7 Matrizen über R und C

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1 Mathematik für Physiker I, WS 06/07 Montag 9 $Id: matrixtex,v 7 06//9 :58: hk Exp $ 7 Matrizen über R und C 7 Addition und Multiplikation von Matrizen In der letzten Sitzung haben wir begonnen uns mit der Matrizenrechnung zu beschäftigen und insbesondere haben wir eine Addition und eine Multiplikation von Matrizen eingeführt Wir wollen nun einige der Rechenregeln für die Matrixmultiplikation festhalten Dabei sollen alle vorkommenden Matrizen über den reellen oder den komplexen Zahlen definiert sein Lemma 7 (Rechenregeln für Matrizen Seien K {R, C} und n, m, p, q N\{0} (a Assoziativgesetz Sind A K m p eine m p, B K p q eine p q und C K q n eine q n Matrix jeweils über K, so gilt (A B C A (B C (b Einheitsmatrizen Ist E n : }{{} n Spalten n Zeilen die sogenannte n n Einheitsmatrix, so gelten für jede m n Matrix A K m n über K die Gleichungen A E n A und E m A A (c Distributivgesetze Sind A K m p eine m p Matrix und B, C K p n zwei p n Matrizen, so gilt A (B +C A B +A C Sind ebenso A, B K m p zwei m p Matrizen und C K p n eine p n Matrix, so gilt (A+B C A C +B C (d Multiplikation mit Skalaren Sind A K m p eine m p Matrix, B K p n eine p n Matrix und c K ein Skalar, so gilt (ca B A (cb c (A B Beweis: (a Seien also A, B, C wie in (a gegeben Die beiden Produkte (ABC und A(BC sind dann zwei m n Matrizen Wir müssen einsehen das diese beiden Matrizen 7-

2 Mathematik für Physiker I, WS 06/07 Montag 9 in allen ihren Einträgen übereinstimmen Für alle i m, j n ergibt sich der Eintrag von (ABC in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte als ( q q ((ABC ij (AB ik C kj A il B lk C kj A il B lk C kj k k und auf der anderen Seite haben wir ebenfalls (A(BC ij A il (BC lj l l l A il ( q k B lk C kj l p k q l p k q A il B lk C kj Dies zeigt ((ABC ij (A(BC ij, und (a ist bewiesen (b Sei A K m n gegeben Dann ist AE n eine m n Matrix und für alle i m, j n haben wir n (AE n ij A ik (E n kj A ij k da (E n kj für k j gleich ist aber für k n mit k j stets Null ist Damit ist AE n A und analog ergibt sich auch E m A A (c Seien A K m p und B, C K p n gegeben Dann sind A(B + C und AB + AC beides m n Matrizen und für alle i m, j n gilt (A(B + C ij A ik (B + C kj A ik (B kj + C kj k A ik B kj + k k k A ik C kj (AB ij + (AC ij (AB + AC ij Damit ist A(B + C AB + AC und das erste der beiden Distributivgesetze ist bewiesen Das andere Distributivgesetz folgt analog (d Seien A K m p, B K p n und c K gegeben Dann sind (cab, A(cB und c(ab alles m n Matrizen über K und für alle i m, j n haben wir ((cab ij (ca ik B kj k ca ik B kj c A ik B kj c(ab ij (c(ab ij k k und ebenso (A(cB ij ca ik (cb kj k A ik cb kj c A ik B kj c(ab ij (c(ab ij k k Damit ist (cab c(ab und A(cB c(ab 7-

3 Mathematik für Physiker I, WS 06/07 Montag 9 Wir wollen hier noch auf zwei kleine Konventionen hinweisen Im Lemma haben wir die n n-einheitsmatrix E n definiert und die leeren Einträge in dieser Matrix werden dabei per Konvention als Null interpretiert Genauso wie wir für die Nullmatrix in jeder Größe einfach Null schreiben, werden wir auch die Einheitsmatrizen E n unabhängig von ihrer Größe n einfach als schreiben Etwas weitergehend verwenden wir auch die folgende Konvention, wenn immer an einer Stelle an der eine n n Matrix stehen sollte ein Skalar auftaucht, so ist das Produkt dieses Skalars mit der n n Einheitsmatrix E n gemeint, ist beispielsweise A K n n und c K so steht c + A für ce n + A Wichtiger noch als die in Lemma aufgeführten Rechenregeln für die Multiplikation von Matrizen, ist es welche Rechenregeln dort nicht stehen Zum einen ist die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ Wir haben zum Beispiel ( 0 ( 0 ( ( ( 0 ( 0 Die Multiplikation verhält sich auch in einer anderen Hinsicht ungewöhnlich Für reelle oder komplexe Zahlen x, y wissen wir das aus x y 0 stets x 0 oder y 0 folgt Für Matrizen ist dies falsch, es gibt sogar von Null verschiedene Matrizen, deren Quadrat gleich Null ist Beispielsweise gilt für A : ( 0 auch A ( 0 ( 0 ( 0 0, hier haben wir also A 0 aber A 0 Hieraus folgt dann auch das es kein multiplikatives Inverses zu A geben kann, hätten wir nämlich eine -Matrix B mit BA E so ergibt sich der Widerspruch 0 B 0 B A (B A A E A A 0 7 Transposition von Matrizen Im letzten Abschnitt hatten wir Addition und Multiplikation von Matrizen passender Größe, sowie die Multiplikation von Matrizen mit Skalaren, also mit reellen oder komplexen Zahlen, eingeführt Es gibt noch eine weitere, etwas weniger wichtige, Grundrechenoperation für Matrizen, die sogenannte Transposition Definition 7: Sei a a n A a m a mn 7-

4 Mathematik für Physiker I, WS 06/07 Montag 9 eine m n Matrix über K {R, C} Die Transponierte A t von A ist dann die n m Matrix a a m A t :, a n a mn über K deren Zeilen gerade die Spalten von A sind Beispielsweise ist t Auch die Matrixtransposition erfüllt einige einfache Rechenregeln: Lemma 7 (Rechenregeln für die Transposition Seien K {R, C} und n, m, l N\{0} drei natürliche Zahlen (a Für jede m n Matrix A über K gilt (A t t A (b Sind A, B zwei m n Matrizen über K, so gilt (A + B t A t + B t (c Sind A eine m n Matrix über K und c K eine Zahl, so gilt (ca t ca t (d Sind A eine m l und B eine l n Matrix über K, so gilt (AB t B t A t Beweis: (a,b,c Diese Aussagen sind klar (d Da B t eine n l und A t eine l m Matrix sind, sind (AB t und B t A t beides n m Matrizen Für alle i n, j m ergibt sich der Eintrag in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte zu l l (B t A t ij BikA t t kj A jk B ki (AB ji (AB t ij, k dh es gilt tatsächlich (AB t B t A t k 7 Lineare Gleichungssysteme als Matrixgleichung Was hat die Matrixmultiplikation nun mit linearen Gleichungssystemen zu tun? Um dies zu sehen, betrachten wir ein lineares Gleichungssystem a x + a x + + a n x n b a x + a x + + a n x n b ( a m x + a m x + + a mn x n b m 7-

5 Mathematik für Physiker I, WS 06/07 Montag 9 und schreiben A für seine Koeffizientenmatrix sowie für seine rechte Seite Ist weiter b : x : der Vektor der n Unbekannten, so können wir x auch als eine n Matrix, also als einen Spaltenvektor, auffassen Da A eine m n Matrix ist, ist damit das Matrixprodukt Ax definiert und ergibt eine m Matrix, also einen Spaltenvektor mit m Einträgen Diesen Vektor können wir auch leicht ausrechnen Ax a a n a m a mn x x n b b m x x n a x + + a n x n a m x + + a mn x n die m Komponenten des Produkts Ax sind also gerade die linken Seiten unseres linearen Gleichungssystems Damit kann das gesamte lineare Gleichungssystem ( als eine einzelne Matrixgleichung Ax b interpretiert werden Wir wollen diese Interpretation nun verwenden, um einige einfache Beobachtungen über die Menge der Lösungen unseres linearen Gleichungssystems zu machen Um diese auszusprechen ist eine weitere kleine Definition hilfreich Definition 75: Das lineare Gleichungssystem ( heißt homogen, wenn b 0 ist, dh wenn es die Form a x + a x + + a n x n 0 a x + a x + + a n x n 0 a m x + a m x + + a mn x n 0 hat Ein homogenes lineares Gleichungssystem hat offenbar immer die Lösung x 0, also x x n 0, die man als die triviale Lösung des linearen Gleichungssystems bezeichnet Als das zum allgemeinen Gleichungssystem (, also Ax b, gehörige homogene Gleichungssystem bezeichnet man das homogene lineare Gleichungssystem Ax 0 Ein allgemeines lineares Gleichungssystem Ax b bezeichnet man dann auch als inhomogen Beachte das inhomogen nur für nicht notwendig homogen steht und nicht die Verneinung von homogen bedeutet Satz 7 (Homogene und inhomogene Lösungen Seien n, m N\{0} und A K m n eine m n Matrix über K 7-5,

6 Mathematik für Physiker I, WS 06/07 Montag 9 (a Sind u, v K n zwei Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems Ax 0 und c K eine Zahl, so sind auch u + v und cu Lösungen von Ax 0 (b Sei weiter b K m gegeben Gibt es dann überhaupt eine Lösung x 0 K n des linearen Gleichungssystems Ax b, so ist {x 0 + u u K n, Au 0} die volle Lösungsmenge von Ax b, dh die Lösungen von Ax b sind genau die Vektoren der Form x x 0 + u wobei u die Lösungen des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems durchläuft Beweis: (a Aus Au Av 0 folgen nach Lemma (c,d auch A (u+v Au+Av 0 und A (cu cau 0, dh auch u + v und cu sind Lösungen von Ax 0 (b Ist u eine Lösung des homogenen Systems, gilt also Au 0, so haben wir nach Lemma (c auch A (x 0 + u Ax 0 + Au Ax 0 b, dh x x 0 + u ist eine Lösung von Ax b Nun sei umgekehrt x K n mit Ax b gegeben Dann setzen wir u : x x 0 K n und haben wieder nach Lemma (c,d auch Au A (x x 0 Ax Ax 0 b b 0 Also ist u eine Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems und es gilt x x 0 + (x x 0 x 0 + u Hat also insbesondere das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem nur die triviale Lösung, so ist das allgemeine lineare Gleichungssystem Ax b für jede rechte Seite b K m entweder gar nicht lösbar oder eindeutig lösbar Oft wird die Aussage (a des Lemmas noch zum Superpositionsprinzip verallgemeinert: Sind x,, x r K n Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystem Ax 0, und λ,, λ r K beliebige Skalare, so ist auch x λ x + + λ r x r ein Lösung von Ax 0 Diese Lösung wird dann oft als eine Linearkombination, beziehungsweise als Superposition oder Überlagerung, der gegebenen Lösungen x,, x r bezeichnet Auch für Teil (b gibt es eine oft zu findende Sprechweise Die vorgegebene Lösung x 0 von Ax b bezeichnet man als eine spezielle Lösung, oder auch als eine Partikularlösung, des linearen Gleichungssystems Ax b und damit kann (b als Allgemeine Lösung von Ax b Spezielle Lösung von Ax b + Allgemeine Lösung von Ax 0 ausgesprochen werden 7-6

7 Mathematik für Physiker I, WS 06/07 Montag 9 7 Inverse Matrizen und reguläre lineare Gleichungssysteme Schreiben wir ein lineares Gleichungssystem in der Form Ax b, so ist es naheliegend dieses durch A auf die andere Seite bringen zu lösen, also mit so etwas wie /A zu multiplizieren, nur gibt es leider keine Quotienten von Matrizen im üblichen Sinne So etwas läßt sich nur für eine spezielle Sorte von Matrizen einführen, die wir nun definieren wollen Definition 76: Sei n N mit n Eine n n Matrix A über K {R, C} heißt invertierbar, oder auch regulär, wenn es eine n n Matrix A über K, genannt die Inverse von A, gibt so, dass A A A A gelten Beachte das wir hier A statt /A schreiben Die Bruchschreibweise ist für Matrizen in der Tat nicht sinnvoll Wollten wir A/B definieren, so könnte dies A B oder B A bedeuten, und diese beiden Ausdrücke können durchaus verschieden sein, wir hatten ja bereits bemerkt das die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ ist Können wir also A/B keine Bedeutung geben, so erscheint auch die Schreibweise /A als nicht sinnvoll Für die Invertierbarkeit einer Matrix A K n n reicht es bereits aus, dass es eine Matrix B K n n mit AB oder BA gibt, eine der beiden Bedingungen in der Definition der inversen Matrix ist also redundant Diese Tatsache ist etwas diffiziler als sie zunächst erscheint, man kann sie nicht einfach aus den Rechenregeln für Matrizen herleiten Wir werden dies erst im nächsten Kapitel beweisen können Beachte weiter, dass es zunächst sein könnte, das es zu einer invertierbaren Matrix A mehrere Matrizen A gibt Dies wollen wir nun ausschließen Lemma 7 (Grundeigenschaften des Invertierens Seien n N mit n und K {R, C} (a Ist A K n n invertierbar, so gibt es genau eine Matrix A K n n mit AA A A (b Ist A K n n invertierbar, so ist auch A invertierbar mit (A A (c Sind A, B K n n invertierbar, so ist auch A B invertierbar mit (A B B A (d Sind A K n n invertierbar und c K\{0}, so ist auch ca invertierbar mit (ca c A (e Ist A K n n invertierbar, so ist auch A t invertierbar mit (A t (A t (f Sind A K n n eine beliebige n n Matrix und B K n n invertierbar, so ist A genau dann invertierbar wenn AB invertierbar ist und auch genau dann invertierbar wenn BA invertierbar ist 7-7

8 Mathematik für Physiker I, WS 06/07 Montag 9 Beweis: (a Sei B K n n eine weitere Matrix mit AB BA Dann haben wir (b Klar (c Es gilt B B (A AB A (AB A A (AB (B A A(BB A AA, und analog folgt auch (B A (AB Damit ist AB invertierbar mit (AB B A (d Mit Lemma (d rechnen wir (ca (c A (c ca A AA, und analog ist auch (c A (ca Damit ist ca invertierbar mit (ca c A (e Mit Lemma (d erhalten wir A t ((A t (A A t t und analog folgt auch ((A t A t Damit ist A t invertierbar mit (A t (A t (f Ist A invertierbar so ist nach (c auch AB invertierbar Ist umgekehrt AB invertierbar, so ist nach (c und (b auch A (ABB invertierbar Analog ist A auch genau dann invertierbar wenn BA invertierbar ist Die Aussage (e des Lemmas erlaubt es uns die Kombination aus Transponieren und Invertieren in einem Symbol A t : (A t (A t zusammenzufassen, zumindest wenn A invertierbar ist Wir wollen schon hier auf eine weitere kleine Tatsache hinweisen, in Aussage (f muss die Invertierbarkeit von B gar nicht vorausgesetzt werden, dh ist ein Produkt AB zweier n n Matrizen invertierbar, so sind bereits beide Faktoren A, B einzeln invertierbar Dies können wir an dieser Stelle aber noch nicht beweisen, und kommen erst im nächsten Kapitel hierauf zurück Wir wenden den Begriff einer invertierbaren Matrix nun auf lineare Gleichungssysteme an und führen hierzu erst einmal den Begriff eines regulären linearen Gleichungssystems ein Definition 77: Ein quadratisches lineares Gleichungssystem a x + a x + + a n x n b a x + a x + + a n x n b a n x + a n x + + a nn x n b n heißt regulär, wenn seine Koeffizientenmatrix regulär, also invertierbar, ist Die regulären linearen Gleichungssystem lassen sich immer eindeutig lösen, und zwar durch Multiplikation mit der inversen Matrix Satz 75 (Reguläre lineare Gleichungssysteme Ein reguläres lineares Gleichungssystem mit Koeffizientenmatrix A und rechter Seite b hat genau eine Lösung, nämlich x A b 7-8

9 Mathematik für Physiker I, WS 06/07 Montag 9 Beweis: Wegen A (A b (AA b b b ist A b eine Lösung des linearen Gleichungssystems Ax b Ist umgekehrt x K n mit Ax b, so gilt auch x x (A Ax A (Ax A b Um diesen Satz zur Lösung linearer Gleichungssysteme zu verwenden, benötigen wir noch eine Methode die Inverse einer gegebenen Matrix tatsächlich zu berechnen, sofern sie überhaupt existiert Wir wollen mit zwei häufig auftretenden Spezialfällen beginnen Zunächst betrachten wir sogenannte Diagonalmatrizen, das sind quadratische Matrizen die außerhalb der Hauptdiagonale keine von Null verschiedenen Einträge haben, also beispielsweise die Einheitsmatrizen E n Diese Diagonalmatrizen multiplizieren sich auf sehr einfache Weise λ λ n µ µ n λ µ λ n µ n Sind also insbesondere λ,, λ n K\{0} alle von Null verschieden, so ist die zugehörige Diagonalmatrix invertierbar mit λ λ n λ Ein weiterer gut überschaubarer Fall sind Matrizen Wir haben nämlich die folgende einfache Rechnung ( ( ( a b d b ad bc 0 ad bc, c d c a 0 ad bc und ebenso ergibt sich dieses Ergebnis, wenn wir die beiden Matrizen in der anderen Reihenfolge multiplizieren Damit haben wir die Äquivalenz ( a b ist invertierbar ad bc 0, c d λ n und in diesem Fall ist ( a b c d ad bc ( d b c a Wie wir in 8 einsehen werden gibt es eine solche direkte Formel für die inverse Matrix auch für n n-matrizen bei beliebigen n, allerdings ist diese zum praktischen Rechnen höchstens noch für n geeignet Wir wollen uns daher nun ein Verfahren überlegen das Invertieren von n n-matrizen bei beliebigen n durchzuführen Angenommen A ist eine invertierbare n n-matrix Sind dann v,, v n die Spalten von A so hat 7-9

10 Mathematik für Physiker I, WS 06/07 Montag 9 die Matrix A A die Spalten Av,, Av n diese müssen also die Spalten der n n- Einheitsmatrix sein Bezeichnen wir letztere mit e,, e n, so ist die i-te Spalte v i von A für i n also eine Lösung des linearen Gleichungssystems Ax e i, zur Berechnung von A müssen also n lineare Gleichungssysteme gelöst werden Im gleich beschriebenen Berechnungsverfahren werden diese alle simultan gelöst Wir besprechen nun den eben angekündigten Algorithmus zur Berechnung der Inversen einer allgemeinen n n Matrix, und wollen diesen zugleich am Beispiel der Matrix A 0 0 durchführen Dies ist gerade die Koeffizientenmatrix unseres Beispiels zum Gaußschen Eliminationsverfahren in 6 Das Verfahren zum Invertieren dieser Matrix läuft in zwei Schritten ab Zunächst schreibe A und die Einheitsmatrix nebeneinander, also im Beispiel Dann führe das Gaußsche Eliminationsverfahren für die linke Matrix (also für A durch Dabei verwende zusätzlich Zeilenumformungen vom Typ, also Multiplikation von Zeilen mit Konstanten 0, um den am weitesten links stehenden von Null verschiedenen Eintrag einer jeder Zeile auf Eins zu bringen Wende dabei simultan genau dieselben Zeilenumformungen auf die rechte Matrix an Tritt während der Elimination eine lange Stufe auf, so ist die Ausgangsmatrix A nicht invertierbar, und wir können das Verfahren abbrechen Andernfalls ist die Matrix invertierbar Wir führen diesen Schritt jetzt im Beispiel durch Wir beginnen also wieder mit der ersten Zeile In dieser steht ganz links bereits eine Eins, und wir bringen alle Einträge unterhalb dieser Eins auf Null Dann müssen wir die zweite und die dritte Zeile vertauschen und die neue zweite Zeile anschließend durch teilen

11 Mathematik für Physiker I, WS 06/07 Montag 9 Jetzt bringen wir die untenstehenden Einträge der zweiten Spalte auf Null Jetzt bringe die führende Zwei der dritten Zeile auf Eins Schließlich bringe die linke Seite endgültig auf Stufenform und teile die unterste Zeile anschließend durch Zwei Damit ist Schritt Eins für dieses Beispiel beendet Insbesondere hat sich herausgestellt, dass unsere Koeffizientenmatrix überhaupt invertierbar ist, da keine lange Stufe aufgetreten ist Damit kommen wir zum zweiten Schritt Jetzt bringen wir analog zum Vorgehen bei der Gauß-Elimination, nur diesmal von unten nach oben und von rechts nach links gehend, in der linken Matrix alle Einträge außerhalb der Hauptdiagonale auf Null, und führen wieder simultan in der rechten Matrix dieselben Zeilenoperationen durch Nachdem dies getan ist, steht auf der rechten Seite die gesuchte inverse Matrix Schauen wir uns auch diesen Schritt im Beispiel an Wir müssen also zuerst die Spalte ganz rechts betrachten

12 Mathematik für Physiker I, WS 06/07 Montag 9 Nun wird auch die dritte Spalte oben auf Null gebracht Als letzter Schritt wird nun die zweite Spalte bearbeitet Als inverse Matrix haben wir in diesem Beispiel damit Die erste Phase des Verfahrens löst wie angekündigt gleich n lineare Gleichungssysteme simultan indem die n vielen rechten Seiten dort als die rechte Matrix verwendet werden Wir könnten dann die Spalten der inversen Matrix wie beim Gaußschen Eliminationsverfahren durch Einsetzen von unten nach oben berechnen, da man dies aber gleich n Mal durchführen müsste werden stattdessen in der zweiten Phase weitere Zeilenumformungen verwendet nach denen die Lösung jeweils direkt auf der rechten Seite steht Wollen wir erneut das lineare Gleichungssystem x + y u + v x + y + u v x + y + u v x u 0 aus 6 lösen, so können wir die eben berechnete inverse Matrix verwenden, um mit Satz 5 direkt die Lösung des Gleichungssystem zu erhalten x ,

13 Mathematik für Physiker I, WS 06/07 Montag 9 und dies ist wieder die Lösung, die wir schon damals berechnet hatten Man sollte allerdings die praktische Bedeutung inverser Matrizen für das Lösen linearer Gleichungssysteme nicht überschätzen Unser Verfahren zur Berechnung von A erfordert ungefähr den drei- bis vierfachen Aufwand im Vergleich zum Gaußschen Eliminationsverfahren Selbst wenn mehrere Gleichungssysteme mit derselben Koeffizientenmatrix zu lösen sind, ist das Eliminationsverfahren effektiver, da der Hauptteil des Algorithmus sich nur auf die Koeffizientenmatrix bezieht, und wir die Wirkung auf die rechte Seite einmal bestimmen und dann immer wieder anwenden können 7-