Inhaltsverzeichnis. Finanzmathe Formelsammlung v.2.3 1

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1 Finanzmathe Formelsammlung v Inhaltsverzeichnis I Zinsrechnung 1 I.1 Jährliche Verzinsung I.1.1 Einfache Verzinsung I.1.2 Zinseszinsen I.2 Unterjährliche Verzinsung I.2.1 Einfache Verzinsung I.2.2 Unterjährliche Zinseszinsen I.2.3 Effektivverzinsung I.2.4 Konformer (unterjähriger Perio den-) Zinssatz k I.3 Beso ndere Laufzeiten I.3.1 Gemischte Zinsen I.3.2 Stetige Verzinsung II Rentenrechnung 2 II.1 Jährliche Rentenzahlungen bei jährlich nachschüssigen Zinseszinsen II.1.1 Nachschüssige Rentenzahlungen II.1.2 Vorschüssige Rentenzahlungen II.2 Unterjährliche Rentenzahlungen II.2.1 Nachschüssige unterjährliche Rentenzahlung bei nachschüssigen jährlichen Zinsen 3 II.2.2 Vorschüssige unterjährliche Rentenzahlung bei nachschüssigen jährlichen Zinsen 3 II.2.3 Unterjährliche Renten mit indentischer Zins- und Rentenperiode II.2.4 Unterjährliche Renten mit unterjährlicher längererzinsperiode II.3 Ewige Rente II.4 Annuitätenmetho de II.5 Dynamische Rente III Tilgungsrechnung 4 III.1 Ratentilgung III.1.1 jährliche Ratentilgung III.1.2 unterjährliche Ratentilgung III.2 Annuitäten III.2.1 jährliche Annuitätentilgung III.2.2 unterjährliche Annuitätentilgung III.2.3 Prozentannuitätentilgung IV Abschreibungen 6 IV.1 lineare AfA IV.2 Degressive AfA o V Kurs und Effektivverzinsung 7 V.1 Berwertung vo n Zinsschulden V.1.1 Jährliche Zinsschuld hne Agio /Jahresco upo n V.1.2 Jährliche Zinsschuld mit Aufgeld (Agio ) V.1.3 Unterjährliche Zinsschuld V.2 Bewertung vo n Ratenschulden V.2.1 Jährliche Ratenschuld V.2.2 Jährlich aufgescho bene Ratenschuld V.2.3 Unterjährliche Ratenschuld V.3 Bewertung von Annuitätenschulden V.3.1 jährliche Annuitätenschuld V.3.2 Jährliche Prozentannuitätenschuld V.4 Effektivverzinsung vo n Teilzahlungskrediten

2 Finanzmathe Formelsammlung v VI Versicherungsmathematik 9 VI.1 Sterbetafeln VI.2 Lebensversicherung VI.2.1 Todesfallversicherung auf Lebenszeit gegen Sofortbetrag VI.2.2 Todesfallversicherung - Beitragszahlung auf Lebenszeit VI.2.3 To desfallversicherung - befristet, gegen So fo rtbetrag VI.2.4 Todesfallversicherung auf Lebenszeit, Beitragszahlungen befristet VI.2.5 Todesfallversicherung - Beitragszahlungen und Versicherungsleistung befristet. 11 VI.2.6 Erlebensfallversicherung gegen So fo rtbetrag VI.2.7 Erlebensfallversicherung - Beitragszahlung bis zum Tode, spätestens zum Versicherungsende VI.2.8 Gemischte Versicherung - gegen So fo rtbetrag VI.2.9 Gemischte Versicherung - Beitragszahlungen bis zum Todesfall, spätestens zum Versicherungsende VI.2.10Gemischte Versicherung - befristete Zahlungen VI.2.11Versicherung mit Bo nus VI.3 Rentenversicherungen (Leibrenten) VI.3.1 Leibrente auf Lebenszeit VI.3.2 Befristete Leibrente VI.3.3 Aufgescho bene Leibrente auf Lebenszeit VI.3.4 Aufgescho bene Leibrente auf n Jahre befristet VIINullstellen bestimmen 13 VII.1Schätzen VII.2Interpo latio n VII.3Newtonsches Näherungsverfahren

3 Finanzmathe Formelsammlung v I Zinsrechnung Zinssatz i = K1 K0 K 0 I.1 Jährliche Verzinsung Zinsperiode 1 Jahr (nachschüssig). Laufzeit n Jahre. I.1.1 Einfache Verzinsung K 1 = K 0 + Z K n = K 0 (1 + n i) BarwertK 0 = K n 1+n i i = 1 n (K n 1) K 0 n = 1 i (K n K 0 1) I.1.2 Zinseszinsen K n = K 0 (1 + i) n = K 0 q n Kn i = n 1 K 0 n = log K n log K 0 log q I.2 Unterjährliche Verzinsung Zinsperiode < 1Jahr I.2.1 Einfache Verzinsung Wir auf ein Jahr hochgerechnet. I.2.2 Unterjährliche Zinseszinsen Zinsperioden pro Jahr m Laufzeit in Jahren n i = i m q =1+i K n = K 0 q m n

4 Finanzmathe Formelsammlung v I.2.3 Effektivverzinsung Effektiver Zinssatz j j =(1+i ) m 1 K n = K 0 (1 + j) n I.2.4 Konformer (unterjähriger Perioden-) Zinssatz k k = m 1+i 1 K n = K 0 (1 + k) m n I.3 Besondere Laufzeiten I.3.1 Gemischte Zinsen K n = K 0 (1 + i) n1 (1 + n 2 i) I.3.2 Stetige Verzinsung K n = K 0 e i n II II.1 II.1.1 Rentenrechnung Jährliche Rentenzahlungen bei jährlich nachschüssigen Zinseszinsen Nachschüssige Rentenzahlungen n = R n = r qn 1 R 0 = R n q n = r 1 q n qn 1 q n = R n r () + 1 = r [ ] log 1+ Rn r () log q [ log = R 0 () r ] 1 R0 r () log q II.1.2 Vorschüssige Rentenzahlungen R 0 q n = R n = r q qn 1 ( ) log 1 R0 (q 1) r q n = log q q n 1 = 1 R0 (q 1) r q

5 Finanzmathe Formelsammlung v II.2 II.2.1 Unterjährliche Rentenzahlungen Nachschüssige unterjährliche Rentenzahlung bei nachschüssigen jährlichen Zinsen Ersatzrentenrate r e = r [m + i2 ] (m 1) R n = r e qn 1 II.2.2 Vorschüssige unterjährliche Rentenzahlung bei nachschüssigen jährlichen Zinsen r e = r [m + i2 ] (m +1) R n = r e qn 1 II.2.3 Unterjährliche Renten mit indentischer Zins- und Rentenperiode q =1+i =1+ i n q n m 1 Nachschüssig:R n = r q 1 R 0 = R n q n m Vorschüssig: R n = r q q n m 1 q 1 R n R 0 = r q n m = r 1 q n m q n m 1 1 q 1 II.2.4 Unterjährliche Renten mit unterjährlicher längerer Zinsperiode m Zinsperioden pro Jahr c Rentenperioden pro Zinsperiode m c Rentenperioden pro Jahr Zinsperiodenkonforme Ersatzrentenrate: [ ] re = r c + i 2 (c 1) Nachschüssig re = r [c + i 2 ] (c +1) Vorschüssig R n = re q n m 1 q 1 R 0 = R n q n m

6 Finanzmathe Formelsammlung v II.3 Ewige Rente R 0 = r = r i II.4 G E A Annuitätenmethode Kapitalwert Einnahme Ausgabe Rentenformel: r = R 0 q n () Einnnahmeannuität: e = E qn () Ausgabeannuität: a = A qn () Überschußannuitätp = G qn () II.5 Dynamische Rente s = 1 ( q n ) 1 n III Tilgungsrechnung Agio- Aufgeld in Prozent der Tilgung auf die Annuität! III.1 Ratentilgung Tilgungsrate (T) ist konstant. III.1.1 jährliche Ratentilgung S 0 - Schuldsumme T = S 0 n Restschuld nach r Jahren: S r = T (n r) Zinsbetrag nach r Jahren: z r = T (n r +1) i Annuität nach r Jahren: A r = T (1 + (n r +1) i)

7 Finanzmathe Formelsammlung v III.1.2 unterjährliche Ratentilgung m Tilgungsperioden pro Jahr A v/r S v/r z v/r Annuitäten nach v Perioden des r. Jahres: Restschuld nach v Perioden des r. Jahres: Zinsbelastung nach v Perioden des r. Jahres: T = S 0 n m i = i m S v/r = T (m (n r +1) v) z v/r = T (m (n r +1) v +1) i A v/r = T (1 + (m (n r +1) v +1) i ) III.2 Annuitäten A = T + Z = Konstant III.2.1 jährliche Annuitätentilgung Rentenformel: R n = r qn 1 A := r Schuldsumme: S 0 = R 0 A = S 0 q n Restschuld nach r Jahren: S r = S 0 qn q r q r 1 Tilgung nach r Jahren: (Ende des Jahres)T r = S 0 i Zinsbelastung nach r Jahren: Z r = S 0 i qn q r 1 III.2.2 unterjährliche Annuitätentilgung Monatsannuität a, monatlich Nachschüssig. Die ersten 12 Monatsannuitäten werden auf die erste Jahresannuität (A) bezogen. a = r; A = r e c Tilgungsperioden / Zinsperiode z j S j z j s j Zinsbelastung am Jahresende: Restschuld zu Beginn des Jahres: Zinsbelastung am Ende der j. Zinsperiode (Unterjährlich) Schuldsumme am Ende der j. Zinsperiode

8 Finanzmathe Formelsammlung v A a = m + i keine Zinsen 2 (m 1)enthält A = S 0 q n q n enthält Zinsen 1 z j = i (S j a m 1 ) 2 S j = S j 1 m a + z j 1 z j = i m (s j 1 a c 1 2 ) s j = s j 1 c a + z j III.2.3 Prozentannuitätentilgung Laufzeit: n = log A log T 1 log q n = n 1 + n 2 ; n 1 istganzzahlig Abschlußzahlung: A s = s 0 q n1 A qn1 1 Schulden JA + A = q Schulden JE IV Abschreibungen Nennwert : K 0 Anschaffungswert, Neuwert Nutzungsdauer : n in Jahren Buchwert: K m nach m Jahren(m n) Abschreibungsbetrag: Q m auch Quote Restwert: K n Altwert, Schrottwert IV.1 lineare AfA Jährliche AfA ist konstant Q 1 = Q 2 = Q 3 = = Q Q = K 0 K n n Abschreibungsprozentsatz:i = Q K 0 Buchwert nach m AfAs: K m = K 0 (n m)+m K n n IV.2 Degressive AfA K m = K 0 (1 i) m Q m = K 0 (1 i) m 1 i = f(m) Übergang lin nach degr AfA:m n 1 i m ist letztes Jahr f. degr AfA

9 Finanzmathe Formelsammlung v V Kurs und Effektivverzinsung Realkapital ist Barwert aller Leistungen bei Effektivverzinsung K 0 Nennwert (N) ist Barwert der Einnnahmen bei Nominalverzinsung K 0 Kurs C 0 C 0 = K 0 K V.1 Berwertung von Zinsschulden Tilgung am Ende der Laufzeit (n Jahre) Zinsen nachschüssig, jährlich V.1.1 Jährliche Zinsschuld ohne Agio/Jahrescoupon i : Effektivverzinsung (Marktzins) i : Nominalverzinsung (Anleihenverzinsung) 1 C 0 = p q n q n 1 q q n Abkürzung: f n = 1 q n q n 1 q 1 Rentenbarwertfaktor V.1.2 Jährliche Zinsschuld mit Aufgeld (Agio) α : Aufgeld in Prozent vom Nennwert V.1.3 C 0 = p f n α q n Unterjährliche Zinsschuld m Zinsperioden pro Jahr Periodenzinssatz p = p m (Nominal) p = p m (Effektiv) C 0 = ( p + p ) m i (m 1) f n α q n f n = 1 q n q n 1 q 1 V.2 Bewertung von Ratenschulden Tilgungsraten, Nachschüssige Zinsberechnung

10 Finanzmathe Formelsammlung v V.2.1 Jährliche Ratenschuld Tilgungsraten Jährlich, Zinsabrechnung jährlich T B Z B C 0 Barwert der Tilgungsrate Barwert der Zinsen Barwert bei jährlicher Ratenschuld V.2.2 T B = 100 n f n Z B = 100 n p p (n f n ) C 0 = T B + Z B = 100 ( )] pp [f n n + (n f n ) Jährlich aufgeschobene Ratenschuld k Jahre sind Tilgungsfrei, jährlich p DM Zinsen (N=100) danach n Jahre Tilgung V.2.3 C 0 = p f k [f n n + pp ] (n f n ) 1 q k Unterjährliche Ratenschuld m Tilgungsperioden pro Jahr t r e T B Z J Z B C 0 Unterjährliche Tilgungsrate Konforme Ersatzrentenrate (Nachschüssig) Barwert der Tilgungsrate Zinsersparnis projahr Barwert aller Zinszahlungen Kurs r e = 100 m n t = Nennwert m n i [n + (m 1)] 2 T B = 100 i [n + n m 2 (m 1)] f n Z j = 100 m n i (m 1) 2 (Jährliche Ratenschuld) Z B = 100 p n p (n f n) Z B = 100 p n p (n f n) 100 i m n 2 (m 1) f n C 0 = T B + Z B

11 Finanzmathe Formelsammlung v V.3 Bewertung von Annuitätenschulden V.3.1 A:Annuität jährliche Annuitätenschuld A = S 0 q n C 0 = S 0 q n f n = A f n aufgeschobene Annuitätenschuld (jährl.) k Jahre Tilgungsfrei, n Jahre Tilgung C 0 = p f k + A f n 1 q k V.3.2 Jährliche Prozentannuitätenschuld A = p + t = konst n = n 1 + n 2 n 1 ist Ganzzahlig n = log A log T 1 log q A s = S 0 q n1 A qn1 C 0 =(p + t) f n A s q n 1 aufgeschobene Annuitätenschuld (jährlich) k Jahre Tilgungsfrei, n Jahre Tilgung C 0 = p f k +[(p + t) f n 1 + A s 1 1 q n 1 ] q k V.4 Effektivverzinsung von Teilzahlungskrediten k m i Z j S j Tilgungsperioden insgesamt Tilgungsperioden / Jahr Jahreseffektivverzinsung Zinsen der Periode j Restschuld zu Beginn der Periode j i k m = j=1 Z j k J=1 S j VI Versicherungsmathematik nur Lebensversicherung!

12 Finanzmathe Formelsammlung v VI.1 B x r x S x S x B x G x G x B x E x A x Sterbetafeln Bevölkerungsgröße zu Beginn des Jahres x = Bx+1 Bx B x jährliche Wachstumsrate Sterbefälle im Jahr x Sterberate Geburtenanzahl Geburtenrate Einwandereranzahl Auswandereranzahl B x+1 B x = G x S x + E x A x VI.2 q = 1, 04 W (25 75) = l 75 l 25 Lebensversicherung VI.2.1 Todesfallversicherung auf Lebenszeit gegen Sofortbetrag s Versicherungssumme x Alter (zu Beginn des Jahres) A x Sofortbetrag l x A x Leistung aller Versicherungsnehmer w Höchstalter (100 Jahre) D x / l x ν x ν = 1 q w l x A x = d k ν k x+1 k=x l x A x ν x = w d k ν k+1 k=x VI.2.2 A x = M x D x Todesfallversicherung - Beitragszahlung auf Lebenszeit B x jährlicher Beitrag B x = M x N x Monatlicher Beitrag

13 Finanzmathe Formelsammlung v r = B x m + i 2 (m 1) VI.2.3 Todesfallversicherung - befristet, gegen Sofortbetrag befristet auf n Jahre na x = M x M x+n D x VI.2.4 Todesfallversicherung auf Lebenszeit, Beitragszahlungen befristet M x nb x = N x N x+n Monatsbeitrag: VI.2.5 r = B x m + i 2 (m 1) Todesfallversicherung - Beitragszahlungen und Versicherungsleistung befristet nnb x = M x M x+n N x N x+n VI.2.6 Erlebensfallversicherung gegen Sofortbetrag E x = D x+n D x VI.2.7 Erlebensfallversicherung - Beitragszahlung bis zum Tode, spätestens zum Versicherungsende F x = D x+n N x N x+n VI.2.8 Gemischte Versicherung - gegen Sofortbetrag A x:n = M x M x+n + D x+n D x VI.2.9 Gemischte Versicherung - Beitragszahlungen bis zum Todesfall, spätestens zum Versicherungsende VI.2.10 B x:n = M x M x+n + D x+n N x N x+n Gemischte Versicherung - befristete Zahlungen n - Versicherungsdauer t - Zahlungsdauer ta x:n = M x M x+n + D x+n N x N x+t

14 Finanzmathe Formelsammlung v VI.2.11 Bonus in % von s Versicherung mit Bonus VI.3 VI.3.1 s x R G x = M x + s 100 D x+n N x N x+n Rentenversicherungen (Leibrenten) Leibrente auf Lebenszeit Durchschnitt eines vorschüssigen Rentenbarwertes Rentenrate (jährlich) s x = R Nx R x vorschüssig s x = s x Rnachschüssig VI.3.2 Befristete Leibrente s x = R Nx N x+n vorschüssig D x s x = s x Rnachschüssig VI.3.3 Aufgeschobene Leibrente auf Lebenszeit s x = R Nx+t vorschüssig D x s x = s x Rnachschüssig VI.3.4 Aufgeschobene Leibrente auf n Jahre befristet s x = R Nx+t N x+t+n vorschüssig D x s x = s x Rnachschüssig

15 Finanzmathe Formelsammlung v VII VII.1 VII.2 Nullstellen bestimmen Schätzen Interpolation VII.3 q 0 = q 1 +(q 1 q 2 ) G(q 1 ) G(q 2 ) G(q 1 ) Newtonsches Näherungsverfahren q 0 = q 1 G(q 1) G (q 1 )

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