Mathematik 2 für Wirtschaftsinformatik

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1 für Wirtschaftsinformatik Sommersemester 2012 Hochschule Augsburg

2 Konvergenzkriterien für Reihen Gegeben: a i Folge, s n = Divergenzkriterium n a i i=1 Ist s n konvergent a i ist Nullfolge Also äquivalent dazu: Quotientenkriterium lim k lim k a i ist keine Nullfolge s n divergent a k+1 a k a k+1 a k < 1 sn konvergent > 1 sn divergent Bemerkung: Für lim a k+1 k a = 1 ist im Allgemeinen keine Aussage möglich k Spezialfall geometrische Reihe: a k+1 = q lim a k k a k+1 a k { q < 1 = q sn konvergent q 1 s n divergent 1.1. Eigenschaften und Beispiele 1.2. Konvergenz und Grenzwert 1.3. Reihen 17

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4 : Gliederung 1 Folgen und Reihen 2 Komplexe Zahlen 3 Reelle Funktionen 4 Differenzieren 1 5 Differenzieren 2 6 Integration 7 Zinsen 8 Renten und Tilgung 9 Kursrechnung 10 Lineare Algebra 2 Komplexe Zahlen Von natürlichen zu komplexen Zahlen Warum komplexe Zahlen Historischer Abriss 11 Lineare

5 Die reellen Zahlen Natürliche Zahlen: N = {1,2,3,...} damit nicht uneingeschränkt lösbar: Gleichung der Form x + n = m, mit n, m N Ganze Zahlen: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} damit nicht uneingeschränkt lösbar: Gleichung der Form ax = b, mit a, b Z und a 0 Rationale Zahlen: Q = { m ; m Z, n 0} n damit (unter anderem) nicht lösbar: Gleichung der Form x 2 = a mit a 0 Reelle Zahlen: R enthält Q und zusätzlich die irrationalen Zahlen, also sämtliche endliche und unendliche Dezimalbrüche Graphische Repräsentation über Zahlenstrahl: Beispiele von Zahlen aus R: 1/8 = 0,125 endliche Dezimalzahl, rational 1/3 = 0, unendliche, periodische Dezimalzahl; rational 2 = 1, unendliche, nichtperiodische Dezimalzahl; irrational 19

6 Erweiterung der reellen Zahlen In den reellen Zahlen u.a. nicht uneinschränkt lösbar: Zahlenturm x 2 = 1 Formale Lösungen: x 1 = 1 und x 2 = 1 mit x 1, x 2 / R Deswegen: Neues Symbol i, die imaginäre Einheit Eigenschaften: i 2 = 1 bzw. i = 1 Mit a, b R heißt komplexe Zahl. Bezeichnungen für a, b: Realteil von z Imaginärteil von z z = a + ib Menge der komplexen Zahlen: Re(z) := a Im(z) := b C := {a + ib; a, b R} R Q Z N 20

7 Elementare Verknüpfungen komplexer Zahlen Gegeben: z 1 = a + ib; z 2 = c + id Addition Multiplikation Konjugiert komplexe Zahlen Division (nur für z 2 0): 21

8 Eigenschaften Gegeben: Komplexe Zahl z = a + ib Gesucht: Betrag, Realteil, Imaginärteil 22

9 Multiplikative Inversion Gegeben: z = a + ib und z 0 Gesucht: z 1 mit z z 1 = 1 (multiplikatives Inverses) 23

10 Ursprünge der komplexen Zahlen Cardanos Ars Magna (erschienen 1545): Allgemeine Lösung kubischer Gleichungen Dadurch: Erste Hinweise auf komplexe Zahlen Girolamo Cardano ( ) 24

11 Ursprünge der komplexen Zahlen Cardanos Ars Magna (erschienen 1545): Allgemeine Lösung kubischer Gleichungen Dadurch: Erste Hinweise auf komplexe Zahlen Cardano selbst über seine Entdeckung: So raffiniert wie nutzlos! Bombellis L Algebra (1572): Erstes Rechnen mit komplexen Zahlen Berechnung von kubischen Gleichungen mit nur einer reellen Lösung Dazu nötig: Elementare Operationen mit komplexen Zahlen: Addition, Multiplikation Trotzdem: Bombelli über komplexe Zahlen: Die ganze Sache scheint eher der Sophisterei als der Wahrheit zu dienen! Girolamo Cardano ( ) Auszug aus L Algebra (erschienen 1572) von Rafael Bombelli ( ) 24

12 Bombellis wilder Gedanke Kubische Gleichung aus L Algebra: x 3 = 15x + 4 Bombellis einzige reelle Lösung mit Lösungsformel: x = i i Bombelli sieht: x muss gleich 4 sein. 25

13 Dornröschenschlaf der komplexen Zahlen Bis zum Ende des 18. Jahrhunderts: Keine befriedigende Antwort auf die Frage: Was ist eine komplexe Zahl? Leibniz (1702) über die imaginäre Einheit i: Dieses Amphib zwischen Existenz und Nicht-Existenz! Noch 1770 verbreitet Euler die Auffassung, dass 2 3 = 6 und veröffentlicht:... so ist klar, dass Quadrat-Wurzeln von Negativ-Zahlen nicht unter die möglichen Zahlen können gerechnet werden... und gemeiniglich Imaginäre Zahlen, oder eingebildete Zahlen genennt werden, weil sie blos in der Einbildung statt finden Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) Leonard Euler ( ) 26

14 Der Durchbruch: Geometrische Interpretation 1787 Caspar Wessel ( ) (Bild: Bruder Johan Herman) 1806 Jean-Robert Argand ( ) 1831 Carl Friedrich Gauß ( ) Geometrische Interpretation komplexer Zahlen 27

15 Komplexe Zahlenebene Idee: z = a + ib als Punkt im kartesischen xy-koordinatensystem mit den Koordinaten (a, b) Alternativ: a + ib als Vektor, der (0,0) mit (a, b) verbindet So betrachtet nennt man die Zeichenebene komplexe Zahlenebene 360 α b b Im(z) α α z a a + i b Re(z) a i b Damit: Punkte der Abszisse z = a + i 0 stellen relle Zahlen dar z 28

16 Komplexe Zahlenebene Beispiele Gegeben: 4 + 3i, 4, 2 2i, 2 3i, 7 + i, 3i Konjugiert Komplexes von 4 + 3i 29

17 Komplexe Zahlenebene: Addition der komplexen Addition Gegeben: z 1 = 1 + 2i und z 2 = 1 + 1i Gesucht: z 1 + z 2 30

18 Polarform komplexer Zahlen P 1 Sinus, Kosinus über Reihen: ϕ cos ϕ = ( 1) n ϕ 2n (2n)! n=0 sin ϕ = ( 1) n ϕ 2n+1 (2n + 1)! n=0 = 1 ϕ2 2! + ϕ4 4! ϕ6 6!... = ϕ ϕ3 3! + ϕ5 5! ϕ7 7!... Reihendarstellung der Exponentialfunktion: e iϕ = (iϕ) n n=0 n! = 1 + iϕ ϕ2 2! i ϕ3 3! + ϕ4 4! + i ϕ5 5! ϕ6 6! i ϕ7 7! 31

19 Komplexe Zahlenebene: Multiplikation der Multiplikation Gegeben: z 1 = i, z 2 = 1 + i Gesucht: z 1 z 2 32

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