Seminararbeit. im Rahmen der SBWL Alternative Investments, Seminar aus Finanzwirtschaft Wintersemester 2014/15

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1 Seminararbeit im Rahmen der SBWL Alternative Investments, Seminar aus Finanzwirtschaft Wintersemester 2014/15 Kreditrisiko und Ausfallwahrscheinlichkeit mittels Diskriminanzanalyse eingereicht bei: O.Univ.-Prof. Mag. Dr.rer.soc.oec. Fischer Edwin Institut für Finanzwirtschaft Karl-Franzens-Universität Graz eingereicht von: Klauber Hans-Georg Matr.-Nr.: Planitzer Michael Matr.-Nr.: Graz, im November 2014

2 Ehrenwörtliche Erklärung Wir erklären ehrenwörtlich, dass wir die vorliegende Arbeit selbstständig und ohne fremde Hilfe verfasst, andere als die angegebenen Quellen nicht benutzt und die den Quellen wörtlich oder inhaltlich entnommenen Stellen als solche kenntlich gemacht haben. Die Arbeit wurde bisher in gleicher oder ähnlicher Form keiner anderen inländischen oder ausländischen Prüfungsbehörde vorgelegt und auch noch nicht veröffentlicht. Die vorliegende Fassung entspricht der eingereichten elektronischen Version. Graz, am 10. Dezember 2014 Klauber Hans-Georg Planitzer Michael Ort, Datum Name und Unterschrift der Studierenden

3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... i Abbildungsverzeichnis... ii Tabellenverzeichnis... iii 1 Einleitung Grundfragen der Bonitätsprüfung Bonitätsbeurteilung durch Kreditrating Definition und Grundlagen Ratingverfahren Festlegung der Merkmale Diskriminanzanalyse Position in der Statistik Idee der Diskriminanzanalyse Vorgehensweise Festlegung der Datenmatrix Ermittlung der Diskriminanzfunktion Güteprüfung der Diskriminanzfunktion Diskriminanzprüfung der Merkmale Klassifikation neuer Objekte Z-Faktor-Modell von Altman Anwendung auf ein bankinternes Rating Einteilung in Ratingklassen Exponentialkalibrierung der Scorewerte Praktisches Beispiel zum Kreditrisiko und Ausfallwahrscheinlichkeit Ausgangssituation Berechnung Ergebnis Zusammenfassung Anhang Literaturverzeichnis i

4 Abbildungsverzeichnis Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: Banktypische Kreditrisiken...2 Abbildung 2: Gliederung statistischer Methoden...7 Abbildung 3: Untersuchungsprozess der Diskriminanzanalyse...10 Abbildung 4: Streudiagramm...11 Abbildung 5: Trenngerade und Diskriminanzachse im Zwei-Gruppen-Fall...12 Abbildung 6: Kalibrierung der Ausfallwahrscheinlichkeit...17 Abbildung 7: Exponentialkalibrierung der Ausfallrate...21 ii

5 Tabellenverzeichnis Tabellenverzeichnis Tabelle 1: Einteilung objekt-klassifizierender Verfahren...8 Tabelle 2: Anwendungsgebiete der Diskriminanzanalyse...9 Tabelle 3: Empirische und geglättete Ausfallwahrscheinlichkeiten (PD)...20 iii

6 1 Einleitung 1 Einleitung Jede Kreditanfrage zieht für eine Bank stets die notwendige Entscheidung nach sich: Wird der Kredit begeben und somit ein möglicher Kapitalverlust eingegangen oder wird die Anfrage abgelehnt und auf Zinsen sowie mögliche zusätzliche ertragsbringende Geschäfte verzichtet. Das zentrale Problem, in dem Banken sich hier wiederfinden, ist die Entscheidungsfindung. Woran kann man erkennen, ob ein Kreditnehmer nun fähig ist den Kredit zu tilgen oder nicht? Im einfachsten Fall unterscheidet man zwei Fälle: Der Schuldner kommt seinen Verpflichtungen nach und tilgt den Kredit oder kommt es zu Zahlungsverzögerungen oder gar einem Ausfall. Und hier liegt das zentrale Problem. Diese Annahme kann erst im Nachhinein bestätigt werden. Aufschlussreicher wäre es jedoch zu wissen, welche Bonität der Kreditnehmer bei Aufnahme besitzt. Um die Bonität zu beurteilen bedient man sich hier der Ratingklassen. Je besser das Rating eines Kunden ausfällt, desto geringer wird seine Ausfallswahrscheinlichkeit sein. Die Ratingklassen bieten auch einen optimalen Richtwert für Banken um den Zins, die Höhe der Sicherheiten und die Höhe der Eigenkapitalhinterlegung als Puffer für einen eventuellen Ausfall zu bestimmen. Um das Informationsmanagement so objektiv, einheitlich und nachvollziehbar darzustellen, kommen zunehmend formalisierte Verfahren zur Kreditwürdigkeitsprüfung zum Einsatz. Sie sollen die traditionellen Verfahren der eher subjektiven und intuitiven Bonitätsbeurteilung zunehmend ablösen. Zu den formalisierten Verfahren zählt insbesondere die Diskriminanzanalyse. Zusätzliche Anforderungen an das Risk-Management und höhere Mindesteigenkapitalerfordernisse erfordern zusätzliche Maßnahmen zur Kreditwürdigkeitsprüfung. Während bei Privatkunden die wirtschaftliche Situation hauptsächlich von der beruflichen Situation des Kreditnehmers abhängig ist, spielen bei Unternehmen viele Faktoren (GuV, Branche, Bilanz, Marktlage, etc.) eine Rolle um eine Zuordnung in die jeweilige Ratingklasse zu ermöglichen. Banken sind bestrebt, diese zeit- und arbeitsaufwendigen Bewertungsverfahren durch einfache, aber trotzdem effektive Verfahren zu ersetzten. Die Diskriminanzanalyse soll helfen Unternehmen in Ratingklassen einzuordnen und somit Kreditentscheidungen zu treffen beziehungsweise transparenter zu gestalten. 1

7 2 Grundfragen der Bonitätsprüfung 2 Grundfragen der Bonitätsprüfung Das Kreditgeschäft ist für den Großteil der Banken der bedeutendste Teil ihrer Geschäftstätigkeit und damit eine der wichtigsten wenn nicht die wichtigste Bankfunktion. 1 Bei Vergabe eines Kredites wird dem Kreditnehmer die Verfügungsgewalt über eine bestimmte Geldsumme vom Kreditgeber eingeräumt. Der Kreditnehmer verpflichtet sich daraufhin, den vereinbarten Betrag inklusive Zinsen zu im Vorhinein definierten Zeitpunkten zurückzuzahlen. 2 Das Wort Kredit leitet sich von dem lateinischen Wort credere (glauben, vertrauen) ab. Anhand dieser Darstellung lässt sich bereits erkennen, dass Kreditinstitute darauf vertrauen, dass der Kreditnehmer unweigerlich seinen Zahlungsverpflichtungen aus dem Kreditvertrag nachkommt. Somit ist das Kreditgeschäft als Risikogeschäft zu bezeichnen. Darum ist es auch unbedingt notwendig alle möglichen Risiken ex ante zu berücksichtigen und diese kostensparend zu minimieren. 3 Die nachstehende Grafik soll einen Überblick über die wichtigsten, banktypischen Kreditrisiken geben: aktives Kreditrisiko Bonitätsrisiko passives Kreditrisiko Abbildung 1: Banktypische Kreditrisiken Quelle: Hüls (1999), S.8. 1 Vgl. Hackl (1999) S Vgl. Gischer/Herz/Menkhoff (2012) S. 7 3 Vgl. a.a.o. S

8 2 Grundfragen der Bonitätsprüfung Der Begriff des aktiven Kreditrisikos umfasst die kreditnehmerabhängigen Risiken, die sich aus dem Ausfallrisiko, dem Liquiditätsrisiko und dem Besicherungsrisiko zusammensetzen. 4 Das Bonitätsrisiko summiert wiederum das Ausfall- und Liquiditätsrisiko. Neben diesen Risiken existieren auch noch kreditnehmerunabhängige beziehungsweise passive Kreditrisiken, die sogenannten Preisrisiken, die ebenfalls bei einer Kreditvergabe auftreten können. Das Geldwertrisiko beschreibt die Gefahr, dass eine Bank infolge einer Geldentwertung den nominellen Kreditbetrag zurückerstattet bekommt, jedoch die Kaufkraft real gesunken ist. 5 Das Zinsänderungsrisiko beschreibt die Gefahr, dass der Marktzins über den festgelegten Kreditzins während der Laufzeit steigt und somit ein geringerer Erfolgsbeitrag generiert wird. Ein Währungsrisiko wiederum liegt vor, wenn Währungskredite nicht mehr den erwarteten Rückzahlungsstrom in Folge von Kursschwankungen bringen. 6 Diese Seminararbeit zielt hingegen primär auf jene Risiken ab, die in der Qualität des Projekts beziehungsweise der Person des Kreditnehmers begründet sind. An erster Stelle ist hier das Ausfallrisiko zu nennen. Es bezeichnet die Möglichkeit von Kreditverlusten, die entstehen, wenn Kreditnehmer ihren Kreditverpflichtungen nicht nachkommen. Das heißt, Kreditbetrag und Zinsen werden nur teilweise oder gar nicht zurückbezahlt. 7 Zusätzlich dazu existiert das Liquiditätsrisiko. Es bezeichnet das Risiko, dass Kredit oder Zinsen nicht termingerecht zurückbezahlt werden. Das Besicherungsrisiko schließt unmittelbar an das Ausfalls- und Liquiditätsrisiko an und bezeichnet jene Gefahr, dass zur Verfügung gestellte Sicherheiten aufgrund von rechtlichen Mängeln oder Wertminderungen den drohenden Kreditverlust nicht abdecken können. 8 Einer Bank ist es somit nur möglich aus der Übernahme von Risiken der Kreditvergabe nachhaltig Markterfolge zu erzielen. Das bedeutet, dass die bewusste Übernahme von Bonitätsrisiken zu den wichtigsten Zielsetzungen einer kreditvergebenden Bank gehört. 9 Die Aufgabe des Kreditrisikomanagements ist es nun anhand einer validen Kreditwürdigkeitsprüfung die Bonität zu beurteilen, Ausfallswahrscheinlichkeiten zu ermitteln und diese zu reduzieren. 4 Vgl. Henking/Bluhm/Ludwig (2006), S. 257 ff. 5 Vgl. Scharpf (2000) S Vgl. Hüls (1999) S Vgl. Priermeier (2005) S. 17 f. 8 Vgl. Scharpf (2000) S Vgl. Büschgen (1998) S.799 3

9 3 Bonitätsbeurteilung durch Kreditrating 3 Bonitätsbeurteilung durch Kreditrating 3.1 Definition und Grundlagen Ein Rating ist eine Meinung über die zukünftige Fähigkeit des Schuldners, seinen Zinsund Tilgungsverpflichtungen während der vorgesehenen Laufzeit der Schuldenaufnahme fristgerecht und im vollen Umfang nachzukommen. 10 Es drückt somit die Wahrscheinlichkeit von Zahlungsstörungen, von Zinszahlungen und Tilgungsraten über die gesamte Laufzeit aus. 11 Das Ziel des Beurteilten ist es, ein möglichst gutes Rating zu erhalten um die Kosten, zum Beispiel Kreditzinsen, niedrig zu halten. Die Gegenpartei, beispielsweise Nutzer der Ratings, wünschen sich hingegen möglichst zutreffende Ratings, um sich ein möglichst getreues Bild der Schuldverschreibung zu machen. Für Banken ist es insbesondere relevant wie sich die finanzielle Lage eines Unternehmens darstellt, bevor Entscheidungen in Bezug auf Kredite getroffen werden. In Bezug auf diese Arbeit wird vor allem der Begriff des Kreditratings im Vordergrund stehen. Kreditratings haben somit zum Ziel, ein standardisiertes, objektives, nachvollziehbares und skaliertes Krediturteil über die wirtschaftliche Lage des zu beurteilenden Objekts zu geben. 12 Mittels eines Ratings wird nun die Bonität eines Kreditnehmers mit einer Note versehen und in skalierter Form eine Aussage über die Ausfallwahrscheinlichkeit getroffen. 13 Die Skala besteht dabei aus acht bis zehn Stufen, abhängig der gewählten Ratingagentur (Moody s, S&P, Fitch). Hinter jeder der Stufen verbirgt sich eine relative Prozentangabe, die besagt, wie viele Kunden im gewählten Zeitraum ausgefallen sind. 3.2 Ratingverfahren Grundsätzlich können zwei Arten von Ratings unterschieden werden: Externe Ratings werden vor allem von Ratingagenturen durchgeführt um die Bonität von Anleihe Emittenten am Kapitalmarkt auszudrücken. Interne Ratings kommen vor allem dann zum Einsatz, wenn externe nicht vorhanden sind. Banken greifen gerne auf interne Ratings zurück um für sie relevante Rückschlüsse ziehen zu können. Hier sollen Scoring-Verfahren eine fun- 10 Vgl. Langer/Eschenburg (2013) S Vgl. Braun/Cremeres (2011) S Vgl. Füser (2001) S Vgl. Henking et al. (2006) S. 6 4

10 3 Bonitätsbeurteilung durch Kreditrating dierte Bonitätsaussage über den Kreditnehmer sicherstellen. 14 Der Score setzt sich aus verschiedenen Merkmalen, auf die in weiterer Folge noch näher eingegangen wird, zusammen. Anhand des errechneten Scores werden nun interne Ratingklassen gebildet, die die Wahrscheinlichkeit eines Kreditausfalles während der Laufzeit ausdrücken. Auf Basis historischer Ausfalldaten wird nun eine empirische Ausfallrate jeder Ratingklasse ermittelt und als Annahme für zukünftige Ausfallwahrscheinlichkeiten festgelegt Festlegung der Merkmale Um Ausfälle von Krediten beziehungsweise Verzögerungen bei Rückzahlungen zu vermeiden, ist es nötig die zukünftige Bonität eines Kreditnehmers abzuschätzen. Bei der Kreditvergabe werden deshalb qualitative und quantitative Merkmale zum Kredit und zur Person des Kunden erhoben, die Hinweise darauf geben sollen, ob der Kunde als kreditwürdig einzustufen ist oder nicht. Bei der Kreditvergabe werden je nach Schuldner verschiedene Merkmale berücksichtigt. Grundsätzlich können qualitative und quantitative Merkmale zur Bonitätsbeurteilung herangezogen werden. Handelt es sich um private Haushalte könnten folgende Merkmale Aufschluss über die Kreditwürdigkeit geben: Laufendes Konto bei der Bank, Laufzeit des Kredits in Monaten, Kredithöhe, Rückzahlungsverhalten früherer Kredite (gut/schlecht), Verwendungszweck (privat/beruflich), Geschlecht (männlich/weiblich), Einkommenssituation. Werden Kredite an Staaten vergeben werden, bedient man sich quantitativer Faktoren, die in Form von volkswirtschaftlichen und finanzwirtschaftlichen Kennzahlen erhoben werden. Hierzu zählen vor allem das politische Risiko, die Wirtschaftsstruktur (Bruttoinlandsprodukt, Wachstum etc.) und die allgemeine Staatsverschuldung. Im Rahmen dieser Arbeit liegt der Fokus auf Kreditvergabe an Unternehmen unter Berücksichtigung quantitativer Daten, die problemlos mit dem quantitativen Verfahren der Diskriminanzanalyse verarbeitet werden können. Hierzu eignen sich vor allem Kennzahlen aus Jahresabschlüssen. Jahresabschlüsse sind jederzeit verfügbar und ermöglichen Vergleiche innerhalb der Branchen. 16 Um eine zukünftige Solvenz beziehungsweise Insolvenz eines Unternehmens prognostizieren zu können bedarf es bonitätsrelevanter Kennzahlen. 14 Vgl. Braun/Allgeier/Cremeres (2011) S Vgl. Behr/Güttler (2004) S Vgl. Braun/Allgeier/Cremeres (2011) S

11 3 Bonitätsbeurteilung durch Kreditrating Laut Weber kommen hier die Bereiche Rentabilität, Liquidität, und Struktur des Kapitals zur Anwendung. Diese Kennzahlen sind die wesentlichen Bilanzkennziffern bei der Beurteilung eines Unternehmens. 17 Die Kapitalstruktur wird in Form des Verschuldungsgrades berücksichtigt. Zur Berechnung wird das Fremdkapital in Verhältnis zum Eigenkapital gesetzt. Je höher das Eigenkapital, desto höher ist das Reinvermögen des Unternehmens 18 : = Der Return on Equity wird zur Berechnung der Rentabilität herangezogen. Der Gewinn am Jahresende wird dazu in Verhältnis zum Buchwert des Eigenkapitals zu Beginn des Jahres gesetzt: = Eine bedeutende Aufgabe eines jeden Unternehmens ist die Liquiditätssicherung. Es darf zu keinem Ungleichgewicht zwischen Aktiv- und Passivseite kommen. Die Liquidität 3. Grades und die Kapitalbindungsdauer eignen sich hervorragend um die Liquiditätssicherung abzubilden: 19 ä. = = Als letzter Gradmesser soll noch die Debt Coverage Ratio verwendet werden. Diese Kennzahl gibt das Verhältnis zwischen den laufenden Erträgen (EBIT) und den jährlich fälligen Zinszahlungen an. Fremdkapitalgeber sind umso bereitwilliger Kredite zur Verfügung zu stellen, umso höher der Quotient ist: 20 = ä Der Vorteil dieser fünf Kennzahlen ist, dass eine Berechnung für jedes Unternehmen möglich ist. Je höher die Kapitalbindungsdauer und der Verschuldungsgrad, desto stärker sind Unternehmen von Dritten abhängig. Im Gegenzug sind höhere Werte beim Return on 17 Vgl. Weber et al. (1999) S Vgl. Braun/Allgeier/Cremeres (2011) S Vgl. Braun/Allgeier/Cremeres (2011) S Vgl. Behr/Güttler (2004) S

12 4 Diskriminanzanalyse Equity, der Debt Coverage Ratio und der Liquidität 3. Grades wünschenswert, da sich diese positiv auf das Rating eines Unternehmens auswirken. 4 Diskriminanzanalyse In diesem Abschnitt werden theoretische Grundlagen behandelt. Ein konkretes Beispiel zur Insolvenzprognose wird im Abschnitt 5 erörtert. 4.1 Position in der Statistik univariat Korrelationsanalyse statistische Methoden deskriptiv induktiv bivariat multivariat Regressionsanalyse... Diskriminanzanalyse Clusteranalyse Faktorenanalyse... Abbildung 2: Gliederung statistischer Methoden Quelle: eigene Darstellung Die Diskriminanzanalyse zählt als Analyseinstrument zu den multivariaten Verfahren in der deskriptiven Statistik. 21 In der deskriptiven Statistik werden für diverse Fragestellungen die benötigten Daten in ihrer Gesamtheit ermittelt. Etwaige Ergebnisse beziehen sich nur auf ihre Grundgesamtheit. Dem gegenüber steht die induktive Statistik, die auf die Wahrscheinlichkeitstheorie beruht. Ergebnisse der induktiven Statistik bauen auf Stichproben auf. Deshalb kann man auf die Grundgesamtheit nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit rückschließen. 21 Dieser Absatz basiert auf Schulze (2007) S. 1 ff. 7

13 4 Diskriminanzanalyse Multivariate Analysemethoden untersuchen dem Namen entsprechend mehrere Zufallsvariablen zugleich, beziehungsweise anders ausgedrückt: ein Ausdruck hängt von mehreren Zufallsvariablen ab. Grundsätzlich gibt es zwei Arten von multivariaten Verfahren: Gruppen-bildende Verfahren wie die Clusteranalyse um Daten Gruppen zuzuordnen und objektklassifizierende Verfahren wie die Diskriminanzanalyse die neue Datensätze in vorhandene Gruppen einordnen kann. Im Gegensatz zu multivariaten Verfahren hängt ein Ausdruck bei univariaten Analysemethoden von nur einer Zufallsvariable ab. Hier werden Datensätze vor allem mittels Mittelwerte, Streuungsmaße, Formparameter sowie Konzentrationsmaße beschrieben. Eine Spezialform der multivariaten Methoden ist die bivariate Methode, bei der ein Ausdruck von genau zwei Zufallsvariablen wie bei der Korrelations- und Regressionsanalyse abhängt. Ein wichtiger Einfluss für statistische Analysen ist es, in welchen Messniveau die Daten zur Verfügung stehen. Tabelle 1 gibt einen kurzen Überblick über die Messniveaus objektklassifizierender Verfahren: Einteilung objekt-klassifizierender Unabhängige Variable Verfahren Metrisch Nominal Abhängige Variable Metrisch Regressionsanalyse Varianzanalyse Nominal Diskriminanzanalyse Kontingenzanalyse Tabelle 1: Einteilung objekt-klassifizierender Verfahren Quelle: Backhaus et al. (2011) S. 8 (leicht modifiziert) Bei der Diskriminanzanalyse wird überprüft, ob Zusammenhänge zwischen metrisch skalierten unabhängigen und nominal skalierten abhängigen Variablen vorliegen. 4.2 Idee der Diskriminanzanalyse Die Diskriminanzanalyse versucht Unterschiede zwischen zwei oder mehreren Gruppen, die mit mehreren Variablen beschrieben werden, aufzudecken. Nach der Anzahl der Gruppen unterscheidet man die einfache Diskriminanzanalyse mit zwei Gruppen und die multiple Diskriminanzanalyse (MDA) mit mehr als zwei Gruppen. Anhand der Merkmalsausprägungen der Gruppenmitglieder wird eine Zuordnungsvorschrift, die sogenannte Klassifikationsregel geschätzt. Diese Klassifikationsregel wird mithilfe von Diskriminanzfunkti- 8

14 4 Diskriminanzanalyse onen angegeben. Liegen K Gruppen vor, so müssen K-1 Diskriminanzfunktionen erzeugt werden. Damit sollen neu hinzukommende Objekte möglichst genau klassifiziert werden. Die Güte dieser Abschätzung hängt von den Messwerten der Merkmale ab. In der Praxis wird am häufigsten die einfache Diskriminanzanalyse eingesetzt und findet von der Marktforschung über die Medizin bis hin zur Finanzwirtschaft auf verschiedenen Gebieten Anwendung. Im Marketing beispielsweise wird sie verwendet um herauszufinden, welche Eigenschaften eines Autos Menschen zu einer Kaufhandlung bewegen beziehungsweise welche Eigenschaften einen potenziellen Käufer vom Kauf abhalten. 22 Typische Eigenschaften hierzu wären beispielsweise Aussehen, Verbrauch, Komfort, et cetera. Tabelle 2 zeigt dazu weitere Beispiele: Problemstellung Gruppierung mögliche Merkmalsvariablen Prüfung der Kreditwürdigkeit von Unternehmen Auswahl von Außendienstmitarbeitern Wähleranalyse Diagnose von Atemnot bei Neugeborenen Erfolgsaussichten von neuen Produkten Risikoklasse: hoch niedrig Verkaufserfolg: hoch niedrig Partei: SPÖ ÖVP FPÖ Überleben: ja nein Wirtschaftlicher Erfolg: Gewinn Verlust Rentabilität, Liquidität, Struktur des Kapitals Ausbildung, Alter, Persönlichkeitsmerkmale, körperliche Merkmale Einstellung zu politischen Themen wie Wehrdienst, Energie, Bildung, Wissenschaft, Besteuerung, Pension Geburtsgewicht, Geschlecht, ph-wert des Blutes, postmenstruales Alter Mutter Neuigkeitsgrad des Produktes, Marktkenntnis des Unternehmens, Preis/Leistungs-Verhältnis, technolog. Know-how Tabelle 2: Anwendungsgebiete der Diskriminanzanalyse Quelle: Backhaus et al. (2011) S. 214 (leicht modifiziert) 22 Vgl. Braun/Allgeier/Cremers (2011) S. 13 9

15 4 Diskriminanzanalyse 4.3 Vorgehensweise Grundsätzlich sind für eine Untersuchung mithilfe der Diskriminanzanalyse fünf Schritte notwendig 23 : Abbildung 3: Untersuchungsprozess der Diskriminanzanalyse Quelle: Müller (2005) S. 97 Die genaue Vorgangsweise der einzelnen Analyseschritte bezieht sich, sofern nicht explizit anders angeführt, auf den Zwei-Gruppen-Zwei-Merkmalsfall: Festlegung der Datenmatrix Als Ausgangspunkt muss eine Datenmatrix aufbereitet werden. Dazu müssen Gruppen aufgrund sachlogischer Überlegungen bestimmt werden. Meist geschieht dies durch eine 23 Diese Aufzählung basiert auf Müller (2005) S. 97 ff. 10

16 4 Diskriminanzanalyse vorgeschaltete Clusteranalyse. Neben den Gruppen sind auch geeignete Merkmalsvariablen auszuwählen. Abbildung 4: Streudiagramm Quelle: Kosfeld (2014a) S. 3 Abbildung 4 zeigt eine allgemeine Darstellung mit den Merkmalen X1 und X2. Die schwarzen Punkte stellen hierbei Gruppe 1 und die Quadrate Gruppe 2 dar. Die Kreise mit den Kreuzen sind die Gruppenschwerpunkte, die sogenannten Gruppenzentroide. An den Achsen sind die Häufigkeitsverteilungen der beiden Gruppen, sowie die Gruppenmittelwerte von X1 und X2 aufgetragen. Eine hohe Gruppentrennschärfe liegt genau dann vor, wenn die Gruppenzentroide möglichst weit auseinander liegen und die Streuung der Gruppen nah um die Gruppenzentroide möglichst gering ist. Beides ist in Abbildung 4 gegeben Ermittlung der Diskriminanzfunktion Im nächsten Schritt ist die Diskriminanzfunktion zu schätzen, die eine optimale Trennung der Gruppen gewährleistet. Diese Schätzung bildet den Kern der Analyse. 11

17 4 Diskriminanzanalyse Sie hat folgende allgemeine Form 24 : Erklärung: = Z (dj) Diskriminanzwert (Score) Xj Merkmalsvariablen bj Diskriminanzkoeffizienten (Diskriminanzgewichte) b0 konstantes Glied In der Literatur wird der Funktion oftmals ein Fehlerterm e hinzuaddiert. Einflussgrößen die vom Modell nicht berücksichtigt werden, sollen so miteinbezogen werden. Der Diskriminanzwert Z, wird auch als d j oder Y angegeben. Eine weitere Bezeichnung dazu für die Überführung in Ratingklassen ist Score. Abbildung 5: Trenngerade und Diskriminanzachse im Zwei-Gruppen-Fall Quelle: Kosfeld (2014a) S. 4 Im Beispiel von Abbildung 5 lautet die Diskriminanzfunktion: 24 Vgl. Backhaus et al. (2011) S

18 4 Diskriminanzanalyse und ist somit eine Linearkombination. = + + Die Diskriminanzkoeffizienten b j werden wie folgt berechnet: Aus den Gruppenmittelwerten werden Erwartungsvektoren V K gebildet. Über die Varianzen der Merkmale und der Korrelationsmatrix der Merkmale kann die Kovarianzmatrix gebildet werden. Im Excel kann die Kovarianzmatrix mit der Kovarianz-Funktion sofort erstellt werden. Aus der Differenz der Erwartungsvektoren wird ein Differenzvektor errechnet. Dieser Vektor wird mit Hilfe der Matrixmultiplikation mit der invertierten Kovarianzmatrix multipliziert. Das Ergebnis ist ein Vektor mit den Diskriminanzgewichten b j. Die Trenngerade diskriminiert die Gruppen so, dass die Überlappung der Häufigkeitsverteilungen an der im rechten Winkel (man spricht von einer Orthogonalprojektion) liegenden Diskriminanzachse minimiert wird. Anders ausgedrückt: die Distanz der Gruppenmittelwerte zu muss maximal sein. In Abbildung 5 ist diese Trenngerade schon zuvor offensichtlich. An der Diskriminanzachse können nun die Diskriminanzwerte d j abgelesen werden. Für die Zuordnung neu hinzukommender Objekte ist der kritische Diskriminanzwert Z* von Bedeutung. Graphisch ist das der Schnittpunkt von Trenngerade und Diskriminanzachse. Werte < Z* werden der Gruppe links davon, Werte > Z* werden der Gruppe rechts davon zugeordnet. Mathematisch lässt sich Z* ermitteln indem man in der Diskriminanzfunktion für X j die Gruppenmittelwerte j einsetzt Güteprüfung der Diskriminanzfunktion Um die geschätzte Funktion nun auf ihre Güte zu überprüfen werden a) Klassifikationsergebnisse und b) spezielle Zusammenhangsmaße analysiert, sowie c) Signifikanztests durchgeführt 25. Von Bedeutung sind auch die Fehlerklassifikationen 1. (Alpha) und 2. (Beta) Ordnung. Alpha-Fehler sind tatsächlich solvente Unternehmen, die als insolvent und Beta-Fehler sind tatsächlich insolvente Unternehmen, die als solvent klassifiziert wurden a) Die einfachste Methode bildet die Analyse der Klassifikationsergebnisse. Man bildet eine Trefferquote, die sich aus der mit Hilfe der Diskriminanzfunktion geschätzten und der tatsächlichen Gruppenzugehörigkeit ergibt. Im 2-Gruppen-Fall würde jede Trefferquote höher 50% eine bessere Zuordnungsregel bedeuten, als eine Zuordnung per Zufall. 25 Diese Aufzählung basiert auf Kosfeld (2014b) S. 1 f. 13

19 4 Diskriminanzanalyse b) Der kanonische Korrelationskoeffizient r c und das dazu inverse Wilks Lambda werden als Zusammenhangsmaß verwendet. o r c berechnet sich aus dem Eigenwert wie folgt: S D a c G = S D a a b G r c = Ein hohes r c weist auf eine gute Diskriminanzregel hin. o berechnet sich mit = 1 1+ Ein niedriges zeigt eine geringe unerklärte Streuung und weist somit auf eine gute Diskriminanzregel hin. c) Wilks Lambda kann als Basis eines Chi-Quadrat verteiltem Hypothesentest verwendet werden. Die Nullhypothese trifft dabei die Aussage, dass sich die durchschnittlichen Funktionswerte der Diskriminanzfunktion in beiden Gruppen nicht voneinander unterscheiden. 26 Dieser Hypothesentest wird in dieser Arbeit nicht genauer behandelt. [Siehe Müller (2005) S. 102 ff.] Diskriminanzprüfung der Merkmale Neben der Diskriminanzfunktion müssen auch die Merkmale geprüft werden. 27 Mit Hilfe eines F-Tests auf Gleichheit der Gruppenmittelwerte wird für jedes Merkmal die Nullhypothese geprüft die lautet, Variable leistet keinen Beitrag zur Gruppentrennung. Durch standardisierte Diskriminanzkoeffizienten lassen sich Merkmalsvariablen miteinander vergleichen. Standardisierte Diskriminanzkoeffizienten erhält man durch die Multiplikation der Diskriminanzkoeffizienten mit der Standardabweichung. Anhand der absoluten Größe kann man nun eine Aussage zur Trennkraft der einzelnen Merkmale tätigen. Wie diese Diskriminanzprüfungen der Merkmale genau angewendet werden, wird in dieser Arbeit ebenfalls nicht behandelt. [Siehe Müller (2005) S. 102 ff.] Klassifikation neuer Objekte Der letzte Schritt der Diskriminanzanalyse ist die Klassifikation neuer Objekte. Wie bereits im Unterpunkt erwähnt, wird im 2-Gruppen-Fall der errechnete Diskriminanzwert mit dem kritischen Diskriminanzwert verglichen. Je nachdem ob der Diskri- 26 Vgl. Müller (2005) S Vgl. ebd. 14

20 4 Diskriminanzanalyse minanzwert des Objekts größer oder kleiner dem kritischen Wert ist, wird er der einen oder anderen Gruppe zugewiesen. 4.4 Z-Faktor-Modell von Altman 1968 veröffentlichte Edward I. Altman 28 sein Insolvenzprognoseverfahren für Unternehmen, das sogenannte Z-Faktor-Modell von Altman. Es wurde das erste Mal die Diskriminanzanalyse zur Insolvenzforschung für Unternehmen eingesetzt. Altman analysierte für seine empirische Untersuchung Unternehmen Unternehmen die zwischen 1946 und 1965 insolvent wurden bildeten Gruppe 1 beziehungsweise 33 solvente Unternehmen, die mit den insolventen Unternehmen hinsichtlich Branche, Größe und weiteren Einflussgrößen vergleichbar sind, bildeten Gruppe 2. Die Bilanzsummen der Unternehmen beliefen sich zwischen 0,7 und 25,9 Millionen USD. Als nächsten Schritt wurden diverse Bilanzen analysiert und fünf Bilanzkennzahlen, die für die MDA als Variablen notwendig sind, erhoben 30 (siehe dazu Kapitel 3.3): X1: Verhältnis Betriebskapital/Gesamtaktiva X2: Verhältnis Gewinnrücklagen/Gesamtaktiva X3: Verhältnis Ergebnis vor Zinsen und Steuern/Gesamtaktiva X4: Verhältnis Marktwert des Eigenkapitals/Buchwert der Gesamtverbindlichkeiten X5: Verhältnis Umsatz/Gesamtaktiva Mithilfe dieser Kennzahlen ermittelte Altman nun die Diskriminanzfunktion =, +, +, +, +, und den kritischen Trennwert mit Z* = 2,675. Altman prognostizierte ein Jahr vor dem Insolvenzzeitpunkt 95,5% der 66 Unternehmen richtig, 6,06% mit Alphafehler und 3,03% mit Betafehler. Zwei Jahre vor dem Insolvenzzeitpunkt sank die Trefferquote auf 83,1%, und die Klassifikationsfehler Alpha und Beta stiegen auf 28,1% und 6,1% Edward I. Altman ist Professor am Institut für Finance an der renommierten Universität Stern School of Business in New York 29 Dieser Absatz basiert auf Altman (1983) S. 99 ff. 30 Vgl. Caouette/Altman/Narayanan (1998) S. 115 f. 31 Vgl. Altman (1983) S

21 4 Diskriminanzanalyse 4.5 Anwendung auf ein bankinternes Rating Einteilung in Ratingklassen Nachdem Diskriminanzwerte (Scores) ermittelt wurden, ist es notwendig diese in Ratingklassen zu überführen. Nach den Regelungen von Basel II müssen mindestens acht Klassen gebildet werden. Grundannahme ist, dass alle Kreditnehmer innerhalb einer Ratingklasse ident sind und alle das gleiche Kreditrisiko aufweisen. Anhand der ermittelten Scores ist es nun möglich eine gewisse Rangfolge innerhalb der in Betracht gezogenen Unternehmen zu bilden und diese in Ratingklassen einzuteilen. Die Scorewerte alleine können jedoch nicht als Ausfallswahrscheinlichkeit herangezogen werden. Darum muss bei Verwendung der Diskriminanzanalyse eine durchschnittliche Ausfallwahrscheinlichkeit (PD) den bestehenden Risikoklassen zugeordnet werden. Um diese Ausfallwahrscheinlichkeit zuzuordnen, wird auf die Exponentialkalibrierung zurückgegriffen, die auf internen historischen Daten beruht Exponentialkalibrierung der Scorewerte Da gerade bei Stichproben die beobachtete Ausfallwahrscheinlichkeit, auf welche die Diskriminanzanalyse angewendet wird, nicht zwingend der Grundgesamtheit entspricht, ist eine Kalibrierung notwendig. Denn die Kalibrierung eines Ratingsystems ist umso besser, je weniger die prognostizierten beziehungsweise geschätzten Ausfallwahrscheinlichkeiten von den tatsächlichen abweichen. Es wird nun jedem Scorewert eine Ausfallwahrscheinlichkeit zugeordnet. Die Kalibrierungsfunktion ist dabei eine stetige Funktion; das heißt, es existiert ein monotoner Zusammenhang zwischen dem errechneten Score und der Ausfallrate. In der vorliegenden Arbeit wird eine exponentielle Kalibrierungskurve angenommen, da in vielen Studien nachgewiesen wurde, dass die Ausfallrate pro Ratingklasse mit abnehmender Bonität des Kreditnehmers exponentiell steigt Vgl. Braun/Allgeier/Cremers (2011) S Vgl. a.a.o. S. 22 f. 16