Übungsaufgaben Mathematik 3 ASW Blatt 8 Lineare Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

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1 Übungsaufgaben Mathematik 3 ASW Blatt 8 Lineare Differentialgleichungen und Ordnung mit konstanten Koeffizienten Prof Dr BGrabowski Lösung linearer Dgl Ordnung mittels Zerlegungssatz Aufgabe ) Lösen Sie folgende Differentialgleichungen durch Anwendung des Zerlegungssatzes, dh Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen Dgl und eine spezielle Lösung der inhomogenen Dgl und addieren Sie beides! a) y +y=e -, y(0)=0, b) y - y = + e 05, c) y' + y = + sin( Aufgabe ) Durch die Differentialgleichung erster Ordnung m vɺ + kv = mg wird die Sinkgeschwindigkeit v=v(t) eines Teilchens der Masse m in einer Flüssigkeit beschrieben (k:reibungsfaktor, g:erdbeschleunigung) a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dgl b) Wie lautet die spezielle Lösung für den Anfangswert v(0)=vo? c) Welche Geschwindigkeit v ma kann das Teilchen maimal erreichen? d) Skizzieren Sie den Verlauf der Geschwindigkeitskurve v(t) für das Anfangswertproblem v(0)=vo Aufgabe 3) Ein Körper besitze zur Zeit t die Temperatur T 0 und werde in der Folgezeit durch vorbeiströmende Luft der konstanten Temperatur T L gekühlt ( T L < T0 ) Der Abkühlungsprozess wird dabei nach Newton durch die Differentialgleichung dt = a( T T ) L (a > 0) dt beschrieben (a: Konstante) Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Körpertemperatur T für den Anfangswert T ( 0) = T0 und skizzieren Sie die Temperaturkurve Gegen welchen Endwert strebt die Körpertemperatur?

2 Lösung linearer Dgl Ordnung mittels Zerlegungssatz Zerlegungssatz: Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung Ordnung a y + by +cy = f( hat die Gestalt: y inhom ( = y p ( + y hom (, wobei y p ( eine spezielle Lösung der inhomog Dgl ist und und y hom ( die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Dgl ay + by + cy ist Um die allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl zu bestimmen, müssen wir also eine spezielle Lösung y p ( derselben und die allgemeine Lösung der homog Dgl bestimmen Bestimmung von speziellen Lösungen Aufgabe 4) Geben Sie jeweils eine spezielle Lösung folgender Differentialgleichung an : a)3y' ' + y' = 3 b) y' ' + y' + y = c) y' ' + y' + y = sin( d) y'' + y' + y e) y'' + y' 3y f) 3y' ' + y' y = + 3 Lösungshinweis: Überlegen Sie sich zuerst, von welchem Typ die Lösungsfunktion y( sein könnte (zb Typ Eponentialfunktion: y( = ae b, oder Polynom y(=a n n + + a +a o einer bestimmten Ordnung n oder Schwingung y( = asin( + bcos(), so dass die linke Seite (=Störfunktion) und die rechte Seite der Differentialgleichung vom Typ her übereinstimmen Bestimmen Sie anschließend die unbekannten Parameter a,b bzw a n,,a o Ihres gewählten Ansatzes (Typs) für y(, indem Sie y( einfach in die Differentialgleichung einsetzen und schauen, für welche Werte von a,b bzw a n,,a o die Differentialgleichung erfüllt ist!

3 Allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung Ordnung : ( ) Satz: Die allgemeine Lösung y hom der homogenen linearen Differentialgleichung Ordnung a y + by +cy hat die Gestalt: y hom ( ) = b + b R ( ) ( ),, wobei und b( linear unabhängige Lösungen der homogenen Dgl sind Def: Zwei Funktionen und b( heißen linear abhängig, falls gilt: R : = b( R Im Umkehrschluss gilt: Zwei Funktionen und b( heißen linear unabhängig, falls aus + b( R folgt: = Die lineare Unabhängigkeit zweier Funktionen kann man bequemer über folgenden Satz beweisen : Satz: Zwei Funktionen und b(, ϵd, sind linear abhängig, falls für ihre Wronskideterminante W gilt: b( W = 0 für alle ϵd b' ( b' ( Aufgabe 5 Wir betrachten die lineare Differentialgleichung y' ' y' Seien b ( cos( und b ( sin( a) Zeigen Sie mit Hilfe der Wronski-Determinante, dass und b( linear unabhängig sind! b) Zeigen Sie, dass und b( Lösungen der Differentialgleichung y' ' y' sind! c) Wie lautet die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y' ' y'? 3

4 Aufgabe 6 Berechnen Sie den Realteil und den Imaginärteil von b( ( α + jβ ) Aufgabe 7 Zwei linear unabhängige (Basis)Lösungen und b( einer Differentialgleichung Ordnung ay' ' + by' + cy erhalten wir wie folgt: (Den Nachweis, dass es linear unabhängige Lösungen sind führen wir in der nächsten Vorlesung durch!) ) Wir stellen die charakteristische Gleichung zur Dgl auf: a + b + c und lösen diese: / = b a ± b a c a ) Bei der Lösung ergeben sich 3 Fälle In Abhängigkeit vom jeweiligen Fall ergeben sich die Basislösungen wie folgt: Sei b b c / = ± = α ± a a a β Fall Basis β>0 ( verschiedene reelle Nullstellen, ), b( β<0 ( konjugiert komplee Nullstellen α = Re( e ) cos( β, / = α ± j β ) α b( = Im( e ) sin( β β=0 ( doppelte reelle Nullstelle = = ), b( Lösen Sie mit Hilfe dieser Tabelle folgende homogene Differentialgleichungen: a) y' ' + 6y' + 0y, b) y +y -3y c) y +y d) y -y + y 4

5 Allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung Ordnung : Aufgabe 8 Lösen Sie folgende Differentialgleichungen und Anfangswertprobleme mittels Zerlegungssatz! a) y' ' + 6y' + 0y =, y(0), y'(0) = b) y +y -3y = 3sin(+cos( c) y +y = Hinweis : Bestimmen Sie die allgemeine homogene Lösung mittels Tabelle aus Aufgabe 4 und die spezielle Lösung der inhomog Dgl wie üblich, indem Sie einen Ansatz aufstellen und dann die Parameter in diesem Ansatz berechnen Aufgabe 9 Ein biegsames Seil der Länge l und der Masse m gleite reibungsfrei über eine Tischkante Ist =(t) die Länge des überhängenden Seiles zur Zeit t, so ist die auf das Seil einwirkende Kraft mg gleich dem Gewicht des überhängenden Seiles, also l (g=9,8 (Erdbeschleunigung)) Die Differentialgleichung der Bewegung lautet somit: m ɺɺ = l mg bzw ɺɺ g l a) Lösen Sie diese Differentialgleichung für ein,50 m langes Seil, das zu Beginn (t=0) zur Hälfte überhängt und sich aus der Ruhe heraus in Bewegung setzt b) Nach welcher Zeit ist das Seil abgerutscht? Aufgabe 0 (Stoßdämpferproblem) a) Untersuchen Sie mit Hilfe der Schwingungsgleichung m ɺɺ ( t) + b ɺ ( t) + c( t) die Bewegung ((t) = Ort zur Zeit t in Meter m) einer Masse von m= 0 kg, die mit einer elastischen Feder der Federkonstanten c=0500 N/m verbunden ist, wenn das System den Dämpfungsfaktor b=000kg/s besitzt Dabei werde die Masse zu Beginn der Bewegung (t=0) in der Gleichgewichtslage mit der Geschwindigkeit v0= 3 m/s angestoßen ((0), ɺ( 0) = 3m / s) b) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Schwingung 5