12 Lineare Algebra - Übersicht. Themen: Unterräume Lineare Abbbildungen Gauß-Algorithmus Eigenwerte und Normalformen

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1 12 Lineare Algebra - Übersicht Themen: Unterräume Lineare Abbbildungen Gauß-Algorithmus Eigenwerte und Normalformen

2 Unterräume Sei X ein Vektorraum über Ã. Eine Teilmenge M X heißt Unterraum von X, wenn sie bezüglich der algebraischen Operationen Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist, wenn also x, y M αx + βy M α, β Ã.

3 Unterräume Sei X ein Vektorraum über Ã. Eine Teilmenge M X heißt Unterraum von X, wenn sie bezüglich der algebraischen Operationen Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist, wenn also x, y M αx + βy M α, β Ã. Ein Unterraum ist damit selber ein Vektorraum, weil er die Rechenregeln vom zu Grunde liegenden Vektorraum erbt.

4 Beispiele für Unterräume Sind x 1,...,x k X, so heißt U = span {x 1,...,x k } = { z = α 1 x α k x k : α 1,...,α k } Ã der von x 1,...,x k aufgespannte Unterraum.

5 Beispiele für Unterräume Sind x 1,...,x k X, so heißt U = span {x 1,...,x k } = { z = α 1 x α k x k : α 1,...,α k } Ã der von x 1,...,x k aufgespannte Unterraum. Aufgabe: Man zeige, dass U tatsächlich ein Unterraum ist.

6 Beispiele für Unterräume Sind x 1,...,x k X, so heißt U = span {x 1,...,x k } = { z = α 1 x α k x k : α 1,...,α k à } der von x 1,...,x k aufgespannte Unterraum. Aufgabe: Man zeige, dass U tatsächlich ein Unterraum ist. Für k = 1 und x 1 0 ist U die Gerade durch den Nullpunkt mit Richtung x 1.

7 Linare Abbildungen Seien X, Y Vektorräume über dem Körper Ã. Eine Abbildung f : X Y heißt linear, wenn f (αx + βy) = αf (x) + βf (y) α, β Ã x, y X.

8 Linare Abbildungen Seien X, Y Vektorräume über dem Körper Ã. Eine Abbildung f : X Y heißt linear, wenn f (αx + βy) = αf (x) + βf (y) α, β Ã x, y X. Sind x 1,...,x k Vektoren in X, so ist f durch die Werte f (x 1 ),..., f (x k ) eindeutig auf dem von x 1,...,x k aufgespannten Unterraum festgelegt.

9 Beweis Mit einem Induktionsschluss folgt nämlich aus der Bedingung der Linearität, dass f (α 1 x α k x k ) = α 1 f (x 1 ) α k f (x k ).

10 Beweis Mit einem Induktionsschluss folgt nämlich aus der Bedingung der Linearität, dass f (α 1 x α k x k ) = α 1 f (x 1 ) α k f (x k ). Insbesondere: Ist x 1,...,x n eine Basis des Vektorraums, so ist die lineare Abbildung f auf ganz X durch die Werte f (x 1 ),...,f (x n ) festgelegt.

11 Matrixdarstellung einer linearen Abbildung Sei f : à n à m linear. Wir nehmen die kanonische Basis e 1,...,e n von à n und entwickeln die Werte f (e i ) nach der kanonischen Basis e 1,...,e m von à m f (e j ) = m a ij e i. i=1

12 Matrixdarstellung einer linearen Abbildung Sei f : à n à m linear. Wir nehmen die kanonische Basis e 1,...,e n von à n und entwickeln die Werte f (e i ) nach der kanonischen Basis e 1,...,e m von à m f (e j ) = m a ij e i. i=1 Die a ij stellen wir als Matrix zusammen a a 1n A =.. = (a ij ) i=1,...,m, j=1,...,n à m n. a m1... a mn

13 Matrixdarstellung einer linearen Abbildung Für folgt x = (x 1,...,x n ) T = ( n ) f (x) = f x j e j = = n j=1 m j=1 i=1 n x j e j j=1 n x j f (e j ) j=1 a ij x j }{{} Zeile Spalte e i = Ax.

14 Matrix-Multiplikation Um f (x) = Ax zu bekommen, wird die Multiplikation Matrix Vektor so definiert, wie sie definiert ist.

15 Matrix-Multiplikation Um f (x) = Ax zu bekommen, wird die Multiplikation Matrix Vektor so definiert, wie sie definiert ist. Gleiches gilt für die Multiplikation zweier Matrizen: Sie soll die Komposition zweier linearer Abbildungen darstellen.

16 Matrix-Multiplikation Um f (x) = Ax zu bekommen, wird die Multiplikation Matrix Vektor so definiert, wie sie definiert ist. Gleiches gilt für die Multiplikation zweier Matrizen: Sie soll die Komposition zweier linearer Abbildungen darstellen. Seien f : à m à l und g : à n à m mit Matrixdarstellungen A à l m von f und B à m n von g, also f (y) = ij a ij y j e i, g(x) = kl b kl x l e k, mit {e i }=Basis von Ãl, {e i }=Basis von Ãm.

17 Matrix-Multiplikation Damit gilt ( ) f (g(x)) = f b kl x l e k = kl kl b kl x l f (e k ) = kli b kl x l a ik e i = kli a ik b }{{ kl x } l e i = ABx. Zeile Spalte

18 Folgerungen Das Hintereinanderschalten von allgemeinen Abbildungen ist assoziativ. Insbesondere gilt das für lineare Abbildungen. Daher ist auch das Matrizenprodukt assoziativ (AB)C = A(BC).

19 Folgerungen Das Hintereinanderschalten von allgemeinen Abbildungen ist assoziativ. Insbesondere gilt das für lineare Abbildungen. Daher ist auch das Matrizenprodukt assoziativ (AB)C = A(BC). Jede lineare Abbildung f : à n à m ist eindeutig bestimmt durch ihre Matrix A à m n. Daher dim{f : à n à m linear} = dim à m n = mn.

20 Kern und Bildraum einer linearen Abbildung Seien X, Y Vektorräume über dem Körper à und die Abbildung f : X Y sei linear. Der Kern oder Nullraum von f ist Kernf = {x X : f (x) = 0} X. Wegen f (0) = 0 ist der Kern nichtleer.

21 Kern und Bildraum einer linearen Abbildung Seien X, Y Vektorräume über dem Körper à und die Abbildung f : X Y sei linear. Der Kern oder Nullraum von f ist Kernf = {x X : f (x) = 0} X. Wegen f (0) = 0 ist der Kern nichtleer. Der Bildraum von f ist f (X) = {y = f (x) : x X } Y.

22 Kern und Bildraum einer linearen Abbildung Seien X, Y Vektorräume über dem Körper à und die Abbildung f : X Y sei linear. Der Kern oder Nullraum von f ist Kernf = {x X : f (x) = 0} X. Wegen f (0) = 0 ist der Kern nichtleer. Der Bildraum von f ist f (X) = {y = f (x) : x X } Y. Satz Kernf ist Unterraum von X und f (X) ist Unterraum von Y.

23 Beweis Sind x, x Kernf, so f (αx + βx ) = αf (x) + βf (x ) = 0, also αx + βx Kernf.

24 Beweis Sind x, x Kernf, so also αx + βx Kernf. f (αx + βx ) = αf (x) + βf (x ) = 0, Sind y, y f (X), so gibt es x, x X mit f (x) = y und f (x ) = y. Daher αy + βy = αf (x) + βf (x ) = f (αx + βx ) f (X).

25 Die Rangformel Ist X endlich dimensional und f : X Y linear, so definieren wir den Rang rang(f ) und den Defekt defektf von f durch rangf = dim f (X), defektf = dim Kernf.

26 Die Rangformel Ist X endlich dimensional und f : X Y linear, so definieren wir den Rang rang(f ) und den Defekt defektf von f durch rangf = dim f (X), defektf = dim Kernf. Klar, rang f, defektf dimx. Satz (Rangformel) Es gilt defektf + rang f = dimx.

27 Beweis der Rangformel Sei dimx = n. Sei x 1,...,x k eine Basis von Kernf. Diese können wir dann durch x k+1,...,x n zu einer Basis von X ergänzen. Es gilt f (X) = span {f (x 1 ),..., f (x n )} = span {f (x k+1 ),..., f (x n )}

28 Beweis der Rangformel Sei dimx = n. Sei x 1,...,x k eine Basis von Kernf. Diese können wir dann durch x k+1,...,x n zu einer Basis von X ergänzen. Es gilt f (X) = span {f (x 1 ),..., f (x n )} = span {f (x k+1 ),..., f (x n )} Wären die Vektoren f (x k+1 ),...,f (x n ) linear abhängig, so α k+1 f (x k+1 ) α n f (x n ) = 0, und damit α k+1 x k α n x n Kernf.

29 Beweis der Rangformel Sei dimx = n. Sei x 1,...,x k eine Basis von Kernf. Diese können wir dann durch x k+1,...,x n zu einer Basis von X ergänzen. Es gilt f (X) = span {f (x 1 ),..., f (x n )} = span {f (x k+1 ),..., f (x n )} Wären die Vektoren f (x k+1 ),...,f (x n ) linear abhängig, so α k+1 f (x k+1 ) α n f (x n ) = 0, und damit α k+1 x k α n x n Kernf. Dies widerspricht der Konstruktion der x i, denn ein nichttriviales Element des Kerns darf sich nicht als Linearkombination der x k+1,...,x n darstellen lassen. Daher rang f = dim f (X) = n k.

30 Lineare Gleichungssystem und Abbildungen Sei A à m n und b à m. Das lineare Gleichungssystem Ax = b können wir auch mit der zugehörigen linearen Abbildung f : à n à m, f (x) = Ax deuten.

31 Lineare Gleichungssystem und Abbildungen Sei A à m n und b à m. Das lineare Gleichungssystem Ax = b können wir auch mit der zugehörigen linearen Abbildung f : à n à m, f (x) = Ax deuten. Seien a 1,...,a n die Spaltenvektoren von A, A = (a 1... a n ). Dann Ax = b n x j a j = b f (x) = b j=1 mit x = (x 1,...,x n ) T.

32 Lineare Gleichungssystem und Abbildungen Das Gleichungssystem Ax = b ist daher genau dann lösbar, wenn b f (Ã n ).

33 Lineare Gleichungssystem und Abbildungen Das Gleichungssystem Ax = b ist daher genau dann lösbar, wenn b f (Ã n ). Wir definieren den Spaltenrang rang A als die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren von A. Dieser stimmt mit dem Rang der zugehörigen Abbildung f (x) = Ax überein.

34 Lineare Gleichungssystem und Abbildungen Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist daher genau dann für jede rechte Seite b lösbar, wenn ranga = m.

35 Lineare Gleichungssystem und Abbildungen Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist daher genau dann für jede rechte Seite b lösbar, wenn ranga = m. Dazu ist natürlich n m erforderlich.

36 Lineare Gleichungssystem und Abbildungen Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist daher genau dann für jede rechte Seite b lösbar, wenn ranga = m. Dazu ist natürlich n m erforderlich. Ist x eine Lösung von Ax = b so ist die Lösungsmenge der affine Raum x + Kernf. In Matrixschreibweise ist Kern f = {y : Ay = 0}.

37 Lineare Gleichungssystem und Abbildungen Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist daher genau dann für jede rechte Seite b lösbar, wenn ranga = m. Dazu ist natürlich n m erforderlich. Ist x eine Lösung von Ax = b so ist die Lösungsmenge der affine Raum x + Kernf. In Matrixschreibweise ist Kern f = {y : Ay = 0}. Nach der Rangformel ist defektf = dim Kernf = n rang A.

38 Der Spezialfall m = n Bei m = n gibt es folgende Möglichkeiten: ranga = n : Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist für alle b eindeutig lösbar. ranga < n : Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist nicht für alle b lösbar. Gibt es eine Lösung x, so ist die Lösungsmenge der affine Raum x + Kernf mit dimkernf = n rang A.

39 Der Spezialfall m = n Liegt der Fall rang A = n vor, so heißt die Matrix A regulär.

40 Der Spezialfall m = n Liegt der Fall rang A = n vor, so heißt die Matrix A regulär. Meine Lieblingsfrage in einer Prüfung: Nennen sie die 1000 äquivalenten Bedingungen zur Regularität von A.

41 Äquivalente Bedingungen für reguläres A im Fall m = n ranga = n

42 Äquivalente Bedingungen für reguläres A im Fall m = n ranga = n Das Gleichungssystem Ax = b ist für alle b eindeutig lösbar.

43 Äquivalente Bedingungen für reguläres A im Fall m = n ranga = n Das Gleichungssystem Ax = b ist für alle b eindeutig lösbar. Das Gleichungssystem Ax = b ist für alle b lösbar.

44 Äquivalente Bedingungen für reguläres A im Fall m = n ranga = n Das Gleichungssystem Ax = b ist für alle b eindeutig lösbar. Das Gleichungssystem Ax = b ist für alle b lösbar. Das homogene Gleichungssystem Ax = 0 ist eindeutig lösbar (durch x = 0).

45 Äquivalente Bedingungen für reguläres A im Fall m = n ranga = n Das Gleichungssystem Ax = b ist für alle b eindeutig lösbar. Das Gleichungssystem Ax = b ist für alle b lösbar. Das homogene Gleichungssystem Ax = 0 ist eindeutig lösbar (durch x = 0). det A 0

46 Die Inverse von regulären Matrizen Ist die n n-matrix regulär, so können wir für jedes b das Gleichungssystem Ax = b lösen.

47 Die Inverse von regulären Matrizen Ist die n n-matrix regulär, so können wir für jedes b das Gleichungssystem Ax = b lösen. Insbesondere sind Ax i = e i eindeutig lösbar, e 1,...,e n sind die kanonischen Einheitsvektoren.

48 Die Inverse von regulären Matrizen Wir stellen die Lösungen von Ax i = e i als Spaltenvektoren einer Matrix zusammen: A 1 = (x 1... x n ) AA 1 = (Ax 1... Ax n ) = (e 1... e n ) = E

49 Die Inverse von regulären Matrizen Wir stellen die Lösungen von Ax i = e i als Spaltenvektoren einer Matrix zusammen: A 1 = (x 1... x n ) AA 1 = (Ax 1... Ax n ) = (e 1... e n ) = E mit der Einheitsmatrix E =

50 Die Inverse von regulären Matrizen Wir stellen die Lösungen von Ax i = e i als Spaltenvektoren einer Matrix zusammen: A 1 = (x 1... x n ) AA 1 = (Ax 1... Ax n ) = (e 1... e n ) = E mit der Einheitsmatrix E = Es gilt also AA 1 = A 1 A = E. Die regulären n n-matrizen bilden eine Gruppe mit neutralem Element E.

51 Gauß-Algorithmus Wenn in der Klausur keine Aufgabe vorkommt, in der der Gauß-Algorithmus an einem konkreten Beispiel vorgeführt werden muss, gebe ich einen aus.

52 Gauß-Algorithmus Wenn in der Klausur keine Aufgabe vorkommt, in der der Gauß-Algorithmus an einem konkreten Beispiel vorgeführt werden muss, gebe ich einen aus. Sei A à m n und b à m. Zu lösen ist Ax = b mit Hilfe des Gauß-Algorithmus, dem Standard-Verfahren für dieses Problem.

53 Gauß-Algorithmus Wenn in der Klausur keine Aufgabe vorkommt, in der der Gauß-Algorithmus an einem konkreten Beispiel vorgeführt werden muss, gebe ich einen aus. Sei A à m n und b à m. Zu lösen ist Ax = b mit Hilfe des Gauß-Algorithmus, dem Standard-Verfahren für dieses Problem. Wir betrachten immer das erweiterte System (A b) à m (n+1), wobei b (wie immer bei uns) als Spaltenvektor aufgefasst wird.

54 Gauß-Algorithmus Die Lösungsmenge von Ax = b wird nicht verändert, wenn eine Zeile von (A b) auf eine andere addiert wird,

55 Gauß-Algorithmus Die Lösungsmenge von Ax = b wird nicht verändert, wenn eine Zeile von (A b) auf eine andere addiert wird, eine Zeile mit einem α Ã \ {0} multipliziert wird,

56 Gauß-Algorithmus Die Lösungsmenge von Ax = b wird nicht verändert, wenn eine Zeile von (A b) auf eine andere addiert wird, eine Zeile mit einem α Ã \ {0} multipliziert wird, zwei Zeilen von (A b) miteinander vertauscht werden.

57 Gauß-Algorithmus im Fall m = n Sei A regulär. Mit Hilfe der angegebenen Operationen erreicht man in diesem Fall, dass A zu einer rechten oberen Dreiecksmatrix wird: (Ã b) =

58 Gauß-Algorithmus im Fall m = n Sei A regulär. Mit Hilfe der angegebenen Operationen erreicht man in diesem Fall, dass A zu einer rechten oberen Dreiecksmatrix wird: (Ã b) = In diesem Fall sind die Elemente auf der Hauptdiagonalen 0 und die eindeutige Lösung wird durch Elimination von unten nach oben bestimmt.

59 Gauß-Algorithmus im Fall m = n Ist ranga < n, so wendet man am besten Spaltenvertauschung an, wenn man in einer Spalte kein Pivot-Element findet.

60 Gauß-Algorithmus im Fall m = n Ist ranga < n, so wendet man am besten Spaltenvertauschung an, wenn man in einer Spalte kein Pivot-Element findet. Vertauscht man die Spalte i mit Spalte j, so werden auch die Unbekannten x i und x j miteinander vertauscht, was man sich merkt.

61 Gauß-Algorithmus im Fall m = n Sei ranga = n 1. Mit Hilfe der angegebenen Operationen erreicht man in diesem Fall: 0 (Ã b) = b n

62 Gauß-Algorithmus im Fall m = n Ist b n 0, so ist das lineare Gleichungssystem unlösbar, weil die letzte Gleichung nicht erfüllt werden kann.

63 Gauß-Algorithmus im Fall m = n Ist b n 0, so ist das lineare Gleichungssystem unlösbar, weil die letzte Gleichung nicht erfüllt werden kann. Ist b n = 0, so kann man für x n einen beliebigen Wert vorgeben und man erhält eine Lösung x.

64 Gauß-Algorithmus im Fall m = n Ist b n 0, so ist das lineare Gleichungssystem unlösbar, weil die letzte Gleichung nicht erfüllt werden kann. Ist b n = 0, so kann man für x n einen beliebigen Wert vorgeben und man erhält eine Lösung x. Um den Kern zu bestimmen, gibt man sich im homogenen System Ãx = 0 für x n die 1 Ã vor und bestimmt wieder von unten nach oben einen Vektor y, der das homogene System löst. Die Lösungsmenge ist dann x + {λy : λ Ã}.

65 Gauß-Algorithmus - m < n Ist A Ã m n mit m < n, so ist das Gleichungssystem unterbestimmt. Hat man Vollrang, also ranga = m, so erreicht man mit den angegebenen Operationen die Form 0. (Ã b) = , a ii 0 für i = 1,...,m

66 Gauß-Algorithmus - m < n Man setzt x m+1,...,x n = 0 und erhält eine Lösung von Ax = b. Den Kern bestimmt man wieder, indem man b = 0 und ein x j, j = m + 1,...,n zu 1 setzt. Die zugehörigen x (j) bilden dann eine Basis des Kerns.

67 Gauß-Algorithmus - m < n Man setzt x m+1,...,x n = 0 und erhält eine Lösung von Ax = b. Den Kern bestimmt man wieder, indem man b = 0 und ein x j, j = m + 1,...,n zu 1 setzt. Die zugehörigen x (j) bilden dann eine Basis des Kerns. Spaltenvertauschungen rückgängig machen!

68 Gauß-Algorithmus - m > n Bei einem überbestimmten Gleichungssystem m > n erhalten wir im Fall ranga = m nach Anwendung des Gauß-Algorithmus die Form ( ) R br (Ã b) =. 0 b0

69 Gauß-Algorithmus - m > n Bei einem überbestimmten Gleichungssystem m > n erhalten wir im Fall ranga = m nach Anwendung des Gauß-Algorithmus die Form ( ) R br (Ã b) =. 0 b0 R ist eine reguläre rechte obere Dreiecksmatrix. Das Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn b 0 = 0.

70 Das Unterraum-Zugehörigkeitsproblem Sei X = Ã n und U = span {x 1,...,x k }. Gehört x X zu U?

71 Das Unterraum-Zugehörigkeitsproblem Sei X = Ã n und Gehört x X zu U? U = span {x 1,...,x k }. Wir stellen die Spaltenvektoren x i zu einer Matrix zusammen: A = (x 1... x k ) Ã n k und wenden auf das Gleichungssystem Ay = x den Gauß-Algorithmus an. x U genau dann, wenn Ay = x lösbar ist.

72 Testen auf lineare Abhängigkeit Sind die Vektoren x 1,...,x k à n linear abhängig oder linear unabhängig?

73 Testen auf lineare Abhängigkeit Sind die Vektoren x 1,...,x k à n linear abhängig oder linear unabhängig? Auf A = (x 1... x k ) à n k wenden wir wieder den Gauß-Algorithmus an. Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn Ay = 0 nur durch y = 0 gelöst wird.

74 Ähnlichkeitstransformation Zwei Matrizen A, B n n heißen ähnlich, wenn es eine reguläre Matrix T gibt mit A = T 1 BT.

75 Ähnlichkeitstransformation Zwei Matrizen A, B n n heißen ähnlich, wenn es eine reguläre Matrix T gibt mit A = T 1 BT. Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrelation.

76 Ähnlichkeitstransformation Zwei Matrizen A, B n n heißen ähnlich, wenn es eine reguläre Matrix T gibt mit A = T 1 BT. Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrelation. Sei T = (t 1... t n ). y = Tx lässt sich so interpretieren: Der Vektor y lässt sich als i t ix i darstellen. Also sind die x i die Koordinaten von y, wenn er durch die Basis {t i } dargestellt wird.

77 Ähnlichkeitstransformation Zwei Matrizen A, B n n heißen ähnlich, wenn es eine reguläre Matrix T gibt mit A = T 1 BT. Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrelation. Sei T = (t 1... t n ). y = Tx lässt sich so interpretieren: Der Vektor y lässt sich als i t ix i darstellen. Also sind die x i die Koordinaten von y, wenn er durch die Basis {t i } dargestellt wird. B ist daher die Darstellungsmatrix der Abbildung f (x) = Ax, wenn f bezüglich der Basis {t i } dargestellt wird.

78 Eigenwerte und Eigenvektoren Von nun an X = n und à =! x n \ {0} heißt Eigenvektor zum Eigenwert λ der Matrix A n n, wenn Ax = λx.

79 Eigenwerte und Eigenvektoren Von nun an X = n und à =! x n \ {0} heißt Eigenvektor zum Eigenwert λ der Matrix A n n, wenn Ax = λx. Interpretation: U = span {x} ist ein invarianter Raum der Matrix A, also A(U) U.

80 Eigenwerte und Eigenvektoren Von nun an X = n und à =! x n \ {0} heißt Eigenvektor zum Eigenwert λ der Matrix A n n, wenn Ax = λx. Interpretation: U = span {x} ist ein invarianter Raum der Matrix A, also A(U) U. Gibt es n linear unabhängige Eigenvektoren, wissen wir, wie die Matrix tickt.

81 Eigenwerte und Eigenvektoren Sei A λ = A λe, E ist die Einheitsmatrix.

82 Eigenwerte und Eigenvektoren Sei A λ = A λe, E ist die Einheitsmatrix. Es gilt λ ist Eigenwert A λ ist singulär det A λ = 0.

83 Eigenwerte und Eigenvektoren Sei A λ = A λe, E ist die Einheitsmatrix. Es gilt λ ist Eigenwert A λ ist singulär det A λ = 0. p(λ) = det A λ heißt charakteristisches Polynom. Es gilt gradp = n.

84 charakteristisches Polynom p(λ) = det A λ = det(a λe). Ähnliche Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom: det(tat 1 λe) = det(t(a λe)t 1 ) = det T det A λ det T 1 = det A λ = p(λ).

85 charakteristisches Polynom p(λ) = det A λ = det(a λe). Ähnliche Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom: det(tat 1 λe) = det(t(a λe)t 1 ) = det T det A λ det T 1 = det A λ = p(λ). Für p(λ) = b n λ n + + b 1 λ + b 0 gilt offenbar b n = ( 1) n, n b 1 = ( 1) n 1 a ii = ( 1) n 1 spur A, a 0 = det A. i=1

86 charakteristisches Polynom p(λ) = det A λ = det(a λe). Ähnliche Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom: det(tat 1 λe) = det(t(a λe)t 1 ) = det T det A λ det T 1 = det A λ = p(λ). Für p(λ) = b n λ n + + b 1 λ + b 0 gilt offenbar b n = ( 1) n, n b 1 = ( 1) n 1 a ii = ( 1) n 1 spur A, a 0 = det A. i=1 Diese Größen müssen bei ähnlichen Matrizen gleich sein!

87 Algebraische und geometrische Vielfachheit Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat p(λ) = det A λ genau n Nullstellen, wenn man mehrfache Nullstellen auch mehrfach zählt, p(λ) = (λ 1 λ) α 1...(λ k λ) α k mit k α i = n. i=1

88 Algebraische und geometrische Vielfachheit Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat p(λ) = det A λ genau n Nullstellen, wenn man mehrfache Nullstellen auch mehrfach zählt, p(λ) = (λ 1 λ) α 1...(λ k λ) α k mit k α i = n. i=1 λ 1,...,λ k sind die Eigenwerte. α i heißt algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ i.

89 Algebraische und geometrische Vielfachheit Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat p(λ) = det A λ genau n Nullstellen, wenn man mehrfache Nullstellen auch mehrfach zählt, p(λ) = (λ 1 λ) α 1...(λ k λ) α k mit k α i = n. i=1 λ 1,...,λ k sind die Eigenwerte. α i heißt algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ i. γ i = dimkerna λi heißt geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ i.

90 Algebraische und geometrische Vielfachheit KernA λi heißt Eigenraum zum Eigenwert λ i.

91 Algebraische und geometrische Vielfachheit KernA λi heißt Eigenraum zum Eigenwert λ i. γ i = dim KernA λi ist daher die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren zum Eigenwert λ i.

92 Algebraische und geometrische Vielfachheit KernA λi heißt Eigenraum zum Eigenwert λ i. γ i = dim KernA λi ist daher die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren zum Eigenwert λ i. Lemma Es gilt γ i α i.

93 geometrische algebraische Vielfachheit - Beweis Sei x 1,...,x γi eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert λ i. Ergänze dies durch x γi +1,...,x n zu einer Basis des n.

94 geometrische algebraische Vielfachheit - Beweis Sei x 1,...,x γi eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert λ i. Ergänze dies durch x γi +1,...,x n zu einer Basis des n. Setze Dann T = (x 1... x n ). λ i λ i... T 1 AT = λ i 0.

95 geometrische algebraische Vielfachheit - Beweis Sei x 1,...,x γi eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert λ i. Ergänze dies durch x γi +1,...,x n zu einer Basis des n. Setze Dann T = (x 1... x n ). λ i λ i... T 1 AT = λ i 0. Daher p(λ) = (λ i λ) γ ip 0 (λ).

96 Verschiedene Eigenwerte Lemma Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.

97 Verschiedene Eigenwerte Lemma Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig. Beweis: Durch Induktion über die Anzahl k der Eigenvektoren. Da ein Eigenvektor nicht verschwindet, ist k = 1 gezeigt.

98 Verschiedene Eigenwerte Lemma Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig. Beweis: Durch Induktion über die Anzahl k der Eigenvektoren. Da ein Eigenvektor nicht verschwindet, ist k = 1 gezeigt. Seien λ 1,...,λ k+1 paarweise verschiedene Eigenwerte der Matrix A. Die Induktionsvoraussetzung ist dann: Die zugehörigen Eigenvektoren x 1,...,x k sind linear unabhängig.

99 Beweis Angenommen, x k+1 ließe sich nach den x i entwickeln, x k+1 = k i=1 α ix i. Dann k λ k+1 α i x i = λ k+1 x k+1 = Ax k+1 i=1

100 Beweis Angenommen, x k+1 ließe sich nach den x i entwickeln, x k+1 = k i=1 α ix i. Dann k λ k+1 α i x i = λ k+1 x k+1 = Ax k+1 i=1 ( k ) = A α i x i = i=1 k λ i α i x i. i=1

101 Beweis Angenommen, x k+1 ließe sich nach den x i entwickeln, x k+1 = k i=1 α ix i. Dann k λ k+1 α i x i = λ k+1 x k+1 = Ax k+1 i=1 ( k ) = A α i x i = i=1 k λ i α i x i. i=1 Da die x i linear unabhängig sind, folgt λ k+1 α i = λ i α i, i = 1,..., k. Wegen x k+1 0 muss α i0 0 gelten für ein i 0.

102 Beweis Angenommen, x k+1 ließe sich nach den x i entwickeln, x k+1 = k i=1 α ix i. Dann k λ k+1 α i x i = λ k+1 x k+1 = Ax k+1 i=1 ( k ) = A α i x i = i=1 k λ i α i x i. i=1 Da die x i linear unabhängig sind, folgt λ k+1 α i = λ i α i, i = 1,..., k. Wegen x k+1 0 muss α i0 0 gelten für ein i 0. Das liefert jedoch λ k+1 = λ i0 und damit einen Widerspruch.

103 Diagonalisierbare Matrizen Bilden die Eigenvektoren von A n n eine Basis des n, so heißt A diagonalisierbar.

104 Diagonalisierbare Matrizen Bilden die Eigenvektoren von A n n eine Basis des n, so heißt A diagonalisierbar. A ist genau dann diagonalisierbar, wenn γ i = α i für i = 1,...,k (vgl. letztes Lemma).

105 Diagonalisierbare Matrizen Bilden die Eigenvektoren von A n n eine Basis des n, so heißt A diagonalisierbar. A ist genau dann diagonalisierbar, wenn γ i = α i für i = 1,...,k (vgl. letztes Lemma). In diesem Fall schreiben wir Ax i = λ i x i, i = 1,...,n. Wir können die Eigenvektoren zu einer Matrix zusammenstellen T = (x 1 x 2... x n ) AT = DT A = T 1 DT mit λ 1 0 D = λ n

106 Wichtige Klassen diagonalisierbarer Matrizen Reelle Matrizen (A Ê n n ) Symmetrische Matrizen, d.h. A = A T,

107 Wichtige Klassen diagonalisierbarer Matrizen Reelle Matrizen (A Ê n n ) Symmetrische Matrizen, d.h. A = A T, oder allgemeiner: Normale Matrizen, d.h. AA T = A T A,

108 Wichtige Klassen diagonalisierbarer Matrizen Reelle Matrizen (A Ê n n ) Symmetrische Matrizen, d.h. A = A T, oder allgemeiner: Normale Matrizen, d.h. AA T = A T A, insbesondere orthogonale Matrizen, d.h. UU T = E.

109 Wichtige Klassen diagonalisierbarer Matrizen Reelle Matrizen (A Ê n n ) Symmetrische Matrizen, d.h. A = A T, oder allgemeiner: Normale Matrizen, d.h. AA T = A T A, insbesondere orthogonale Matrizen, d.h. UU T = E. Komplexe Matrizen (A n n ) Hermitesche Matrizen, d.h. A = A H,

110 Wichtige Klassen diagonalisierbarer Matrizen Reelle Matrizen (A Ê n n ) Symmetrische Matrizen, d.h. A = A T, oder allgemeiner: Normale Matrizen, d.h. AA T = A T A, insbesondere orthogonale Matrizen, d.h. UU T = E. Komplexe Matrizen (A n n ) Hermitesche Matrizen, d.h. A = A H, oder allgemeiner: Normale Matrizen, d.h. AA H = A H A,

111 Wichtige Klassen diagonalisierbarer Matrizen Reelle Matrizen (A Ê n n ) Symmetrische Matrizen, d.h. A = A T, oder allgemeiner: Normale Matrizen, d.h. AA T = A T A, insbesondere orthogonale Matrizen, d.h. UU T = E. Komplexe Matrizen (A n n ) Hermitesche Matrizen, d.h. A = A H, oder allgemeiner: Normale Matrizen, d.h. AA H = A H A, insbesondere unitäre Matrizen, d.h. UU H = E.

112 Beispiel 1 Man bringe die Matrix ( ) auf Normalform.

113 Beispiel 1 Man bringe die Matrix ( ) auf Normalform. 1. Schritt: Eigenwerte bestimmen: p(λ) = det(a λe) = ( λ)((3 λ) + 2 = 0 λ 1 = 1, λ 2 = 2. Da die Eigenwerte verschieden sind, ist A diagonalisierbar.

114 Beispiel 1 λ 1 = 1, λ 2 = Schritt: Eigenvektoren bestimmen: ( ) ( ) A λ1 = x 1 =, 1 2 1

115 Beispiel 1 λ 1 = 1, λ 2 = Schritt: Eigenvektoren bestimmen: ( ) ( ) A λ1 = x 1 =, ( ) ( ) A λ2 = x 2 = 1 1 1

116 Beispiel 1 ( ) ( ) ( ) A =, x 1 =, x 2 = Schritt: T und T 1 bestimmen.

117 Beispiel 1 ( ) ( ) ( ) A =, x 1 =, x 2 = Schritt: T und T 1 bestimmen. Im diagonalisierbaren Fall wird die Matrix T aus den Eigenvektoren gebildet: ( ) ( ) T = T 1 = Es gilt dann D = T 1 AT mit D = diag(1, 2).

118 Beispiel 2 Man bringe die Matrix ( ) auf Normalform.

119 Beispiel 2 Man bringe die Matrix ( ) auf Normalform. 1. Schritt: Eigenwerte bestimmen: p(λ) = det(a λe) = ( 2 λ)(2 λ) + 4 = λ 2 = 0 Die algebraische Vielfachheit von λ = 0 ist 2.

120 Beispiel 2 2. Schritt: Eigenvektor(en) bestimmen: ( ) ( ) A = A 0 = x =, 1 2 1

121 Beispiel 2 2. Schritt: Eigenvektor(en) bestimmen: ( ) ( ) A = A 0 = x =, Die geometrische Vielfachheit ist also nur 1.

122 Beispiel 2 2. Schritt: Eigenvektor(en) bestimmen: ( ) ( ) A = A 0 = x =, Die geometrische Vielfachheit ist also nur 1. In dieser Konstallation (α 1 = 2, γ 1 = 1) ist nach der Theorie der Jordanschen Normalform das Gleichungssystem lösbar. A 0 x 2 = x 1

123 Beispiel 2 2. Schritt: Eigenvektor(en) bestimmen: ( ) ( ) A = A 0 = x =, Die geometrische Vielfachheit ist also nur 1. In dieser Konstallation (α 1 = 2, γ 1 = 1) ist nach der Theorie der Jordanschen Normalform das Gleichungssystem lösbar. A 0 x 2 = x 1 Klar, die Lösung ist nicht eindeutig wegen A 0 x 1 = 0.

124 Beispiel 2 2. Schritt: Eigenvektor(en) bestimmen: ( ) ( ) A = A 0 = x =, Die geometrische Vielfachheit ist also nur 1. In dieser Konstallation (α 1 = 2, γ 1 = 1) ist nach der Theorie der Jordanschen Normalform das Gleichungssystem lösbar. A 0 x 2 = x 1 Klar, die Lösung ist nicht eindeutig wegen A 0 x 1 = 0. Eine Lösung ist x 2 = (1, 1) T.

125 Beispiel 2 ( ) ( ) 2 1 x 1 =, x 2 = Schritt: T und T 1 bestimmen.

126 Beispiel 2 ( ) ( ) 2 1 x 1 =, x 2 = Schritt: T und T 1 bestimmen. Die Vektoren x 1, x 2 bilden eine Jordan-Kette, also A 0 x 1 = 0, A 0 x 2 = x 1.

127 Beispiel 2 ( ) ( ) 2 1 x 1 =, x 2 = Schritt: T und T 1 bestimmen. Die Vektoren x 1, x 2 bilden eine Jordan-Kette, also A 0 x 1 = 0, A 0 x 2 = x 1. x 1 ist der Eigenvektor, x 2 heißt Hauptvektor.

128 Beispiel 2 ( ) ( ) 2 1 x 1 =, x 2 = 1 1 Die Matrix T wird in diesem Fall aus der Jordankette gebildet: ( ) ( ) T = T 1 =

129 Beispiel 2 ( ) ( ) 2 1 x 1 =, x 2 = 1 1 Die Matrix T wird in diesem Fall aus der Jordankette gebildet: ( ) ( ) T = T 1 = Es gilt J = T 1 AT mit ( ) 0 1 J =. 0 0

130 Allgemeinere Fälle Wir betrachten n = 3 mit Eigenwert λ 1 mit α 1 = 3.

131 Allgemeinere Fälle Wir betrachten n = 3 mit Eigenwert λ 1 mit α 1 = γ 1 = 1: In diesem einfachen Fall bestimmt man den einzigen Eigenvektor x 1 und löst sukzessive A λ1 x 2 = x 1 und A λ1 x 3 = x 2.

132 Allgemeinere Fälle Wir betrachten n = 3 mit Eigenwert λ 1 mit α 1 = γ 1 = 1: In diesem einfachen Fall bestimmt man den einzigen Eigenvektor x 1 und löst sukzessive A λ1 x 2 = x 1 und A λ1 x 3 = x 2. Beide Probleme sind nicht eindeutig lösbar, eine beliebige Lösung reicht. Mit dieser Jordan-Kette setzt man T = (x 1 x 2 x 3 ) und es gilt λ J = T 1 AT mit J = 0 λ λ 1

133 Allgemeinere Fälle Wir betrachten n = 3 mit Eigenwert λ 1 mit α 1 = 3.

134 Allgemeinere Fälle Wir betrachten n = 3 mit Eigenwert λ 1 mit α 1 = γ 1 = 2: Man bestimmt eine Basis des Eigenraums x 1, x 2.

135 Allgemeinere Fälle Wir betrachten n = 3 mit Eigenwert λ 1 mit α 1 = γ 1 = 2: Man bestimmt eine Basis des Eigenraums x 1, x 2. Hier haben wir das Problem, dass beide Probleme A λ1 x = x 1 und A λ1 x = x 2 unlösbar sein können.

136 Allgemeinere Fälle Wir betrachten n = 3 mit Eigenwert λ 1 mit α 1 = γ 1 = 2: Man bestimmt eine Basis des Eigenraums x 1, x 2. Hier haben wir das Problem, dass beide Probleme A λ1 x = x 1 und A λ1 x = x 2 unlösbar sein können. Man führt Gauß-Elimination mit dem erweiterten System (A x 1 x 2 ) (Ã x 1 x 2 ) durch. Man bestimmt dann beliebige µ 1, µ 2 (nicht beide = 0) mit µ 1 x 1,3 + µ 2 x 2,3 = 0 und dann den Hauptvektor x 3 mit A λ1 x 3 = µ 1 x 1 + µ 2 x 2.

137 Allgemeinere Fälle Wir betrachten n = 3 mit Eigenwert λ 1 mit α 1 = γ 1 = 2: Man bestimmt eine Basis des Eigenraums x 1, x 2. Hier haben wir das Problem, dass beide Probleme A λ1 x = x 1 und A λ1 x = x 2 unlösbar sein können. Man führt Gauß-Elimination mit dem erweiterten System (A x 1 x 2 ) (Ã x 1 x 2 ) durch. Man bestimmt dann beliebige µ 1, µ 2 (nicht beide = 0) mit µ 1 x 1,3 + µ 2 x 2,3 = 0 und dann den Hauptvektor x 3 mit A λ1 x 3 = µ 1 x 1 + µ 2 x 2. Man setzt y 2 = µ 1 x 1 + µ 2 x 2 und y 1 = x 1 oder y 1 = x 2, so dass y 1, y 2 eine Basis des Eigenraums bilden.

138 Allgemeinere Fälle A λ1 y 1 = 0, A λ1 y 2 = 0, A λ1 x 3 = y 2.

139 Allgemeinere Fälle A λ1 y 1 = 0, A λ1 y 2 = 0, A λ1 x 3 = y 2. Mit dem Eigenvektor y 1 und der Jordan-Kette y 2, x 3 setzt man T = (y 1 y 2 x 3 ) und es gilt λ J = T 1 AT mit J = 0 λ λ 1

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