien f, α : [, b] R Funktionen, f R α [, b] und α monoton wchsend. Außerdem sei ϕ : [A, B] [, b] streng monoton wchsend und stetig mit ϕ(a) =, ϕ(b) = b, dnn ist f ϕ R α ϕ [A, B] und es gilt B A (f ϕ(x))d(α ϕ)(x) = b f(x)dα(x) Beispiele: (1) Unter Differenzierbrkeitsnnhmen liefert Stz für α(x) = x Stz 13.27, d.h. B A f(ϕ(x))ϕ (x)dx = ϕ(b) ϕ(a) f(x)dx (2) 2 xde x = e 2 1 e log ydy = e Übung: Es seien f, g : [, b] R uf [, b] Riemnn-Stieltjes-integrierbr bzgl. α : [, b] R und α monoton wchsend. Dnn gilt die Höldersche Ungleichung (für lle p, q > 1, 1 p + 1 q = 1) (1) b ( b f(x)g(x)dα(x) ) 1/p ( b ) 1/q f(x) p dα(x) g(x) q dα(x) 78

79 und die Dreiecksungleichung (2) ( b 1/2 ( b 1/2 ( b 1/2 (f(x) + g(x)) dα(x)) 2 f (x)dα(x)) 2 + g (x)dα(x)) Bemerkung: Es existiert eine Theorie uneigentlicher Riemnn-Stieltjes-Integrle, wie in Abschnitt 14 für den Fll α(x) = x (Riemnn-Integrl) drgestellt. Z.B. definiert mn, flls f R α [, b] für lle b > 0 f(x)dα(x) = lim b b f(x)dα(x) (flls dieser Grenzwert existiert). Ist α : [, ) R Treppenfunktion mit Sprüngen α 0, α 1,... n den Stellen x 0, x 1,... so knn mn (wie in 15.11) zeigen f(x)dα(x) = α k f(x k ) k=1 und dmit uch unendliche Summen ls Integrl uffssen. 79

80 16. Fourierreihen 16.1 Stz: Die trigonometrische Reihe n cos(nx) + b n sin(nx) n=1 sei uf dem Intervll [ π, π] gleichmäßig konvergent mit Wert f(x), dnn gelten für die Koeffizienten die Euler-Fourierschen Formeln: n = 1 π π π f(x) cos(nx)dx b n = 1 π π π f(x) sin(nx)dx 16.2 Hilfsstz: ( ) π π π π sin(nx) cos(mx)dx = 0 n, m = 0, 1,... cos(nx) cos(mx)dx = π π sin(nx) sin(mx)dx = { 0 flls n m π flls n = m Definition: Es sei f : R R eine 2π-periodische Funktion [d.h. f(x + 2π) = f(x) x R] und Riemnn-integrierbr uf dem Intervll [ π, π]. Die Zhlen n b n = 1 π = 1 π π π π π f(x) cos(nx)dx n = 0, 1,... f(x) sin(nx)dx n = 1, 2,... heißen Fourierkoeffizienten der Funktion f und die zugehörige trigonometrische Reihe Fourierreihe von f n cos(nx) + b n sin(nx) n=1 Bechte: Diese Reihe muß weder konvergieren, noch muß im Fll der Konvergenz ihr Wert gleich f(x) sein. Schreibweise: 80

81 f(x) n cos(nx) + b n sin(nx) n= Beispiele: Die Übertrgung der Definition 16.3 uf ndere Intervlle der Länge 2π ist offensichtlich. Z.B. gilt: (1) (2) k=1 k=1 sin(kx) k cos(kx) k 2 = Insbesondere gilt: (3) k=1 1 k = π2 2 6 = π x 2 ( x π ) 2 π für x (0, 2π) für x [0, 2π] Figure 1: Die Prtilsumme 25 sin(kx) k=1 und 10 k 16.4(1) nd 16.4(2) k=1 cos(kx) k 2 der Fourierreihen us Beispiel 16.5 Beispiele: (Alle Funktionen werden uf dem Intervll [ π, π] betrchtet und dnn 2π-periodisch fortgesetzt.) (i) x 2 n+1 sin(nx) ( 1) n n=1 81

82 (ii) x π 2 4 π n=1 cos((2n 1)x) (2n 1) 2 (iii) x 2 π2 3 + ( 1) n 4 cos(nx) n 2 n=1 Die Frge, ob diese Fourierreihen konvergieren und im Fll der Konvergenz die entsprechende Funktion uf der linken Seite liefern, wird in Beispiel bentwortet Stz: (Beste Approximtion von f durch trigonometrische Reihen im qudrtischen Mittel) Es sei f Riemnn-integrierbr uf [ π, π], S n (x) = n k cos(kx) + b k sin(kx) k=1 die n-te Prtilsumme ihrer Fourierreihe und T n := { α n α k cos(kx) + β k sin(kx) α 0, α 1, β 1,..., α n, β n R} k=1 die Menge ller trigonometrischen Polynome von Grd n. Dnn gilt: (1) π π (f S n ) 2 (x)dx (2) Besselsche Gleichung π π (3) Besselsche Ungleichung π π (f S n ) 2 (x)dx = (f t) 2 (x)dx t T n π π [ 1 f 2 (x)dx π ( 2 k + b 2 k) 1 π k=1 π π n ] ( 2 k + b 2 k) k=1 f 2 (x)dx 16.7 Stz:(Konvergenz im qudrtischen Mittel) Es sei f : R R eine 2π-periodische und uf [ π, π] Riemnn-integrierbre Funktion, dnn konvergiert die Fourierreihe von f im qudrtischen Mittel gegen f, d.h. (1) lim n π π (S n (x) f(x)) 2 dx = 0 und es gilt die Prsevlsche Gleichung 82

83 (2) 1 π π π f 2 (x)dx = ( 2 k + b 2 k) k= Beispiel: Es sei f : R R 2π-periodisch und { 1 für π x < 0 f(x) = 1 für 0 x < π dnn konvergiert die Fourierreihe von f 4 π n=0 sin((2n + 1)x) 2n + 1 nicht punktweise gegen f uf [ π, π] ber im qudrtischen Mittel Figure 2: Die Prtilsumme 4 π 100 sin((2n+1)x) n=0 2n Stz: Es sei f : R R eine stetige und 2π-periodische Funktion, die uf dem Intervll [ π, π] stückweise stetig differenzierbr sei. D.h. es existiert eine Zerlegung Z r = {t 1,..., t r } des Intervlls [ π, π] mit π = t 0 < t 1 <... < t r 1 < t r = π, so dss f [tj 1,t j ] C 1 ([t j 1, t j ]) für lle j = 1,..., r gilt. Dnn konvergiert die Fourierreihe von f gleichmäßig uf dem Intervll [ π, π] gegen f. 83

84 16.10 Bemerkung: In Stz 16.9 knn uf die Stetigkeit von f : R R verzichtet werden. Genuer: Ist f stückweise stetig differenzierbr, so konvergiert die Fourierreihe von f gleichmäßig gegen f uf jedem kompkten Intervll, ds keine Unstetigkeitsstelle von f enthält Beispiele: (vgl. Beispiel 16.5) (1) Für lle x ( π, π) gilt: n+1 sin(nx) x = 2 ( 1) n n=1 (2) Für lle x [ π, π] gilt: x = π 2 4 π n=1 cos((2n 1)x) (2n 1) 2 (3) Für lle x [ π, π] gilt: x 2 = π ( 1) n cos(nx) n 2 n=1 84

85 VI Differentilrechnung für Funktionen in mehreren Veränderlichen 17 Normierte Vektorräume 17.1 Definition: Es sei E ein Vektorrum über R. Eine Abbildung : E R heißt Norm uf E flls sie die folgenden Eigenschften besitzt () Für lle x E gilt: x 0 (Nichtnegtivität) (b) x = 0 x = 0 (Definitheit) (c) Für lle α R, x E : αx = α x (Homogenität) (d) Für lle x, y E : x + y x + y (Dreiecksungleichung) Ist E mit einer Norm versehen, so heißt (E, ) normierter Vektorrum. Zwei Normen 1 und 2 uf E heißen äquivlent, flls es Zhlen α, β > 0 gibt, so dss gilt: x E : α x 1 x 2 β x Beispiele: Der R n = {(x 1,..., x n ) T x j R; j = 1,..., n} mit der komponentenweisen Addition und Sklrmultipliktion ist ein Vektorrum. Für p [1, ) sei für p = setzen wir ( n ) 1/p; x p := x k p x = k=1 n mx i=1 x i. Dnn definiert p für jedes p [1, ] eine Norm uf R n. Wichtige Spezilfälle sind: p = 1 : x 1 = n x j Betrgssummennorm ( n ) 1/2 p = 2 : x 2 = x j 2 Euklidnorm p = : x = n mx x j Mximumsnorm Alle hier definierten Normen sind äquivlent und es gilt x = lim p x p 85

86 17.3 Beispiel: E = C([, b]) sei der Vektorrum der stetigen Funktionen uf dem Intervll [, b], dnn definiert die Abbildung : C([, b]) R, f := sup f(x) x [,b] eine Norm uf C([, b]), die Supremumsnorm gennnt wird Definition: Es seien (E j, j ) j = 1,..., p normierte Vektorräume. Mit der koordintenweisen Addition x 1 y 1 x 1 + y 1 + :=. (x j, y j E j ; j = 1,..., p). x p. y p x p + y p und komponentenweisen Sklrmultipliktion (α R) x 1 αx 1 α. :=. (x j E j ; j = 1,..., p) x p αx p wird uch E 1... E p zu einem Vektorrum. Mit der Definition x 1. = mx{ x j j 1 j p} x p wird uf E 1... E p eine Norm eingeführt, die ebenflls ls Mximumsnorm bezeichnet wird (mn vergleiche diese Definition für E j = R, j = 1,..., n mit Beispiel 17.2) Definition: Es sei (E, ) ein normierter Vektorrum. Eine Folge (x n ) n N, x n E heißt konvergent genu dnn, wenn es ein x E gibt, so dss gilt: ε > 0 n 0 N, so dss n n 0 : x n x < ε. Schreibweise: lim n x n = x. Der Begriff des Häufungswertes wird wie in Definition 6.0 erklärt und es gilt uch ds Anlogon von Stz

87 17.6 Beispiel: (1) Sind (x n ) N, (y n ) n N konvergente Folgen in E, α R, dnn sind uch (x n + y n ) n N und (αx n ) n N konvergent und es gilt lim (x n + y n ) = lim x n + lim n n lim αx n = α lim x n n n n y n (2) Es sei (C([, b]), ) der mit der Supremumsnorm versehene Vektorrum (vgl. Beispiel 17.3) der uf dem Intervll [, b] stetigen Funktionen, f, f n C([, b])(n N). Dnn gilt: lim n f n = f genu dnn, wenn die Folge (f n ) n N gegen f uf [, b] gleichmäßig konvergiert Definition und Stz: Es sei (E, ) normierter Vektorrum. Die Folge (x n ) n N, x n E heißt Cuchy-Folge genu dnn, wenn gilt: ε > 0 n 0 N, so dss n, m n 0 : x n x m < ε. In einem normierten Vektorrum ist jede konvergente Folge uch eine Cuchy-Folge (die Umkehrung ist i.. flsch) Definition: Ein normierter Vektorrum heißt Bnchrum (bzw. vollständig), wenn jede Cuchy-Folge uch konvergent ist Beispiele: (1) (R, ) ist Bnchrum (bzw. vollständig). (2) Der Vektorrum C([, b]) versehen mit der Supremumsnorm (vgl. Beispiel 17.3) ist ein Bnchrum. (3) Versieht mn den Vektorrum C([, b]) mit der Norm f 1 := b f(x) dx, so ist der normierte Vektorrum (C([, b]), 1 ) nicht vollständig. 87

88 17.10 Lemm: Es seien (E j, j ) normierte Vektorräume (j = 1,..., p) und (E 1... E p, ) der in 17.4 definierte normierte Vektorrum (mit der Mximumsnorm versehen). Dnn gilt: x (n) := x 1n. x pn genu dnn, wenn für jedes j = 1,..., p gilt n lim n x jn = x j x 1. x p (d.h. die Konvergenz in E 1... E p ist äquivlent zu der Konvergenz der einzelnen Koordinten) Stz: (R n, ) ist ein Bnchrum für jedes n N Stz: Zwei beliebige Normen und uf R p sind äquivlent, d.h. es gibt positive Konstnten α und β mit für lle x R p. α x x β x Folgerung: Konvergiert die Folge (x n ) n N bzgl. einer Norm uf R p, so uch bzgl. jeder nderen Norm. Ist (x n ) n N Cuchy-Folge bzgl. einer Norm uf R p, so uch bzgl. jeder nderen Norm. (R p, ) ist ein Bnchrum für jede Norm uf R p Definition: (E, ) sei ein normierter Vektorrum. Für ε > 0, x 0 E heißt U ε (x 0 ) := {x E x x 0 < ε} ε-umgebung (ε-kugel) um x 0, U ε (x 0 ) = U ε (x 0 )\{x 0 } heißt punktierte ε-umgebung. Eine Menge S E heißt beschränkt, wenn es ein r > 0 gibt, so dss S U r (0) gilt. 88

89 17.15 Definition: (E, ) sei ein normierter Vektorrum und A E eine Menge. Ein Punkt x 0 A heißt innerer Punkt von A genu dnn, wenn es ein ε > 0 gibt, so dss U ε (x 0 ) A gilt. Die Menge heißt Inneres von A. Die Menge A heißt offen : A A 0 A = A 0 A 0 := {x A x ist innerer Punkt von A} bgeschlossen : E\A ist offene Menge Ein Punkt x E heißt Häufungspunkt von A genu dnn, wenn für jedes ε > 0 gilt: Wir definieren und bezeichnen mit U ε (x) A. H(A) := {x E x ist Häufungspunkt von A} Ā = A H(A) die bgeschlossene Hülle von A. Ein Punkt x E heißt Rndpunkt von A genu dnn, wenn für jedes ε > 0 gilt: Die Menge U ε (x) A und U ε (x) (E\A). A := {x E x ist Rndpunkt von A} heißt Rnd der Menge A. Ein Element x E heißt isolierter Punkt von A genu dnn, wenn x A\H(A) gilt Beispiel: Es sei (E, ) = (R 2, 2 ) und ( ) x1 A = { 4x 2 1 x 2 2 > 1}, x 2 dnn ist A offen, und es gilt Ā = { (A) = { ( x1 x 2 ( x1 x 2 ) 4x 2 1 x 2 2 = 1} ) 4x 2 1 x 2 2 1} = H(A). 89

90 17.17 Stz: (vgl. Stz 8.4) Es sei (E, ) ein normierter Vektorrum. Die Vereinigung (der Durchschnitt) beliebig vieler offener (bgeschlossener) Mengen ist offen (bgeschlossen). Der Durchschnitt (die Vereinigung) endlich vieler offener (bgeschlossener) Mengen ist offen (bgeschlossen) Stz: Es sei (E, ) normierter Vektorrum, A E A 0 ist offen Ā ist bgeschlossen Ā = F F F A bgeschlossen x H(A) es gibt eine Folge x n A\{x} mit lim n x n = x A bgeschlossen H(A) A Definition: Es sei E ein normierter Vektorrum, Λ eine Indexmenge und für λ Λ sei O λ E eine offene Menge. Ds Mengensystem {O λ λ Λ} heißt eine offene Überdeckung von A, flls gilt A λ Λ O λ. Die Menge A heißt kompkt, flls jede offene Überdeckung von A eine endliche Teilüberdeckung von A enthält. D.h. es gibt eine endliche Menge L Λ mit A O λ. λ L Die Menge A heißt folgenkompkt, flls jede Folge in A eine konvergente Teilfolge besitzt, die gegen einen Punkt us A konvergiert Stz: Es sei E ein normierter Vektorrum und = A E. A ist genu dnn folgenkompkt, wenn jede unendliche Teilmenge von A einen Häufungspunkt in A besitzt. 90

91 17.21 Stz: Eine Menge in einem normierten Vektorrum ist genu dnn kompkt, wenn sie folgenkompkt ist Stz: Jede kompkte Menge in einem normierten Vektorrum ist beschränkt und bgeschlossen Beispiel:[Die Umkehrung von Stz ist flsch!] Es sei B(R) := {f : R R f beschränkt} der Vektorrum der reellwertigen und beschränkten Funktionen und durch f := sup{ f(x) x R} eine Norm uf B(R) definiert. Dnn ist die Menge A := {f B(R) f 1} bgeschlossen und beschränkt ber nicht kompkt. Bechte: A = U 1 (0) heißt bgeschlossene Einheitskugel Beispiel: Ist A kompkte Menge in einem normierten Vektorrum und S A bgeschlossen, dnn ist uch S kompkt Stz: Es seien (E 1, 1 ),..., (E n, n ) normierte Vektorräume A j E j (j = 1,..., n) und der Produktrum E 1... E n mit der Mximumsnorm versehen (vgl. Bsp. 17.4). (1) Sind A 1,..., A n offen, dnn ist uch A 1... A n offen. (2) Sind A 1,..., A n bgeschlossen, dnn ist uch A 1... A n bgeschlossen. (3) Sind A 1,..., A n kompkt, dnn ist uch A 1... A n kompkt Stz: (Chrkterisierung kompkter Mengen in R n ) Eine Menge A R n ist genu dnn kompkt, wenn sie beschränkt und bgeschlossen ist Definition: Es seien (E, E ), (F, F ) normierte Vektorräume, S E, x 0 H(S). Eine Funktion f : E F ht im Punkt x 0 einen Grenzwert, wenn es ein L F gibt, so dss gilt: ε > 0 δ > 0 : x U δ (x 0 ) S : f(x) L F < ε. 91

92 17.28 Bemerkung: Es gelten nloge Eigenschften zu Abschnitt 9. Zum Beispiel: (1) (Folgenkriterium) f : S F ht im Punkt x 0 H(S) einen Grenzwert genu dnn, wenn für jede Folge (x n ) n N mit x n S\{x 0 }, x n x 0 die Folge (f(x n )) n N konvergent ist [in diesem Fll hben lle Folgen (f(x n )) n N denselben Grenzwert]. (2) Sind f, g : S F Funktionen mit lim x x0 f(x) = L und lim x x0 g(x) = M, dnn ist lim x x0 (f + g)(x) = L + M lim x x0 (αf)(x) = αl (α R) flls F = R und M 0 : lim x x0 ( f g )(x) = L M flls F = R und f(x) g(x) für lle x S\{x 0 } dnn gilt: L M Stz: Es seien E, F, G normierte Vektorräume S E, T F und f : S F, g : T G Funktionen mit f(s) T. Ist x 0 H(S), lim f(x) = y 0 H(T ) und x x0 lim g(y) = L, dnn gilt mit der Bezeichnung S 0 = {x S f(x) y 0 } : y y 0 lim x x 0 x S 0 (g f)(x) = L Definition: Es seien E, F 1,..., F m normierte Vektorräume und F := F 1 F 2... F m mit der Mximumsnorm versehen. Die Abbildung { F Fj π j : y = (y 1,..., y m ) T π j (y) := y j heißt (Koordinten-) Projektion in F j (j = 1,..., m). Ist f : E F eine Abbildung, dnn heißt die Funktion f j := π j f die j-te Koordintenbbildung von f. Schreibweise: f = (f 1,..., f m ) T Beispiel: (Oberfläche der Kugel im R 3, Kugelkoordinten) Es sei r R + und { [ π f :, π ] [0, 2π) R3 2 2 (ϑ, ϕ) (r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ, r sin ϑ) T. Dnn liegt jeder Punkt us f([ π, π ] [0, 2π)) uf der Kugeloberfläche 2 2 S := {x R 3 x 2 = r} und die Abbildung f : ( π 2, π 2 ) [0, 2π) S\{(0, 0, r)t } ist bijektiv. 92

93 17.32 Stz: Es seien E, F 1,..., F m normierte Vektorräume, S E, F := F 1 F 2... F m mit der Mximumsnorm versehen (vgl. Bsp. 17.4) und f : S F eine Abbildung mit Koordintenbbildungen f j = π j f : S F j. Die Funktion f ht in dem Punkt x 0 H(S) einen Grenzwert genu dnn, wenn für j = 1,..., m die Funktionen f j in x 0 einen Grenzwert hben. In diesem Fll gilt: lim f(x) = ( lim f 1 (x),..., lim f m (x)) T x x 0 x x0 x x0 (d.h. der Grenzwert knn komponentenweise berechnet werden) Definition: Es seien (E, E ), (F F ) normierte Vektorräume, S E. Eine Abbildung f : S F heißt stetig im Punkt x 0 S genu dnn, wenn gilt: ε > 0 δ > 0, so dss x U δ (x 0 ) S gilt: f(x) f(x 0 ) F < ε. f heißt stetig uf T S, flls f in jedem Punkt von T stetig ist Stz: Es seien E, F normierte Vektorräume und S E. Eine Abbildung f : S F ist im Punkt x 0 S stetig genu dnn, wenn für jede Folge (x n ) n N in S mit lim n x n = x 0 gilt: lim n f(x n) = f(x 0 ) Beispiel: Der Stetigkeits-(und uch Grenzwert-)begriff hängt immer von den Normen uf E, F b!! Dzu betrchte E = C[0, 1], F = R { C[0, 1] R f : x mx t [0,1] x(t) =: x Versieht mn E mit der Norm und R mit, dnn ist f offensichtlich stetig. Versieht mn E ber mit der Norm x 1 := 1 x(t) dt, dnn ist f nicht stetig Übung; Es seien E, F 1,..., F m normierte Vektorräume, S E und F := F 1 F 2... F m mit der Mximumsnorm versehen (vgl. Bsp. 17.4). Eine Abbildung f : S F ist genu dnn stetig, wenn jede ihrer Koordintenbbildungen f j = π j f : S F j stetig ist (j = 1,..., m) Stz: Es seien E, F, G normierte Vektorräume S E, T F und f : S F, g : T G Abbildungen mit f(s) T. Ist f im Punkt x 0 S stetig und g im Punkt y 0 = f(x 0 ) stetig, dnn ist g f im Punkt x 0 stetig. 93

94 17.38 Beispiel: Jede linere Abbildung λ : R n R m ist stetig und es gibt eine Konstnte c R, so dss gilt: x R n λ(x) c x Übung: Es seien E, F normierte Vektorräume, S E und f, g : S F Abbildungen, die stetig im Punkt x 0 S sind. Dnn gilt (1) f + g ist im Punkt x 0 stetig. (2) αf ist im Punkt x 0 stetig (α R). (3) Ist F = R, dnn ist f g im Punkt x 0 stetig. (4) Ist F = R, dnn ist f g im Punkt x 0 stetig, flls g(x 0 ) 0 gilt Stz: Es seien E, F normierte Vektorräume und es sei f : E F eine Abbildung. Die folgenden Aussgen sind äquivlent: (1) f ist stetig uf E. (2) Ds Urbild jeder offenen Menge in F (unter der Abbildung f) ist offen in E. (3) Ds Urbild jeder bgeschlossenen Menge in F (unter der Abbildung f) ist bgeschlossen in E Stz: Sind E, F normierte Vektorräume, S E eine kompkte Menge und f : S F stetig, dnn ist uch f(s) kompkt. Gilt ußerdem F = R, dnn ist f uf der Menge S beschränkt und nimmt uf S ein Mximum und Minimum n Definition: Es seien (E, E ), (F, F ) normierte Vektorräume und S E. Eine Abbildung f : S F heißt gleichmäßig stetig uf S genu dnn, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dss für lle x, x S mit x x E < δ gilt: f(x) f(x ) F < ε Stz: Es sei E, F normierte Vektorräume und S E kompkt. Ist die Abbildung f : S F uf S stetig, so ist sie uch gleichmäßig stetig uf S Übung: Es seien (E, E ), (F, F ) normierte Vektorräume und S E. Eine Funktion f : S F heißt Hölder-stetig der Ordnung α (0, 1], flls es eine Konstnte C R gibt, so dss für lle x, y S gilt f(x) f(y) F C x y α E. Jede Hölder-stetige Funktion ist gleichmäßig stetig. 94

95 18. Differentilrechnung im R n 18.1 Definition: Es sei S R n offen und x 0 S. Eine Abbildung f : S R m heißt (totl) differenzierbr im Punkt x 0, wenn es eine linere Abbildung λ : R n R m gibt, so dss in einer Umgebung U ε (x 0 ) von x 0 gilt f(x 0 + h) f(x 0 ) = λ(h) + r(h), wobei r eine in der Umgebung des Nullvektors im (R n ) definierte R m -wertige Funktion ist mit r(h) lim h 0 h = 0 [Schreibweise: r(h) = o( h )] Dbei bezeichnet irgendeine Norm uf R n bzw. R m und die Abbildung λ ist eindeutig bestimmt. f heißt uf S (totl) differenzierbr, flls f in jedem Punkt x S differenzierbr ist. Die linere Abbildung λ heißt Ableitung von f im Punkt x 0 bzw. (totles) Differentil von f n der Stelle x 0 und wird mit D f (x 0 ) bezeichnet. Die zugehörige (bzgl. der knonischen Bsen von R n bzw. R m ) gebildete m n Mtrix wird mit f (x 0 ) bezeichnet. Ist n = m, so heißt det f (x 0 ) die Funktionldeterminnte von f im Punkt x Beispiel und Bemerkungen: (1) Für n = m = 1 liefert Definition 18.1 den Differenzierbrkeitsbegriff us Kpitel 10. (2) Ist f (totl) differenzierbr in x 0, dnn ist f uch stetig in x 0. (3) Ist f : R n R m gegeben durch f(x) = c, dnn ist f uf R n (totl) differenzierbr mit D f (x 0 ) = 0 x 0 R n. (4) Ist f : R n R m eine linere Abbildung, dnn ist f uf R n (totl) differenzierbr und es gilt D f (x 0 ) = f. (5) Es sei f : R 2 R 1 gegeben durch f(x 1, x 2 ) = x 1 x 2, dnn ist f uf R 2 (totl) differenzierbr, für jedes x R 2 ist: { R 2 R λ := D f (x) : y λ(y) = (x 2, x 1 ) ( y 1 ) y 2 = x2 y 1 + x 1 y 2 und es gilt: f (x) = (x 2, x 1 ). (6) Es sei f : R n R gegeben durch f(x) = x 2 2 = n x2 j; dnn ist f (totl) differenzierbr uf R n, für jedes x R ist: { R n R λ = D f (x) : y λ(y) = 2x T y = 2 n x jy j und es gilt: f (x) = 2(x 1,..., x n ) = 2x T. 95

96 18.3 Stz (Kettenregel): Es seien S R n, T R m offene Mengen, f : S R m, g : T R p Abbildungen mit f(s) T. Ist f in x 0 (totl) differenzierbr und g in y 0 = f(x 0 ) (totl) differenzierbr, dnn ist uch g f in x 0 (totl) differenzierbr und es gilt bzw. (in Mtrixschreibweise) D g f (x 0 ) = D g (f(x 0 )) D f (x 0 ) (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ) Stz: Die Abbildung f : S R m (S R n offen) ist genu dnn (totl) differenzierbr in x 0 S, wenn für lle j = 1,..., m die Koordintenbbildung f j := π j f : S R (totl) differenzierbr ist. In diesem Fll gilt f (x 0 ) = f 1(x 0 ). f m(x 0 ) ; D f (x 0 ) = D f1 (x 0 ). D fm (x 0 ) 18.5 Stz: Es sei = S R n offen, x 0 S und die Abbildungen f, g : S R m seien (totl) differenzierbr in x 0 S. Dnn gilt: (1) f + g ist differenzierbr in x 0 und es gilt (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). (2) Für lle α R ist αf differenzierbr in x 0 und es gilt (αf) (x 0 ) = αf (x 0 ). (3) Ist m = 1, so ist f g differenzierbr in x 0 und es gilt (f g) (x 0 ) = g(x 0 )f (x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ). (4) Ist m = 1, g(x 0 ) 0, so ist f g differenzierbr in x 0 und es ist ( f g ) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ). g 2 (x 0 ) 18.6 Definition: Es sei S R n offen, ξ S und e i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) T bezeichne den i-ten Einheitsvektor. Eine Funktion f : S R heißt im Punkt ξ S prtiell (nch der Vriblen x i ) differenzierbr, flls der Grenzwert f(ξ + te i ) f(ξ) lim t 0 t t R =: f x i (ξ) =: f(ξ) x i 96

97 f existiert (bechte t R). x i (ξ) heißt die prtielle Ableitung von f nch x i im Punkt ξ (weitere Schreibweisen f xi (ξ), f x i, x i f, D i f). Existiert die prtielle Ableitung f x i (ξ) in einer Umgebung U ε (ξ) R n von ξ und ist die Abbildung { Uε (x i ) R f xi : u f x i (u) prtiell in ξ differenzierbr, so definiert mn 2 f x j x i (ξ) := ( f (ξ)). x j x i Für i = j schreibt mn uch 2 f x 2 i := 2 f x i x i Stz: (Schwrz) Es sei S R n offen, f : S R eine Abbildung, für die die prtiellen Ableitungen f x i, f x j, 2 f x i x j, 2 f x j x i uf S existieren und stetig sind. Dnn gilt für lle ξ S 2 f(ξ) = 2 f(ξ). x i x j x j x i Ein entsprechender Stz gilt uch für höhere prtielle Ableitungen! 18.8 Bezeichnungen: Wir setzen 0 f x j = f und für p N p f x p j := ( p 1 f ). x j x p 1 j Die höheren prtiellen Ableitungen der Ordnung k (k = n k j) ( ) k f k ( ) := k1 2 f (... kn ) x k 1 i 1... x kn i n x k 1 i 1 x k 2 i 2 x kn i n werden itertiv definiert. C p (S) bezeichnet die Menge ller Funktionen f : S R, für die die prtiellen Ableitungen der Form ( ) für lle k 1,..., k n N0 mit 0 k k n p und für lle Permuttionen (i 1,..., i n ) von (1,..., n) uf S existieren und stetig sind [die Menge der p-ml stetig (prtiell) differenzierbren Funktionen]. C (S) := {f : S R f C p (S) p N} bezeichnet die Menge der unendlich oft (prtiell) differenzierbren Funktionen uf S Stz: (Zusmmenhng zwischen totler Differenzierbrkeit und prtieller Differenzierbrkeit) Es sei S R n offen, ξ S und f : S R m eine Abbildung. 97

98 (1) Ist f in ξ (totl) differenzierbr, dnn existiert für jede Koordintenbbildung f i (i = 1,..., m) und jedes j {1,..., n} die prtielle Ableitung von f i nch der Vriblen x j und es gilt: Für m = 1 heißt f (ξ) = der Grdient von f im Punkt ξ. f 1 x 1 (ξ).... f m x 1 (ξ)... f 1 x n (ξ). f m x n (ξ) grd f(ξ) := f (ξ) = ( f x 1 (ξ),..., f x n (ξ)) (2) Existieren für i = 1,..., m und j = 1,..., n die prtiellen Ableitungen f i x j der Koordintenbbildungen von f uf S und sind diese im Punkt ξ stetig, dnn ist f im Punkt ξ (totl) differenzierbr Beispiel: () Die Funktion { R 3 R f : 2 (x 1, x 2, x 3 ) T (x 1 x 2, e x 1 sin x 3 ) T ist uf R 3 totl differenzierbr und es gilt ( ) f x (x) = 2 x 1 0 sin x 3 e x 1 0 cos x 3 e x 1 (b) Die Funktion f : R 2 R, f(x) = { x1 x 2 x 2 1 +x2 2 flls x = (x 1, x 2 ) T 0 0 flls x = 0 ist uf R 2 prtiell differenzierbr, uf R 2 \{0} (totl) differenzierbr und im Punkt 0 nicht (totl) differenzierbr Definition: Es S R n offen, x 0 S, e R n mit e 2 = 1. Flls für eine Funktion f : S R der Grenzwert f e (x f(x 0 + t e) f(x 0 ) 0) := lim t 0 t (t reell) existiert, so heißt f e (x 0) die Richtungsbleitung von f im Punkt x 0 in Richtung des Vektors e Eigenschften: (Nottion wie in 18.11) 98

99 (1) Die prtiellen Ableitungen sind spezielle Richtungsbleitungen, d.h. f = f (i = 1,..., n) x i e i (2) Ist f im Punkt x 0 (totl) differenzierbr, dnn existiert jede Richtungsbleitung im Punkt x 0 und es gilt für lle e R n mit e 2 = 1 : f e (x 0) = grd f(x 0 ) e. (3) Es sei grd f(x 0 ) 0 und dnn gilt: e T 0 = grd f(x 0) grd f(x 0 ) 2, f e 0 (x 0 ) = mx{ f e (x 0) e R n ; e 2 = 1} = grd f(x 0 ) 2. D.h. der Grdient gibt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion f im Punkt x 0 n Bezeichnungen: Es sei S R n, S offen h = (h 1,..., h n ) T R n und f : S R. Für f C 1 (S) sei f := grd f (Sprechweise: Nbl f) sowie ( h)f = ( h)f := grd f h = n h j f. x j Für f C k+1 (S) definiert mn induktiv ( h) 0 f = f Zum Beispiel ist lso für k = 1 ( h) k+1 f := ( h)(( h) k f). ( h) 2 f = n i=1 h i n ( x i h j f) = x j n i, h i h j 2 x i x j f. 99

100 18.14 Übung: Es sei S R n, S offen, f : S R und h = (h 1,..., h n ) T R n. Mn zeige, dss für f C k (S) gilt: ( h) k f = α αn=k α 1,...,αn 0 k! α 1!... α n! hα h αn n k x α f x αn Dbei erfolgt die Summtion über lle n-tupel (α 1,..., α n ) mit 0 α j k (j = 1,..., n) und n α j = k. n Stz: (Tylor) Es sei S R n offen, f C k+1 (S), x 0 S, h R n und x 0 + th S für lle 0 t 1. Dnn existiert ein τ (0, 1) mit f(x 0 + h) = f(x 0 ) + ( h)f(x 0) 1! Für k = 0 ergibt sich der Mittelwertstz: ( h)k f(x 0 ) k! + ( h)k+1 f(x 0 + τh). (k + 1)! f(x 0 + h) f(x 0 ) = ( h)f(x 0 + τh) = grd f(x 0 + τh) h Folgerung: Es sei S R n, S offen, x 0 S und δ > 0, so dss U δ (x 0 ) S gilt. Ist die Funktion f : S R k-ml stetig differenzierbr, so gilt für lle h R n mit h < δ f(x 0 + h) = k j=0 ( h) j f(x 0 ) j! + o( h k ) Bezeichnung: Es sei S R n, f : R n R und c R. N f (c) := {x S f(x) = c} heißt Niveulinie (zum Wert c), bzw. Höhenlinie Definition: Es sei = S R n, f : S R, x 0 S. Die Funktion f ht in dem Punkt x 0 ein reltives Mximum, wenn es ein δ > 0 gibt, so dss für lle x U δ (x 0 ) S gilt: f(x) f(x 0 ). f ht in x 0 ein reltives Minimum, wenn f ein reltives Mximum im Punkt x 0 besitzt. f ht in x 0 ein reltives Extremum, wenn f in x 0 ein reltives Mximum oder Minimum ht Stz: Es sei = S R n, S offen, x 0 S. Ht die Funktion f : S R im Punkt x 0 ein reltives Extremum und existieren die prtiellen Ableitungen von f im Punkt x 0, dnn ist grd f(x 0 ) = 0 ( R n ). 100

101 18.20 Definition: Eine symmetrische n n-mtrix A = ( ij ) i,,...,n heißt positiv definit, flls für lle x R n \{0} gilt: x T Ax = n ij x i x j > 0. i, Die Mtrix A heißt positiv semidefinit, flls x T Ax 0 für lle x R n gilt. A heißt negtiv (semi-)definit flls A positiv (semi-)definit ist. Existieren x, y R n mit so heißt die Mtrix A indefinit. x T Ax < 0 < y T Ay, Stz: Es sei A = ( ij ) i,,...,n eine symmetrische n n-mtrix. Die Mtrix A ist positiv definit genu dnn, wenn für lle k = 1,..., n gilt: k k A k :=..... > 0.. k1 k2... kk A k heißt Huptminor der Ordnung k der Mtrix A Lemm: Eine symmetrische n n-mtrix A ist genu dnn positiv definit, wenn es ein α > 0 gibt, so dss für lle x R n gilt: Q A (x) := x T Ax α x Stz: Es sei = S R n offen, x 0 S, f : S R, f C 2 (S) und grd f(x 0 ) = 0. Ist die Hessesche Mtrix von f im Punkt x 0 ( ) 2 f(x 0 ) 2 f(x 0 ) 2 x f(x 0 ) 2 1 x 1 x f(x 0 ) x 1 x n (Hess f)(x 0 ) := =. x i x j..... i,,...,n 2 f(x 0 ) 2 f(x 0 ) x n x 1 x n x 2... (1) positiv definit, dnn ht f im Punkt x 0 ein lokles Minimum. (2) negtiv definit, dnn ht f im Punkt x 0 ein lokles Mximum. (3) indefinit, dnn ht f im Punkt x 0 kein reltives Extremum. 2 f(x 0 ) x 2 n 101

102 18.24 Stz: Es seien x 0 R n, y 0 R m, δ 1, δ 2 > 0, U 1 := U δ1 (x 0 ), U 2 = U δ2 (y 0 ) und { U1 U 2 R m F : ( x y) F (x, y) eine im Punkt ( x 0 ) y 0 (totl) differenzierbre Funktion mit F (x0, y 0 ) = 0, für die die m m- Mtrix F y (x 0, y 0 ) := F 1 y 1 (x 0, y 0 )... F 1 y m (x 0, y 0 ). F m y 1 (x 0, y 0 )... F m y m (x 0, y 0 ) invertierbr ist. Ist dnn g : U 1 R m eine stetige Abbildung mit g(u 1 ) U 2, g(x 0 ) = y 0 und F (x, g(x)) = 0 x U 1, dnn ist g im Punkt x 0 differenzierbr und es gilt wobei F x (x 0, y 0 ) die m n-mtrix ( ) 1 g F x (x 0) := g (x 0 ) = y (x F 0, y 0 ) x (x 0, y 0 ), F x (x 0, y 0 ) = F 1 x 1 (x 0, y 0 )... F 1 x n (x 0, y 0 ).. F m F x 1 (x 0, y 0 )... m x n (x 0, y 0 ) der prtiellen Ableitungen von F bzgl. der ersten n Koordinten im Punkt ( x 0 y 0 ) bezeichnet Stz: (über implizite Funktionen) Es seien U 1 R n, U 2 R m offene Mengen, x 0 U 1, y 0 U 2 und { U1 U 2 R m F : ( x y) F (x, y) eine stetig differenzierbre Abbildung [d.h. invertierbrer m m-mtrix F y (x 0, y 0 ) = F 1 y 1 (x 0, y 0 )... F C 1 (U 1 U 2 )] mit F (x 0, y 0 ) = 0 und F 1 y m (x 0, y 0 )... F m F y 1 (x 0, y 0 )... m y m (x 0, y 0 ) Dnn gibt es offene Mengen V 1 U 1, V 2 U 2 mit x 0 V 1, y 0 V 2 und eine stetige Abbildung g : V 1 V 2 mit F (x, g(x)) = 0 x V

103 Ist (x, y) V 1 V 2 ein Punkt mit F (x, y) = 0, so folgt y = g(x) [d.h. g ist in diesem Sinn eindeutig bestimmt] Bemerkung: Die Funktion g in Stz ist stetig differenzierbr uf einer (evtl. kleineren) offenen Menge U V 1 (mit x 0 U) und es gilt: ( ) 1 F g F (x) = (x, g(x)) (x, g(x)). y x Stz: (Differenzierbrkeit der Umkehrfunktion) Es sei U R n offen, f : U R n eine stetig differenzierbre Abbildung und x 0 U, f(x 0 ) = y 0. Ist die Jcobi- Mtrix f (x 0 ) invertierbr, dnn gibt es eine offene Menge V U mit x 0 V und eine offene Menge V R n mit y 0 V, so dss f die Menge V bijektiv uf V bbildet. Die Umkehrbbildung f 1 : V V ist stetig differenzierbr mit (f 1 ) (y 0 ) = (f (f 1 (y 0 ))) Definition und Stz: (Lgrnge-Multipliktorenregel) Es sei U R n offen, f : U R m (m < n) eine stetig differenzierbre Funktion, M := {x U f(x) = 0} die Menge ller Nullstellen von f in der Menge U und x 0 U, so dss die m n-mtrix f (x 0 ) vollen Rng m hbe. Eine stetig differenzierbre Funktion h : U R ht in dem Punkt x 0 U ein lokles Mximum (Minimum) unter der Nebenbedingung f = 0 flls es ein δ > 0 gibt, so dss h(x 0 ) h(x) (bzw. h(x 0 ) h(x)) für lle x U δ (x 0 ) M U gilt. In diesem Fll existiert ein Vektor λ = (λ 1,..., λ m ) T R m, so dss im Punkt x 0 gilt grd h(x 0 ) λ T f (x 0 ) = 0. Die Elemente λ 1,..., λ m heißen Lgrnge-Multipliktoren. Mn bechte, dss die letzte Identität n Gleichungen und die Menge M m Gleichungen für n + m Unbeknnte (die Koordinten des Extremums und die Lgrnge-Multipliktoren) definiert. 103

104 19. Kurvenintegrle 19.1 Definition: Es sei S R n, I R ein Intervll. Eine Abbildung { I S γ : t γ(t) = (γ 1 (t),..., γ n (t)) T heißt Bogen (bzw. Kurve) in S. γ heißt stetig differenzierbr (bzw. C 1 -Bogen), wenn γ j C 1 (I) j = 1,..., n gilt. γ heißt gltt, flls γ (t) 0 t I gilt. Die Menge γ = γ(i) heißt Träger des Bogens γ. Ein Bogen heißt Jordnbogen, flls γ injektiv ist. Ist I = [α, β] ein kompktes Intervll, so heißen die Punkte γ(α) bzw. γ(β) Anfngsbzw. Endpunkt des Bogens und die Abbildung { [α, β] S γ : t γ (t) = γ(α + β t) der zu γ inverse Bogen. Ein r-tupel (r 2) γ = (γ 1,..., γ r ) von Bögen heißt Weg, flls für lle j = 1,..., r 1 der Endpunkt von γ j mit dem Anfngspunkt von γ j+1 übereinstimmt. Der Anfngspunkt von γ 1 (bzw. Endpunkt von γ r ) heißt Anfngs- (bzw. Endpunkt) des Weges. Ein Weg heißt stückweise gltt (bzw. stückweise C 1 ), wenn die einzelnen Bögen stückweise gltt (bzw. stückweise C 1 ) sind. Ein Weg bzw. Bogen heißt geschlossen, flls sein Anfngs- und Endpunkt übereinstimmen. Ein geschlossener Bogen γ heißt Jordnkurve, flls γ [α,β) injektiv ist Beispiele: (1) Für x, y R n (x y) ist { [0, 1] R n γ : t x + t(y x) ein Bogen und heißt Strecke von x nch y. Ein Streckenzug ist ein Weg, dessen Bögen Strecken sind. (2) Die positiv orientierte Kreislinie γ : [0, 2π] R; γ(t) := ist eine gltte Jordnkurve (r > 0 gegeben). ( ) r cos t r sin t (3) Für x R n, y R n \{0} beschreibt der Bogen { R R n γ : t x + ty eine Gerde im R n (bechte: γ ist gltt). 104

105 (4) Sei r > 0, c R\{0}. Der Bogen { R R 3 γ : t (r cos t, r sin t, ct) T beschreibt eine Schrubenlinie. (5) Der Bogen: { R R 2 γ : t (t 2, t 3 ) T heißt Neilsche Prbel und ist nicht gltt. (6) Ist γ : [α, β] R ein Bogen, so ist (γ, γ ) ein geschlossener Weg. (7) Der Bogen { R R 2 γ : t ( ) t 2 1 t 3 t ist nicht injektiv, d γ(1) = γ( 1) = (0, 0) T Definition: Eine Menge S R n heißt wegzusmmenhängend, wenn es zu je zwei Punkten x, y S einen stetigen Weg in S gibt, der x mit y verbindet. Eine wegzusmmenhängende und offene Menge heißt Gebiet. Mn bechte: Eine offene Menge S ist genu dnn wegzusmmenhängend, wenn je zwei Punkte us S durch einen Streckenzug verbunden werden können [Übung] Stz: Es sei S R n ein Gebiet und f, g : S R differenzierbre Funktionen. Ist grd f = grd g uf S, dnn gibt es eine Konstnte c R mit f = g + c Definition: Es sei S R n offen. Eine Abbildung f : S R n heißt Vektorfeld uf S. Eine differenzierbre Funktion F : S R heißt Stmmfunktion (bzw. Potentil) von f, flls grd F = f uf S gilt Definition: Eine Menge S R n heißt sternförmig, flls es ein x S gibt, so dss für lle y S die x und y verbindende Strecke gnz in S liegt Stz: Es sei S R n offen und f : S R n ein stetig differenzierbres Vektorfeld, f = (f 1,..., f n ). (1) Besitzt f eine Stmmfunktion uf S, dnn gilt für lle i, j = 1,..., n uf S : f i x j = f j x i 105

106 (2) Ist S eine sternförmige offene Menge und gilt für lle i, j = 1,..., n uf S : dnn ht f eine Stmmfunktion uf S. f i x j = f j x i 19.8 Hilfsstz: Es sei [, b] R, U R n offen und { [, b] U R f : (x, y 1,..., y n ) f(x, y 1,..., y n ) stetige Funktion, die bzgl. der Vriblen y k stetig prtiell differenzierbr ist, dnn gilt: y k b f(x, y 1,..., y n )dx = b (d.h. mn drf unter dem Integrl differenzieren). y k f(x, y 1,..., y n )dx 19.9 Definition: Es sei S R n offen, γ : [α, β] S ein stetig differenzierbrer Bogen in S und f = (f 1,..., f n ) ein stetiges Vektorfeld uf S. Dnn ist ds (Kurven)Integrl von f längs γ definiert durch γ f(x)dx := β Ist g : S R stetig, so definiert mn γ α g(x)dx j := f(γ(t)) γ (t)dt = β α n β α f j (γ(t))γ j(t)dt. g(γ(t)) γ j(t)dt, j = 1,..., n. Ist γ = (γ 1,..., γ r ) stetig differenzierbrer Weg in S, so definiert mn γ f(x)dx := r γ j f(x)dx ls Wegintegrl von f längs γ. Sind, b S und ht für jeden stetig differenzierbren Weg γ, der und b verbindet, ds Wegintegrl f(x)dx denselben Wert, so heißt ds γ Wegintegrl f(x)dx wegunbhängig. Schreibweise: γ b f(x)dx. 106

107 19.10 Beispiele: (1) Es sei γ : [α, β] R n stetig differenzierbrer Bogen und f ein stetiges Vektorfeld, dnn gilt: f(x)dx = f(x)dx. γ γ (2) Es sei f : R 2 R 2 definiert durch f(x 1, x 2 ) = (3x 2 1x 2, x 3 1) T und γ : [0, 1] R 2 γ(t) = ( ) t t, dnn gilt: 2 f(x)dx = 1. γ Stz: Es sei S R n ein Gebiet und f ein stetiges Vektorfeld uf S, dnn sind die folgenden Aussgen äquivlent (1) f besitzt uf S eine Stmmfunktion. (2) Ds Integrl f(x)dx ist wegunbhängig für jeden (stückweise) stetig differenzierbren Weg γ in γ S. (3) Für jeden geschlossenen (stückweise) stetig differenzierbren Weg in S gilt: f(x)dx = 0. γ Bemerkung zur Bestimmung einer Stmmfunktion: Ht die stetige Funktion f : R 2 R 2 ; f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) T uf dem 2-dimensionlen Würfel R eine Stmmfunktion (vgl. Stz 19.7 (2) für eine äquivlente Bedingung), so knn mn diese durch F (ξ, η) = ξ f 1 (t, b)dt + berechnen, wobei ( b) ein beliebiger Punkt in R 0 ist. η b f 2 (ξ, t)dt Definition: Es sei γ : [α, β] R n ein Bogen, Z = (t 0,..., t k ) ζ([α, β]) eine Zerlegung des Intervlls [α, β] und l(z, γ) := k γ(t j ) γ(t j 1 ) 2. Der Bogen γ heißt rektifizierbr, wenn L(γ) := sup{l(z, γ) Z ζ([α, β])} < gilt. L(γ) heißt dnn die Länge des Bogens γ. 107

108 19.14 Bemerkungen: (1) Ist γ rektifizierbr, so uch γ und es gilt L(γ ) = L(γ). (2) Sind γ j : [α j, β j ] R n, j = 1, 2, rektifizierbre Jordnbögen mit demselben Bild Γ = γ j, j = 1, 2, dnn gilt L(γ 1 ) = L(γ 2 ). (3) Ist γ : [α, β] R n ein Bogen, α < α < β; γ 1 := γ [α,α ] γ 2 = γ [α,β], dnn gilt L(γ) = L(γ 1 ) + L(γ 2 ) Stz: Ist γ : [α, β] R n stetig differenzierbrer Bogen, dnn ist γ rektifizierbr und es gilt: β β n L(γ) = γ (t) 2 dt = ( γ j(t) 2 ) 1/2 dt. α α Beispiele: (1) Ist γ : t γ(t) = ( r cos t r sin t), 0 t 2π, der Kreis um den Nullpunkt mit Rdius r, so gilt: L(γ) = 2πr. (2) Es sei f C 1 ([α, β]) und ein Bogen durch { [α, β] R 2 γ : t ( ) t f(t) definiert. Dnn ist γ der Grph von f und es gilt: (3) Die durch L(γ) = β α 1 + (f (t)) 2 dt. { [0, b] R 2 γ : t γ(t) = ( ) e t cos t e t sin t definierte Kurve heißt logrithmische Spirle und es gilt L(γ) = 2(1 e b ) Definition: Es sei f : [, b] R eine Funktion und Z = (x 0,..., x n ) ζ([, b]) eine Zerlegung des Intervlls [, b]. Wir setzen v f (Z, [, b]) := n f(x j ) f(x j 1 ) 108

109 und bezeichnen V f = V f ([, b]) := sup{v f (Z, [, b]) Z ζ([, b])} ls die Vrition von f über dem Intervll [, b]. Die Funktion f heißt von beschränkter Vrition uf dem Intervll [, b], flls V f ([, b]) < gilt. BV ([, b]) bezeichne die Menge ller Funktionen von beschränkter Vrition uf dem Intervll [, b] Einfche Eigenschften (1) Z Z v f (Z, [, b]) v f (Z, [, b]) (2) BV ([, b]) B([, b]), wobei B([, b]) die Menge der uf [, b] beschränkten Funktionen bezeichne. (3) Ist f : [, b] R Lipschitz stetig der Ordnung 1, dnn ist f von beschränkter Vrition. (4) Ist f : [, b] R monoton, dnn ist f von beschränkter Vrition und V f ([, b]) = f(b) f() Übung: Mn zeige (1) BV ([, b]) ist bzgl. der üblichen Addition und Sklrmultipliktion ein Vektorrum. (2) Durch f := f() + V f ([, b]) wird eine Norm uf BV ([, b]) definiert und BV ([, b]) ist bzgl. dieser Norm vollständig Beispiel: Die Funktion [0, 1] R f : x f(x) := { x cos π x flls x 0 0 flls x = 0 ist stetig ber nicht von beschränkter Vrition uf dem Intervll [0, 1] Übung: Mn zeige für < c < b : f BV ([, b]) f BV ([, c]) BV ([c, b]). In diesem Fll gilt: V f ([, b]) = V f ([, c]) + V f ([c, b]). 109

110 19.22 Stz: Es sei f BV ([, b]), dnn ist die Abbildung { [, b] R v : x V f ([, x]) =: v(x) monoton wchsend und in jedem Stetigkeitspunkt von f stetig Stz: Eine Funktion f : [, b] R ist genu dnn von beschränkter Vrition uf dem Intervll [, b], wenn sie sich ls Differenz von zwei monoton wchsenden Funktionen drstellen lässt Übung: Mn zeige: Ist f : [, b] R stetig und α : [, b] R von beschränkter Vrition uf dem Intervll [, b], dnn ist f bzgl. α uf dem Intervll [, b] Riemnn- Stieltjes integrierbr Stz: Es sei { [α, β] R n γ : t γ(t) := (γ 1 (t),... γ n (t)) T ein Bogen. γ ist genu dnn rektifizierbr, wenn für lle j = 1,..., n gilt: γ j BV ([α, β]) Stz: Es sei γ : [α, β] R n stetiger und rektifizierbrer Bogen und die Funktion s : [α, β] R definiert durch s(t) := L(γ [α,t] ) dnn gilt: (1) s ist monoton wchsend und stetig. Ist γ Jordnbogen, dnn ist s streng wchsend. (2) Ist γ gltt (d.h. γ stetig differenzierbr und γ (t) 0 t [α, β]), dnn ist s C 1 ([α, β]) und s (t) > 0 t [α, β]. Ist die Funktion ψ : [0, L(γ)] R n durch ψ(u) = γ(s 1 (u)) definiert, dnn gilt für lle u [0, L(γ)] ψ (u) 2 = 1. Mn spricht von einer Prmetrisierung bezüglich der Bogenlänge Definition: Es sei S R n offen, γ : [α, β] S gltter Bogen in S und f : S R stetig. Ds Integrl β f(x)ds := f(γ(t)) γ (t) 2 dt γ α heißt Integrl von f längs γ bzgl. der Bogenlänge. 110

111 VII. Integrlrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher 20. Integrtion von Treppenfunktionen und ds Lebesgue- Integrl 20.1 Bezeichnungen: Es seien I 1, I 2,..., I n R beschränkte Intervlle der Länge I 1,..., I n. Die Menge Q = I 1... I n heißt Quder im R n und λ(q) := n I j heißt Volumen von Q. Wenn die Dimension von Bedeutung ist, benutzen wir uch die Nottion λ n (Q) Definition: Eine Funktion ϕ : R n R heißt Treppenfunktion, wenn es endlich viele prweise disjunkte Quder Q 1,..., Q s R n und reelle Zhlen c 1,..., c s gibt, so dss gilt: ( ) ϕ(x) = s c j I Qj (x). Dbei ist für A R n die chrkteristische Funktion durch I A : R n {0, 1} { 1 flls x A I A (x) := 0 flls x A definiert (vgl. uch mit Definition und Stz 7.17). Ds Integrl einer Treppenfunktion ϕ mit der Drstellung ( ) ist definiert ls R n ϕ(x)dx = s λ(q j )c j. Weitere Schreibweisen: ϕ(x)dx bzw. ϕdx. 111

112 20.3 Eigenschften: (1) Ds Integrl einer Treppenfunktion ist unbhängig von der gewählten Drstellung. (2) Es seien ϕ, ψ Treppenfunktionen, α, β R, dnn gilt: (i) (αϕ + βψ)dx = α ϕdx + β ψdx. (ii) ϕdx ϕ dx. (iii) Gilt ϕ(x) ψ(x) x R n, dnn ist ϕdx ψdx. (iv) Es sei x 1 R p, x 2 R q, x = ( x 1 ) x 2 R n (n = p + q), dnn gilt ( ϕ(x 1, x 2 )d(x 1, x 2 ) := ϕ(x)dx = ϕ(x 1, x 2 )dx 1 R n R n R q R p ( = ϕ(x 1, x 2 )dx 2 R p R q ) dx 2 ) dx Definition: Es sei f : R n R eine Funktion. Unter einer Hüllreihe zu f verstehen wir eine Funktion Φ : R n R der Form Φ(x) = c k I Qk (x) mit den Eigenschften: (1) Q 1, Q 2,... sind offene Quder in R n und für lle k N ist c k 0. k=1 (2) Für lle x R n gilt Wir bezeichnen I(Φ) := ls Inhlt von Φ und definieren f(x) Φ(x). c k λ(q k ) R + 0 k=1 f 1 := inf{i(φ) Φ ist Hüllreihe zu f}. Mn beche, dss die hier ufretenden unendlichen Reihen entweder (bsolut) konvergent oder bestimmt divergent sind. 112

113 20.5 Rechenregeln: Es seien f, g, f 1, f 2,... : R n R Funktionen, dnn gilt: (i) cf 1 = c f 1 c R (ii) f + g 1 f 1 + g 1 (iii) f g f 1 g 1 (iv) k=1 f k 1 k=1 f k 1. Wegen der Eigenschften (i) und (ii) bezeichnet mn 1 uch ls Semi-Norm Hilfsstz: Für jede Treppenfunktion ϕ : R n R gilt ϕ 1 = ϕ(x) dx. R n 20.7 Definition: Eine Funktion f : R n R heißt Lebesgue-integrierbr über R n (kurz: integrierbr), wenn es eine Folge von Treppenfunktionen (ϕ k ) k N gibt mit In diesem Fll existiert der Grenzwert lim f ϕ k 1 = 0. k f(x)dx := lim ϕ k (x)dx R n k R n (in R) und heißt Lebesgue-Integrl von f. Weitere Schreibweisen: f(x)d n x oder fdx. Es sei D R n, f : D R und A D eine Menge. Die Funktion f heißt über der Menge A Lebesgue-integrierbr, flls ihre Fortsetzung { R f A : n R x I A (x)f(x) Lebesgue integrierbr ist. In diesem Fll heißt f(x)dx := f(x)i A (x)dx A R n Lebesgue-Integrl von f über A. 113

114 20.8 Stz: Es seien f, g : R n R Lebesgue-integrierbre Funktionen, dnn gilt: (1) f ist Lebesgue-integrierbr und fdx f dx = f 1 (2) Für lle α, β R ist αf + βg Lebesgue-integrierbr und es gilt (αf + βg)dx = α fdx + β gdx. (3) Ist ußerdem f(x) g(x) x R n, so gilt fdx gdx (4) Ist ußerdem g beschränkt, so ist uch f g Lebesgue-integrierbr. (5) Die Funktionen mx(f, g) := 1 (f + g + f g ) 2 min(f, g) := 1 (f + g f g ) 2 sind Lebesgue-integrierbr. Insbesondere sind lso der positive Anteil von f und der negtive Anteil von f f + := mx{f, 0} f = mx{ f, 0} integrierbr. Mn bechte die Drstellungen f = f + f, f = f + + f Stz: (Zusmmenhng zwischen Riemnn- und Lebesgue-Integrl) Es sei [, b] R ein kompktes Intervll und f : [, b] R Riemnn-integrierbr. Dnn ist f uch über [, b] Lebesgue-integrierbr und die beiden Integrle stimmen überein, d.h. b f(x)dx = f(x)dx. [,b] 114

115 20.10 Hilfsstz: Es sei f : R n R eine Funktion und (ϕ k ) k N eine monoton wchsende Folge von Treppenfunktion, die punktweise gegen f konvergiert, und für die die Folge der Integrle ( ) ϕ k dx k N beschränkt ist. Dnn ist f Lebesgue-integrierbr und es gilt fdx = lim ϕ k dx. k Bemerkung: Es sei F eine Menge von R-wertigen uf einer Menge A definierten Funktionen. Die durch { A R f : x f(x) := sup{ψ(x) ψ F} definierte Funktion heißt obere Einhüllende von F. Ist F = {ψ 1, ψ 2,...} bzählbr und ϕ k für x A durch ϕ k (x) := mx{ψ 1 (x),..., ψ k (x)} definiert, dnn gilt für lle x A f(x) = lim k ϕ k (x) Stz: Es sei A R n entweder offen und beschränkt oder kompkt und f : A R stetig und beschränkt, dnn ist f Lebesgue-integrierbr über A Lemm: (Fortsetzungslemm von Tietze) Es sei f : A R eine stetige Funktion uf einer bgeschlossenen Teilmenge eines normierten Rumes (X, ), dnn knn f zu einer stetigen Funktion F : X R fortgesetzt werden Bezeichnungen: Es sei A R p R q, dnn heißt für y R q die Menge A y := {x R p (x, y) A} y-schnitt von A und für x R p die Menge A x := {y R q (x, y) A} x-schnitt von A. 115

116 20.15 Stz: (Kleiner Stz von Fubini) Es sei X = R p, Y = R q und A X Y entweder eine kompkte oder eine offene und beschränkte Menge und f : A R eine beschränkte und stetige Funktion. Dnn ist für jedes y R q mit A y die Funktion x f(x, y) über A y integrierbr. Außerdem ist die durch F (y) := A y f(x, y)dx flls A y 0 flls A y = definierte Funktion über Y integrierbr und es gilt f(x, y)d(x, y) = F (y)dy = A Y Y ( ) f(x, y)dx dy. A y Ein entsprechender Stz gilt, flls mn x und y vertuscht, d.h. ( ) f(x, y)d(x, y) = f(x, y)dy dx. X A x A Bemerkung: In der Sitution von Stz sei p = 1, q = n 1 und für jedes y R n 1 die Menge A y entweder leer oder ein Intervll der Form [ϕ 1 (y), ϕ 2 (y)], dnn folgt mit B = {y R n 1 A y = } us Stz und 20.9: ( ) ϕ2 (y) f(x, y)d(x, y) = f(x, y)dx dy A B (mn bechte, dss ds innere Integrl uf der rechten Seite ein Riemnn-Integrl ist). Im Fll n = 2 ist die Menge A oft von der Form ϕ 1 (y) A = {(x, y) R 2 c y d; ϕ 1 (y) x ϕ 2 (y)} mit stetigen Funktionen ϕ 1, ϕ 2 : [c, d] R und mn spricht von einem Normlbereich bzgl. der y-achse. Es gilt dnn (flls f stetig uf A ist) d ( ϕ 2 (y) ) f(x, y)d(x, y) = f(x, y)dx dy A c ϕ 1 (y) (in diesem Fll sind beide Integrle uf der rechten Seite Riemnn-Integrle). bezeichnet (für stetiges ψ 1, ψ 2 : [, b] R) Anlog A = {(x, y) R 2 x b; ψ 1 (x) y ψ 2 (x)} einen Normlbereich bzgl. der x-achse und es gilt (flls f stetig uf der Menge A ist) A f(x, y)d(x, y) = b ( ψ 2 (x) ψ 1 (x) ) f(x, y)dy dx. 116

117 20.17 Beispiele: (1) Fläche des Kreises K 2 := {(x, y) R 2 x 2 + y 2 r 2 } K 2 1d(x, y) = πr 2. (2) Volumen der Kugel K 3 = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 r} K 3 1d(x, y, z) = 4 3 πr3. (3) Sei A = {(x, y) R 2 0 x 1, x 2 y x}, dnn ist xyd(x, y) = A Definition: Eine Menge A R n heißt Lebesgue-meßbr flls ihre chrkteristische Funktion I A Lebesgue-integrierbr ist. Die Zhl λ(a) := I A (x)dx = 1dx R n A heißt Lebesgue-Mß von A (bzw. n-dimensionles Volumen von A). Wenn die Dimension von Bedeutung ist, benutzen wir uch die Nottion λ n (A) Übung: (Fläche unter einer Kurve) Es sei g : [, b] R + 0 eine stetige Funktion und A = {(x, y) R 2 x [, b]; y [0, g(x)]}, dnn gilt λ 2 (A) = b g(x)dx Übung: Mn zeige: (1) Jede beschränkte und offene und jede kompkte Menge im R n ist Lebesgue-messbr. (2) Sind A, B Lebesgue-messbr, so sind uch A B und A B Lebesgue-messbr und es gilt λ(a B) = λ(a) + λ(b) λ(a B) λ(a) λ(b) flls A B. 117

118 20.21 Beispiel: (Cvlierisches Prinzip) (1) Sei A R n kompkt oder beschränkt und offen, dnn gilt λ n (A) = λ n 1 (A xn )dx n wobei A xn bezeichnet. die Menge (2) Es sei R + und R A xn = {(x 1,..., x n 1 ) R n 1 (x 1,..., x n ) A} n () := {x R n x 1,..., x n 0; x 1 + x x n } ds n-dimensionle Stndrdsimplex (mit Kntenlänge ), dnn gilt: λ n ( n ()) = n n! Definition: Eine Lebesgue-messbre Menge A R n heißt Nullmenge, flls für ihr Lebesgue-Mß λ n (A) = 0 gilt Eigenschften: (1) N R n ist eine Nullmenge genu dnn, wenn I N 1 = 0 gilt. (2) Ist N R n eine Nullmenge und M N, dnn ist uch M eine Nullmenge (lso insbesondere Lebesgue-messbr). (3) Sind N 1, N 2,... Nullmengen, so ist uch eine Nullmenge. k=1 N k 118

119 20.24 Bezeichnung: Es sei E eine Eigenschft derrt, dss für jeden Punkt x R n erklärt ist, ob er diese Eigenschft besitzt oder nicht. Wir sgen die Eigenschft E gilt fst überll bzw. für fst lle x R n, flls die Menge ller Punkte im R n, für die E nicht gilt, eine Nullmenge ist Stz: Es sei f : R n R eine Lebesgue-integrierbre Funktion, dnn ist f fst überll endlich, d.h. λ({x R n f(x) = oder f(x) = }) = Stz: Sind die Funktionen f, g : R n R uf R n fst überll gleich und ist f Lebesgue-integrierbr, dnn ist uch g Lebesgue-integrierbr und es gilt fdx = gdx Beispiele: (1) Die Funktion { [0, 1] R g : x I Q [0,1] (x) ist Lebesgue- ber nicht Riemnn-integrierbr. (2) Ist N eine Nullmenge, dnn ist jede Funktion f : R n R über N Lebesgueintegrierbr und es gilt fdx = 0. N (3) Ist f über A R n und B R n Lebesgue-integrierbr, dnn ist f uch über A B und A B Lebesgue-integrierbr und es gilt fdx = fdx + fdx fdx Übung: A B A B A B 119

120 (1) Es sei f : R n R integrierbr, dnn existiert eine integrierbre Funktion die fst überll mit f übereinstimmt. f : R n R, (2) Für eine Funktion f : R n R gilt f 1 = 0 genu dnn, wenn f fst überll gleich 0 ist Hilfsstz: Sei U R n eine offene Menge, dnn existieren (höchstens) bzählbr viele kompkte Würfel W 1, W 2,..., die höchstens Rndpunkte gemeinsm hben, so dss U = gilt. Ist U ußerdem Lebesgue-messbr, so gilt W j λ(u) = λ(w j ) Hilfsstz: Es sei N R n eine Nullmenge, dnn gibt es zu jedem ε > 0 eine messbre und offene Menge U mit N U, λ(u) < ε Stz: Eine Menge N R n ist genu dnn eine Nullmenge, wenn es zu jedem ε > 0 bzählbr viele Würfel W 1, W 2,... gibt mit N W j, λ(w j ) < ε. 120

121 20.32 Stz: Es sei f : R n R integrierbr, dnn ist uch die durch f (x) := f(x ) definierte Funktion integrierbr und es gilt: f (x)dx = f(x)dx R n R n (Trnsltionsinvrinz des Lebesgue-Integrls) Stz: Es seien 1,..., n R n Vektoren. Die Menge P ( 1,..., n ) := { x = n } t j j t1,..., t n [0, 1] heisst ds von den Vektoren 1,..., n Volumen von P ( 1,..., n ) ufgespnnte Prllelotop, und es gilt für ds λ(p ( 1,..., n )) = det( 1,..., n ) Übung: Es sei T : R n R n, x T (x) = T x eine linere Abbildung, Q R n ein Quder, dnn ht ds Prllelotop T (Q) ds Volumen λ(t (Q)) = det T λ(q) Bemerkung: Die in Definition 20.4 definierte Abbildung 1 definiert keine Norm uf dem Vektorrum L 1 (R n ) := {f : R n R f ist integrierbr}, d f 1 = 0 nicht f = 0 impliziert. Die Menge N := {f L 1 (R n ) f 1 = 0} bildet einen Untervektorrum und uf dem Quotienten wird durch die Abbildung L 1 (R n ) := L 1 (R n )/N 1 : { L 1 (R n ) R + 0 f + N f 1 eine Norm erklärt. In nderen Worten: wir identifizieren f, g L 1 (R n ), flls f = g fst überll gilt. Im folgenden werden wir diese Identifiktion benutzen, ohne dies explizit zu erwähnen. 121

122 20.36 Stz: (Riesz-Fischer) L 1 (R n ) ist ein Bnchrum Folgerung: Der Beweis des Stzes von Riesz-Fischer zeigt, dss jede L 1 -Cuchy- Folge (f k ) k N eine Teilfolge (f kl ) l N enthält, die punktweise fst überll gegen eine integrierbre Funktion f konvergiert. Außerdem gilt lim l R n f kl (x)dx = R n f(x)dx Folgerung: Es sei f : R n R eine integrierbre Funktion, dnn existiert eine Folge von Treppenfunktionen (ϕ k ) k N mit den folgenden Eigenschften: (1) lim k f ϕ k 1 = 0 (2) ϕ k konvergiert fst überll gegen f. (3) ϕ k ϕ k+1 1 k=1 < 122

123 21. Die Sätze von Beppo Levi, Lebesgue, Fubini und die Trnsformtionsformel 21.1 Stz: (Beppo Levi) Es sei (f k ) k N eine monoton wchsende Folge integrierbrer Funktionen uf R n, so dss die Folge der Integrle ( ) f k (x)dx R n k N beschränkt ist. Dnn ist die durch f : R n R f(x) := lim k f k (x) uf R n definierte Funktion integrierbr, und es gilt: f(x)dx = lim f k (x)dx. R n k R n 21.2 Folgerung: Es sei (f k ) k N Folge integrierbrer, nichtnegtiver Funktionen, für die die Folge ( k ) f j (x)dx R n k N beschränkt ist. Dnn konvergiert die Reihe k=0 f k fst überll und es gilt: f k (x)dx = R n k=1 k=1 R n f k (x)dx Stz: (Zusmmenhng zwischen uneigentlichem Riemnn- und Lebesgue- Integrl) Es sei [, ) ein unbeschränktes Intervll und f : [, ) R eine uf jedem Intervll [, b] (b > ) Riemnn-integrierbre Funktion. f ist genu dnn über [, ) Lebesgue-integrierbr, wenn ds uneigentliche Riemnn-Integrl von f bsolut konvergiert, d.h. f(x) dx <. 123

124 In diesem Fll stimmen beide Integrle überein: f(x)dx = [, ) f(x)dx. Ein entsprechender Stz gilt für die nderen in Abschnitt 14 definierten uneigentlichen Riemnn-Integrle Stz: (Stz von Lebesgue, Stz von der mjorisierten Konvergenz) Es sei (f k ) k N eine Folge integrierbrer Funktionen uf R n, für die f(x) = lim k f k (x) fst überll existiert. Es sei g eine integrierbre Funktion uf R n mit f k g für lle k N. Dnn ist f integrierbr, und es gilt f(x)dx = lim f k (x)dx. R n k R n Mn bechte: Ein entsprechender Stz gilt für die Integrtion über eine Teilmenge A R n Beispiele: (i) Die für s > 1 definierte Funktion ζ(s) := n=1 1 n s heißt Riemnnsche Zet-Funktion. Es gilt für s > 1 : ζ(s) = 1 Γ(s) 0 x s 1 e x 1 dx. (ii) Für x R gilt e t2 cos(xt)dt = πe x2 4. (iii) Die durch J 0 (x) := 1 π 1 1 cos(xt) 1 t 2 dt definierte Funktion heißt Besselfunktion (der Ordnung 0) und es gilt J 0 (x) = n=0 124 ( 1) n ( x 2n! ) 2n.

125 21.6 Anwendung: Es sei U R n offene Menge, V R m und { U V R f : (u, v) f(u, v) eine Funktion, die für jedes feste u U über der Menge V integrierbr ist. (1) Ist für jedes feste v V die Funktion f v : u f(u, v) stetig und existiert eine integrierbre Funktion g : V R mit f(u, v) g(v) für fst lle (u, v) U V, dnn ist die durch ( ) F (u) = f(u, v)dv definierte Funktion uf U stetig. (2) Gilt zusätzlich, dss f v uf U für jedes feste v V bzgl. der jten Komponente u j prtiell stetig differenzierbr ist und existiert eine uf V integrierbre Funktion h mit f u j (u, v) h(v) V für fst lle (u, v) U V, dnn ist uch die durch ( ) definierte Funktion bzgl. der Vriblen u j prtiell stetig differenzierbr und es gilt F f (u) = (u, v)dv. u j u j V D.h. insbesondere ist für jedes u U die prtielle Ableitung f u j (u, v) über V integrierbr Stz: (Fubini) Es sei X = R p, Y = R q und f : X Y R eine integrierbre Funktion. Dnn gilt: () Es gibt eine Nullmenge N Y, so dss für lle y Y \N die Funktion x f(x, y) (für festes y) über X integrierbr ist. (b) Die durch diese Integrtion erhltene Funktion Y R { F : f(x, y)dx für y Y \N y F (y) := X 0 für y N ist über Y integrierbr und es gilt f(x, y)d(x, y) = X Y Y F (y)dy = Y ( X ) f(x, y)dx dy. 125

126 (c) Ein entsprechender Stz gilt, flls mn die Reihenfolge der Integrtion vertuscht, d.h. ( ) f(x, y)d(x, y) = f(x, y)dy dx. X Y X Y 21.8 Stz: (Tonelli) Es sei X = R p, Y = R q und f : X Y R sei entweder eine lokl integrierbre Funktion (d.h. f ist uf jeder kompkten Menge K R p+q integrierbr, oder eine fst überll stetige Funktion. Dnn ist die Funktion f genu dnn integrierbr, wenn eines der beiden iterierten Integrle ( ) ( ) f(x, y) dx dy ; f(x, y) dy dx existiert. In diesem Fll gilt: f(x, y)d(x, y) = X Y Y X X ( Y X Y ) f(x, y)dy dx = Y ( X ) f(x, y)dx dy Beispiel: Es sei f : R R eine nichtnegtive integrierbre Funktion, so dss die Funktion t tf(t) integrierbr ist und f(t)dt = 1 gilt. Dnn sind die durch F (x) := x R f(t)dt bzw. 1 F (x) = x f(t)dt definierten Funktionen uf (, 0] bzw. [0, ) integrierbr und es gilt: tf(t)dt = (1 F (x))dx F (x)dx. R [0, ) (,0] Definition: Es seien U, V R n offene Mengen. Eine Abbildung T : U V heißt Diffeomorphismus, flls T stetig differenzierbr und bijektiv ist und die Umkehrbbildung ebenflls stetig differenzierbr ist. 126

127 21.11 Stz (Trnsformtionsformel): Es seien U, V R n offene Mengen und T : U V ein Diffeomorphismus. Eine Funktion f : V R ist genu dnn über V integrierbr, wenn die Funktion (f T ) det T über U integrierbr ist. In diesem Fll gilt: f(t (x)) det T (x) dx = f(y)dy. U V Beispiel: (Polrkoordinten und ds Volumen der Kugel) Es sei R > 0, die Abbildung { (0, R) ( π, π) ( π P n :, π 2 2 )n 2 Kn (r, ϕ 1,..., ϕ n 1 ) P n (r, ϕ 1,..., ϕ n 1 ) mit Kn = {x R n x 2 < R; } \ {(x 1, 0) x 1 0} R n 2 und r cos ϕ 1 cos ϕ 2 cos ϕ 3... cos ϕ n 2 cos ϕ n 1 r sin ϕ 1 cos ϕ 2 cos ϕ 3... cos ϕ n 2 cos ϕ n 1 r sin ϕ 2 cos ϕ 3... cos ϕ n 2 cos ϕ n 1 P n (r, ϕ 1,..., ϕ n 1 ) =. r sin ϕ n 2 cos ϕ n 1 r sin ϕ n 1 ist ein Diffeomorphismus. Für x = (x 1,..., x n ) T K n heißt x = P n (r, ϕ 1,..., ϕ n 1 ) die Polrkoordintendrstellung von x. Für ds Volumen der n-dimensionlen Kugel mit Rdius R K n := {x R n x 2 R} gilt für ds Volumen κ n = λ n (K n ) κ n = K n dx = R π π/2 0 π = πn/2 R n Γ( n 2 + 1), π/2 π/2... r n 1 cos ϕ 2 cos n 2 ϕ n 1 dϕ n 1... dϕ 2 dϕ 1 dr π/2 wobei die Reihenfolge der Integrtion vertuscht werden knn. 127

128 21.13 Beispiel: Es sei f : (, b) R (0 < b), dnn bezeichnet mn die Funktion ls rottionssymmetrisch uf f : { K,b R x f( x 2 ) K,b := {x R n < x 2 < b}. f ist genu dnn uf K,b integrierbr, wenn die Funktion t t n 1 f(t) uf (, b) integrierbr ist, und es gilt in diesem Fll f(x)dx = f( x 2 )dx = nκ n K,b K,b b f(t)t n 1 dt, wobei κ n ds in definierte Volumen der n-dimensionlen Einheitskugel bezeichnet. E n = {x R n x 2 1} Beispiele: (1) e x 2 2 dx = π n/2 R n (2) e t2 dt = π R (3) Für p, q > 0 gilt: 1 0 t p 1 (1 t) q 1 dt = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q) = B(p, q). Die durch diese Identität definierte Funktion B : R + R + R + heißt Bet-Funktion. 128

129 22. Differentilformen und Flächenintegrle 22.1 Definition: Es sei U R n offen. Eine stetige Abbildung ω : U R n R, die bzgl. des zweiten Arguments liner ist, heißt 1-Form bzw. Pfffsche Form. Ist γ : [α, β] U ein stückweise gltter Weg so heißt ω := β γ α ω(γ(t), γ (t))dt ds Integrl über ω längs der durch γ festgelegten orientierten Kurve Bemerkung: (1) Mit dem Sklrprodukt, b := n i b i für = ( 1,..., n ) T R n, b = (b 1,..., b n ) T R n, f : R n R n und ω(, b) = f(), b erhält mn die Definition des Kurvenintegrls ls Spezilfll. (2) Sind γ j : [α j, β j ] U (j = 1, 2) stetig differenzierbre Wege und gilt γ 2 = γ 1 ϕ mit einer stetig differenzierbren, streng wchsenden Funktion ϕ : [α 2, β 2 ] [α 1, β 1 ] dnn gilt für jede Pfffsche Form ω ω = ω. γ 1 γ 2 Mn nennt γ 1 und γ 2 in diesem Fll äquivlent und die zugehörigen Äquivlenzklsse ebenflls orientierte stückweise gltte Kurve. i= Bezeichnung: Für 1-Formen wird oft die folgende Drstellung verwendet ω = 1 (x)dx n (x)dx n, wobei bei der Berechnung des Integrls über ω längs γ dnn j (x)dx j durch j (γ(t))γ j(t)dt ersetzt wird und j (x) = ω(x, e j ), j = 1,..., n mit e j = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) T gilt. 129

130 22.4 Übung: (1) Es sei U = R 2 \{(0, 0) T } und ω = x 2 dx x x x 1 dx 2 x x 2 2, 2 dnn gilt für den Weg γ : [0, π] R 2 mit ( ) cos t γ(t) = sin t ω = π, und für den Weg γ = [0, 2] R 2 mit { (1 t, t) T für 0 t 1 γ(t) = (1 t, t 2) T für 1 < t 2 γ γ ω = π. (2) Sind γ 1, γ 2 stückweise gltte Wege mit γ 1 = γ 2 ϕ für eine stetig differenzierbre streng fllende Funktion ϕ, dnn gilt für jede Pfffsche Form ω : ω = ω. γ 1 γ 2 (3) Sind ω 1, ω 2 Pfffsche Formen und γ stückweise gltter Weg, dnn gilt ω 1 + ω 2 = ω 1 + ω 2 γ γ γ cω 1 = c ω 1 c R. γ γ (4) Ist γ = (γ 1, γ 2 ) stückweise gltter Weg, dnn gilt für jede Pfffsche Form ω ω = (γ 1,γ 2 ) ω + γ 1 ω. γ Stz und Definition: Es sei U R n offen. Eine Pfffsche Form ω : U R n R n ω = i (x)dx i i=1 130

131 heißt exkt, flls eine stetige differenzierbre Funktion f : U R existiert mit f x i = i i = 1,..., n. In diesem Fll heißt f Stmmfunktion zu ω bzw. Potentil von ω. ω ist genu dnn in einem Gebiet G exkt, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: (1) ω = γ 1 ω für je zwei stückweise gltte Wege mit denselben Anfngs- und Endpunkten γ 2 (d.h. ds Integrl von ω längs γ ist wegunbhängig). (2) Für jeden geschlossenen stückweise gltten Weg γ gilt ω = 0. γ 22.6 Stz: Es sei ω : U R n R mit ω = n i (x)dx i i=1 eine exkte Pfffsche Form mit stetig differenzierbren Funktionen 1,..., n, dnn gilt ( ) i x j = j x i i, j = 1,..., n. Ist die offene Menge U sternförmig, so folgt us der Bedingung ( ) uch die Exktheit von ω Beispiele: (1) ω = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 {xdx + ydy + zdz} besitzt uf U = R 3 \{0} die Stmmfunktion f : U R mit f(x, y, z) = 1 x2 + y 2 + z 2. (2) Mn nennt ω uch Grvittionsform. ω = (x 2 + y 2 ) 1 { ydx + xdy} besitzt uf U = R 2 \{0} keine Stmmfunktion, ber uf jeder sternförmigen Teilmenge von U. ω heißt Windungsform. 131

132 22.8 Definition: Es sei U R n offen. Eine stetige Abbildung { U R ( ) ω : n... R n R (x, h 1,..., h p ) ω(x, h 1,..., h p ) heißt lternierend, flls bei Vertuschen zweier Argumente h i und h j sich ds Vorzeichen von ω ändert, d.h. es gilt für i j ω(x, h 1,..., h i 1, h i, h i+1,..., h j 1, h j, h j+1,..., h p ) = ω(x, h 1,..., h i 1 h j, h i+1,..., h j 1, h i, h j+1,..., h p ). Eine stetige und lternierende Abbildung der Form ( ), die bzgl. der Argumente h 1,..., h p liner ist, heißt p-form in U bzw. lternierende Differentilform p-ter Stufe Bemerkung: (1) Existieren zwei gleiche Argumente unter h 1,..., h p, so gilt ω(x, h 1,..., h p ) = 0. (2) Ist σ Permuttion der Zhlen {1,..., p} und σ p := #{(i, j) {1,..., p} 2 i < j, σ(i) > σ(j)} die Anzhl der Inversionen von σ, dnn gilt ω(x, h σ(1),..., h σ(p) ) = ( 1) σp ω(x, h 1,..., h p ) Bezeichnungen: Es sei h j = (h j1,..., h jn ) T, e j = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) T R n der j-te Einheitsvektor, dnn besitzt eine p-form uf U die Drstellung h 1i1... h pi1 ω = ω(x, e i1,..., e ip ).. 1 i 1 <...<i p n h 1ip... h pip (mn bechte, dss us den Vektoren h 1,..., h p R n jeweils nur die Komponenten i 1,..., i p für die Determinntenbildung benutzt werden!). Mit den Bezeichnungen i1...i p (x) = ω(x, e i1,..., e ip ) dx i1 dx i2... dx ip := h 1i1. h 1ip... h pi1.... h pip besitzt ω dnn die Drstellung ω = i1...i p (x)dx i1... dx ip. 1 i 1 <...<i p n Dbei sind die i1...i p stetige Funktionen uf der offenen Menge U. 132

133 22.11 (Multipliktion von Differentilformen) Eine p-form der Gestlt ω = dx i1... dx ip wird ls Bsis-Form (der Stufe p) bezeichnet. Wir führen eine (nicht kommuttive) Multipliktion von Bsis-Formen ω 1 = dx i1... dx ip, ω 2 = dx j1... dx jq durch ω 1 ω 2 := dx i1... dx ip dx j1... dx jq ein. Ds ergibt bis uf ds Vorzeichen eine Bsis-Form der Stufe p + q (flls {i 1,..., i p } {j 1,..., j q } = ) oder 0 (flls {i 1,..., i p } {j 1,..., j q } ). Die Multipliktion von llgemeinen Differentilformen ω 1 = i1...i p (x)dx i1... dx ip 1 i 1 <...<i p n ω 2 = 1 j 1 <...<j q n b j1...j q (x)dx j1... dx jq wird dnn durch erklärt. ω 1 ω 2 := 1 i 1 <...<ip n 1 j 1 <...<jq n i1...i p (x)b j1...j q (x)dx i1... dx ip dx j1... dx jq Übung: Es seien ω 1, ω 1 lternierende Differentilformen der Ordnung p, ω 2, ω 2 lternierende Differentilform der Ordnung q und ω 3 lternierende Differentilform der Ordnung r und eine 0-Form (d.h. eine uf U stetige Funktion). Mn zeige (1) (ω 1 + ω 1 ) ω 2 = ω 1 ω 2 + ω 1 ω 2 (2) ω 1 (ω 2 + ω 2 ) = ω 1 ω 2 + ω 1 ω 2 (3) (ω 1 ω 2 ) ω 3 = ω 1 (ω 2 ω 3 ) (4) ω 1 ω 2 = ( 1) pq ω 2 ω 1 (5) (ω 1 ω 2 ) = (ω 1 ) ω 2 = ω 1 (ω 2 ). 133

134 22.13 Definition: Es sei ω = 1 i 1 <...<i p n i1...i p dx i1... dx ip eine lternierende Differentilform der Stufe p mit stetig differenzierbren Koeffizientenfunktionen i1...i p, dnn ist die äußere Ableitung von ω definiert ls die (p + 1)-Form dω := d i1...i p dx i1... dx ip, 1 i 1 <...<i p n wobei d i1...i p die 1-Form d i1...i p = n i1...i p dx j x j bezeichnet Definition: Es sei ω : U R 3 R mit ω = 1 dx dx dx 3 eine 1-Form mit stetig differenzierbren Koeffizientenfunktionen 1, 2, 3. Dieser Form entspricht ds Vektorfeld v = ( 1, 2, 3 ). Ds zu der äußeren Ableitung dω = ( 2 ) ( 1 3 dx 1 dx 2 + ) ( 2 1 dx 2 dx 3 + ) 3 dx 3 dx 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 1 gehörende Vektorfeld rot v := ( 3 2, 1 3, 2 ) 1 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 heißt Rottion des Vektorfelds v. In ähnlicher Weise erhält mn die äußere Ableitung einer 2-Form ω = b 1 dx 2 dx 3 + b 2 dx 3 dx 1 + b 3 dx 1 dx 2 ls dω = ( b1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 ) dx 1 dx 2 dx 3. Für ds Vektorfeld b = (b 1, b 2, b 3 ) ist dnn die Divergenz von b durch die Abbildung div b : U R mit div b := b 1 + b 2 + b 3 x 1 x 2 x 3 definiert und liefert die Koeffizientenfunktion der äußeren Ableitung von ω. 134

135 22.15 Übung: Es sei U R 3 offen und seien v, w : U R 3, v = (v 1, v 2, v 3 ), w = (w 1, w 2, w 3 ) stetig differenzierbre Vektorfelder, f : U R stetig differenzierbr. Mn zeige die Identitäten (1) div(f v) = f div v + grd f, v (2) rot(f v) = f rot v + (grd f) v (3) div(v w) = v, rot w + rot v, w indem mn entsprechende Gleichungen für Differentilformen herleitet. Dbei bezeichnet, b = n i=1 ib i ds Sklrprodukt der Vektoren ( 1,..., n ) T und (b 1,..., b n ) T (n = 3) und v w := (v 2 w 3 v 3 w 2, v 3 w 1 v 1 w 3, v 1 w 2 v 2 w 1 ) T ds Kreuzprodukt der Vektoren v = (v 1, v 2, v 3 ) T und w = (w 1, w 2, w 3 ) T Rechenregeln für die äußere Ableitung: Es seien ω 1, ω 1 p-formen und ω 2, ω 2 q- Formen uf U mit stetig differenzierbren Koeffizientenfunktionen (kurz: ω j, ω j sind stetig differenzierbr). Außerdem sei f : U R stetig differenzierbre Funktion und ω p-form mit zweiml stetig differenzierbren Koeffizientenfunktionen (kurz: ω ist zweiml stetig differenzierbr). Dnn gilt für die äußeren Ableitungen: (1) d(ω 1 + ω 1 ) = dω 1 + d ω 1 (2) d(fω 1 ) = df ω 1 + f dω 1 (3) d(ω 1 ω 2 ) = dω 1 ω 2 + ( 1) p ω 1 dω 2 (4) d(dω) = Beispiel: Mit den Bezeichnungen us Übung gelten für eine zweiml stetig differenzierbre 0-Form f : U R (U R 3 offen) und für ds Vektorfeld = ( 1, 2, 3 ) der zweiml stetig differenzierbren 1-Form ω = 1 dx dx dx 3 die Identitäten rot(grd f) = 0 div(rot ) = Übung: Es sei { R Φ : n R n x Φ(x) = (ϕ 1 (x),..., ϕ n (x)) T stetig differenzierbre Abbildung, dnn gilt dϕ 1... dϕ n = (det Φ )dx 1... dx n. 135

136 22.19 Definition: Es sei ω eine p-form uf der offenen Menge U. Ist ω in U differenzierbr und gilt dω = 0, so heißt ω geschlossen. Ist ω in U stetig und existiert eine stetig differenzierbre (p 1)- Form π mit dπ = ω, so heißt ω exkt und π eine Stmmform von ω Stz: Jede stetig differenzierbre exkte p-form ist geschlossen Beispiel: Die Differentilform ω = x 2 dx x x x 1 dx 2 x x ist uf R 2 \{0} geschlossen ber nicht exkt [vgl. Beispiel 22.7 (2)] Stz: (Lemm von Poincré) Jede in einer sternförmigen Menge U stetig differenzierbre geschlossene Differentilform ist exkt Definition: Eine Menge M eines Vektorrums X heißt konvex, flls für je zwei Punkte x, y M uch die x und y verbindende Strecke gnz in M liegt. {xt + (1 t)y t [0, 1]} Definition: Es sei T R p offen (1 p n). Eine stetig differenzierbre Abbildung γ : T R n heißt Prmeterdrstellung einer p-dimensionlen (gltten) Fläche bzw. Immersion, flls die Abbildung γ (x) für lle x T den Rng p ht. Ist T offen und konvex oder diffeomorphes Bild einer offenen und konvexen Menge, so heißt γ Prmeterdrstellung eines p- dimensionlen (gltten) Flächenstücks, flls γ (x) für lle x T den Rng p ht. Mn spricht bkürzend von einer p-fläche bzw. einem p-flächenstück. Zwei Prmeterdrstellungen γ : T R n, γ : T R n 136

137 eines p-dimensionlen Flächenstücks heißen äquivlent, flls es einen Diffeomorphismus Φ : T T gibt mit γ = γ Φ det Φ (x) > 0 x T. Bei der Äquivlenz von Prmeterdrstellungen von p-flächen wird uf die Bedingung det Φ (x) > 0 verzichtet. Die Äquivlenzklssen von Prmeterdrstellungen von p- Flächenstücken bzw. p-flächen werden ebenflls ls p-flächenstücke bzw. p-flächen bezeichnet Beispiele: (1) Es sei I R ein (offenes) Intervll, f, g : I R stetig differenzierbre Funktionen und γ : I R R 3 definiert durch f(u) cos v γ(u, v) = f(u) sin v. g(u) Dnn ist γ Prmeterdrstellung eines 2-Flächenstücks, flls für lle u I gilt: f(u) > 0 und (f (u)) 2 + (g (u)) 2 > 0. Ds 2-Flächenstück entsteht durch Rottion der in der (x, z)-ebene liegenden Kurve {(f(u), g(u)) T u I} um die z-achse. Mn spricht in diesem Fll von einer Rottionsfläche. (2) Es sei V R p offen, f 1,..., f n p : V R stetig differenzierbre Funktionen, dnn wird durch γ : V R n mit (v = (v 1,..., v p ) T V ) eine p-fläche drgestellt. ( ) γ(v) = v 1. v p f 1 (v). f n p (v) (3) Es sei γ : U R n Prmeterdrstellung einer p-fläche und für ein u 0 U hbe die p p Mtrix ( ) p γj (u 0 ) u i i, den Rng p. Dnn existiert eine Umgebung W von u 0, so dss γ W äquivlent zu einer Prmeterdrstellung γ : V R n der Form ( ) ist. Insbesondere ist γ W injektiv. 137

138 22.26 Beispiel: Durch die stereogrphische Projektion γ : R 2 R 3 mit 2u 1 γ(u, v) = 2v 1 + u 2 + v 2 1 u 2 v 2 wird die Ebene uf die gelochte Kugelfläche x 1 0 x 2 R 3 x x x 2 3 = 1 \ 0 x 3 1 bgebildet. Mn erhält z.b. für W = { ( w1 w 2 ) w1 2 + w1 2 < 1} ls lterntive Drstellung von γ W die Abbildung γ : W R 3 mit w 1 γ(w) = 1 w 2. w 2 1 w2 2 Sind γ und γ äquivlent? Definition: Es sei γ : T U (T R p, U R n ) ein glttes Flächenstück und ω : U R n x... xr n R eine stetige p-form uf U, dnn heißt ( ω := ω γ(t), γ (t),..., γ ) (t) dt t 1 t p γ T ds Integrl von ω längs γ oder uch p-flächenintegrl (hierbei wird die Existenz des Integrls uf der rechten Seite vorusgesetzt) Lemm: Mit den Bezeichnungen us und gilt für äquivlente p- Flächenstücke γ 1, γ 2 ω = γ 1 ω. γ 2 In nderen Worten: ds in definierte Flächenintegrl hängt nur von der zugehörigen Äquivlenzklsse des gegebenen Flächenstücks b Beispiel: Die 2-Form ω im R 3 sei erklärt durch ω = x 1 dx 2 dx 3 x 2 dx 1 dx 3 + x 3 dx 1 dx 2 138

139 und für T = {(t 1, t 2 ) R 2 t t 2 2 < 1} sei { T R 3 γ : ( t γ(t 1, t 2 ) = 2t 1 1+t 2 1 +t2 2, 2t 2 1+t 2 1 +t2 2 ) T, 1 t2 1 t2 2 1+t 2 1 +t2 2 eine Prmetrisierung der oberen Hälfte der Einheitskugel. Für ds Integrl von ω längs γ gilt ω = 2π. Für die Prmetrisierung { T R 3 γ : t γ(t 1, t 2 ) = (t 1, t 2, 1 t 2 1 t 2 2) T ergibt sich (uch ohne Rechnung - wrum?) ebenflls ω = 2π. γ γ Definition (Vriblensubstitution bei Differentilformen) Es sei ω = i1...i p (x)dx i1... dx ip 1 i 1 <...<i p n eine p-form in U R n, V R m und Φ : V U eine stetig differenzierbre Abbildung mit Koordintenfunktionen (ϕ 1,..., ϕ n ). Durch Einsetzen von x = Φ(y) und m ϕ i dx i = (y)dy j y j in die p-form ω wird ω eine p-form ω in V zugeordnet, die mit Φ ω bezeichnet wird, Φ ω heißt die in die Menge V zurückgeholte p-form von ω Übung: Es seien ω 1, ω 2 p-formen ω 3 q-form in U, f eine 0-Form und Φ : V U eine stetig differenzierbre Abbildung. Mn zeige: (1) Φ (ω 1 + ω 2 ) = Φ ω 1 + Φ ω 2 (2) Φ (f ω 1 ) = Φ f Φ ω 1 (3) Φ (ω 1 ω 3 ) = Φ ω 1 Φ ω 3 139

140 22.32 Stz: Es sei Φ : V U eine zweiml stetig differenzierbre Abbildung und ω eine stetig differenzierbre p-form in U, dnn gilt: d(φ ω) = Φ (dω) Bemerkung: Für ds in Definition eingeführte Integrl von ω längs γ erhält mn mit der Bezeichnung die Drstellung ω = γ ω = f(t)dt γ id T wobei id T : T T die Identität uf T bezeichnet und γ ω = f(t)dt 1... dt p ls Drstellung besitzen soll. Andere Schreibweise γ ω := γ ω. T id T T Übung: Mn zeige: (1) Es seien W R k, V R m, U R n offene Mengen und Ψ : W V, Φ : V U stetig differenzierbre Abbildungen, dnn gilt für jede Differentilform ω in U Ψ (Φ ω) = (Φ Ψ) ω. (2) Es sei Φ : V U ein Diffeomorphismus, ω eine stetige p-form in der offenen Menge U und γ Prmeterdrstellung einer p-fläche. Es gilt ω = Φ ω. γ Φ 1 γ 140

141 23. Die Integrlsätze von Guß und Stokes 23.1 Definition: Ein durch γ : T R p (T offen und konvex) drgestelltes p-flächenstück heißt einfch, flls gilt (1) γ ist injektiv (2) γ 1 ist stetig Definition: Eine Teilmenge M R n heißt p-dimensionle Untermnnigfltigkeit, flls es zu jedem Punkt x M eine offene Menge U R n mit x U gibt, so dss U M ein einfches p-flächenstück γ ist. Die Umkehrbbildung γ 1 heißt eine Krte für M und M U ds Krtengebiet von γ Beispiele: (1) Die Kugeloberfläche S 2 = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x x x 2 3 = 1} ist eine zweidimensionle Untermnnigfltigkeit. Für die Beschreibung von S 2 sind zwei Prmeterdrstellungen erforderlich. Z.B. wird S 2 durch γ, γ : R 2 R 3 mit 2t 1 1 γ(t 1, t 2 ) = 2t 1 + t t t 2 1 t 2 2 2t 1 1 γ(t 1, t 2 ) = 2t 1 + t t t t beschrieben. γ ist die stereogrphische Projektion us dem Südpol und γ die stereogrphische Projektion us dem Nordpol. (2) Der Torus T = {(x 1, x 2, x 3 ) R3 ( x x 2 2 s) 2 + x 2 3 = r 2 } mit 0 < r < s ist eine 2-dimensionle Untermnnigfltigkeit und wird durch die Abbildung γ : R 2 R 3 (s + r cos v) cos u γ(u, v) = (s + r cos v) sin u r sin v prmetrisiert. injektiv ist. Mn bechte, dss γ eine Rottionsfläche beschreibt, ber nicht 141

142 Figure 3: Der Torus Figure 4: Verschiedene Ansichten eines Möbiusbnds (3) Ds Moebiusbnd cos t (1 + s cos t ) 2 M = sin t (1 + s cos t ) 2 t [0, 2π], s ( 1 s sin t 2, 1 2 ) 2 ist eine zweidimensionle Untermnnigfltigkeit, für dessen Beschreibung zwei Prmeterdrstellungen erforderlich sind. Z.B. wird M durch die beiden Abbildungen γ : ( 1 2, 1 ) (0, 2π) R

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