Wiederholung Exponentialfunktion

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1 SEITE 1 VON 9 Wiederholung Eponenialfunkion VON HEINZ BÖER 1. Regeln und Beispiele Der Funkionserm Eponenialfunkionen haben die Form f() = b a. Die y-achse wird bei b geschnien, denn f(0) = 0 b a = b 1 = b. p a seh für den Wachsums- bzw. Abnahmefakor a = Is der Wachsumsprozensaz p posiiv, dann is a > 1, die Kurve seig koninuierlich und zwar immer schneller. Is der Wachsumsprozensaz p negaiv, dann is a < 1, die Kurve fäll koninuierlich und zwar immer langsamer. Die Funkionsgrafen Beispiel I: 500 werden auf der Bank mi 2,5 % verzins. b = 500; a = 1 + 2,5/100 = 1,025; also f() = 500 1,025 (: Jahre; f(): Euro) Die Kurve sare bei 500 und nimm koninuierlich zu und zwar immer schneller. Sie wächs über alle Grenzen. Beispiel II: Die Bevölkerung Deuschlands nimm von 82 Millionen um 0,5 % pro Jahr ab. b = 82; a = 1-0,5/100 = 0,995; also f() = 82 0,995 (: Jahre; f(): Mio Menschen) Die Kurve sare bei 82 und nimm koninuierlich ab und zwar immer langsamer. Sie näher sich der - Achse.

2 SEITE 2 VON 9 Aufgabenyp I (Berechnung von Funkionsweren) a) Auf welchen Berag seig ein Kapial von 500 in 5 Jahren bei 2,5 % Verzinsung? In der Zinsrechnung wird der Anfangswer b auch K 0 (Kapial zu Beginn) genann, der Wachsumsfakor a heiß Zinsfakor z, die Variable im Eponenen is die Zei (für ime): K() = K0 z. Hier gil: K 0 = 500 ; p % = 2,5 % pro Jahr, also z = 1,025; = 5 Jahre K(5) = 500 1, ,70 Nach 5 Jahren sehen (mi Zins und Zinseszinsen) 565,70 auf dem Kono. b) Von einer radioakiven Subsanz zerfallen pro Jahr 2 %. Wie viel srahlende Subsanz is nach 20 Jahren noch vorhanden? Anfangswer b = 1 (z. B. kg oder g oder eine andere Masseneinhei) Abnahmefakor a = 0,98; Variable = 20 f(20) = 1 0, , Nach 20 Jahren is noch 2/3 von der radioakiven Ausgangsmenge vorhanden, von einem Kilogramm also ewa noch 667 g; von 100 g noch ewa 66,7 g. Aufgabenyp II (Berechnung des Wachsums/Abnahme-Prozensazes p) a) Ein Kapial von 1000 is nach einem Jahr 1048 wer. Mi welchem Zinssaz wurde es angeleg? 1000 a 1 = 1048 a = 1,048 p % = 4,8 % Der Zinssaz berug 4,8 %. b) Ein 10 Jahre aler Baum is 7,30 m hoch; mi 25 Jahren is er 12,05 m hoch. Um welchen Prozensaz wächs er pro Jahr? Wie groß war er beim Einpflanzen? * Der Wachsumsprozensaz Zähl man die Zei ab 10 Jahren, so ergib sich nach weieren 15 Jahren: 7,30 a 15 = 12,05 a = 15 12,05 7,3 1,034 p % = 3,4 % Der Baum wächs pro Jahr um rund 3,4 %. * Die Anfangshöhe b 1, = 7,30 b 5,23 Der Baum wurde mi einer Anfangslänge von gu 5,20 m eingepflanz. (Oder: b 1, = 12,05 b 5,22 mi geringer Rundungsabweichung)

3 SEITE 3 VON 9 c) Ein Kapial von 500 wird für 3 Jahre mi 3,5 % verzins, für weiere 4 Jahre mi 4,5 %. Eine andere Sparkasse biee dasselbe Endkapial bei gleich bleibendem Jahreszinssaz an. Wie hoch is er? * Das Endkapial nach 7 Jahren bei der ersen Bank K 7 = 500 1, , ,08 * Der Zinssaz der zweien Bank K 7 = 500 a 7 = 661,08 a = 661,08 7 1, Bei einem gleich bleibenden Zinssaz von rund 4,1 % ergib sich in ewa dasselbe Endkapial wie bei der ersen Bank von gu 660. Aufgabenyp III (Berechnung des Eponenen; siehe auch VI) a) Ein Kapial von 550 wurde zu 2,5 % angeleg und beräg jez 748,40. Wie viele Jahre wurde es verzins? K() = 550 1,025 = 748,40 Probeweises Einsezen von Weren für ergib: 550 1, ,395 und 550 1, , 854. Nach 12 Jahren is der angegebene Konosand erreich. b) Eine radioakive Subsanz von 1200 g ha bei 1,5 % Zerfallsrae inzwischen auf rund 820 g abgenommen. Auf welche Zeidauer kann man schließen? In die Gleichung ,985 = 820 werden -Were eingesez, so dass sich Funkionswere möglichs nahe bei 820 ergeben: , und , Das radioakive Maerial srahl sei ewa 25 Jahren.

4 SEITE 4 VON 9 Aufgabenyp IV (lineare und eponenielle Grafen zuordnen und deuen) a) Erläuern Sie, welche Grafen zu linearen, welche zu Epo- f() I II Hinweis zur Verwendung von a und b: nenialfunkionen gehören. b) Begründen Sie: Was IV III Lineare Funkion f() = a + b wissen Sie jeweils si- cher über die Größe Eponenialfunkion von a und b in den vier Fällen? f() = b a c) Erläuern Sie: Welche der folgenden Größenbeschreibungen pass zu welchem Grafen oben? Begründen Sie: Eine Beschreibung pass nich ganz. 1. Bei 15 C seh der "Quecksilberfaden" an einem Thermomeer 20 mm hoch. Er verlänger sich um jeweils 15 mm, wenn sich die Temperaur um 1 C erhöh. 2. Ein Haushalsgerä kose neu 150. Pro Jahr verlier es 8 % seines Zeiweres. 3. Anfangs besaß er 50, gab aber pro Tag 2,5 aus. 4. Eine 30 cm lange Alge vergrößer ihre Länge äglich um 5 %. 5. Eine 50 cm lange Kerze brenn gleichmäßig ab mi 2,5 cm pro Sunde. Zu a) Lineare Funkionen: I, IV, da die Grafen Geraden sind. Eponenialfunkionen: II, III, da die Grafen gekrümm sind. Zu b) I: a > 0, da die Gerade seig. II: a > 1, da der Eponenialgraf seig. III: 0 < a < 1, da der Eponenialgraf fäll IV: a < 0, da die Gerade fäll. b is in allen vier Beispielen größer als Null. b III > b IV > b II > b I Zu c) 1: I, denn es is eine lineare Funkion beschrieben, die seig. 2: III, denn es is eine Eponenialfunkion beschrieben, die fäll. 3: IV, denn es is eine lineare Funkion beschrieben, die fäll. 4: II, denn es is eine Eponenialfunkion beschrieben, die seig.

5 SEITE 5 VON 9 5: IV, denn es is eine lineare Funkion beschrieben, die fäll. Aber im Gegensaz zu 3, wo negaive Were als Schulden möglich sind, kann es bei der Kerzenlänge keine negaiven Were geben. Aufgabenyp V (Funkionsgleichungen aufsellen und Grafen skizzieren) Grafen zu a, b, c, d: Noieren Sie die Funkionsgleichung (sowei nich gegeben) und skizzieren Sie den zugehörigen Grafen. b a a) f() = 1,5-4 b) f() = 2 1,2 d c) Eine lineare Funkion beginn bei 8 und nimm in 8 Schrien um 12 ab. c d) Eine Eponenialfunkion, die mi dem Wer 10 sare, nimm in 3 Schrien um 27 % ab. e) Noieren Sie zu den Aufgaben IV.c.1 bis 5 passende Funkionsgleichungen. Zu c) Anfangswer b = 8; Seigung a = 12 8 = -1,5; also f () = -1, Zu d) Anfangswer b = 10 Nach 3 Schrien sind noch 73 % von 10, also 7,3 vorhanden a = 7,3; also a = 3 0,73 0,9 ; also f() = 10 0,9. Zu e1) f(t) = T mi T: Temperaur-Gradzahl ab 15 C; f(t): mm Que cksilberfadenlänge e2) f() = 150 0,92 mi : Zei in Jahren; f(): Zeiwer des Geräes in e3) f() = -2, mi : Zei in Tagen; f(): Guhaben/Schulden in e4) f() = 30 1,05 mi : Zei in Tagen; f(): Algenlänge in cm e5) f() = -2, mi : Zei in Sunden; f(): Kerzenlänge in cm

6 SEITE 6 VON 9 Aufgabenyp VI (Eponenialgleichungen lösen, siehe auch III) Lösen Sie die Gleichungen: a) 2 = 64 b) 3 4 = 9 0,8 c) 20 1,02 = 10 1,04 d) Die Zahl der Landwire in Frankreich nahm von 1968 bis 2000 in ewa nach der Funkion f() = ,9576 ab. In dem Zeiraum nahm die Zahl der Beamen, die für die Landwire zusändig waren, nach f() = ,0057 zu. Würde die Enwicklung weier so verlaufen, wann gib es dann für jeden Landwir einen Beamen? Zu a) 2 6 = 64, also = 6 Zu b) 3 4 = 9 0,8 : 3 : 0,8 4 0,8 = 3 5 = 3 sysemaisches Probieren 0,68 Zu c) 20 1,02 = 10 1,04 : 10 : 1,02 2 = 1,04 1,02 sysemaisches Probieren 35,7 Zu d) ,9576 = ,0057 : : 0, = 1,0057 0,9576 sysemaisches Probieren 94 In rund 94 Jahren schneiden sich die Kurven und jeder Beame kümmer sich um "seinen" Landwir.

7 SEITE 7 VON 9 2. Übungen I: a) K 0 = 500 ; p % = 3,5 % pro Jahr. Wie groß is das Kapiel nach 5 Jahren? b) K 0 = 850 ; p % = -1,5 % pro Jahr. Wie viel bleib als Kapial nach 12 Jahren? c) In einem Sparverrag legen Sie 750 zu einem Jahreszinssaz von 3,5 % für 7 Jahre fes. Wie viel erhalen Sie am Ende? d) Eine andere Bank versprich sa der Bedingungen in c) 2,5 % für 3 Jahre, für die Reszei 4 %. Sind die Kondiionen (Bedingungen) besser? e) Wie laue die allgemeine Funkionsgleichung für eponenielle Funkionen? Erläuern Sie die Bedeuung aller vorkommenden Variablen. II: Besimmen Sie die Funkionsvorschrif einer Eponenialfunkion, deren Graf durch die beiden angegebenen Punke geh. a b c d f() 5 5, , e) Ein Kapial von 350 wurde angeleg und beräg nach 9 Jahren 400,19. Wie hoch war der Zinssaz? f) Eine Pflanze wächs vom 2. bis zum 10. Jahr von 3,40 m auf 6,20 m. Um welchen Prozensaz wächs sie pro Jahr? g) Die Maschinenprodukion ha sei 2005 von Jahr zu Jahr um 7,0%, 10,6 %, 6,0 %, -24,6 %, 8,8 %, 10,0 % zugenommen. Wie hoch lag sie im Jahr 2011 im Vergleich zu 2005? Um wie viel Prozen is sie durchschnilich pro Jahr gesiegen? III: a) Ein Kapial von 750 wurde zu 1,5 % angeleg und beräg jez Wie viele Jahre wurde es verzins? b) Eine radioakive Subsanz von 1500 g ha bei 3,5 % Zerfallsrae inzwischen auf rund 430 g abgenommen. Auf welche Zeidauer kann man schließen?

8 SEITE 8 VON 9 IV: a) Begründen Sie, welche der vier Grafen zu linearen, welche zu Eponenialfunkionen gehören? Machen Sie Aussagen zur Größe der a-were. b) Begründen Sie, welcher Graf je- I II III weils zu den folgenden Größenverläufen pass. 1. Die Zimmerpflanze is 5 cm IV groß. Bei guer Wässerung wächs sie monalich um 5 cm. 2. Der Inhal der Spardose von 25 wird mi anderem Geld der Elern auf eine Superanlage mi 8% Jahreszinsen geleg. 3. Das Auo kose neu und verlier jährlich ewa 11 % seines Weres. 4. Ein Werpapier mi einem Sarwer von 70 wird in den ersen drei Jahren mi 1,5 % verzins, in den weieren Jahren mi 2,5 %. 5. Mehme ha Schulden von 50. Er vereinbar, wöchenlich 1,50 abzubezahlen.

9 SEITE 9 VON 9 V: Noieren Sie die Funkionsgleichung (sowei nich gegeben) und skizzieren Sie den zugehörigen Grafen. a) f() = 2,5-5 b) f() = 4 1,1 c) Eine lineare Funkion beginn bei 2 und nimm in 6 Schrien um 9 zu. d) Eine Eponenialfunkion, die mi dem Wer 15 sare, nimm in 5 Schrien um 30 % ab. e) Noieren Sie zu den Aufgaben IV.b.1 bis 5 passende Funkionsgleichungen. VI: Lösen Sie die Gleichungen: a) 3 = 81 b) 0,7 2 = 44,8 0,5 c) 10 1,03 = 5 1,05 Überlegen Sie eine Anwendungssiuaion zu der Aufgabe c. d) Ein Unernehmen ha einen Wer von 30 Millionen, verlier aber 10 % pro Jahr. Dagegen seig der Wer des Konkurrenzunernehmens ausgehend von 10 Millionen um 5 % jährlich. Wann sind beide gleich viel wer?