2 Inhalte, Prämaße, Maße

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1 13 2 Inhalte, Präaße, Maße Ein Inhalt ist eine nicht-negative nuerische Funktion auf eine Mengenring it der Eigenschaft, dass der Inhalt einer Vereinigung zweier punktfreder Mengen gleich der Sue der Inhalte der einzelnen Mengen ist. Wichtig für die Integrations-Theorie ist eine Verschärfung dieser Eigenschaft, die -Additivität. Ein Inhalt heißt -additiv, wenn der Inhalt einer abzählbaren Vereinigung punktfreder Mengen gleich der Sue der Inhalte der einzelnen Mengen ist. Der eleentar-geoetrische Inhalt auf de Mengenring der Quadersuen i R n hat diese Eigenschaft. Sie ist wesentlich dafür, dass an diesen Inhalt zu eine Maß auf der Borel- Algebra des R n fortsetzen kann, was i nächsten Paragraphen durchgeführt wird. Ein Maß ist dabei ein -additiver Inhalt, der auf einer -Algebra deniert ist. Die erweiterte Zahlengerade R. In der Maß- und Integrationstheorie ist es oft nützlich, auch Funktionen zu betrachten, die die Werte + oder annehen können. Wir benutzen folgende Bezeichnungen: R := R {±} =[,], R + := R + {} =[0,]. Die Ordnung von R wird auf R forgesetzt durch < a < + für alle a R. Außerde führt an folgende Konventionen für Addition und Multiplikation it den Sybolen ± ein: a +(±) =± + a = ± für alle a R, a (±) =(±) a = ± für alle a it 0 < a, a (±) =(±) a = für alle a it a < 0, 0 (±) =(±) 0 = 0. Ausdrücklich nicht deniert ist +( ) oder +. Diese Konventionen sind so gewählt, dass folgendes gilt: Sei (c k ) eine Folge reeller Zahlen, die uneigentlich gegen + (bzw. ) konvergiert. Dann gilt für alle a R a + li c k = li (a + c k ), k k a li c k = li (a c k ). k k Auf R + sind Addition und Multiplikation stets deniert; diese Operationen genügen de Assoziativ-Gesetz. Jedoch gilt für Verknüpfungen, in denen das Sybol ± vorkot, nicht die Kürzungsregel, da z.b. 1 + = 2 + und 1 = 2. O. Forster, Analysis 3, Aufbaukurs Matheatik, DOI / _2, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachedien Wiesbaden 2012

2 14 2 Inhalte, Präaße, Maße Denition. Sei R P() ein Mengenring. Unter eine Inhalt auf R versteht an eine Funktion : R R + it folgenden Eigenschaften: (i) ()=0 (ii) (A B)=(A)+(B), falls A,B R disjunkte Mengen sind. Beerkungen. 1) Ist reellwertig, d.h. nit den Wert nicht an, folgt i) aus ii), denn nach ii) ist ()=()+(). Falls () R, ist dann notwendig ()=0. 2) Ein Inhalt ist ier onoton,d.h. A B = (A) (B), denn (B)=(A)+(B A) und (B A) 0. 3) Seien A,B R nicht notwendig disjunkte Mengen. Da A B = A (B A) und B =(A B) (B A) jeweils punktfrede Zerlegungen sind, gilt (A B)=(A)+(B A) und (B)=(A B)+(B A). Falls (A B) <, folgt daraus (A B)=(A)+(B) (A B). 4) Durch vollständige Induktion zeigt an: Ist : R R + ein Inhalt und sind A 1,A 2,...,A R paarweise punktfred, so gilt ([ ) A i = (A i ). Dies gilt aber nicht notwendig für abzählbar unendliche Failien disjunkter Mengen A i R. Diesführt zu Begriff der -Additivität: Denition. Ein Inhalt : R R + auf eine Mengenring R P() heißt -additiv, falls für jede Folge von paarweise disjunkten Mengen A k R, k 1, deren Vereinigung A := S A k ebenfalls in R liegt, gilt (A)= (A k ).

3 2 Inhalte, Präaße, Maße 15 Ein -additiver Inhalt heißt Präaß. Unter eine Maß versteht an einen -additiven Inhalt, der auf einer -Algebra deniert ist. Der Inhalt heißt endlich, falls (A) < für alle A R. Schließlich heißt -endlich, falls es eine Folge von Mengen R gibt it [ = und ( ) < für alle 1. =1 Satz 1. Sei : R R + ein Inhalt auf de Mengenring R P(). Man betrachte folgende Aussagen über : a) ist -additiv. b) ist -subadditiv,d.h.für jede Folge A k R, k 1 it S A k =: A R gilt (A) (A k ). c) ist stetig von unten,d.h.für jede aufsteigende Folge A k R,k1,itA k A R gilt (A k ) (A). d) ist stetig von oben, d.h.für jede absteigende Folge B k R, k 1, itb k B R und (B 1 ) < gilt (B k ) (B). Dann gelten die Iplikationen a) b) c)= d) Ist der Inhalt endlich, so sind sogar alle vier Aussagen a) bis d) äquivalent. Dabei bedeutet die Schreibweise (A k ) (A), dass(a) der Lies für k der onoton wachsenden Folge (A k ) ist; analog ist (B k ) (B) zu verstehen. Beweis. Wir beweisen zunächst die Äquivalenz von a), b), c) nach de Schea b) a) c) b) b) a). Sei A k R, k 1, eine Folge von paarweise disjunkten Mengen it A := S A k R. Da endlich additiv und onoton ist, gilt für jedes 1 ( [ ) (A k )= A k (A), also durch Grenzübergang (A k ) (A).

4 16 2 Inhalte, Präaße, Maße Wegen b) gilt hier auch die ugekehrte Ungleichung, also die Gleichheit. Dait ist a) bewiesen. a) c). Sei A k R, k 1 eine Folge von Mengen it A k A R. Setzt an A 1 := A 1 und A k := A k A k 1 für k 2, so sind die A k paarweise disjunkt it S A k = A für alle 1 und S A k = A. Da endlich additiv ist, gilt (A k )=(A ). Wegen a) ist (A)= li also ist c) bewiesen. (A k )= li (A ), c) b). Sei A k R, k 1, eine Folge von Mengen it A := S A k R. Wirdenieren [ à := A k. Da à 2 = A 1 (A 2 A 1 ), gilt (à 2 ) (A 1 )+(A 2 ), und durch Induktion nach zeigt an, dass (à ) (A k ) für alle 1. Da à A, folgt aus der Voraussetzung c), dass (à ) (A),also (A) (A k ), d.h. die Eigenschaft b). Dait ist die Äquivalenz von a), b), c) gezeigt. Nun beweisen wir die Iplikationen c) d), und unter der Voraussetzung der Endlichkeit von, auchd) c) c) d). Sei B k R, k 1, eine Folge it (B 1 ) < und B k B R. Wirdenieren A k := B 1 B k R. Für die Folge A k gilt A k B 1 B. Ausc)folgt (A k ) (B 1 B)=(B 1 ) (B). Da aber (A k )=(B 1 ) (B k ), folgt daraus (B k ) (B). d) c). Es werde vorausgesetzt, dass (A) < für alle A R. SeiA k R, k 1, eine aufsteigende Folge it A k A R. Die Mengen B k := A A k bilden dann eine absteigende Folge it B k. Nach d) gilt (B k ) 0. Da aber (B k )=(A) (A k ),

5 2 Inhalte, Präaße, Maße 17 folgt daraus (A k ) (A), q.e.d. Beispiele von Inhalten und Maßen (2.1) Sei eine beliebige Menge und R P() der Mengenring aller endlichen oder abzählbar unendlichen Teilengen von.deniert an (A) als Anzahl der Eleente von A, soist ein -additiver Inhalt auf R. Genau dann ist -endlich, wenn höchstens abzählbar unendlich ist. (2.2) Sei eine beliebige nichtleere Menge, a ein Punkt und A P() eine -Algebra. Deniert an a : A R + durch { 1, falls a A, a (A) := 0 sonst, so erhält an, wie an leicht nachprüft, ein Maß auf A. Man nennt a die Einheitsasse i Punkt a, oder auch Diracaß in a. (2.3) Sei A P() eine -Algebra und seien 1,..., k : A R + Maße und c 1,...,c k R + nichtnegative Konstanten. Dann ist auch := k c i i : A R +, A (A) := k c i i (A), ein Maß. Dasselbe gilt auch für abzählbare Linear-Kobinationen von Maßen, vgl. Aufgabe 2.2. (2.4) Wir geben jetzt noch ein Beispiel für einen endlichen Inhalt, der nicht -additiv ist. Sei eine abzählbar unendliche Menge und A P() die Mengenalgebra aller A, so dass entweder A oder das Kopleent A c endlich ist, vgl. Beispiel (1.2). Sei : A R + deniert durch { 0, falls A endlich, (A) := 1, falls A c endlich. Dann ist, wie an leicht nachprüft, ein Inhalt, der aber nicht -additiv ist, denn ist die abzählbare disjunkte Vereinigung aller einpunktigen Mengen, die jeweils den Inhalt 0 haben, während den Inhalt 1 hat. (2.5) Das Lebesguesche Präaß Wir hatten in (1.5) den Mengenring Q(R n ) der endlichen Quadersuen i R n deniert. Wir denieren jetzt einen Inhalt n : Q(R n ) R + it Hilfe des eleentar-geoetrischen Inhalts von Quadern. Für einen Quader Q := {(x 1,...,x n ) R n : a x < b }, a,b R, a < b,

6 18 2 Inhalte, Präaße, Maße sei n (Q) := Vol n (Q) := n =1 (b a ). Ein beliebiges Eleent A Q(R n ) lässt sich schreiben als endliche disjunkte Vereinigung von halboffenen Quadern Q i, [ A = Q i. Man setzt dann n (A) := n (Q i )= Vol n (Q i ). Dabei stellt sich aber ein Proble: Eine Menge A Q(R n ) lässt sich auf verschiedene Weisen als disjunkte Vereinigung von Quadern darstellen, und es uss die Wohlde- niertheit gezeigt werden, d.h. dass n (A) unabhängig von der Zerlegung von A in disjunkte Quader ist. Wir beginnen it folgende Hilfssatz 1. Sei Q ein halboffener Quader i R n, der die disjunkte Vereinigung von endlich vielen halboffenen Quadern Q 1,...,Q ist: Q = S Q i. Dann gilt Vol n (Q)= Vol n (Q i ). Die Aussage des Hilfssatzes ist zwar anschaulich klar (sofern an i n-diensionalen Rau überhaupt von Anschauung sprechen kann), bedarf aber dennoch eines Beweises. R n 1 I {}}{ }{{} Q R Bild 2.1 Beweis durch Induktion nach n.

7 2 Inhalte, Präaße, Maße 19 Induktionsanfang n = 1. In diese Fall sind Q =[a,b[ und alle Q i =[a i,b i [ Intervalle. Nach evtl. Unuerierung dürfen wir annehen, dass a 1 < a 2 <... < a.dadas Intervall Q die punktfrede Vereinigung der Intervalle Q i ist, gilt dann a = a 1 < b 1 = a 2 < b 2 = a 3 <...<b 1 = a < b = b, also Vol 1 (Q)=b a = (b i a i )= Vol 1(Q i ). Induktionsschritt n 1 n, (siehe auch Bild 2.1). Die Quader Q und Q i lassen sich zerlegen als Q = I Q, Q i = I i Q i it halboffenen Intervallen I, I i und (n 1)-diensionalen halboffenen Quadern Q,Q i. Nach Denition gilt Vol n (Q)=Vol 1 (I)Vol n 1 (Q ), Vol n (Q i )=Vol 1 (I i )Vol n 1 (Q i ). Die endlich vielen Intervalle I i haben als Vereinigung das Intervall I, sind aber nicht notwendig punktfred. Inde an die Anfangs- und Endpunkte aller Intervalle I i der Größe nach ordnet, bekot an endlich viele disjunkte halboffene Intervalle J k,1ks, deren Vereinigung gleich I ist, so dass jedes Intervall I i die (disjunkte) Vereinigung einiger der Intervalle J k ist. Sei etwa I i = J k(i,1)... J k(i,ri ). Dann ist Q i die disjunkte Vereinigung der J k(i, j) Q i.davol 1(I i )= j Vol 1 (J k(i, j) ), gilt r i Vol n (Q i )= Vol n (J k(i, j) Q i ) j=1 Die Behauptung des Hilfssatzes ist deshalb gleichbedeutend it ( ) Vol n (Q)= r i j=1 Vol n (J k(i, j) Q i ) Wir ordnen die Quader J k(i, j) Q i nach gleiche ersten Faktor J k.sei(k) die Menge aller Indizes i,sodassein j {1,...,r i } existiert it k = k(i, j).dannist [ [ r i s[ J k(i, j) Q i = [ J k Q i j=1 j=1 i (k) und es gilt S i (k) Q i = Q für alle k. Nach Induktions-Voraussetzung ist Vol n 1 (Q i)=vol n 1 (Q ). i (k) Daraus folgt r i Vol n (J k(i, j) Q s i )= Vol n (J k Q i ) = s i (k) Vol 1 (J k ) i (k) = Vol 1 (I)Vol n 1 (Q )=Vol n (Q). Vol n 1 (Q s i )= Vol 1 (J k )Vol n 1 (Q )

8 20 2 Inhalte, Präaße, Maße Dait ist ( ) und gleichzeitig der Hilfssatz bewiesen. Nun zu Beweis der Wohldeniertheit von n : Q(R n ) R +. Sei A Q(R n ) und seien [ s[ A = Q i = Q j j=1 zwei Darstellungen von A als disjunkte Vereinigungen von halboffenen Quadern Q i bzw. Q j. Es uss gezeigt werden, dass Vol n (Q i )= Nach Hilfssatz 1 gilt Vol n (Q i )= Daraus folgt s j=1 Vol n (Q i )= s Vol n ( Q j ) j=1 Vol n (Q i Q j ) und Vol n ( Q j )= s j=1 Vol n (Q i Q j )= s j=1 Vol n ( Q j Q i ) Vol n (Q i Q j )= s Vol n ( Q j ), j=1 was zu beweisen war. Nachde nun die Wohldeniertheit von n gezeigt ist, folgt die Additivität direkt aus der Denition, d.h. n : Q(R n ) R + ist ein Inhalt. Hilfssatz 2. Sei Q R n ein halboffener Quader. Dann gibt es zu jede > 0 halboffene Quader Q und Q it Q Q Q und Vol n (Q ) (1 )Vol n (Q), Vol n (Q ) (1 + )Vol n (Q). Dabei wird für eine Teilenge B R n it B die abgeschlossene Hülle und it B das Innere von B bezeichnet (vgl. An. 2, 1). Beweis. Ist Q = {x R n : a x < b }, a,b R, a < b, so wähle an Q := {x R n : a x < b }, Q := {x R n : a x < b } it genügend kleine > 0. Satz 2. Der oben denierte Inhalt n : Q(R n ) R + ist -additiv, d.h. ein Präaß. Außerde ist n -endlich.

9 2 Inhalte, Präaße, Maße 21 Man nennt n : Q(R n ) R + das Lebesguesche Präaß. Falls klar ist, in welcher Diension n an arbeitet, lässt an auch den oberen Index n weg und schreibt kurz statt n. Beweis. 1) Sei A Q(R n ) und A k Q(R n ), k 1, eine Folge von Quadersuen it [ A = A k. Nach Hilfssatz 2 existieren zu vorgegebene > 0EleenteA,A k Q(Rn ) it A A, A k A k und n (A ) (1 ) n (A), n (A k ) (1 + )n (A k ). Da A kopakt ist und A [ A k, gibt es nach de Heine-Borelschen Überdeckungs-Satz endlich viele A k, k = 1,...,, die A überdecken, also insbesondere [ A A k, woraus folgt (1 ) n (A) n (A ) Da dies für jedes > 0 gilt, folgt n (A) n (A k ). n (A k ) (1 + ) n (A k ). Dies zeigt, dass der Inhalt n -subadditiv ist, also nach Satz 1 sogar -additiv. 2) Zu Beweis der -Endlichkeit von n genügt es zu beerken, dass R n die Vereinigung der Folge der halboffenen Würfel := {x R n : x < }, 1, ist. Dait ist Satz 2 bewiesen. I nächsten Paragraphen werden wir dann das Lebesguesche Präaß zu eine Maß auf der -Algebra aller Borelschen Teilengen des R n fortsetzen.

10 22 2 Inhalte, Präaße, Maße AUFGABEN 2.1. Sei : R R + ein Inhalt auf de Mengenring R. Man zeige: Seien A 1,A 2,...,A R it (A i ) <. Dann gilt (A 1 A 2... A )= (A i ) (A i A j ) i< j + (A i A j A k ) i< j<k (A i1 A i2 A i3 A i4 ) i 1 <i 2 <i 3 <i ( 1) 1 (A 1 A 2... A ) Sei R P() ein Mengenring und sei k : R R +, k 1, eine Folge von Inhalten. Weiter sei c k R +, k 1, eine Folge nicht-negativer reeller Zahlen. Man zeige: := c k k ist ein Inhalt auf R. Sind alle k -additiv, so auch Sei := {1,2,3,...} die Menge aller positiven ganzen Zahlen und A P() die Mengenalgebra aller A, so dass entweder A oder das Kopleent A c endlich ist. Sei : A R + deniert durch 1 (A) :=, falls A endlich, und n2 n A 1 (A) := 2 n A n 2, Man zeige: a) ist ein Inhalt. b) ist nicht -additiv. falls Ac endlich Sei F : R R eine onoton wachsende Funktion (d.h. x y F(x) F(y)). Man zeige: a) Es gibt genau einen Inhalt F : Q(R) R it F (I) := F(b) F(a) für ein Intervall I :=[a,b[ Q(R). b) Der Inhalt F ist genau dann -additiv, wenn F von links stetig ist, d.h. li F()=F(x) für alle x R. x

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