Mitschrift zur Vorlesung. von Jurgen Behne. Martin R. Elsner

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1 Mitschrift zur Vorlesung Versicherungsmathematik von Jurgen Behne im Wintersemester 1997/98, Sommersemester 1998 Martin R. Elsner " 4. Januar 1999

2 Inhaltsverzeichnis A Lebensversicherung 5 I Der Zins als erste Rechnungsgrundlage 7 1 Zins und Zinseszins Zins Zinseszins Zeitrenten... 9 II Die Sterblichkeit als zweite Rechnungsgrundlage 11 1 Sterbetafeln Die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten Andere Ausscheideordnungen IIIBarwerte der Erlebensfallversicherung 13 1 Kommutationswerte Die reine Erlebensfallversicherung Jahrliche Leibrenten Sofort beginnende lebenslangliche Leibrente Aufgeschobene lebenslangliche Leibrente Temporare sofort beginnende Leibrente Aufgeschobene temporare Leibrente Dynamische Rente IVBarwerte der Kapitalversicherung 17 1 Vorbemerkung Die reine Todesfallversicherung Lebenslanglich, sofort beginnend Aufgeschobene Todesfallversicherung Temporare Todesfallversicherung Die gemischte Versicherung V Nettopramien 19 1 Vorbemerkung Jahrespramien Erlebensfallversicherung Altersrente

3 INHALTSVERZEICHNIS Lebenslangliche Todesfallversicherung Gemischte Versicherung A-term--Versicherung Pramienruckgewahr VI Das Nettodeckungskapital 22 1 Denition Beispiele Reine Erlebensfallversicherung Altersrente Gemischte Versicherung A-Term-Fi-Versicherung Rekursionsformel (gemischte Versicherung) Spar- und Risikopramie Gemischte Versicherung Erlebensfallversicherung Ruckkaufswert VII Die Kosten als dritte Rechnungsgrundlage 26 1 Die verschiedenen Kostenarten Ausreichende Jahrespramien (Bruttopramien) Lebenslangliche Todesfallversicherung Gemischte Versicherung Die Bruttodeckungsruckstellung Lebenslangliche Todesfallversicherung Gemischte Versicherung Zillmersche Nettopramie VIII Vertragsanderungen 31 1 Umwandlung einer gemischten Versicherung in eine pramienfreie gemischte Versicherung Erhohung der Versicherungssumme ohne Nachzahlung (gemischte Versicherung) Zuzahlung zur Abkurzung der Versicherungsdauer bei gleichbleibenden Pramien (gemischte Versicherung)

4 4 INHALTSVERZEICHNIS Einfuhrung Eine Versicherung ist eine auf Gegenseitigkeit beruhende wirtschaftliche Einrichtung zur Deckung eines zufallig auftretenden, schatzbaren Vermogensbedarfes unter Verteilung auf eine groere Personenzahl. Gegenseitigkeit Grundgedanke der Versicherung ist das Aquivalenzprinzip: Leistung=Gegenleistung d.h. die Summe der Pramien aller Versicherten ist gleich der Summe samtlicher Versicherungsleistungen. Dabei gilt diese Aquivalenz fur jede Person gesehen mit der Wahrscheinlichkeit 0. Zu unterscheiden ist dabei das individuelle Aquivalenzprinzip (private Versicherungen), bei dem die Einzelpramie vom personlichen Risiko abhangig gemacht wird, und das Solidaritatsprinzip (gesetzliche Versicherungen), bei dem die Pramie nur von der Summe der Versicherungsleistungen und den personlichen Verhaltnissen 1 des Versicherten bestimmt wird. zufallig Jeder Versicherung liegt ein Risiko zugrunde. Dieses Risiko besteht je nach Versicherungstyp in einer Unsicherheit in Bezug auf die Pramienzahlungsdauer, die Hohe, den Zeitpunkt oder die Dauer der Versicherungsleistung. Statistiken liefern hierfur Schatzwerte. groere Personenzahl Das Risiko fur den Einzelnen ist niemals abschatzbar. Erst in einer Gruppe von Personen lassen sich mit Hilfe der Statistik Erwartungswerte schatzen. Eine groe Zahl risikohomogener Personen ermoglicht einen Ausgleich, der ein permanentes (annaherndes) Gleichgewicht zulasst. Die Versicherungsmathematik hat nun die Aufgabe, Verfahren zur Berechnung der Hohe der Versicherungsleistung und damit der Pramien in der Zukunft zur Verfugung zu stellen. Hierbei mussen Daten der Vergangenheit (in Form von Statistiken, Sterbetafeln u.s.w.) ausgewertet und zur Schatzung der zukunftigen Entwicklungen benutzt werden. 1 Einkommen, Familienstand...

5 Teil A Lebensversicherung 5

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7 Kapitel I Der Zins als erste Rechnungsgrundlage 1 Zins und Zinseszins 1.1 Zins p 100. Bei unterjahrigen Perioden ist der Man geht von einem Jahreszins p% aus und setzt i = Zins dann i fur m = oder m ahnliche Werte. Das Startkapital werde mit K 0 bezeichnet. Damit betragt die Hohe der Zinsen Z m = i m K 0. Man erhalt also eine Reihe von Kapitalwerten K 0 K 0 + Z m K 0 +2Z m :::, bzw. K n m = K 0 1+n i m als Kapital nach n Perioden der Lange 1 m Jahre. 1.2 Zinseszins Auer der Zinszahlung auf das Startkapital werden nun auch die Zinsen auf die Zinszahlungen der vergangenen Perioden berucksichtigt. Jahrliche Verzinsung Man erhalt eine Reihe von Kapitalwerten K 0 K 0 (1 + i) K 0 (1 + i)+k 0 (1 + i)i = K 0 (1 + i) 2 K 0 (1 + i) 3 :::oder allgemein K n = K 0 (1 + i) n als Wert des Kapitals nach n Jahren. Meist wird r =1+i gesetzt, so dass wir als Endwert K n = K 0 r n 7

8 8 KAPITEL I. DER ZINS ALS ERSTE RECHNUNGSGRUNDLAGE erhalten. Zudem gilt K0 = K n ( 1 r )n, also fur v = 1 r K0 = K n v n r wird dann als Aufzinsungsfaktor, v als Abzinsungsfaktor bezeichnet. Unterjahrige Verzinsung 1. Gemischte Verzinsung (Bankenverzinsung) Hier ist die Zinseszinsperiode gleich dem Kalenderjahr, so dass unterjahrige Zahlungen einfach verzinst werden. Beispiel: Das Kapital K0 werde zum fur n Jahre und 8 Monate zum Zinssatz i angelegt es ergibt sich am Ende der Laufzeit K = K0( i )rn ( i ). 2. Relative Verzinsung Hier werden Zinszahlungen schon in der nachsten Periode verzinst es gilt also K r m = K0 1+ i r m analog zur jahrlichen Verzinsung. Nach einem Jahr ist dann K m m = K0(1 + i m )m wie man leicht zeigen kann, gilt (1 + i m )m > 1+i fur m 2. Um den Periodenzins vergleichbar zu machen, ermittelt man die Rendite bzw. Eektivverzinsung aus (1 + i m )m =1+i e. 3. Konforme Verzinsung Anknupfend an die relative Verzinsung setzt das Konzept der konformen Verzinsung einen Zins i m <i(i=jahreszins) an, so dass gilt (1 + im m )m =1+i i m ist dann konform zu i (bzw. p m zu p). Es ergeben sich die Auf- und Abzinsungsfaktoren r 1 m =1+ im m v 1 m = 1 1+ im m 4. Stetige konforme Verzinsung Fur die konforme Verzinsung gilt: i m = m(r 1 m 1) = r 1 m 1 1 m = rh 1 h h!0! ln r =: (Der Bruch ist ein Dierenzenquotient, der Grenzwert die Ableitung d dt rt j t=0.) Fur beliebiges t gilt: K(t + 1 m )=K(t)(1 + im m ) bzw. K(t + 1 m ) K(t) 1 m = K(t)i m m!1! K(t)

9 2. ZEITRENTEN 9 also K 0 (t) =K(t). Diesfuhrt zu K(t) =c e t,wobei K(0) = K 0 ist, also c = K 0 : K(t) =K 0 e t ist das Kapital zum Zeitpunkt t bei stetiger Verzinsung des Startkapitals K 0. 2 Zeitrenten Zeitrenten sind Zahlungen, die regelmaig in bestimmten Abstanden geleistet werden i.d.r. geht man von aquidistanten Zahlungszeitpunkten aus. Um Zeitrenten bewerten zu konnen, muss man die Zahlungen auf einen Referenzzeitpunkt ab- bzw. aufzinsen. Liegt dieser Zeitpunkt zeitlich vor den Zahlungen, spricht manvon prospektiver Betrachtung, liegt er hinter den Zahlungen, ist die Betrachtung retrospektiv. Es soll im weiteren d := iv = i =1 1 =1 v sein. 1+i 1+i R sei die konstante Hohe der Zahlungen. Betrachtet man eine Zeitrente aus n Zahlungen zum Zeitpunkt der ersten Zahlung, so gilt fur den Wert der Zeitrente B v = R + Rv + Rv 2 + :::+ Rv n 1 = R(1 + v + v 2 + :::+ v n 1 ) Der Ausdruck in der Klammer ist unabhangig von der Hohe der Zahlungen, er gibt den Barwert einer Zahlungsreihe der Hohe 1 wieder. Zur Vereinfachung wird dieser Ausdruck zusammengefasst man schreibt B v = R a nj wobei mit d := iv a nj =1+v + v 2 + :::+ v n 1 = 1 vn der vorschussige Zeitrentenbarwert uber n Jahre ist. 1 v = 1 v n d Liegt der Referenzzeitpunkt ein Jahr vor der der ersten Zahlung, so erhalt man eine analoge Aussage mit dem nachschussigen Zeitrentenbarwert a nj = v + v 2 + :::+ v n =a nj v = 1 vn Die triviale Beziehung a nj =1+a n 1j ermoglicht eine einfache Umrechnung der Faktoren. Ahnliches gilt auch fur eine retrospektive Betrachtung: Die Summe der bis 1Jahr nach der letzten Zahlung aufgezinsten Zahlungen ergibt den vorschussige Zeitrentenendwert 1 s nj = r + r 2 + :::+ r n = r(1 + r + :::+ r n 1 )=r rn r 1 = r n 1 d i

10 10 KAPITEL I. DER ZINS ALS ERSTE RECHNUNGSGRUNDLAGE Analog gibt der nachschussige Zeitrentenendwert s nj =1+r + :::+ r n 1 =s nj v = rn 1 i den Wert der Zeitrente zum Zeitpunkt der letzten Zahlung wieder. Die Umrechnungsformel lautet hier s nj =1+s nj. Man erhalt damit auch den vorschussigen Barwert einer m Jahre aufgeschobenen n-jahrigen Rente: mjna =a m+nj a mj Mit Hilfe der Rentenbarwerte konnen nun Zahlungsreihen verglichen werden: Jemand zahle m Jahre die Pramie P, danach vergehen k Jahre, und nun setzt eine n-jahrige (Alters-)Rente ein. Man erhalt als individuelle Aquivalenzgleichung je nach Betrachtung P a mj = R a nj v k+m 1 (2.1) P s mj = R s nj v k 1 (2.2) P s nj r k+n 1 = R s nj (2.3) (In 2.1 wird auf den ersten Zahlungstermin abgezinst, 2.2 gilt fur das erste Jahr nach Ende der Pramienzahlung, in 2.3 wird der Zeitpunkt der letzten Rentenzahlung betrachtet.) Rentenstrom Die Jahresrente der Hohe 1 bestehe aus m Raten der Hohe 1. Wir betrachten eine konforme m Verzinsung, also (1 + im m )m =1+i = r 1+ im m = r m 1 1 = v m 1 Die Rente laufe n Jahre. Dann gilt a (m) nj 1 v n m(1 v 1 m ) = 1 m + 1 m v m m v m 2 +:::+ 1 m v nm 1 m = 1 vn d m Fur m!1,t = 1 m = d d m a nj 1+ im m erhalt man das Integral = 1 m (1+v m 1 +(v m 1 ) 2 +:::+(v m 1 ) nm 1 )= 1 1 (v m 1 ) nm m 1 v m 1 a(n) = Setzt man eine Rentenintensitat R(t) an, die von t bis t +t gilt, so erhalt man die Hohe der Rente fur dieses Intervall aus R(t)t und insgesamt a(n R(t)) = Z n 0 Z n 0 v t dt R(t)v t dt =

11 Kapitel II Die Sterblichkeit als zweite Rechnungsgrundlage 1 Sterbetafeln Wichtig fur die Versicherungsmathematik sind die Sterbewahrscheinlichkeiten q =0 1 2 ::: 100 die die Wahrscheinlichkeit angeben, im Alter zu sterben, bzw. die Uberlebenswahrscheinlichkeiten p =1 q. Sterbetafeln gehen im Allgemeinen von einem ktiven Bestand an Neugeborenen aus, der mit l 0 bezeichnet wird (z.b. l 0 = ). Sie listen dann alle Werte l auf, wobei l +1 = l (1 q )= die Zahl Lebenden im Alter + 1 angibt. l l q 2 Die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten lassen sich aus den Werten der Sterbetafeln ermitteln: Wie oben angegeben gilt l +1 = l (1 q )=l p, also Allgemein ist p = l +1 l n p = l +n l die Wahrscheinlichkeit, die nachsten n Jahre zu uberleben. Analog ist die Zahl derjenigen, die im Alter sterben, d = l l +1 und es gilt q() = l l +1 l = d Damit ist die Wahrscheinlichkeit, in den nachsten n Jahren zu sterben, durch n q = l l +n l Zum Beispiel errechnet sich die Wahrscheinlichkeit, n Jahre zu leben und dann zu sterben, n p q +n = l+n l l+n l +n+1 l +n = l+n l +n+1 l 11 l

12 12 KAPITEL II. DIE STERBLICHKEIT ALS ZWEITE RECHNUNGSGRUNDLAGE 3 Andere Ausscheideordnungen Die genannten Wahrscheinlichkeiten hangen von verschiedenen Faktoren ab so spielen Geschlecht und Beruf eine entscheidende Rolle. Daher werden spezielle Sterbetafeln benutzt, deren Werte bei der Kalkulation des gewunschten Tarifs moglichst nah an den realen Erwartungswerten liegen. So eistieren Berufstafeln, Witwentafeln, Aktiven- und Invalidentafeln in der Sozialversicherung, etc. Zum Teil ist auch die Art der Versicherungsleistung relevant: z.b. sollten die Sterbewahrscheinlichkeiten in der Rentenversicherung entsprechend niedriger sein als in der Lebensversicherung, um zu garantieren, dass die Pramien die wirkliche Versicherungsleistung abdecken, gerade im Hinblick auf die wachsende Lebenserwartung. Somit sind Rentnersterbetafeln dort vorzuziehen. In der privaten Krankenversicherung spielt zudem die Wahrscheinlichkeit der Vertragstornierung eine Rolle. q wird dann durch q + w ersetzt, wobei w die Stornowahrscheinlichkeit ist, also die Wahrscheinlichkeit des -Jahrigen, im Alter + 1 nicht mehr versichert zu sein. w ist Berufs- und Zielgruppenabhangig, zudem ist sie bei Zusatzversicherungen naturgema hoher als bei Vollversicherungen.

13 Kapitel III Barwerte der Erlebensfallversicherung 1 Kommutationswerte Eingeburgert haben sich folgende Abkurzungen fur Daten, die aus den Sterbetafeln ersichtlich sind: Die abgezinsten Lebenden des Alters sind D := l v Allgemein wird i =3 5% verwendet, also v = Weiter setzt man Seltener tritt auch auf. Analog sind die abgezinsten Toten X X 100 N := D +t = D t=0 S := X N C := d v +1 Wie oben seien dann und M := X C R := X M 2 Die reine Erlebensfallversicherung Es sei S die Versicherungssumme. Zunachst wird statt einer Folge von Pramienzahlungen ein Einmalbeitrag des Versicherten betrachtet: 13

14 14 KAPITEL III. BARWERTE DER ERLEBENSFALLVERSICHERUNG Aus dem Aquivalenzprinzip erhalt man die Gleichung l ne = l +n Sv n Es handelt sich hierbei um den Sterbetafelansatz. Teilt man durch l,sokommt man zum Wahrscheinlichkeitsansatz ne = S n p v n Die Multiplikation mit D fuhrt zum Versicherungstechnischen Ansatz D ne = SD +n Die letzte Gleichung ergibt nun als erforderlichen Einmalbeitrag ne = S D +n D oder fur S =1 ne = D +n D 3 Jahrliche Leibrenten Leibrenten berucksichtigen auer der Verzinsung noch die Sterblichkeit, die zu einer (zufalligen) Verkurzung der Rentenzahlungen fuhrt. Wir betrachten den vorschussigen Fall. Als Rentenhohe setzen wir allgemein R =1 w sei ein festes Hochstalter (i.a. werden Versicherungen bei einem Alter von 100 Jahren ausgezahlt). 3.1 Sofort beginnende lebenslangliche Leibrente a soll den Wert der Leibrente angeben. Als Aquivalenz erhalt man l a = l + l +1 v + :::+ l w v w a = 1+ 1 p v + :::+ w p v w D a = D + D +1 + :::+ D w Die rechte Seite entspricht gerade N, also ist a = N D der (vorschussige) Barwert der Leibrente des Alters. (Die nachschussige Betrachtung fuhrt wegen 1 + a =a zu a = N +1 D ).

15 3. J AHRLICHE LEIBRENTEN 15 Der Barwert als Erwartungswert Der Leibrentenbarwert a kann auch als Erwartungswert interpretiert werden: Die Zufallsvariable X bezeichne die zukunftigen diskontierten Zahlungen sie besitzt dann den Bildraum f1 1+v 1+v + v 2 :::g Das von X induzierte Wahrscheinlichkeitsma P ordnet diesen Ergebnissen die Wahrscheinlichkeiten 0p q 1p q +1 2p q +2 :::zu 1. Als Erwartungswert ergibt sich dann w X E(X)= tp q +t tx! v k = 0p q t=0 k=0 + 1p q p q +1v + 2p q p q +2v + 2p q +2v 2. = w X k=0 w X v k t=k tp q +t! Es ist Also w X t=k tp q +t = l +k l = l +k l l +k l +k+1 l +k = k p w X + l +k+1 l E(X)= kp v k =a k=0 l +k+1 l +k+2 l +k+1 + ::: 3.2 Aufgeschobene lebenslangliche Leibrente Die Aufschubzeit betrage m Jahre. Der Ansatz D mj a = D +m + D +m+1 + :::= N +m ergibt den Barwert der aufgeschobenen lebenslanglichen Leibrente (Anwendung: Anwartschaft auf Altersrente) mja = N +m D 1 0p =1

16 16 KAPITEL III. BARWERTE DER ERLEBENSFALLVERSICHERUNG 3.3 Temporare sofort beginnende Leibrente Aus der Gleichung D a nj = D + D +1 + :::+ D +n 1 = N N +n folgt als Barwert a nj = N N +n D 3.4 Aufgeschobene temporare Leibrente mjna = N +m N +m+n D = a +mnj m p v m = N +m N +m+n D +m D +m D 3.5 Dynamische Rente Geht man von dem einfachen Modell aus, so ergibt sich fur die temporare Rente Es ist n 1 X k=1 ~ a nj (R 0 R) = R k = R 0 + k R n 1 X k=0 = 1 D n 1 (R 0 + kr) D +k X k=1 D X n 1 R 0 D +k + k=1 = 1 D R 0 (N N +n )+R k R D +k! n 1 X k=1 kd +k = D +1 + D +2 + D +3 + :::+ D +n 1 + D +2 + D +3 + :::+ D +n 1 + D +3 + :::+ D +n kd +k! D +n 1 = (N +1 N n+n )+(N +2 N +n )+:::+(N +n 1 N +n ) = S +1 S +n (n 1)N +n Also ~a nj (R 0 R) =R 0 a nj +R S +1 S +n (n 1)N +n D Fur eine lebenslangliche Rente gilt dann ~a (R 0 R) =R 0 a +R S +1 D

17 Kapitel IV Barwerte der Kapitalversicherung 1 Vorbemerkung Im Gegensatz zur Rentenversicherung sollten hier eher hohere Sterbewahrscheinlichkeiten angenommen werden, da die Versicherungsleistung bei Tod fallig wird. Im weiteren stehe A fur den notigen Einmalbetrag bzw. den barwertigen Erwartungswert der Versicherungsleistung pro versicherter Person im Alter. 2 Die reine Todesfallversicherung 2.1 Lebenslanglich, sofort beginnend Der Ansatz fur eine Versicherungssumme der Hohe 1 l A = d v + d +1 v 2 + ::: fuhrt zu A = C + ::: = M D D Ist die Summe nun S, soerhalt man B = S A als Einmalbeitrag. Beispiel: Aus den Werten =35 S= DM, A 35 = ergibt sich B = A 35 = Weiter gilt M = d v +1 + :::=(l l +1 )v +1 +(l +1 l +2 )v +2 + ::: = vn N +1 = vn N + D = D (1 v)n = D dn womit dann A auch aus ermittelt werden kann. A =1 da 17

18 18 KAPITEL IV. BARWERTE DER KAPITALVERSICHERUNG 2.2 Aufgeschobene Todesfallversicherung Stichwort Karenzzeit: Die Versicherung zahlt erst nach m Jahren. Wie oben ermittelt man mj A = M +m D 2.3 Temporare Todesfallversicherung Die Versicherungssumme wird nurbei einem Todesfall innerhalb der nachsten n Jahre ausgezahlt: 2.4 Die gemischte Versicherung jn A = M M +n D Es handelt sich hierbei um eine Kombination von Todes- und Erlebensfallversicherung: Die vereinbarte Versicherungssumme wird bei Tod oder spatestens nach n Jahren ausgezahlt. oder A nj = jn A + n E = M M +n D A nj =1 da nj + D +n D

19 Kapitel V Nettopramien 1 Vorbemerkung Da Einmalbeitrage selten sind, muss man i.a. auch von Zahlungsstromen auf der Versichertenseite ausgehen diese entsprechen dann einer Leibrente fur die Versicherung. 2 Jahrespramien 2.1 Erlebensfallversicherung Die n-jahrige Pramienzahlung muss fur die dann an die Uberlebenden auszuzahlende Versicherungssumme ausreichen: l P ( n E )+l +1P ( n E )v + :::+ l +n 1P ( n E )v n 1 = l +nv n P ( n E )(N N +n) = D +n P ( n E )a nj = n E Also P ( n E )= n E a nj 2.2 Altersrente Analog zu 2.1 ergibt sich: P ( nja )a nj = nja und somit P ( nja )= nj a a nj = N +n N N +n 2.3 Lebenslangliche Todesfallversicherung Lebenslangliche Beitragszahlung Aus der Aquivalenz P (A )a = A 19

20 20 KAPITEL V. NETTOPR AMIEN folgt P (A )= A a = 1 da a = 1 a d Was wurde passieren, wenn man stattdessen von einer Kette einjahriger Todesfall-Versicherungen ausginge? Die Pramie ware naturlich nicht mehr konstant, sondern man erhielte eine Folge von (naturlichen) Pramien C C +1 D D ::: +1 Diese Pramien steigen monoton - und sind im Alter kaum mehr zu bezahlen. Die konstante Pramie ermoglicht daher eine Verteilung des zu zahlenden Gesamtbeitrags, so dass die am Anfang zu hohen Pramien (im Vergleich zum Erwartungswert der Auszahlungssumme) zu einem Gewinn fuhren, der im Alter zum Ausgleich der gleichbleibenden Zahlungen herangezogen wird. Dieser Gewinn bildet das Deckungskapital (auch Deckungsruckstellung oder Alterungsruckstellung). abgekurzte Pramienzahlungsdauer Es andert sich nur der Leibrentenbarwert: P a nj = A 2.4 Gemischte Versicherung P nj a nj = A nj also P nj = A nj = 1 d a nj a nj 2.5 A-term--Versicherung Es handelt sich hierbei um eine Versicherung mit festem Auszahlungstermin (unabhangig vom eventuellen Todesfallen). Eine Unsicherheit besteht hier also nur in der Pramienzahlungsdauer: P a nj = Sv n 2.6 Pramienruckgewahr Reine Erlebensfallversicherung Die Versicherungsleistung besteht hier aus zwei Teilen: einer Erlebensfallversicherung und einer Todesfallversicherung, deren Hohe von der Pramie abhangt und ansteigt. P a nj = n E + P ~ jn A

21 2. JAHRESPR AMIEN 21 Dabei gilt n ~ A = 1 D (C +2C +1 + :::+ nc +n 1) = 1 D (C + C +1 + :::+ C +n 1+ C +1 + :::+ C +n C +n 1) = 1 D ((M M +n )+(M +1 M +n )+:::+(M +n 1 M +n )) = 1 D (R R +n nm +n ) Die Nettopramie ist also P = ne a nj jn ~ A Altersrente mit Pramienruckgewahr und garantierter Rentenzahlungsdauer Die Rente soll z.b. 5 Jahre lang an alle Versicherten gezahlt werden, die das Alter n (z.b. 65) erreichen, unabhangig von eventuellen Todesfallen innerhalb der 5 Jahre. P a nj =a 5 n E + n+5j a + P jn ~ A Also P = a 5 n E + n+5j a a nj jn ~ A

22 Kapitel VI Das Nettodeckungskapital 1 Denition Unter dem Gesamtdeckungskapital zum Zeitpunkt t einer Versicherungsgemeinschaft gleichartiger Risiken versteht man die Summe, die die Gesellschaft von den Pramien reservieren muss, um ihren Verpichtungen in der Zukunft nachkommen zu konnen. Dies ist dann moglich, wenn das Deckungskapital gleich ist dem Kapitalwert der kunftigen Ausgaben abzuglich dem Kapitalwert der noch zuerwartenden Pramieneinnahmen. Beispiel: Lebenslangliche Todesfallversicherung a) Einmalbeitrag: Gesamtdeckungskapital=l+t tv kunftige Verpichtungen=d +tv + d 2 +t+1v + ::: Die Denition fuhrt zu der Gleichung D +t tv = C +t + C +t+1 + :::= M +t woraus sich tv = M +t D +t = A +t ergibt. b) Jahrliche Pramienzahlung: Hier ist retrospektiv l +t tv = l P r t + l +1P r t 1 + :::+ l +t+1p r (d r t 1 + :::+ d +t+1) Also l +tv t V = r t (P (N N +t) (M M +t)) Nun ist P = A a = M D N D = M N 22 bzw. N P = M

23 2. BEISPIELE 23 Somit D +t tv = M +t P N +t und tv = A +t P a +t 2 Beispiele 2.1 Reine Erlebensfallversicherung 2.2 Altersrente Hier ist zu unterscheiden zwischen t<n: tv = n te +t P a +tn tj und t n: 2.3 Gemischte Versicherung tv = n tj a +t P a +tn tj tv =a +t Es gilt hier P nj = A nj A a nj nj =1 da nj P nj = 1 d a nj Also tv = A +tn tj P nj a +tn tj = 1 da +tn tj a +tn tj a nj + da +tn tj und somit tv =1 a +tn tj a nj Ist z.b. 0 V =0 n V = 1, dann ist t V 2 [0 1] monoton steigend und somit S t V " S: Das Deckungskapital wachst auf die vereinbarte Versicherungssumme an. 2.4 A-Term-Fi-Versicherung Die prospektive Betrachtung der gesamten Deckungsruckstellung t V g aller im Alter Versicherten ist V g = l v n t P (l +t + l +t+1 v + :::+ l +n 1 v n t 1 ) = l v n t P (N +t N +n )r +t = l +t v n t +(l l +t )v n t P a +tn tj l +t = l +t (v n t P a +tn tj )+(l l +t )v n t

24 24 KAPITEL VI. DAS NETTODECKUNGSKAPITAL Der erste Summand gibt den Ruckstellungsbedarf fur die Lebenden des Alters + t an, der zweite dagegen den Bedarf fur die zwischen und + t gestorbenen Versicherten. Es gilt V g l = v n t P a +tn tj t P 2.5 Rekursionsformel (gemischte Versicherung) Die Ruckstellung verandert sich jedes Jahr: zur alten Ruckstellung t V kommen neue Pramienzahlungen hinzu, dagegen mussen Versicherungsleistungen fur die Todesfalle d +t des Jahres abgezogen werden. Die neue Ruckstellung muss nun noch fur l +t+1 Personen ausreichen: Man erhalt die Rekursionsformel 3 Spar- und Risikopramie 3.1 Gemischte Versicherung l +t+1 t+1 V = l +t t V r + l +t P nj r d +t D +t+1 t+1 V = D +t t V + D +t P nj C +t (2.1) t+1v = D +t t V + D +t P nj C +t D +t+1 0 V =0 Es gilt C = d v +1 =(l l +1 )v +1 = D v D +1,alsoD +1 = D v C bzw. D +t+1 = D +t v C + t. Setzt man dies in Gleichung 2.1 ein, so erhalt man und, nach der Pramie aufgelost, D +t v t+1 V C +t t+1 V = D +t t V + D +t P nj C +t P nj =(1 t+1 V )v q +t {z } Risikopramie +( t+1 V t V ) {z } Sparpramie Der erste Summand gibt die Risikopramie t Pnj R an: er besteht aus der unter Risiko stehenden Dierenz (1 t+1 V ), die abgezinst und mit der Sterbewahrscheinlichkeit gewogen wird (Erwartungswert des Pramienausfalls). Der zweite Summand ist die Dierenz der Deckungsruckstellungen und somit die Sparpramie tp nj S. Beispiel: Sei =60 n=5 S= 10000, Geschlecht: mannlich t tv , , , , , , , , ,07 tp S 605j tp R 605j 113,72 96,06 71,74 40,31 0

25 4. R UCKKAUFSWERT Erlebensfallversicherung Hier entfallt die Auszahlung bei Todesfall: D +t+1 t+1v = D +t tv + D +tp Ersetzt man wieder D +t+1 durch vd +t C +t, so ergibt sich D +tp = D +t( t+1v v t V ) C +t t+1v und damit ist die Pramie P =( t+1v v t V ) t+1v q +tv bzw. auf die Veranderung der Ruckstellung bezogen t+1v t V = P r + i t V + t+1v q +t Zur Ruckstellung kommen also die (aufgezinsten) Pramien und die Zinsen auf die Ruckstellung hinzu, auerdem wird die Ruckstellung der d +t Verstorbenen auf die Versicherungsgemeinschaft verteilt. Die Pramie ist also durch die vererbte Ruckstellung vermindert. 4 Ruckkaufswert Bei Kundigung (Stornierung) von Versicherungen, bei denen die Ruckstellung nicht vererbt wird (u.a. gemischte Versicherung), steht dem Versicherten ein festgelegter Ruckkaufwert zu. Z.B. R t =0 96 t V d.h. die gezahlten Risikopramien verfallen.

26 Kapitel VII Die Kosten als dritte Rechnungsgrundlage Jedem Versicherungsunternehmen entstehen Kosten, z.b. durch Vertreterprovisionen. Diese mussen rechnungsmaig in genugender Groe berucksichtigt werden in der Bilanz muss die Deckung der Kosten nachgewiesen werden. 1 Die verschiedenen Kostenarten a) Abschlusskosten sind Kosten, die nicht anfallen, wenn es nicht zum Abschluss eines Vertrages kommt. Im Auenbereich ist hier vor allem die Vertreterprovision zu nennen, intern fallen entsprechende Bearbeitungskosten bzw. Gehalter an, u.u. auch Kosten fur eine arztliche Untersuchung. Die Abschlusskosten werden in Tausendstel der Versicherungssumme angegeben, meist 30 bis maimal 35 promille. b) Inkassokosten sind Kosten, die durch den Geldverkehr entstehen. Sie werden in % der Bruttopramie gemessen und betragen ca. 3 %. c) Laufende Verwaltungskosten sind schlielich alle Kosten, die nicht unter Abschlussund Inkassokosten fallen dies sind Steuern, Abschreibungen, Mieten, etc. Wie die Abschlusskosten werden die laufenden Verwaltungskosten in Tausendstel der Versicherungssumme gemessen und liegen etwa bei 3 5 promille. Anhand von Nettopramie und Kosten kann nun die Bruttopramie ermittelt werden, so dass man Tarifpramien erhalt. Diese sind Ausgangspunkt fur die Ermittlung der Einzelpramien, wobei Zuschlage (Risikozuschlag) und Rabatte zu berucksichtigen sind. 26

27 2. AUSREICHENDE JAHRESPRAMIEN (BRUTTOPRAMIEN) 27 2 Ausreichende Jahrespramien (Bruttopramien) 2.1 Lebenslangliche Todesfallversicherung Lebenslangliche Beitragszahlung Die Bruttopramieneinnahme muss auer der Auszahlungssumme noch die verschiedenen Kostenarten decken: P a (A )a = A + 1+P a a + 1 a P a (A ) = P + a + P a + Es gilt a a = : die Abschlusskosten werden also durch eine Leibrente gezahlt dies bedeutet fur das Versicherungsunternehmen allerdings einen Liquiditatsengpass. Ein Versicherungsmathematiker namens Zillmer hatte nun die Idee, die Abschlusskosten durch die Ruckstellung zu nanzieren dies hat zur Folge, dass ein Versicherter mit einer negativen Ruckstellung beginnt, die dann im Laufe der Jahre positiv wird und sich der Nettoruckstellung nahert. Die negative Ruckstellung bedeutet ein Darlehen der Versichertengemeinschaft an den Versicherten, das in den ersten Jahren zuruckgezahlt wird. Den Quotienten (Z) nennt manzillmerquote, diepramie P = P a + Zillmerpramie. a Damit lasst sich die Bruttopramie auch schreiben als P a = P (Z) + 1 Abgekurzte Beitragszahlungsdauer Wahrend Beitragszahlung und Inkassokosten () nach n Jahren entfallen, wird der Versicherte lebenslanglich an den Verwaltungskosten () beteiligt: P a a nj = A + + a nj + a P a = P + + P a + a a nj a nj P a = P (Z) + a 1 anj (2.1) wobei hier P = A a nj und P (Z) = P + a nj Beispiel: Seien =31 S= =0 035 =0 02 =0 003 G= M Berechnung der Netto- und Bruttopramie: a 31 = A 31 = S P 31 = A 31 a 31 gilt. S = S P (Z) 31 = S (P 31 + a 31 ) = S P a 31 = S P (Z ) 31 + (1 ) =

28 28 KAPITEL VII. DIE KOSTEN ALS DRITTE RECHNUNGSGRUNDLAGE 2.2 Gemischte Versicherung P a nj = P nj + a nj + P a nj + P a nj = P (Z) nj Die Bruttodeckungsruckstellung 3.1 Lebenslangliche Todesfallversicherung Lebenslangliche Beitragszahlung Unter Einbeziehung der Bruttodeckungsruckstellung gilt nach t Jahren Nun ist Eingesetzt in (3.2) ergibt sich tv a + P a a +t = A +t + P a a +t + a +t tv a = A +t ((1 )P a )a +t (3.2) P a = P + a + P a +, (1 )P a = P + a = P (Z) tv a = A +t + P (Z) a +t =: t V (Z) = t V a a +t tv (Z) wird als Zillmer-Ruckstellung oder gezillmerte Ruckstellung bezeichnet. Dies wird umso verstandlicher, wenn man t = 0 einsetzt und die Gleichung 0 V (Z) = erhalt, was gerade dem oben beschriebenen Darlehen in Hohe der Abschlusskosten entspricht. Abgekurzte Beitragszahlungsdauer Sei zunachst t<n: Ersetzt man P a tv a + P a a +tn tj = A +t + P a a +tn tj + a +t tv a = A +t (1 )P a a +t nach Gleichung (2.1), so erhalt man tv a = A +t P (Z) a +tn tj + = t V (Z) + t U a +tn tj! a +t a a nj a +tn tj a +tn tj

29 4. ZILLMERSCHE NETTOPR AMIE 29 wobei t U die Verwaltungskostenruckstellung ist sie besteht aus der Dierenz zwischen dem Leibrentenbarwert a +t und dem Pramienbarwert P a (P +tn tj a nj = a ) Fur t n gilt so dass ein stetiger Ubergang erfolgt. 3.2 Gemischte Versicherung Es gilt P (Z) nj = P nj + und es gilt anj.also tv a = t V (Z) tv = A +t + a +t = A +tn tj P (Z) nj a +tn tj = t V a nj a +tn tj 0V (Z) = nv (Z) = n V =1 Fur den Fall von Stornierungen vor dem Punkt t V (Z) =0mussen Rucklagen gebildet werden, da die Finanzierung der Abschlusskosten nicht mehr durch Pramieneinnahme erfolgen kann. 4 Zillmersche Nettopramie (Lebenslangliche Todesfallversicherung) Wie oben gezeigt ist die Aquivalenzgleichung fur eine konstante Nettopramie P a = A die Bruttopramie ist tariich festgelegt, doch die Nettopramie kann durchaus variieren, und man erhalt allgemeiner X tp (netto) D +t = A D (4.3) t0 Nehmen wir nun an, die Pramie sei in den ersten k Jahren variabel, wobei die Deckung des Risikos gewahrleistet sein muss, und danach sei die Pamie fest, also Gleichung (4.3) lautet dann 0 t k 1 : tp (netto) t k : P (F ) k 1 X t=0 >P <P t P (netto) t P R tp (netto) D +t + P (F ) N +k = A D (4.4) Setzt man nun die Pramie t P = P (F ) t 0 so kann man die Dierenz zwischen der anfanglich niedrigen Pramie t P (netto) und der konstanten Pramie zur Deckung der Abschlusskosten in den

30 P P 30 KAPITEL VII. DIE KOSTEN ALS DRITTE RECHNUNGSGRUNDLAGE ersten k Jahren nutzen: P (F ) Xk 1 t=0 (P (F ) (N N +k ) k 1 t P (netto) )D +t! = D X t=0 tp (netto) D +t = D Ersetzt man die Summe nach Gleichung (4.4), so erhalt man P (F ) (N N +k ) D + P (F ) N +k = A D P (F ) N = (A + )D P (F ) = A + = A + = P N + a a D = P (Z) Die Zillmerpramie P (Z) ist also eine Nettopramie. Beispiel: Lebenslangliche Todesfallversicherung mit lebenslanglicher Beitragzahlungsdauer mv (Z) = A +m P (Z) a +m P (Z) = P + a =40 S = = 3% G = M S 40 = = A 40 a 40 = S = = a Als Zillmerpramie ergibt sich also P (Z) 40 = Entwicklung der Zillmerruckstellung (zum 30.6.) und der bilanzierten Ruckstellung (zum des Jahres, linear interpoliert): m mv 40 m V Bil , , ,87-792, ,16 720, ,44

31 Kapitel VIII Vertragsanderungen Es folgen drei Beispiele fur Vertraganderungen. 1 Umwandlung einer gemischten Versicherung in eine pramienfreie gemischte Versicherung Ist m V (Z) > 0, so ist s mv (Z) betrachtet. Damit gilt dann ein Guthaben des Versicherten und wird als Einmalbeitrag S mv (Z) = S 0 (A +mn mj + a +mn mj ) so dass die neue Versicherungssumme S 0 = S mv (Z) A +tn mj + a +mn mj betragt. 2 Erhohung der Versicherungssumme ohne Nachzahlung (gemischte Versicherung) Statt S soll die Versicherungssumme nun S 0 >Sbetragen. Bisher betrug die Pramie s P a nj da diese schon m Jahre gezahlt wurde, ist S 0 P a nj fur S0 nicht ausreichend. Die erforderliche Pramie ist S 00 P a nj fur ein S00 >S 0,also S mv (Z) + S 00 P a nj a +tn mj = S0 A +mn mj + (S0 S)+S 00 P a nj a +mn mj + S0 a +mn mj Setzt man S 00 = S 0 +S, so ergibt dies (1 )SP a nj a +mn mj = S 0 A +mn mj + S0 a +mn mj S mv (Z) (1 )S 0 P a nj a +mn mj + (S0 S) = S 0 m V (Z) = ( m V (Z) + )(S 0 S) 31 S m V (Z) + (S 0 S)

32 32 KAPITEL VIII. VERTRAGS ANDERUNGEN Es gilt also S P a nj = (S0 S)( m V (Z) + ) (1 )a +mn mj Der neue Zahlbetrag fur S 0 ist damit S 0 P a nj +S P a nj 3 Zuzahlung zur Abkurzung der Versicherungsdauer bei gleichbleibenden Pramien (gemischte Versicherung) Die neue Dauer betrage n 0 <n.dann = S A +mn0 mj + S a +mn 0 mj + S P a nj a +mn 0 mj + Z S m V (Z) nj + S P a nj a +mn 0 mj + Z Der Anteil Z entfallt bei Bonus-Anrechnung 1. (1 )Z = S(A +mn0 mj + a +tn 0 mj + P a nj a +tn 0 mj P a nj a +tn 0 mj mv (Z) nj ) = S(A +mn0 mj P (Z) nj a +mn 0 mj (A +mn 0 mj P (Z) nj a +mn 0 mj )) Bei der Zuzahlung ist n 0 bekannt, gesucht wirdz Z ist bei Bonus-Anrechnung bekannt, hier sucht mann 0. Es ist A nj = 1 da nj d = iv und a +mn mj a +mn0 mj = N+m N+n N +n 0 N +n D +m. Also N+m N +n 0 = D +m D +m (1 )Z = S(1 da +mn0 mj (1 da +mn mj P (Z) nj (a +mn 0 mj a +mn mj )) = S(P (Z) nj + ) N +n N +n 0 D +m Um beim Bonus-Problem nun n 0 zu nden, stellt man dies ( =0)umzu und sucht das~n, fur das N +n 0 = Z D +m + N +n S(P (Z) + ) nj N +~n <N +n 0 N +~n+1 Nun wird die Dauer auf n =~n + 1 festgelegt. Der daraus resultierende Zahlbeitrag ~ Z ist groer als Z die Dierenz wird dann angespart. 1 Anrechnung von Gewinnanteilen zur Verkurzung der Versicherungsdauer

33 Inde abgezinste Lebende, 13 abgezinste Tote, 13 Abzinsungsfaktor, 8 Aquivalenzprinzip, 4 Alterungsruckstellung, 20 Aufzinsungsfaktor, 8 Zeitrenten, 9 Zillmer, 27 -Pramie, 27 -Quote, 27 -Ruckstellung, 28 Bonus-Anrechnung, 32 Deckungskapital, 20 Deckungsruckstellung, 20 Gesamtdeckungskapital, 22 Kosten Abschluss-, 26 Inkasso-, 26 laufende Verwaltungs-, 26 Leibrentenbarwert, 14 Ruckkaufswert, 25 Rekursionsformel, 24 Risikopramie, 24 Sparpramie, 24 Sterbetafel -ansatz, 14 Sterbewahrscheinlichkeit, 11 Uberlebenswahrscheinlichkeit, 11 Versicherung, 4 versicherungstechnischer Ansatz, 14 Wahrscheinlichkeit -sansatz, 14 Zeitrente -nbarwert, 9 33

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