Mathe <> Deutsch. Die 7 verwirrendsten Mathe-Floskeln einfach erklärt! Math-Intuition.de

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1 Mathe <> Deutsch Die 7 verwirrendsten Mathe-Floskeln einfach erklärt!

2 Inhalt hinreichend & notwendig kanonisch wohldefiniert beliebig paarweise trivial o.b.d.a & o.e.

3 hinreichend & notwendig Bei jeder Aussage der Form Wenn A gilt, dann gilt auch B bzw. Aus A folgt B (in Symbolen: A => B) heißt A hinreichend für B A => B B notwendig für A. Eselsbrücke: Damit B gilt, reicht es bereits, dass A gilt (A hinreichend für B). Und es kann nicht sein, dass A gilt, aber nicht B (B ist notwendig dafür, dass A überhaupt gelten kann). Bsp: Wenn vor mir eine Kuh steht (A), dann steht vor mir ein Tier (B). Damit ist die Aussage, dass vor mir ein Tier steht notwendig dafür, dass vor mir eine Kuh stehen kann. Und dass die Kuh vor mir steht, ist hinreichend dafür, dass vor mir ein Tier steht.

4 kanonisch Kanonisch ist ein Wort, das dein Professor bestimmt ab und zu verwendet, wenn es darum geht ein bestimmtes Objekt (z.b. eine bestimmte Menge, Abbildung etc.) zu wählen. Die kanonische Wahl bedeutet dabei einfach nur, dass er dabei das naheliegendste solche Objekt (im Sinne von das einfachste, das er sich dabei vorstellen kann ) betrachten möchte. Blöd nur, dass viele Studenten oft nicht wissen, was mit dieser naheliegenden Wahl im konkreten Fall gemeint ist. Daher hier zwei typische Beispiele: Bsp: Die kanonische Basis eines Vektorraums ist einfach die Standardbasis. Zum Beispiel beim R^3 die Vektoren (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1). Der kanonische Homomorphismus (d.h. eine Abbildung zwischen zwei Mengen mit gewissen Eigenschaften) von den ganzen Zahlen Z nach Z/nZ (das ist die Menge der ganzen Zahlen, auf der wir zusätzlich modulo n rechnen können) beschreibt die Abbildung k -> k mod n. Diese erinnert stark an die Identität als Abbildung, daher ist diese hier so naheliegend.

5 wohldefiniert [2] * [3] = [7] * [3]? [2 * 3] = [7 * 3] Es gibt zwei Arten von Definitionen: Explizite ( Sei x:=5 ) und implizite ( Sei x die Lösung von 2*x -1 = 0 ). Im impliziten Fall musst du daher noch prüfen, ob es das definierte Objekt überhaupt gibt und (wenn es existiert), ob dieses eindeutig ist! Ist dies der Fall, ist dein Objekt wohldefiniert! Bsp: Sei x die ganze Zahl mit 2*x +1 = 0 ist genauso wenig wohldefiniert (da so ein x nicht existiert), wie Sei f die Abbildung von R -> R mit f(0) = 1 (da nicht eindeutig). Häufig sind implizite Definitionen schwer zu erkennen. Eine typische Anwendung ist jedoch, wenn es um sog. Vertreter und Restklassen geht, z.b. beim Modulo rechnen, Quotientenraum, etc. (oft zu erkennen an den eckigen Klammern [x]). Dazu ein Beispiel: Bsp: [a]*[b] := [a*b] definiert eine (wohldefinierte) Abbildung auf Z/nZ. Schauen wir uns das mal für n=5, a=2, b=3 an. Erinnerung: Die Elemente [2] und [7] sind modulo 5 wirklich identisch (nur anderer Vertreter)! Folglich müssen auch die Ergebnisse der Ausdrücke [2]*[3] und [7]*[3] identisch sein (mod 5). Und genau das muss noch für unsere Abbildung überprüft werden! Es darf nicht sein, dass die (laut Definition) entstehenden Ausdrücke [2*3] und [7*3] verschieden sind (mod 5)! Dies muss also noch geprüft werden! Und tatsächlich gilt: [2*3] = [6] = [6+15] = [21] = [7*3] mod 5. Und natürlich musst du dies für alle möglichen a und b prüfen! Du musst also zeigen, dass das definierte Produkt unabhängig vom gewählten Vertreter ist!

6 beliebig Zugegeben: Oft ist es redundant. Aber warum eigentlich? Und wieso taucht es dann doch so oft auf und stiftet viel Verwirrung unter den armen verunsicherten Studenten?! Keine Panik! Alles ganz harmlos ;-) Doch zuerst ein einfaches Beispiel: Bsp: Aufgabe: Zeigen Sie, dass für alle Epsilon > 0 folgendes gilt:. Beweisbeginn: Sei Epsilon > 0 beliebig. Das beliebig erfüllt hier nur eine Aufgabe: Es ist die automatische Antwort auf die Formulierung für alle. Denn: Wenn du eine gewisse Eigenschaft für alle *Objekte einsetzen* zeigen willst, dann reicht es, wenn du die Eigenschaft für ein beliebiges dieser Objekte zeigst. Um das zu verstehen, ersetze einfach mal im Beispiel oben das alle durch ein beliebiges. Erkannt? Es macht keinen Unterschied für die Aufgabenstellung! That s it! Merk dir also einfach: Wenn du etwas für alle zeigen sollst, beginnst du deinen ersten Schritt einfach mit Sei beliebig. und zeigst für dieses Element dann einfach die gewünschte Eigenschaft. Und meist stört es noch nicht einmal, wenn man es weglässt (z.b. Sei Epsilon > 0). Doch jetzt weißt du, warum es immer wieder gerne auftaucht.

7 paarweise Unscheinbar und scheinbar oft überflüssig: Wer hat sich nicht schon mal gefragt, was es mit dem Wort paarweise eigentlich genau auf sich hat? ;-) Am besten wird das Prinzip sofort an einigen Beispielen klar: Bsp: Nehmen wir die Zahlen 2, 3 und 4. Diese sind (betrachtet über alle drei Zahlen gleichzeitig) teilerfremd (denn ggt(2,3,4) = 1). Jedoch sind diese nicht paarweise teilerfremd, denn ggt(2,4) = 2. D.h. es macht einen Unterschied, ob ich diese Eigenschaft global oder für alle möglichen Paare prüfe. Paarweise Teilerfremdheit ist oft eine schärfere Voraussetzung! Ein ähnliches Beispiel sind die disjunkten, aber nicht paarweise disjunkten Mengen 1,2}, 1,3} und 2,3}. Der Schnitt aller drei Mengen ist leer ( global disjunkt), jedoch ist der Schnitt von je zwei dieser Mengen nie leer! Es ist also eine schärfere Formulierung zu fordern, dass mehrere Mengen paarweise disjunkt sind. Es gibt jedoch auch Situation, wo man das paarweise getrost weglassen kann, wie z.b. Die Vektoren u, v und w sind paarweise linear unabhängig. Hier ist es überflüssig, da die lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren per Definition sicherstellt, dass auch jeweils zwei der Vektoren zueinander linear unabhängig sind.

8 trivial Schon absurd, wenn ich mir überlege, wie viel Frustration dieses kleine, unscheinbare Wörtchen verursacht. Denn wie heißt es so schön in der Vorlesung: Beweis: trivial. Was damit gemeint ist, ist klar: der Beweis ist so einfach, dass ihn auch ein Affe lösen könnte Denkt man zumindest! Doch eigentlich meint der Professor häufig nur, dass der Beweis FÜR IHN straight forward ist. Damit meint er, dass er dafür keine geniale, tricky Beweisidee braucht, sondern einfach naheliegende Schritte ausführt, die am Ende zum fertigen Beweis führen. Nur blöd, dass trivial für den Professor nicht automatisch auch trivial für den Studenten bedeutet! OK, manchmal meint der Professor auch letzteres dann zielt es jedoch oft auf die besseren Studenten ab (die der Prof für den Durchschnitt hält). Es gibt jedoch noch eine andere Anwendung als nur Beweise: Bsp: Der triviale Vektorraum meint die Menge 0}. Die triviale Gruppe ist e}, wobei e das neutrale Element ist. Hier ist also meist die einfachste, simpelste Wahl eines gewissen Objekts gemeint. Und das ist dann aber wirklich nicht schwer, sondern muss nur einmal gelernt werden.

9 Fallunterscheidung o.b.d.a & o.e. A B lässt sich auf A zurückführen B Ohne Beschränkung der Allgemeinheit / ohne Einschränkung der Allgemeinheit (kurz: ohne Einschränkung) Diese Formulierung taucht oft dann auf, wenn man (meist bei der Beweisführung) zwischen zwei Fällen (A und B) unterscheiden kann, aber einer der Fälle (B) sich auf den anderen Fall (A) zurückführen lässt oder offensichtlich einfach zu beweisen ist. Dann heißt es: Wir können o.e. Situation A annehmen, denn [optionale Begründung, wieso sich B auf A zurückführen lässt] Bsp: Seien p und q natürliche Zahlen. Ich möchte nun die kleinere (oder gleichgroße) dieser beiden Zahlen benennen. Doch da p und q noch unbekannt sind, weiß ich nicht, welche die kleinere ist. Es gibt nämlich zwei Fälle: p <= q oder q <= p. Jedoch kann ich problemlos den einen Fall auf den anderen zurückführen, indem ich die Variablen p und q einfach vertausche (umbenennen kann man in Mathe immer alles)! Daher schreibe ich einfach kurz Sei o.e. p <= q (andernfalls umbenennen).

10 Über den Autor Hi, ich bin Markus! Als Kopf hinter dem Youtube Kanal Math Intuition helfe ich bereits über Studenten dabei, Mathe intuitiv zu verstehen. Auf meiner Math Intuition Website veröffentliche ich außerdem ganze intuitive Mathe-Videokurse sowie die besten Tipps und Tricks, um dein Mathestudium so richtig zu boosten!

11 Danke 2.0 Zunächst einmal vielen Dank dafür, dass du dir die Zeit genommen hast, dieses ebook zu lesen. Ich hoffe, ich konnte dir damit ein wenig weiterhelfen! Wenn du noch einen kurzen Moment Zeit hast, würde ich mich freuen, wenn du mir als kleines Dankeschön ein einfaches Danke 2.0 in Form einer Weiterempfehlung meiner Website auf Facebook oder einem Like meiner Fanpage geben würdest. Auf diese Art, unterstützt du mein Projekt völlig kostenlos und deine Kommilitonen werden es dir danken!