Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten
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- Lilli Pfeiffer
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1 Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten Deskriptive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska Carlo Siebenschuh
2 Agenda 1 Einleitung 2 Lorenzkurve 3 Gini-Koeffizient 4 Weitere Konzentrationsmaße Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 2
3 Einleitung Bei vielen Verteilungen sind Lage- und Streuungsparameter für die Analyse einer Häufigkeitsverteilung nicht ausreichend. Beispiel 7.1 Bei einer Einkommensverteilung ist neben dem arithmetischen Mittel, also dem durchschnittlichen Einkommen, ein Streuungsparameter, z.b. die Standardabweichung, von Bedeutung, die etwas über die Abweichung vom mittleren Einkommen aussagt. Die Standardabweichung ist allerdings nicht genügend aussagekräftig, da die Verteilung in der Regel nicht symmetrisch ist. Es kann z. B. viele mit geringeren Einkommen als dem Durchschnittseinkommen und einige wenige mit wesentlich höheren Einkommen geben. Das Ziel ist es diese Ungleichheit in der Verteilung der Einkommen mit Hilfe eines aussagekräftigen Maßes sichtbar und damit vergleichbar zu machen. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 3
4 Einleitung Bei vielen Verteilungen sind Lage- und Streuungsparameter für die Analyse einer Häufigkeitsverteilung nicht ausreichend. Beispiel 7.1 Bei einer Einkommensverteilung ist neben dem arithmetischen Mittel, also dem durchschnittlichen Einkommen, ein Streuungsparameter, z.b. die Standardabweichung, von Bedeutung, die etwas über die Abweichung vom mittleren Einkommen aussagt. Die Standardabweichung ist allerdings nicht genügend aussagekräftig, da die Verteilung in der Regel nicht symmetrisch ist. Es kann z. B. viele mit geringeren Einkommen als dem Durchschnittseinkommen und einige wenige mit wesentlich höheren Einkommen geben. Das Ziel ist es diese Ungleichheit in der Verteilung der Einkommen mit Hilfe eines aussagekräftigen Maßes sichtbar und damit vergleichbar zu machen. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 3
5 Einleitung Ziel: Beschreibung, graphische Darstellung und Messung von Ungleichheiten z.b. bei der Verteilung von Besitz Gegeben: Besitz -Verteilung in Form einer nichtnegativen geordneten Urliste 0 x (1) x (2)... x (n) Gesamtbesitz: Positive Merkmalssumme x = n x (i) > 0 i=1 Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 4
6 Einleitung Ziel: Beschreibung, graphische Darstellung und Messung von Ungleichheiten z.b. bei der Verteilung von Besitz Gegeben: Besitz -Verteilung in Form einer nichtnegativen geordneten Urliste 0 x (1) x (2)... x (n) Gesamtbesitz: Positive Merkmalssumme x = n x (i) > 0 i=1 Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 4
7 Einleitung Ziel: Beschreibung, graphische Darstellung und Messung von Ungleichheiten z.b. bei der Verteilung von Besitz Gegeben: Besitz -Verteilung in Form einer nichtnegativen geordneten Urliste 0 x (1) x (2)... x (n) Gesamtbesitz: Positive Merkmalssumme x = n x (i) > 0 i=1 Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 4
8 Einleitung Frage: Wie ist die Merkmalssumme auf die n Personen verteilt? Extremfälle: Alle besitzen gleich viel. Einer besitzt alles. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 5
9 Einleitung Frage: Wie ist die Merkmalssumme auf die n Personen verteilt? Extremfälle: Alle besitzen gleich viel. Einer besitzt alles. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 5
10 Agenda 1 Einleitung 2 Lorenzkurve 3 Gini-Koeffizient 4 Weitere Konzentrationsmaße Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 6
11 Lorenzkurve Wichtigstes graphisches Hilfsmittel zur Verdeutlichung von Konzentrationsphänomenen. Ausgegangen wird dabei von einer geordneten nichtnegativen statistischen Reihe mit positiver Summe der Beobachtungswerte (Merkmalssumme) n 0 x (1) x (2)... x (n), x = x (i) > 0 i=1 Prinzip: Gegenüberstellung des und des Anteils an der statistischen Masse Anteils an der Merkmalssumme der k statistischen Einheiten mit den kleinsten Merkmalswerten Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 7
12 Lorenzkurve Wichtigstes graphisches Hilfsmittel zur Verdeutlichung von Konzentrationsphänomenen. Ausgegangen wird dabei von einer geordneten nichtnegativen statistischen Reihe mit positiver Summe der Beobachtungswerte (Merkmalssumme) n 0 x (1) x (2)... x (n), x = x (i) > 0 i=1 Prinzip: Gegenüberstellung des und des Anteils an der statistischen Masse Anteils an der Merkmalssumme der k statistischen Einheiten mit den kleinsten Merkmalswerten Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 7
13 Lorenzkurve Anteil an der Merkmalssumme, der auf die k statistischen Einheiten mit den kleinsten Merkmalswerten (x (1),..., x (k) ) entfällt: k v k = x (i) i=1 n i=1 = x (1) x (k) x x (1) x (n) (i) Anteil an der gesamten statistischen Masse: u k = k n Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 8
14 Lorenzkurve Anteil an der Merkmalssumme, der auf die k statistischen Einheiten mit den kleinsten Merkmalswerten (x (1),..., x (k) ) entfällt: k v k = x (i) i=1 n i=1 = x (1) x (k) x x (1) x (n) (i) Anteil an der gesamten statistischen Masse: u k = k n Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 8
15 Lorenzkurve Damit steht also dem Anteil u k an der statistischen Masse ein Anteil v k an der Merkmalssumme gegenüber. Für k = 1,..., n trägt man die Punkte (u k, v k ) in ein Koordinatenkreuz ein und verbindet sie durch einen Streckenzug, beginnend mit dem Ursprung (0,0): Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 9
16 Lorenzkurve Anteil an der Merkmalssumme 1 (u n, v n) = (1, 1) (u 2, v 2 ) (u 1, v 1 ) (u 3, v 3 ) 0 1 Anteil an der statistischen Masse Abbildung - Lorenzkurve. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 10
17 Lorenzkurve Beispiel 7.1 Die geordnete statistische Reihe der Monatslöhne in einem mittleren Handwerksbetrieb laute wie folgt in Euro: 500, 1900, 2050, 2200, 2250, 2400, 2600, 2950, 4000, Merkmalssumme ist: Damit erhält man folgende Tabelle: u k v k Und die folgende Lorenzkurve... Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 11
18 Lorenzkurve Beispiel 7.1 Die geordnete statistische Reihe der Monatslöhne in einem mittleren Handwerksbetrieb laute wie folgt in Euro: 500, 1900, 2050, 2200, 2250, 2400, 2600, 2950, 4000, Merkmalssumme ist: Damit erhält man folgende Tabelle: u k v k Und die folgende Lorenzkurve... Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 11
19 Lorenzkurve Beispiel 7.1 Die geordnete statistische Reihe der Monatslöhne in einem mittleren Handwerksbetrieb laute wie folgt in Euro: 500, 1900, 2050, 2200, 2250, 2400, 2600, 2950, 4000, Merkmalssumme ist: Damit erhält man folgende Tabelle: u k v k Und die folgende Lorenzkurve... Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 11
20 Lorenzkurve Beispiel 7.1 Die geordnete statistische Reihe der Monatslöhne in einem mittleren Handwerksbetrieb laute wie folgt in Euro: 500, 1900, 2050, 2200, 2250, 2400, 2600, 2950, 4000, Merkmalssumme ist: Damit erhält man folgende Tabelle: u k v k Und die folgende Lorenzkurve... Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 11
21 Lorenzkurve Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 12
22 Lorenzkurve Eigenschaften der Lorenzkurve: Die Lorenzkurve beginnt in (0,0) und endet in (1,1). Die Lorenzkurve verläuft nirgendwo oberhalb der Diagonalen. Die Lorenzkurve steigt monoton. Die Lorenzkurve ist konvex. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 13
23 Lorenzkurve Eigenschaften der Lorenzkurve: Die Lorenzkurve beginnt in (0,0) und endet in (1,1). Die Lorenzkurve verläuft nirgendwo oberhalb der Diagonalen. Die Lorenzkurve steigt monoton. Die Lorenzkurve ist konvex. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 13
24 Lorenzkurve Eigenschaften der Lorenzkurve: Die Lorenzkurve beginnt in (0,0) und endet in (1,1). Die Lorenzkurve verläuft nirgendwo oberhalb der Diagonalen. Die Lorenzkurve steigt monoton. Die Lorenzkurve ist konvex. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 13
25 Lorenzkurve Eigenschaften der Lorenzkurve: Die Lorenzkurve beginnt in (0,0) und endet in (1,1). Die Lorenzkurve verläuft nirgendwo oberhalb der Diagonalen. Die Lorenzkurve steigt monoton. Die Lorenzkurve ist konvex. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 13
26 Lorenzkurve Eigenschaften der Lorenzkurve: Die Lorenzkurve beginnt in (0,0) und endet in (1,1). Die Lorenzkurve verläuft nirgendwo oberhalb der Diagonalen. Die Lorenzkurve steigt monoton. Die Lorenzkurve ist konvex. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 13
27 Lorenzkurve Anmerkung: Die Diagonale ist die Bezugskurve zur Lorenzkurve. Sind nämlich alle Beobachtungswerte gleich so ist für k = 1,..., n v k = 0 < x 1 = x 2 =... = x n, k x i i=1 n i=1 x i = k x 1 n x 1 = k n = u k. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 14
28 Die Diagonale gibt also den Zustand wieder, in dem die Merkmalssumme völlig gleichmäßig über die Masse verteilt ist ( Gleichverteilung der Merkmalssumme ). Aus der Sicht der Konzentration der Idealzustand ohne jegliche Konzentration. Dem Idealzustand der Gleichverteilung entgegengesetzt ist der Extremfall, dass die gesamte Merkmalssumme in einer statistischen Einheit vereint ist: 0 = x (1) =... = x (n 1) < x (n). Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 15
29 Die Diagonale gibt also den Zustand wieder, in dem die Merkmalssumme völlig gleichmäßig über die Masse verteilt ist ( Gleichverteilung der Merkmalssumme ). Aus der Sicht der Konzentration der Idealzustand ohne jegliche Konzentration. Dem Idealzustand der Gleichverteilung entgegengesetzt ist der Extremfall, dass die gesamte Merkmalssumme in einer statistischen Einheit vereint ist: 0 = x (1) =... = x (n 1) < x (n). Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 15
30 Lorenzkurve Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 16
31 Lorenzkurve Weitere Anmerkung: Für großes n, also viele statistische Einheiten, erhält man bei vollständiger Konzentration nahezu die Katheden des rechtwinkligen Dreiecks mit den Eckpunkten (0,0), (1,0), (1,1). Interpretation der Lorenzkurve: Je weiter die Lorenzkurve von der Diagonalen entfernt ist, je mehr die Lorenzkurve also durchhängt, desto größer ist die Konzentration. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 17
32 Lorenzkurve Weitere Anmerkung: Für großes n, also viele statistische Einheiten, erhält man bei vollständiger Konzentration nahezu die Katheden des rechtwinkligen Dreiecks mit den Eckpunkten (0,0), (1,0), (1,1). Interpretation der Lorenzkurve: Je weiter die Lorenzkurve von der Diagonalen entfernt ist, je mehr die Lorenzkurve also durchhängt, desto größer ist die Konzentration. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 17
33 Lorenzkurve Beispiel 7.2 Gegeben ist die Häufigkeitsverteilung a h(a) p(a) Geordnete Urliste ist dann: 1, 1, 2, 2, 2, 3; Merkmalssumme ist 11. Damit erhält man die Koordinaten der Lorenzkurve: u k v k Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 18
34 Lorenzkurve Beispiel 7.2 Gegeben ist die Häufigkeitsverteilung a h(a) p(a) Geordnete Urliste ist dann: 1, 1, 2, 2, 2, 3; Merkmalssumme ist 11. Damit erhält man die Koordinaten der Lorenzkurve: u k v k Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 18
35 Lorenzkurve Beispiel 7.2 Gegeben ist die Häufigkeitsverteilung a h(a) p(a) Geordnete Urliste ist dann: 1, 1, 2, 2, 2, 3; Merkmalssumme ist 11. Damit erhält man die Koordinaten der Lorenzkurve: u k v k Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 18
36 Lorenzkurve Abbildung: Abbildung Lorenzkurve zu Beispiel 7.2 Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 19
37 Anmerkung: Man sieht, dass übereinstimmende Merkmalswerte zu Geradenstücken gleicher Steigung führen. Es genügt also, die Werte für k = 2 und k = 5 zu berechnen. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 20
38 Lorenzkurve Ermittlung der Lorenzkurve aus der absoluten Häufigkeitsverteilung Merkmalssumme: x = a M a h(a) Zur Berechnung der Koordinaten sind die Merkmalsausprägungen zu ordnen: 0 a 1 < a 2 <... < a m. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 21
39 Lorenzkurve Ermittlung der Lorenzkurve aus der absoluten Häufigkeitsverteilung Merkmalssumme: x = a M a h(a) Zur Berechnung der Koordinaten sind die Merkmalsausprägungen zu ordnen: 0 a 1 < a 2 <... < a m. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 21
40 Lorenzkurve Ermittlung der Lorenzkurve aus der absoluten Häufigkeitsverteilung Anteil der k niedrigsten Merkmalsausprägungen an der Merkmalssumme: k a i h(a i ) i=1 v k = a h(a) a M Anteil dieser Merkmalsausprägungen an der statistischen Masse: u k = k h(a i ) h(a) i=1 a M Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 22
41 Lorenzkurve Ermittlung der Lorenzkurve aus der absoluten Häufigkeitsverteilung Anteil der k niedrigsten Merkmalsausprägungen an der Merkmalssumme: k a i h(a i ) i=1 v k = a h(a) a M Anteil dieser Merkmalsausprägungen an der statistischen Masse: u k = k h(a i ) h(a) i=1 a M Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 22
42 Lorenzkurve Beispiel 7.3 Im Beispiel 7.2 erhält man die notwendigen Koordinaten der Lorenzkurve u k v k Anmerkung: Der Unterschied besteht darin, dass hierbei lediglich die Knickstellen der Lorenzkurve berechnet werden. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 23
43 Lorenzkurve Beispiel 7.3 Im Beispiel 7.2 erhält man die notwendigen Koordinaten der Lorenzkurve u k v k Anmerkung: Der Unterschied besteht darin, dass hierbei lediglich die Knickstellen der Lorenzkurve berechnet werden. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 23
44 Lorenzkurve Ermittlung der Lorenzkurve aus der relativen Häufigkeitsverteilung Anteil der k niedrigsten Merkmalsausprägungen an der Merkmalssumme: k a i p(a i ) i=1 v k = a p(a) a M Anteil dieser Merkmalsausprägungen an der statistischen Masse: u k = k p(a i ) i=1 Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 24
45 Lorenzkurve Ermittlung der Lorenzkurve aus der relativen Häufigkeitsverteilung Anteil der k niedrigsten Merkmalsausprägungen an der Merkmalssumme: k a i p(a i ) i=1 v k = a p(a) a M Anteil dieser Merkmalsausprägungen an der statistischen Masse: u k = k p(a i ) i=1 Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 24
46 Lorenzkurve Beispiel 7.4 In Beispiel 7.2 erhält man und damit v 1 = i=1 a i p(a i ) = = 11 6 = 2 11, v 2 = ( ) 11 = 8 11, v 3 = 1 wie in Beispiel Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 25
47 Lorenzkurve Beispiel 7.4 In Beispiel 7.2 erhält man und damit v 1 = i=1 a i p(a i ) = = 11 6 = 2 11, v 2 = ( ) 11 = 8 11, v 3 = 1 wie in Beispiel Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 25
48 Lorenzkurve Ermittlung der Lorenzkurve bei klassierten Merkmalen Weder u k noch v k können gebildet werden. Seien I j die Klassen und h(i j ) bzw. p(i j ) die absoluten bzw. relativen Häufigkeiten. Die Klasse I hat damit den relativen Anteil p(i) = h(i) n an der statistischen Masse. Seien also die Klassen I 1,..., I m nach ihren Klassengrenzen geordnet, dann kann man statt u 1,..., u n die folgenden Werte verwenden: m p(i 1 ), p(i 1 ) + p(i 2 ),..., p(i j ) j=1 Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 26
49 Lorenzkurve Ermittlung der Lorenzkurve bei klassierten Merkmalen Der Anteil an der Merkmalssumme einer Klasse I lässt sich nur anhand der Urliste oder der Häufigkeitsverteilung der unklassierten Daten feststellen. Geht man davon aus, dass die Klassenmitte z I das arithmetische Mittel der Merkmalswerte der Klasse ist, so ist z I h(i) : Merkmalssumme der Klasse I und m z j h(i j ) : j=1 Merkmalssumme der Gesamtmasse. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 27
50 Lorenzkurve Ermittlung der Lorenzkurve bei klassierten Merkmalen Der Anteil an der Merkmalssumme einer Klasse I lässt sich nur anhand der Urliste oder der Häufigkeitsverteilung der unklassierten Daten feststellen. Geht man davon aus, dass die Klassenmitte z I das arithmetische Mittel der Merkmalswerte der Klasse ist, so ist z I h(i) : Merkmalssumme der Klasse I und m z j h(i j ) : j=1 Merkmalssumme der Gesamtmasse. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 27
51 Lorenzkurve Ermittlung der Lorenzkurve bei klassierten Merkmalen Punkte der Lorenzkurve für absolute Häufigkeiten: k z k j h(i j ) j=1 (u k, v k ) = p(i j ), m für k = 0,..., m j=1 z j h(i j ) j=1 Punkte der Lorenzkurve für relative Häufigkeiten: k z k j p(i j ) j=1 (u k, v k ) = p(i j ), m für k = 0,..., m j=1 z j p(i j ) j=1 Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 28
52 Lorenzkurve Ermittlung der Lorenzkurve bei klassierten Merkmalen Punkte der Lorenzkurve für absolute Häufigkeiten: k z k j h(i j ) j=1 (u k, v k ) = p(i j ), m für k = 0,..., m j=1 z j h(i j ) j=1 Punkte der Lorenzkurve für relative Häufigkeiten: k z k j p(i j ) j=1 (u k, v k ) = p(i j ), m für k = 0,..., m j=1 z j p(i j ) j=1 Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 28
53 Lorenzkurve Beispiel 7.5 Für eine Verbrauchsstudie wurden die Nettojahreseinkommen von 100 Männern festgestellt: Männer Einkommen in TEuro abs. H. rel. H. u k z j h(i j ) zj h(i j ) v k 0 bis unter bis unter bis unter bis unter bis unter bis unter bis unter Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 29
54 Lorenzkurve Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 30
55 Agenda 1 Einleitung 2 Lorenzkurve 3 Gini-Koeffizient 4 Weitere Konzentrationsmaße Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 31
56 Gini-Koeffizient Anteil der Fläche zwischen der Diagonalen und der Lorenzkurve an Gesamtfläche unterhalb der Diagonalen. Er ist ein Maß für die Konzentration, die eben gerade der Abweichung der Lorenzkurve von der Diagonalen entspricht. G = Fläche zwischen Diagonale D und Lorenzkurve L Fläche zwischen Diagonale D und u-achse Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 32
57 F i (u i+1,v i+1) (u i,v i ) u i u i+1 Abbildung Zur Berechnung des Gini-Koeffizienten Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 33
58 Gini-Koeffizient Berechnung des Gini-Koeffizienten Für F i gilt F i = (u i+1 u i ) ( u i v i 2 + u i+1 v i+1 ), 2 da F i (um 90 o gedreht) ein Trapez ist, mit der Höhe u i+1 u i und der Mittellinie 0.5((u i v i ) + (u i+1 v i+1 )). Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 34
59 Gini-Koeffizient Berechnung des Gini-Koeffizienten Für F i gilt F i = (u i+1 u i ) ( u i v i 2 + u i+1 v i+1 ), 2 da F i (um 90 o gedreht) ein Trapez ist, mit der Höhe u i+1 u i und der Mittellinie 0.5((u i v i ) + (u i+1 v i+1 )). Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 34
60 Gini-Koeffizient Damit ist G = n (u i+1 u i )(u i v i +u i+1 v i+1 ) i=0 1 = n 1 2 i=0 (u i+1 u i )(u i v i + u i+1 v i+1 ) Setzt man die Daten aus der geordneten Urliste ein, so erhält man nach einigem Rechenaufwand G = n n 2 i x (i) (n + 1) x (i) i=1 i=1. n n x (i) i=1 Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 35
61 Gini-Koeffizient Damit ist G = n (u i+1 u i )(u i v i +u i+1 v i+1 ) i=0 1 = n 1 2 i=0 (u i+1 u i )(u i v i + u i+1 v i+1 ) Setzt man die Daten aus der geordneten Urliste ein, so erhält man nach einigem Rechenaufwand G = n n 2 i x (i) (n + 1) x (i) i=1 i=1. n n x (i) i=1 Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 35
62 Gini-Koeffizient Beispiel 7.6 (1) In Beispiel 7.1 erhält man: G = 1 ( ) = = Nach der zweiten Formel erhält man: G = = Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 36
63 Gini-Koeffizient Beispiel 7.6 (1) In Beispiel 7.1 erhält man: G = 1 ( ) = = Nach der zweiten Formel erhält man: G = = Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 36
64 Gini-Koeffizient Beispiel 7.6 (1) In Beispiel 7.1 erhält man: G = 1 ( ) = = Nach der zweiten Formel erhält man: G = = Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 36
65 Gini-Koeffizient Beispiel 7.6 (2) Aus den Daten von Beispiel 7.2 bzw. 7.3 erhält man: G = 2 ( ) + 3 ( = = = = (3) Für die Einkommensverteilung der Männer lautet der Gini-Koeffizient: ) + 1 ( ) 11 1 G = = Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 37
66 Gini-Koeffizient Beispiel 7.6 (2) Aus den Daten von Beispiel 7.2 bzw. 7.3 erhält man: G = 2 ( ) + 3 ( = = = = (3) Für die Einkommensverteilung der Männer lautet der Gini-Koeffizient: ) + 1 ( ) 11 1 G = = Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 37
67 Gini-Koeffizient Betrachte: Der Maximalwert des Gini-Koeffizienten ist für 0 = x (1) =... = x (n 1), x (n) = n i=1 x (i) nach der zweiten Formel G max = 2 n x (n) (n + 1) x (n) = n 1 n x (n) n Bei einer Maßzahl geht man üblicherweise von einem Maximalwert 1 aus. Aus diesem Grund normiert man den Ginikoeffizienten. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 38
68 Gini-Koeffizient Betrachte: Der Maximalwert des Gini-Koeffizienten ist für 0 = x (1) =... = x (n 1), x (n) = n i=1 x (i) nach der zweiten Formel G max = 2 n x (n) (n + 1) x (n) = n 1 n x (n) n Bei einer Maßzahl geht man üblicherweise von einem Maximalwert 1 aus. Aus diesem Grund normiert man den Ginikoeffizienten. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 38
69 Gini-Koeffizient Normierter Gini-Koeffizient Es gilt und G norm = n n 1 G. 0 G norm 1 G norm = 1 bei vollständiger Konzentration, G norm = 0 bei gleichmäßiger Verteilung der Merkmalssumme. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 39
70 Gini-Koeffizient Normierter Gini-Koeffizient Es gilt und G norm = n n 1 G. 0 G norm 1 G norm = 1 bei vollständiger Konzentration, G norm = 0 bei gleichmäßiger Verteilung der Merkmalssumme. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 39
71 Gini-Koeffizient Normierter Gini-Koeffizient Es gilt und G norm = n n 1 G. 0 G norm 1 G norm = 1 bei vollständiger Konzentration, G norm = 0 bei gleichmäßiger Verteilung der Merkmalssumme. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 39
72 Gini-Koeffizient Kritikpunkte Unterschiedliche Lorenzkurven können zu dem selben Gini-Koeffizienten führen. Es besteht eine starke Abhängigkeit des Gini-Koeffizienten von der Zahl der einbezogenen statistischen Einheiten. Weglassen von kleinen Merkmalswerten verringert G. Der Gini-Koeffizient ist nur ein Maß für die relative Konzentration, nicht für die absolute Konzentration. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 40
73 Gini-Koeffizient Kritikpunkte Unterschiedliche Lorenzkurven können zu dem selben Gini-Koeffizienten führen. Es besteht eine starke Abhängigkeit des Gini-Koeffizienten von der Zahl der einbezogenen statistischen Einheiten. Weglassen von kleinen Merkmalswerten verringert G. Der Gini-Koeffizient ist nur ein Maß für die relative Konzentration, nicht für die absolute Konzentration. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 40
74 Gini-Koeffizient Kritikpunkte Unterschiedliche Lorenzkurven können zu dem selben Gini-Koeffizienten führen. Es besteht eine starke Abhängigkeit des Gini-Koeffizienten von der Zahl der einbezogenen statistischen Einheiten. Weglassen von kleinen Merkmalswerten verringert G. Der Gini-Koeffizient ist nur ein Maß für die relative Konzentration, nicht für die absolute Konzentration. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 40
75 Gini-Koeffizient Beispiel 7.7 Die Messung der Wettbewerbskonzentration mit Hilfe des Gini-Koeffizienten auf zwei verschiedenen Märkten ergibt den selben Wert, obwohl die Märkte nicht identisch sind: G = 0 für zwei Firmen mit je 50% Marktanteil G = 0 für 20 Firmen mit je 5% Marktanteil Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 41
76 Gini-Koeffizient Beispiel 7.7 Die Messung der Wettbewerbskonzentration mit Hilfe des Gini-Koeffizienten auf zwei verschiedenen Märkten ergibt den selben Wert, obwohl die Märkte nicht identisch sind: G = 0 für zwei Firmen mit je 50% Marktanteil G = 0 für 20 Firmen mit je 5% Marktanteil Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 41
77 Gini-Koeffizient Beispiel 7.7 Die Messung der Wettbewerbskonzentration mit Hilfe des Gini-Koeffizienten auf zwei verschiedenen Märkten ergibt den selben Wert, obwohl die Märkte nicht identisch sind: G = 0 für zwei Firmen mit je 50% Marktanteil G = 0 für 20 Firmen mit je 5% Marktanteil Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 41
78 Gini-Koeffizient Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 42
79 Agenda 1 Einleitung 2 Lorenzkurve 3 Gini-Koeffizient 4 Weitere Konzentrationsmaße Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 43
80 Weitere Konzentrationsmaße Konzentrationskoeffizient CR g = n x (i) i=n g+1 n x (i) i=1 für g = (1, 2, )3,..., n CR g gibt an, welchen Anteil der Merkmalssumme die g letzten Merkmalswerte der geordneten statistischen Reihe in sich vereinen. Die Vorgehensweise entspricht der Konstruktion der Lorenzkurve, wobei die geordnete Urliste von rechts nach links, also in umgekehrter Reihenfolge abgearbeitet wird. Die zugehörige Kurve wird üblicherweise als Paretokurve bezeichnet. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 44
81 Weitere Konzentrationsmaße Konzentrationskoeffizient CR g = n x (i) i=n g+1 n x (i) i=1 für g = (1, 2, )3,..., n CR g gibt an, welchen Anteil der Merkmalssumme die g letzten Merkmalswerte der geordneten statistischen Reihe in sich vereinen. Die Vorgehensweise entspricht der Konstruktion der Lorenzkurve, wobei die geordnete Urliste von rechts nach links, also in umgekehrter Reihenfolge abgearbeitet wird. Die zugehörige Kurve wird üblicherweise als Paretokurve bezeichnet. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 44
82 Weitere Konzentrationsmaße Konzentrationskoeffizient CR g = n x (i) i=n g+1 n x (i) i=1 für g = (1, 2, )3,..., n CR g gibt an, welchen Anteil der Merkmalssumme die g letzten Merkmalswerte der geordneten statistischen Reihe in sich vereinen. Die Vorgehensweise entspricht der Konstruktion der Lorenzkurve, wobei die geordnete Urliste von rechts nach links, also in umgekehrter Reihenfolge abgearbeitet wird. Die zugehörige Kurve wird üblicherweise als Paretokurve bezeichnet. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 44
83 Weitere Konzentrationsmaße Abbildung: Paretokurve zu Beispiel 7.8 Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 45
84 Weitere Konzentrationsmaße Herfindahl-Index H := i=1 n x i n x i i=1 2 H ist die Summe der quadrierten individuellen Anteile an der Merkmalssumme. Je größer H ist, desto größer ist die Konzentration. Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten 46
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