7.2 Mittelwert einer Stichprobe

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1 Mittelwert einer Stichprobe Gegeben ist eine normalverteilte Grundgesamtheit. Mit Hilfe einer Stichprobe möchten wir Aussagen über den unbekannten Mittelwert µ dieser Grundgesamtheit machen. Wenn wir verschiedene Stichproben nehmen, erhalten wir natürlich verschiedene Mittelwerte x dieser Stichproben. Abhängig von einer konkreten Stichprobe werden wir im Folgenden ein sogenanntes 95%-Vertrauensintervall berechnen. Dieses hängt dementsprechend von der Wahl der Stichprobe ab. Zur Berechnung eines 95%-Vertrauensintervalles verwenden wir die sogenannte Studentsche t-verteilung. William Sealy Gosset führte diese ein, doch publizierte er unter dem Pseudonym Student. Es ist praktisch, dazu den sogenannten Standardfehler zu definieren. In Kapitel 1 hatten wir die Standardabweichung s = 1 n (x i x) n 1 2 für eine Messreihe x 1,...,x n definiert. Wir bezeichnen diese nun mit s = SD = SD x (für standard deviation). Weiter haben wir in Abschnitt 4.4 gesehen, dass die Varianz des Mittelwerts x einer Stichprobe gegeben ist durch σ 2 /n, wobei σ 2 die Varianz der Grundgesamtheit ist. Dementsprechend definiert man den Standardfehler (standard error) SE = SD n = s n = i=1 1 n(n 1) n (x i x) 2 Der Standardfehler ist also umso kleiner, je grösser der Umfang der Stichprobe ist. Beispiel Eine Stichprobe besteht aus den folgenden 8 Messwerten: i=1 4,4 5,8 3,7 9,2 4,1 3,8 5,3 3,7 Wir berechnen x = 5, s x = SD x = 1,8655, SE x = s x 8 = 0,6595. Wir wollen nun testen, ob eine bestimmte Zahl µ 0 als Mittelwert µ möglich ist. Dazu verwenden wir die Testgrösse t = x µ 0 SE x. Zum Beispiel testen wir wie folgt: Nullhypothese: µ = µ 0 = 4 Alternativhypothese: µ µ 0 = 4 Signifikanzniveau: α = 5% Dies ist also ein zweiseitiger Test. Für die Testgrösse t erhalten wir mit unseren Messwerten

2 67 Weiter brauchen wir noch den Freiheitsgrad ν = n 1. In unserem Beispiel ist also ν = 8 1 = 7. Nun können wir in der Tabelle der Studentschen t-verteilung den kritischen Schrankenwert t krit ablesen. Wir finden für unser Beispiel Nun gilt allgemein t > t krit t krit = 2,365. = Nullhypothese verwerfen Da unsere berechnete Testgrösse t = 1,5163 kleiner als t krit ist, können wir also die Nullhypothese µ = µ 0 = 4 beibehalten. Nun testen wir die Nullhypothese µ = µ 0 = 3. Hier erhalten wir t = x µ 0 SE x = 5 3 0,6595 = 3,0326 > t krit. Die Nullhypothese muss also verworfen werden. Wir könnten weitere Nullhypothesen µ = µ 0 austesten, zum Beispiel µ 0 = 3,5 oder µ 0 = 5,6 oder µ 0 = 6. Beim Vergleich mit t krit zeigt sich, dass all diese Nullhypothesen beibehalten werden können. Aber es gibt doch nur eine richtige Nullhypothese. Was bedeutet das also? Nun, wenn wir eine bestimmte Nullhypothese µ = µ 0 beibehalten können, heisst das lediglich, dass die Zahl µ 0 mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% gleich µ ist. Wir können nun genau bestimmen, welche Nullhypothesen beibehalten werden können. Wir können also die Nullhypothese µ = µ 0 beibehalten, wenn µ 0 im Intervall [x t krit SE x, x+t krit SE x ] liegt. Das heisst, für jede Zahl µ 0 in diesem Intervall beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass µ 0 gleich µ ist, 95%. Man nennt dieses Intervall deshalb 95%-Vertrauensintervall. Für unser Beispiel erhalten wir das Vertrauensintervall [5 2,365 0,6595; 5+2,365 0,6595] = [3,4403; 6,5597]. Zu beachten ist, dass das Vertrauensintervall offensichtlich vom Mittelwert x der Stichprobe, und damit von der Stichprobe abhängig ist. Eine andere Stichprobe ergibt möglicherweise ein anderes Vertrauensintervall.

3 68 Allgemeines Vorgehen Gesucht: Mittelwert µ einer normalverteilten Grundgesamtheit. Gegeben: Stichprobe vom Umfang n mit Mittelwert x und Standardfehler SE x. Vertrauensintervall zum Niveau 1 α: [x t α,ν SE x, x+t α,ν SE x ], wobei t α,ν der kritische Schrankenwert (gemäss Tabelle der Studentschen t-verteilung) für das Signifikanzniveau α und den Freiheitsgrad ν = n 1 ist. Vergleich der Mittelwerte zweier Normalverteilungen Gegeben sind zwei normalverteilte Grundgesamtheiten mit Mittelwerten µ x und µ y. Wir wollen testen, ob die beiden Mittelwerte µ x und µ y gleich sind. Die Varianzen brauchen nicht bekannt zu sein, sie werden aber als gleich vorausgesetzt. Für den Test brauchen wir je eine Stichprobe aus den beiden Grundgesamtheiten. Die beiden folgenden Fälle sind praktisch besonders wichtig: 1. Die beiden Stichproben sind unabhängig und nicht notwendigerweise gleich gross. 2. Die beiden Stichproben sind gleich gross. Je ein Wert der einen und ein Wert der anderen Stichprobe gehören zusammen, da sie von demselben Individuum stammen (zum Beispiel das Körpergewicht vor und nach einer Diät oder Messwerte von demselben Objekt, gemessen mit zwei verschiedenen Messgeräten). Man spricht von gepaarten Stichproben. 1. Unabhängige Stichproben In der Geburtsabteilung eines Spitals wurde bei n x = 288 Knaben das Durchschnittsgewicht x = 3300g mit einer Standardabweichung von s x = 470g gemessen. Bei n y = 269 Mädchen ergabsichdasdurchschnittsgewicht y = 3050gmiteinerStandardabweichungvons y = 460g. Wir testen wie folgt: Nullhypothese: Knaben und Mädchen sind bei der Geburt gleich schwer. Alternativhypothese: Knaben sind bei der Geburt schwerer als Mädchen. Signifikanzniveau: α = 1% Dies ist also ein einseitiger Test. Wir verwenden die Testgrösse wobei SE x y = n x +n y n x n y t = x y SE x y, s 2 x(n x 1)+s 2 y(n y 1) n x +n y 2 der Standardfehler der Differenz x y ist. Für die Testgrösse erhalten wir also nx n y n x +n y 2 t = x y n x +n y s 2 x(n x 1)+s 2 y(n y 1).

4 69 In unserem Beispiel erhalten wir Nun benutzen wir wieder die Tabelle der t-verteilung. Der Freiheitsgrad ist hier ν = n x +n y 2. FürunserBeispiel erhaltenwirν = = 555. DieTabellegeht abernurbisν = 500. Da sich die Werte zwischen ν = 500 und ν = nicht stark verändern, nehmen wir für den kritischen Schrankenwert t krit den Wert für ν = 500, das heisst t krit = 2,334. Dieser ist aber viel kleiner als unser berechneter Wert t = 6,3379. Wir können also die Nullhypothese mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 1% verwerfen, das heisst, Mädchen sind bei der Geburt leichter als Knaben, zumindest in dem betreffenden Spital. Allgemeines Vorgehen Test: Gilt µ x = µ y für die Mittelwerte µ x,µ y zweier normalverteilten Grundgesamtheiten? Gegeben: Je eine Stichprobe vom Umfang n x, n y mit Mittelwerten x, y und Standardabweichungen s x, s y α Signifikanzniveau, ν = n x +n y 2 Freiheitsgrad, t α,ν (gemäss Tabelle der t-verteilung) Testgrösse: nx n y t = x y n x +n y n x +n y 2 s 2 x (n x 1)+s 2 y (n y 1) Entscheid: t > t α,ν = µ x µ y 2. Gepaarte Stichproben 12 Männer machen eine Diät. Verringert diese Diät das Körpergewicht auch wirklich? Bei den Probanden wird deshalb das Körpergewicht (in kg) vor und nach der Diät gemessen: Proband Gewicht vorher Gewicht nachher Differenz i x i y i d i = x i y i 1 84,5 83 1,5 2 72,5 72, ,5 4,5 4 88,5 89, , , ,5 5,5 7 93,5 95, ,5 75 1, ,5 94, ,5 73, ,5 8,5 x = 85,750 y = 81,917 d = 3,833 s x = 9,781 s y = 9,409 s d = 3,898

5 70 Wir wollen nun testen, ob µ x = µ y. Da aber die Stichproben nicht unabhängig voneinander sind, können wir nicht wie im vorhergehenden Beispiel testen. Wir können jedoch den Test über einen einzelnen Mittelwert benutzen, indem wir wie folgt testen (zweiseitig): Nullhypothese: µ d = µ x µ y = 0 Alternativhypothese: µ d 0 Signifikanzniveau: α = 5% Wir berechnen also die Testgrösse Da diese Testgrösse t grösser als der(gemäss Tabelle der t-verteilung) kritische Schrankenwert t krit = t α,ν = 2,201 (mit dem Freiheitsgrad ν = 11) ist, kann die Nullhypothese verworfen werden. Die Probanden haben also tatsächlich abgenommen. Nicht normalverteilte Grundgesamtheiten Sind die Grundgesamtheiten nicht normalverteilt, so kann der t-test als Näherung trotzdem verwendet werden (der Näherungsfehler ist umso kleiner, je grösser die Stichproben sind). Ansonsten kann der sogenannte Wilcoxon-Mann-Whitney-Test, der keine Annahmen über die Verteilungen der Grundgesamtheiten macht, verwendet werden. 7.3 Der Varianzenquotiententest Wenn wir den t-test für zwei Stichproben anwenden wollen, müssen wir in den beiden Grundgesamtheiten dieselbe Varianz voraussetzen, das heisst σ x = σ y. Wie können wir diese Bedingung überprüfen? Beispiel Wir vergleichen zwei verschiedene Pipettier-Methoden. Die beiden Stichproben ergeben die folgenden Messwerte: automatische Pipette 1 0, , , , , , , , , ,5102 Mittelwert: 0,49998 Streuung: 0, manuelle Pipette 1 0, , , , , , , ,5009 Mittelwert: 0,50135 Streuung: 0,002293

6 71 Die Streuung bei der Stichprobe der automatischen Pipette ist grösser. Ist auch die Streuung (d.h. die Varianz) der (ganzen) Grundgesamtheit grösser? Wir testen (zweiseitig) wie folgt: Nullhypothese: σ x = σ y Alternativhypothese: σ x σ y Signifikanzniveau: α = 5% Wir verwenden hier die Testgrösse F = s2 x s 2 y mit s 2 x s 2 y. Sind die Varianzen gleich, dann ist F nahe bei 1. Damit in unserem Beispiel die Bedingung s 2 x s2 y erfüllt ist, müssen wir x für die automatische und y für die manuelle Pipettierung wählen. Für unsere Testgrösse erhalten wir also Wir benutzen nun die Tabelle der F-Verteilung. Dazu brauchen wir noch den Freiheitsgrad vom Zähler ν x = 10 1 = 9 und vom Nenner ν y = 8 1 = 7. Die Tabelle gibt den kritischen Schrankenwert F krit = 3,68. Wie beim t-test gilt nun allgemein F > F krit = Nullhypothese verwerfen Da unsere berechnete Testgrösse F = 16,3790 grösser als F krit ist, müssen wir unsere Nullhypothese verwerfen. Die Varianzen bei den beiden Pipettier-Methoden sind also nicht gleich. Allgemeines Vorgehen Test: Sind die Varianzen σ x, σ y von zwei normalverteilten Grundgesamtheiten gleich? Gegeben: Je eine Stichprobe mit den Streuungen s x, s y. α Signifikanzniveau, ν x,ν y Freiheitsgrade, F α,νx,ν y (gemäss Tabelle der F-Verteilung) Testgrösse: F = s2 x s 2 y mit s 2 x s 2 y Entscheid: F > F α,νx,ν y = σ x σ y 7.4 Korrelationsanalyse In Kapitel 2 haben wir den Korrelationskoeffizienten von Pearson und von Spearman kennen gelernt. Hier wollen wir nun aus dem Korrelationskoeffizienten einer Stichprobe Aussagen über den Korrelationskoeffizienten der Grundgesamtheit machen.

7 72 Beispiel Wir fragen uns, ob die Blutdruckwerte von Ehepartnern korrelieren. Eine Stichprobe ergibt die folgenden Messwerte: Streudiagramm: Nr. i Mann x Frau y Nr. i Mann x Frau y Der Korrelationskoeffizient von Pearson beträgt r xy = n (x i x)(y i y) i=1 0,68074 n n (x i x) 2 (y i y) 2 i=1 i=1 Das Streudiagramm und der Korrelationskoeffizient weisen auf eine Korrelation der Werte der Stichprobe hin. Aber gibt es auch eine Korrelation der Grundgesamtheit (d.h. zwischen Paaren von Blutduckwerten von beliebigen Ehepartnern)? Wir bezeichnen mit den Korrelationskoeffizienten der Grundgesamtheit. Um den folgenden Test anwenden zu können, muss die Grundgesamtheit in beiden Variablen x und y normalverteilt sein. Man nennt eine solche Verteilung bivariate Normalverteilung. Im Gegensatz zum t-test reagiert dieser Test empfindlich auf Abweichungen von der Normalverteilung.

8 73 Nun testen wir (zweiseitig) wie folgt: Nullhypothese: = 0 Alternativhypothese: 0 Signifikanzniveau: α = 5% Die Testgrösse ist der Korrelationskoeffizient der Stichprobe, also r xy 0, Den kritischen Schrankenwert r krit entnehmen wir der Tabelle. Wir finden r krit = 0,444. Es gilt allgemein r xy > r krit = Nullhypothese verwerfen Wir müssen in unserem Beispiel also die Nullhypothese verwerfen. Es gibt eine Korrelation zwischen den Blutdruckwerten von Ehepartnern. Wenn wir nicht davon ausgehen können, dass die Grundgesamtheit bivariat normalverteilt ist, können wir für die Testgrösse den Rangkorrelationskoeffizienten von Spearman benutzen. In unserem Beispiel erhalten wir die folgenden Ränge und Rangdifferenzen: Nr. i Mann x Frau y Rang r x Rang r y d = r x r y d ,5 7,5 56, ,5 2,5 6,25 Summe 370,5 Für den Rangkorrelationskoeffizienten von Spearman erhalten wir also r S = 1 6 n(n 2 1) n d 2 i = 0, i=1

9 74 Der kritische Schrankenwert r S,krit der Tabelle beträgt r S,krit = 0,450. Wir müssen also auch bei diesem Test die Nullhypothese verwerfen. Allgemeines Vorgehen Test: Gilt = 0 für den Korrelationskoeffizienten der Grundgesamtheit? Gegeben: Eine Stichprobe von Messwertpaaren. Testgrössen: r xy falls Grundgesamtheit bivariat normalverteilt r S sonst Entscheid: r xy > r krit bzw. r S > r S,krit = Der χ 2 -Test Es gibt verschiedene Varianten und Anwendungsmöglichkeiten des χ 2 -Tests. Wir behandeln hier die Variante, mit der man testen kann, ob zwei Zufallsgrössen stochastisch unabhängig sind. Beispiel Zwei Behandlungen für eine bestimmte Krankheit wurden klinisch untersucht. Die Behandlung 1 erhielten 124 Patienten, die Behandlung 2 erhielten 109 Patienten. Die Resultate können in einer Vierfelder-Tafel übersichtlich dargestellt werden: Wir testen wie folgt: Behandlung 1 Behandlung 2 Total wirksam unwirksam Total Nullhypothese: Die Behandlungen haben dieselbe Wirkungswahrscheinlichkeit Signifikanzniveau: α = 5% Nun nehmen wir unsere Vierfelder-Tafel, wobei nur die Randhäufigkeiten gegeben sind: Behandlung 1 Behandlung 2 Total wirksam x z 180 unwirksam y w 53 Total Wie gross sind die Häufigkeiten x,y,z,w, wenn wir von der Nullhypothese ausgehen? Wir haben die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

10 75 Die Nullhypothese besagt, dass die Ereignisse A = (Behandlung 1) und B = (wirksam) stochastisch unabhängig sind. Unter dieser Bedingung erhalten wir die folgenden Werte für x,y,z,w: Wir sehen, dass wir nur eine der vier Zahlen x,y,z,w mit Hilfe von Wahrscheinlichkeiten berechnen müssen. Die anderen Zahlen ergeben sich direkt mit den vorgegebenen Randhäufigkeiten. Wenn wir die Werte für x, y, z, w mit den tatsächlich gemessenen Häufigkeiten in der ersten Tabelle vergleichen, stellen wir Abweichungen fest. Diese Abweichungen stellen wir wieder in einer Tabelle dar, und zwar berechnen wir in jedem Feld die folgende Grösse: Damit erhalten wir die folgende Tabelle: (gemessene Häufigkeit erwartete Häufigkeit) 2 erwartete Häufigkeit Behandlung 1 Behandlung 2 wirksam (102 96) 2 96 = (78 84) 2 84 = unwirksam (22 28)2 28 = (31 25) 2 25 = Es ist kein Zufall, dass alle Zähler gleich sind. Dies kommt daher, da wegen den gegebenen Randhäufigkeiten eine Veränderung in einem Feld eine betragsmässig gleich grosse Veränderung in den drei anderen Feldern zur Folge hat. Wir haben nur einen Freiheitsgrad. Die Testgrösse χ 2 ist nun die Summe der berechneten Zahlen in dieser Tabelle: χ 2 = = 3,529 Je grösser χ 2 ist, desto unwahrscheinlicher ist die Nullhypothese. Den kritischen Schrankenwert χ 2 krit entnehmen wir der Tabelle (für den Freiheitsgrad 1). Wir finden χ 2 krit = 3,84.

11 76 Wie bei allen anderen Tests gilt allgemein χ 2 > χ 2 krit = Nullhypothese verwerfen Für das Signifikanzniveau α = 5% müssen wir in unserem Beispiel also die Nullhypothese beibehalten. Wir müssen davon ausgehen, dass die Wirkungswahrscheinlichkeit der beiden Behandlungen gleich gross ist. Allgemeines Vorgehen Test: Sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig? Gegeben: Vierfelder-Tafel mit den beobachteten Häufigkeiten: A A Total B a b a+b B c d c+d Total a+c b+d n = a+b+c+d Die Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B) berechnet man mit Hilfe der Häufigkeiten, P(A) = a+c n und P(B) = a+b n. Geht man nun vor wie im Beispiel, erhält man die Testgrösse χ 2 = n(ad bc) 2 (a+b)(a+c)(b+d)(c+d) Vergleich mit χ 2 krit aus der Tabelle für den Freiheitsgrad 1. Entscheid: χ 2 > χ 2 krit = A und B sind nicht stochastisch unabhängig Dieser Test kann nur für grosse Stichproben verwendet werden, das heisst unter den Bedingungen n = a+b+c+d 30, a+b 10, a+c 10, b+d 10, c+d 10. Für kleinere Stichproben kann der sogenannte exakte Fisher-Test für Vierfelder-Tafeln verwendet werden. Mehr als vier Felder Eine Verallgemeinerung des χ 2 -Tests betrachten wir an einem Beispiel. Beispiel Wir fragen uns, ob es einen Zusammenhang zwischen Geschlecht und Studienrichtung gibt. In der Tabelle sind die Belegzahlen des aktuellen Frühjahrsemesters 2015 an der Uni Basel aufgelistet (wobei nur die ausserfakultären Bio-Studierenden erfasst sind): Chemie Bio Geo Pharma Total Frau Mann Total

12 77 Wir testen wie folgt: Nullhypothese: Geschlecht und Studienrichtung sind voneinander unabhängig Signifikanzniveau: α = 1% Wie bei der Vierfelder-Tafel berechnen wir die Häufigkeiten unter Annahme der Nullhypothese. Wir erhalten die folgenden Häufigkeiten: Chemie Bio Geo Pharma Total Frau 15,86 6,02 21,87 61, Mann 13,14 4,98 18,13 50,75 87 Total Die folgende Tabelle zeigt die Differenzen zwischen den tatsächlichen und den unter der Annahme der Nullhypothese erwarteten Häufigkeiten: Chemie Bio Geo Pharma Frau 9, 86 2,98 1,13 5,75 Mann 9,86 2, 98 1, 13 5, 75 Diese Differenzen müssen wir nun quadrieren und durch die erwarteten Häufigkeiten dividieren. Die Summe dieser Zahlen ergibt χ 2 = 18,107. Hier ist der Freiheitsgrad gleich 3. Der kritische Schrankenwert aus der Tabelle (für α = 1%) ist χ 2 krit = 11,34. Da dieser kleiner ist als unsere berechnete Testgrösse χ 2 = 18,107, können wir die Nullhypothese verwerfen. Es gibt also eine Abhängigkeit von Geschlecht und Studienrichtung. 7.6 Vertrauensintervall Den Begriff des Vertrauensintervalles haben wir schon beim t-test angetroffen. Dort ging es um ein Vertrauensintervall für den Mittelwert einer (normalverteilten) Grundgesamtheit. Dieses Vertrauensintervall hing von der konkreten Stichprobe ab. Hier geht es nun um ein Vertrauensintervall für eine Wahrscheinlichkeit. Auch hier ist das Vertrauensintervall abhängig von der konkreten Stichprobe. Beispiel Von 60 zufällig in einer Plantage ausgewählten Sträuchern sind 18 krank, das heisst, die relative Häufigkeit für einen kranken Strauch in der Stichprobe beträgt h krank = = 0,3. Wie gross ist nun der Anteil der kranken Sträucher in der Grundgesamtheit? Das heisst, wie gross ist die Wahrscheinlichkeit p krank, dass ein zufällig ausgewählter Strauch der Grundgesamtheit krank ist?

13 78 Gesucht ist ein zweiseitiges Vertrauensintervall für p krank zum Niveau 1 α = 95%. Wir fassen die Anzahl 18 der kranken Sträucher in der Stichprobe als Realisation einer binomial verteilten Zufallsgrösse auf. Dabei ist n = 60 und wir suchen die (unbekannte) Einzelwahrscheinlichkeit p. Für die praktische Rechnung verwenden wir die Näherung durch die Normalverteilung. Wir können verschiedene Werte für p ausprobieren, um eine Idee zu bekommen. p = 0,1 p = 0,2 p = 0,4 p = 0,5 Wir sehen, dass die untere Grenze des Vertrauensintervalles ungefähr bei 0,2 liegt und die obere Grenze ungefähr bei 0,4. Aus der Graphik für p = 0,2 erkennen wir, dass für die untere Grenze µ+1,96σ = 18 gelten muss. Der Faktor 1,96 kommt aus der Tabelle von Seite 57 im Skript (wir suchen ein 95%-Vertrauensintervall). Für den Erwartungswert µ und die Varianz σ 2 der Binomialverteilung gilt Wir erhalten damit die Gleichung Dies ist eine quadratische Gleichung für p. Die Lösungen sind 0,199 und 0,425. Die untere

14 79 Grenze ist also 0,199. Für die obere Grenze des Vertrauensintervalles muss µ 1,96σ = 18 gelten. Auch diese Gleichung führt zu einer quadratischen Gleichung für p. Es ist dieselbe Gleichung wie oben. Für die obere Grenze erhalten wir also 0,425. Allgemeines Vorgehen Gegeben ist die Anzahl Elemente einer Stichprobe (vom Umfang n) mit einer bestimmten Eigenschaft. Diese Anzahl (im Beispiel die Zahl 18) ist gleich nh für die relative Häufigkeit h. Der Anteil der Elemente der Grundgesamtheit mit dieser Eigenschaft sei p. Die Grenzen für ein 95%-Vertrauensintervall für p erhalten wir als Lösungen der quadratischen Gleichung Kürzen mit n ergibt die Gleichung 1,96 2 np(1 p) = (nh np) 2. 1,96 2 p(1 p) = n(h p) 2. Für Vertrauensintervalle mit anderen Prozentzahlen müssen wir die Zahl 1,96 entsprechend ändern. Zum Beispiel müssen wir sie für ein 99%-Vertrauensintervall durch 2,576 ersetzen. Für grosse Stichproben können die Grenzen des 95%-Vertrauensintervalles mit der Formel berechnet werden. Woher kommt diese Formel? h±1,96 h(1 h) n In unserem Beispiel erhalten wir mit dieser Formel 0,416 für die obere und 0,184 für die untere Grenze.

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