Prozentrechnen. Teil 1: Grundlagen. Trainingseinheiten zum Üben und Vertiefen. Datei Nr Friedrich Buckel. Stand 21.
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- Markus Scholz
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1 Mathematik für Klasse 6/7 Prozentrechnen Teil : Grundlagen Trainingseinheiten zum Üben und Vertiefen Datei Nr. 0 Stand 2. Juni 207 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
2 0 Prozentrechnung 2 Vorwort Die Anwendungen (Sachaufgaben) befinden sich im Text 02. Teil : Inhalt Die Grundlagen Was bedeutet Prozent? Wie vergleicht man Daten richtig? 2 Umrechnungen in Prozent Grundaufgabe : Berechnung des Prozentsatzes 9 4 Grundaufgabe 2: Berechnung des Prozentwertes Grundaufgabe : Berechnung des Grundwertes 6 Verkettete Prozentaufgaben 8 Verhältnisgleiche Paare 9 7 Rechnen mit Prozentformeln 2 8. Promille 2 Lösungen der Aufgaben 4-29
3 0 Prozentrechnung Was bedeutet Prozent? Wie vergleicht man Daten richtig? Zwei Gruppenleiter unterhalten sich über ihre Tätigkeit. Klaus sagt: Ich habe unter meinen 20 Personen 4 Männer. Peter antwortet ihm: Bei mir ist der Anteil der Männer höher, denn ich habe unter meinen 2 Personen 6 Männer. Wir wollen diese Aussagen näher untersuchen. Das Problem liegt darin, dass die Gruppen verschieden groß sind. Zwar sind in Peters Gruppe (absolut gesehen) mehr Männer als bei Klaus. Doch weil die Gruppengrößen verschieden sind, kann man nicht ohne weiteres sagen, bei wem der Anteil der Männer größer ist. Statt Anteil kann man vielleicht besser Bruchteil. Diese sind leicht auszurechnen: Bei Klaus bedeuten 4 Männer unter 20 Personen den Anteil Bei Peter bedeuten 6 Männer unter 2 Personen den Anteil 6 2 Die Frage, welcher Bruchteil größer ist, heißt also: Welcher dieser Brüche ist größer? Grundsatz für alle Vergleiche ist: Die Bezugsgröße muss dieselbe Zahl sein. Die Bezugsgrößen (man sagt dazu auch Grundwert), also die Anzahlen der Personen, sind verschieden. Also muss man die Verhältnisse anpassen, das heißt auf eine gedachte gemeinsame Gruppengröße umrechnen. Die Gruppengröße steht im Nenner unserer Brüche. Wir erweitern also diese Brüche so, dass sie gleichnamig sind. Die Nenner 20 und 2 haben beispielsweise 00 als gemeinsames Vielfaches. Also erweitert man beide Brüche so, dass sie den Nenner 00 erhalten: Bei der Gruppe von Klaus erweitert man mit, Bei der Gruppe von Peter erweitert man mit 4. d.h. man multipliziert Zähler und Nenner mit. d.h. man multipliziert Zähler und Nenner mit Jetzt sieht man, dass bei unveränderten Anteilen die 00-Personengruppe von Klaus 70 Männer enthalten würde, bei Peter jedoch nur 64. Der Männer-Anteil ist bei Klaus also größer als bei Peter. Obwohl er absolut gesehen mehr Männer in der Gruppe hat, sind es relativ doch weniger. Wenn man 00 als Bezugsgröße verwendet, nennt man den Anteil Prozent. Dies kommt aus dem Lateinischen: pro centum heißt von hundert. Nun halten wir ganz ausführlich fest, was wir ermittelt haben: Bei Klaus sind 4 von 20 Personen Männer. Das entspricht anteilsmäßig 70 von 00 Personen, dazu sagt man 70% der Personen sind Männer. Bei Peter sind 6 von 20 Personen Männer. Das entspricht anteilsmäßig 64 von 00 Personen, dazu sagt man 64% der Personen sind Männer. Mit dem Begriff Prozent gibt man Anteile an, die sich auf die Standardgröße 00 beziehen.
4 0 Prozentrechnung 4 Weitere Beispiele: Teil von 00 Teilen sind Teil von 20 Teilen sind Umgekehrt: 00 20, und dazu sagt man Prozent: %. = 00, dazu sagt man Prozent: %. Prozent ( % ) bedeuten 00, also von 00 oder von 20. 2,% bedeuten 2, % bedeuten 2, Also immer wenn man ein Viertel von etwas hat, sind es 2%, 00 4 z. B. 7 von 28, von 2 usw. Noch einige Anwendungsbeispiele., was z. B. bei von 8 oder bei 2 von 6 Teilen usw. zutrifft. a) Wie groß ist der Anteil der Brillenträger, wenn unter 2 Schülern 8 eine Brille tragen? Der Anteil beträgt 8 2 2% b) Wie groß ist der Anteil der -Münzen in meinem Sparschwein, wenn sich darin unter 240 Münzen 0 -Münzen befinden? Der Anteil beträgt 0 0, 2, 2,% c) Eine Lampe kostete 40. Dann wurde der Preis um 8 erhöht. Wieviel Prozent betrug die Preiserhöhung: 8 von 40 sind 8 40 des alten Preises. Umrechnen auf den Grundwert 00: % d) In den meisten Aufgaben ist die Umrechnung in Hundertstel, also in Prozent nicht einfach. Etwa hier: Unter Autos sind weiße. Wieviel Prozent sind das? Der Anteil beträgt % Doch wie kommt man darauf? Das lernen wir im nächsten Abschnitt.
5 0 Prozentrechnung 2 Umrechnungen in Prozent Man kann Brüche so in Prozent umrechnen: Wieviel Prozent sind 2? 00% 0% Wieviel Prozent sind 8? 00% % 2,% Erklärung: Prozent bedeutet 00. Also sind 00% Wenn man also z. B. 8 2 mit 00% multipliziert, hat man es im Grunde mit multipliziert. Man hat also am Wert nichts geändert. Nur die Schreibweise sieht anders aus. Wieviel Prozent sind? 00% 00 % %,% Wieviel Prozent sind 2? 2 00% 200 % 662% 66,7% Wieviel Prozent sind 6? 00% 00 % 20 % 8 % 8,% Eine etwas andere Methode geht diesen Weg: 6 6 Man rechnet zuerst den Bruch(teil) in eine Dezimalzahl um und multipliziert dann erst mit 00% Wieviel Prozent sind? 0, 0, 00%,% Wieviel Prozent sind 2? 2 0,666 0,666 00% 66,7% Wieviel Prozent sind 6? 0,8 0,8 00% 8,% 6 Wieviel Prozent sind 8? 0,7 0,7 00% 7,% Wieviel Prozent sind 8 8? 8 Merke: Soll man den Bruch a b 0, 0, 00%,% in Prozent umrechnen, dann multipliziert man mit 00% : a a 00% 00 a % b b b Oder man rechnet zuerst in eine Dezimalzahl d um: a d d 00% b Einige Prozentzahlen zum Auswendig lernen 0 0% 2 2% 7 7% 20 20% % % % 2,% 7,% % 0% % usw. 62,%
6 0 Prozentrechnung 6 Übungsaufgaben () Gib die folgenden Anteile in Prozent an. a) 9 0 f) 4 b) 7 20 g) 2 c) 7 0 h) 8 4 (2) Gib die folgenden Dezimalzahlen in Prozent an. d) 24 2 i) 9 6 e) 2 40 j) a) 0,4 b) 0, c) 0,00 d),74 e),9 () Rechne die folgenden Bruchteile zuerst in Dezimalzahlen um und dann in Prozent. Runde ggf. auf eine Dezimale. (Taschenrechner ist erlaubt) a) b) (4) Wie viel Prozent entsprechen c) 4 24 d) 7 60 e) 4 0 a) 0 von 200 b) 80 von 40 c) 0 von 000 d) 4 von 0 e) 9 m von 60 m f) kg von 80 kg g) 2 von 60 h) 64 t von 80 t i) 9 von 20 j) cm von 80 cm k) 4 m von 20 m l) von 27 () Welcher der beiden Anteile ist größer? Rechne in Prozent um und vergleiche dann. a) 4 von bzw. 4 von 60 b) 9 von 2 bzw. 6 von 0 c) von 40 bzw. 4 von 0 d) 27 von 20 bzw. 4 von 20 (6) Schreibe als Bruch und kürze dann. a) 70% b) 80% c) 2% d) 2,% e) 0,% (7) Schreibe als Dezimalzahl: a) 6% b),% c),2% d) 0,% f) 22,%
7 0 Prozentrechnung. Grundaufgabe : Berechnung des Grundwerts Ich zeige drei verschiedene Methoden zur Berechnung. Bitte aussuchen!. Methode: Berechnung des Grundwerts durch Hochrechnung auf 00%. a) 2% Rabatt sind 20. Was war der ursprüngliche Preis? Der Grundwert ist immer der Ausgangszustand, also 00%. Durch Multiplikation mit 4 kommt man einerseits auf 00%, andererseits auf 80. 2% 00% W = 20 G = 80 Ergebnis: G = 80. b) 0% sind 2. Um den Grundwert zu bestimmen muss man auf 00% kommen. 0% 00% Dies gelingt durch Verdoppelung: W = 2 G = 46 Also ist G = 46. c) 2% sind 4,0 m. Der Grundwert beträgt 8 m, das Vierfache. d) 0% sind 7,0. Der Grundwert ist dann das 0-fache: 7. e) 2,% sind. 00% sind dann das 8-fache: G f) % sind 2,0 kg. 00% sind das Dreifache: G = 7,0 kg Der Hintergrund ist die Proportionalität zwischen dem Prozentsatz und dem Prozentwert. Multipliziert man den Prozentsatz mit einer Zahl, muss man den Prozentwert mit derselben Zahl multiplizieren! g) 20% sind 4 kg. 00% sind dann das Fünffache, also ist G 4kg 20 kg. Diese Methode liefert schnell den Grundwert, weil die hier gegebenen Prozentsätze Teiler von 00 sind.
8 0 Prozentrechnung 6 2. Methode: Berechnung des Grundwerts mittels Dreisatz a) 2% sind 0. % sind % sind Oder kürzer so: 00% sind ,2 (Taschenrechner) b) 4% sind,7, % sind,7 4,7 7 00% sind Oder so: 00% sind,7 0,4 c) 9% sind,2 % sind,2 9 00% sind, Oder so: 00% sind,2 28,9. Methode: Berechnung des Grundwerts als Divisionsaufgabe. In der Aufgabe Wie viel sind 2% von 20? haben wir in der Kurzlösung den Prozentwert durch eine Multiplikation mit dem Prozentsatz gefunden: 2% von 20 sind W p G 0, Diesen Prozess sollte man grafisch darstellen: Grundwert 20 Nun stelle ich die Aufgabe um und frage: 2% sind 0. Wie groß war der Grundwert? Grundwert 20 0,2 :0,2 Prozentwert 0 Prozentwert 0 Zur Lösung kehrt man einfach die Aufgabe um und dividiert durch den Prozentsatz! Allgemein haben wir somit diese Prozesse zu berechnen: Grundwert p Prozentwert Prozentwert :p Grundwert
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