Steiner-Geometrie des Sehnen-Vierecks. Eckart Schmidt

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1 Steine-Geometie es Sehnen-Vieecks Eckat Schmit Z einem Vieeck lässt sich as ollstänige Vieseit e Seitengeaen sowie e zgehöige Steine-Pnkt Miel oint als gemeinsame Pnkt e Umkeise e Teileiseite betachten. Die Mittelnkte iese Umkeise liegen mit em Steine-Pnkt konzyklisch e zgehöige Keis cicmcentic cicle sei hie als Steine-Keis bezeichnet. Weitehin liegen ie Höhenschnitte e Teileiseite af eine Geaen othocentic line hie als Steine-Geae angesochen. Z zahleichen weiteen geometischen Zsammenhängen sei af Beitäge on Clawson [1] n Ehmann [] hingewiesen ie sich asfühlich mit Steines 188 eöffentlichten zehn Sätzen übe as ollstänige Vieseit beschäftigen. Im Folgenen ween Steine-Pnkt -Geae n - Keis fü Sehnen-Vieecke ntescht. Dabei wi eine Inesion bentzt ie ie Gegenecken es Vieecks etascht n ih Zentm im Steine- Pnkt hat [3]. Analytische Beechnngen efolgen egänzen in katesischen Kooinaten. Die Vieecks-Inesion ABCD sei ein Vieeck in allgemeine Lage mit Diagonalenschnitt E n Gegenseitenschnitten F n G. Gescht ist eine Inesion bestehen as Keissiegelng n Siegelng an eine Dchmessegeaen ie ie Gegenecken A n C als ach B n D etascht. Die Umkeise e Deiecke ADF n BCF schneien sich im Steine-Pnkt S. Mit Scheitel- n Umfangswinkelgleichheit egibt sich ASD AFD BFC BSC.

2 Somit haben ie Winkel ASC n DSB ie gleiche Winkelhalbieene. Mit e Umfangswinkelgleichheit egibt sich weitehin ie Ähnlichkeit e Deiecke ABS DCS ie ahe ch eine Dehsteckng afeinane abgebilet ween können. Steckngsfakto ist SA SB n es gilt SA SC SB SD. SD SC Damit ist e Steine-Pnkt S es Vieecks ABCD Zentm eine Inesion ie nicht n ie Gegenecken sonen nach entsechenen Übelegngen ach ie Schnittnkte F n G e Gegenseiten etascht [3]. Diese Inesion wi in abgewanelte Fom schon on Clawson [1] S.47 bentzt. Fü en Rais s es Inesionskeises lässt sich zeigen AB BC CD DA SA SC SB SD s. Dabei bezeichne en Rais es Steine-Keises n AB en Umkeisais es Teileiseits z Seite AB. Hie seien einige Eigenschaften iese Vieecks-Inesion ohne Beweis angegeben: 1... etascht nicht n ie Gegenecken sonen ach ie Gegenseitenschnitte F n G sowie en Diagonalenschnitt E mit em Tangentialnkt T es Vieecks. Diesen on Stäk [4] asfühlich nteschten mekwüigen Pnkt es Vieecks ehält man wenn man eine Ecke isogonal bzgl. es Resteiecks abbilet n ann am Umkeis es Resteiecks siegelt. De Tangentialnkt liegt im zweiten Schnittnkt e Keise ch en Steine-Pnkt n ein Gegeneckenaa.... bilet ie Seitengeaen AB BC CD DA af ie Umkeise e Teileiseite CDG DAF ABG BCF ab bilet ie Mittelnkte e Umkeise e Teileiseite af ie Siegelnkte es Steinenktes S an en Seitengeaen ab bilet en Steine-Keis af ie Steine-Geae ab wohl ie bemekensweteste Eigenschaft.

3 De Steine-Pnkt eines Sehnen-Vieecks Fü ein Sehnen-Vieeck fällt e Tangentialnkt in ie Umkeismitte M. De Umkeis ist Fixkeis e Vieecks- Inesion. E schneiet en Inesionskeis ahe othogonal n ie Umkeismitte M liegt af e Inesionsachse. Siegelt man ie Umkeismitte M als Tangentialnkt am Inesionskeis so ehält man en Diagonalenschnitt E ebenfalls af e Inesionsachse im Schnitt mit e gemeinsamen Sehne. Da sich Inesionskeis n Umkeis othogonal schneien n e Diagonalenschnitt af e Vebinngsgeaen e Mittelnkte im Schnitt mit e gemeinsamen Sehne liegt mss entsechen ie Siegelng es Steine-Pnktes S am Umkeis en Diagonalenschnitt E egeben. Damit liegt S af e Polaen on E bzgl. es Umkeises.h. af e Basis FG es Diagonaleiecks ie senkecht z Inesionsachse eläft. Untezieht man ie Ecken A B C D est e Inesion n ann e Umkeissiegelng so eozieen sich ie Ecken in zyklisch eänete Reihenfolge C D A B. Dabei mss e Steine-Keis af sich abgebilet ween. Die Inesion übefüht ihn in ie Steine-Geae ie Umkeissiegelng anschließen in einen Keis ch ie Umkeismitte. Dahe geht e Steine-Keis ch ie Umkeismitte n entsechen ie Steine-Geae ch en Diagonalenschnitt oe in anee Inteetation: Steine-

4 Keis n Steine-Geae liegen siegelbillich zm Umkeis. Satz 1. Alle Sehnen-Vieecke eines Keises mit ogegebenem Diagonalenschnitt haben en gleichen Steine-Pnkt im mkeis-gesiegelten Diagonalenschnitt. Die Steine-Keise elafen ch ie Umkeismitte n ie Steine-Geaen ch en Diagonalenschnitt. Eine Siegelng am Umkeis übefüht en Steine-Keis in ie Steine-Geae. Wetet man ie Zsammenhänge as fü einen Umkeisais n einen Diagonalenschnitt E mit em Mittelnktsabstan e so ehält man fü en Abstan es Steine-Pnktes n fü en Rais s es Inesionskeises MS n e Katesische Kooinaten e s. e Hie wi e Vesch gemacht ie geometischen Zsammenhänge beim Sehnen-Vieeck in katesischen Kooinaten analytisch nachzollziehen n z egänzen. Fü ein Sehnen-Vieeck schneien sich ie Winkelhalbieenen e Schnittwinkel e Gegenseiten othogonal. Diese Winkelhalbieenen seien ie Kooinatenachsen. Die Gegenseiten ch F 0 mögen ie y-achsen-abschitte ± n ie Gegenseiten ch G 0 ie x-achsen-abschnitte ± haben. Dann eechnen sich ie Ecken es Sehnen-Vieecks z A B C D. Weitee Egebnisse: Umkeismitte n Umkeisais: M

5 . Diagonalenschnitt n Steine-Pnkt: E 3 3 S. Höhenschnitte ie Teileiseite ABG BCF CDG DAF seien ch ie Inizes a b c nteschieen: H c a ± m H b ± m. Gleichng e Steine-Geaen: y x. Umkeismitten: M c a m m M b ± ± n ie Gleichng es Steine-Keises: y x 16. Mit iesen Egebnissen lassen sich nicht n ie Zsammenhänge on Satz 1 bestätigen sonen ach weitee nmittelba nachechnen:

6 Satz. Die Höhenschnitte H a n H c sowie H b n H liegen af e Steine-Geaen symmetisch zm Zentm e gleichseitigen Umhyebel es Sehnen-Vieecks. Die Umkeismitten M a n M c sowie M b n M af em Steine-Keis liegen symmetisch z Mittelsenkechten on Umkeismitte n Steine- Pnkt. Dabei egibt sich fü as Zentm e gleichseitigen Umhyebel: Z. Satz 3. Die Höhenschnitte H a H c n ie Umkeismitten M a M c sowie entsechen ie Höhenschnitte H b H n ie Umkeismitten M b M liegen af Keisen mit em gemeinsamen Mittelnkt im Schnitt e Symmetieachsen e Höhenschnitte n Umkeismitten. Mittelnkt iese konzentischen Keise ist Satz 4. Die folgenen Pnktetiel F H b M F H M b G H a M c G H c M a sin kollinea. Die Tägegeaen liegen symmetisch z en entsechenen Winkelhalbieenen e Gegenseiten ihe Schnittwinkel in F n G sin ie Schnittwinkel e Gegenseiten in G n F. De Steine-Pnkt eines bizentischen Vieecks Bizentische Vieecke.h. Vieecke ie zgleich Sehnen- n Tangenten-Vieeck sin wen im 19. Jahhnet ielfach ntescht. Hie seien einige bekannte Eigenschaften benannt.

7 Ein bizentisches Vieeck ABCD ist Tangenten-Vieeck eines Sehnen-Vieecks A B C D mit othogonalen Diagonalen Poncelet 18 [5] S.1000 abei seien A B C D ie Beühnkte e Seiten AB BC CD DA mit em Inkeis. Die Diagonalenschnitte on ABCD n A B C D fallen in einem Pnkt E e Zentalen on In- n Umkeis zsammen. Dabei besteht zwischen em Umkeisais em Inkeisais n em Mittelnktsabstan MI ie Beziehng Fß 1798 [5] S.1001:. Gibt man also en Umkeis mit einem Rais o n wählt eine Inkeismitte I im Abstan < so liegt e Inkeisais fest. Alle bizentischen Vieecke ABCD mit gleichem In- n Umkeis haben en selben Diagonalenschnitt E n amit en gleichen Steine-Pnkt S. As em Sonefall eines Taezes eechnen sich e Mittelnktsabstan es Diagonalenschnitts n es Steine- Pnktes z ME e n MS. Daas egibt sich e Rais s es Inesionskeises s. Das Vieeck e Beühnkte A B C D ist Sehnen-Vieeck es Inkeises mit em Mittelnkt I em Rais n em Diagonalenschnitt E im Abstan IE e. De zgehöige Steine-Pnkt S hat ann on e Inkeismitte en Abstan IS s MS. Damit fallen ie Steine-Pnkte on ABCD n A B C D zsammen n e Inesionskeis on ABCD geht ch ie Inkeismitte. Siegelt man also en Diagonalenschnitt E am Umkeis oe am Inkeis so ehält man in beien Fällen en Steine-Pnkt es bizentischen Vieecks. Siegelt man ie Inkeismitte am Umkeis so ist e Mittelnkt e Steine- Pnkt.

8 Satz 5: Ein bizentisches Vieeck n sein Beühieeck haben en gleichen Steine-Pnkt im Siegelnkt es Diagonalenschnitts am In- oe Umkeis. Siegelt man ie Inkeismitte am Umkeis so ist e Steine-Pnkt e Mittelnkt. Fü ie analytische Beechnng eines bizentischen Vieecks fällt e Usng es Kooinatensystems jetzt in ie Inkeismitte I. Dann lassen sich n zgnsten es Inkeisais eliminieen:. Fü ie betachteten Pnkte n ihe Abstäne ehält man ann: E S M mit n. Damit bestätigt man nmittelba ie oben zitiete Fßsche Gleichng. Eine bemekenswete Eigenschaft egibt sich fü as Diagonalenokt 4 4 BD AC. Satz 6. Alle bizentischen Vieecke mit gleichem In- n Umkeis haben as gleiche Diagonalenokt.

9 Betachtet man z einem bizentischen Vieeck ach sein Beühieeck A B C D mit en Ecken A C m B D ± so lassen sich neben e Übeeinstimmng in Diagonalenschnitt n Steine-Pnkt weitee Zsammenhänge afzeigen. Hie sei n ewähnt ass sich ie Steine-Geaen n ie Steine- Keise beie Vieecke othogonal schneien n ass ie Gegenseitenschnitte af e Polaen es Diagonalenschnitts in hamonische Lage sin. Sehnen-Vieecke mit aallelen Seiten Z einem ogegebenen Sehnen-Vieeck lässt sich im gleichen Umkeis ie Scha e Sehnen-Vieecke mit gleichen Innenwinkeln betachten n ie Otslinie e zgehöigen Steine-Pnkte hintefagen. Daz sei ein Kooinatensystem mit Usng in e Umkeismitte bentzt essen Achsen aallel z en Bogenmitteniagonalen elafen. Wählt man ein Sehnen- Vieeck im Einheitskeis mit en Innenwinkeln α β 90 n bezeichnet en halben Diagonalen-Schnittwinkel mit ϕ so haben ie Ecknkte folgene Kooinaten: A cos β ϕ sin β ϕ B cos α ϕ sin α ϕ C cos β ϕsin β ϕ D cos α ϕsin α ϕ. Damit eechnet sich e Diagonalenschnitt z cosα cos β cosα cos β E. cosϕ sinϕ Siegelt man en Diagonalenschnitt am Umkeis so ehält man en Steine-Pnkt. Tennt man sich jetzt om Paamete ϕ so gewinnt man ie Gleichng e Otske. Satz 7. Im Einheitskeis mit ogegebenem Sehnen-Vieeck liegen ie Steine-Pnkte alle winkelgleichen Sehnen-Vieecke af eine Rosette mit e Gleichng: x y [ x cosα cos β y cosα cos β ] 4x y.

10 Fü Sehnenieecke mit einem Paa echtwinklige Gegenwinkel z.b. β δ 90 wi ie Rosette aatisch mit e Gleichng 3 x y cosα 4x y. Nimmt man noch ie Otslinien e Diagonalenschnitte n e Zenten e gleichseitigen Umhyebeln hinz egibt sich eine schöne Abschlssfig. Liteat [1] J. W. Clawson: The comlete ailateal.- Annals of Mathematics [] J. P. Ehmann: Steine`s Theoems on the Comlete Qailateal. Fom Geometicom Vol [3] E. Schmit: Vieecksbezogene Inesionen. htt://eckatschmit.e. [4] R. Stäk: Ein mekwüige Pnkt es Vieecks. PM 1/44 Jg 00 S. 19. [5] M. Zachaias: Elementageometie. Enzykloäie e mathematischen Wissenschaften III 1 B.G. Tebne Leizig Eckat Schmit - Hasenbeg 7 - D 43 Raisof htt://eckatschmit.e eckat_schmit@t-online.e

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