Kryptographische Protokolle

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Kryptographische Protokolle"

Transkript

1 Kryptographische Protokolle Lerneinheit 4: Schlüsselvereinbarung Prof. Dr. Christoph Karg Studiengang Informatik Hochschule Aalen Sommersemester

2 Einleitung Einleitung In dieser Lerneinheit werden Protokolle zur Vereinbarung von Schlüsseln durchgenommen. Die Lerneinheit gliedert sich in folgende Abschnitte: Diffie-Hellman Schlüsselaustausch Berechnung von erzeugenden Elementen Sichere Primzahlen No-Key Protokoll von Shamir Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 2 / 23

3 Diffie-Hellman Protokoll Das Protokoll wurde von Whitfield Diffie und Martin Hellman im Jahr 1976 vorgestellt. Alice und Bob handeln einen Schlüssel aus, ohne diesen zu übertragen Die Sicherheit des Protokolls beruht auf dem Diskreter-Logarithmus Problem. Voraussetzung: Alice und Bob einigen sich im Vorfeld auf eine Primzahl p und ein erzeugendes Element α von Z p. Die Parameter p und α müssen nicht geheim gehalten werden. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 3 / 23

4 Ablauf Ablauf des Diffie-Hellman Protokolls Vorbereitung: Alice und Bob einigen sich auf eine Primzahl p und ein erzeugendes Element α von Z p. Ablauf: 1. Alice wählt zufällig ein a Z p, berechnet y A = α a mod p. Anschließend sendet sie y A an Bob. 2. Bob wählt zufällig ein b Z p, berechnet y B = α b mod p. Anschließend sendet er y B an Alice. 3. Alice berechnet k A = y a B mod p und Bob berechnet k B = y b A mod p. Ergebnis: Wenn das Protokoll ordnungsgemäß durchläuft, dann sind k A und k B identisch, denn y a B (α b ) a (α a ) b (y A ) b (mod p). Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 4 / 23

5 Ablauf Ablauf des Diffie-Hellman Protokolls (Forts.) Sei p eine Primzahl und α ein Generator von Z p Alice Bob Wählt zufällig ein a Z p α a mod p α b mod p Wählt zufällig ein b Z p α ab mod p Geheimer Schlüssel Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 5 / 23

6 Ablauf Beispiel zum DH Schlüsselaustausch Angenommen, p = und α = 5 sind die öffentlichen Parameter für einen DH Schlüsselaustausch. Alice würfelt a = und berechnet mod = Anschließend sendet sie Bob diesen Wert. Bob würfelt b = und berechnet mod = Diesen Wert sendet er an Alice. Alice und Bob berechnen schließlich den geheimen Schlüssel mod = mod = Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 6 / 23

7 Man-In-The-Middle Attacke Man-In-The-Middle Attacke Alice α a mod p α a mod p Oskar α b mod p α b mod p Bob Oskar sitzt zwischen Alice und Bob und fungiert als Vermittlungsstelle. Oskar ersetzt die Teilschlüssel von Alice und Bob durch seine eigenen. Alice und Bob können zwar ihre Daten mit dem ausgehandelten Schlüssel verschlüsseln, aber keiner kann die Daten des anderen entschlüsseln. Oskar kann alle Daten ver- bzw. entschlüsseln und entsprechend weiterleiten. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 7 / 23

8 Station-To-Station Protokoll Verbessertes Verfahren Idee: Einsatz von Prüfsummen oder Signaturen Modifiziertes Protokoll: Sei p eine Primzahl und α ein Generator von Z p Alice α a Bob α b, sign B (m B, α a, α b ) sign A (m A, α a, α b ) Alle Berechnungen verstehen sich modulo p m A und m B stehen für den Signaturschlüssel von Alice bzw. Bob Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 8 / 23

9 Station-To-Station Protokoll Verbessertes Verfahren (Forts.) Bei dem Protokoll handelt es sich um eine Vereinfachung des Station-To-Station Protokolls. Modifikation: Alice und Bob signieren die zu übertragenden Daten Konsequenzen: Alice und Bob können überprüfen, ob die Daten korrekt übertragen wurden. Oskar kann die Nachrichten nicht umbemerkt verändern, da er die Signaturschlüssel von Alice und Bob nicht kennt. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 9 / 23

10 Sichere Primzahlen Gefahren bei der Parameterwahl Beobachtung: Die Generierung von p und α ist kritisch für die Sicherheit des Diffie-Hellman Protokolls. Ist α kein erzeugendes Element, sondern ein Element mit niedriger Ordnung, dann kann Oskar eine Brute-Force Attacke ausführen. Die Überprüfung, dass α ein erzeugendes Element von Z p ist, ist aufwändig, wenn man nicht die Primfaktorzerlegung von φ(p) kennt. Lösung: Einsatz einer sicheren Primzahl. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 10 / 23

11 Sichere Primzahlen Sichere Primzahlen Definition. Eine sichere Primzahl ist eine hinreichend große Primzahl p mit der Eigenschaft, dass p = 2q + 1 für eine Primzahl q. Ist p eine sichere Primzahl, dann hat Z p folgende Untergruppe: die triviale Untergruppe {1} die Untergruppe {1, p 1} mit 2 Elementen die Untergruppe mit q Elementen Z p mit 2q Elementen Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 11 / 23

12 Generierung der öffentlichen Parameter Wie erzeugt man einen Generator? Hilfreiche Fakten: Ist Z n eine zyklische Gruppe, dann ist die Anzahl ihrer Generatoren gleich ϕ(ϕ(n)). Für eine Primzahl p ist die Anzahl der Generatoren von Z p gleich ϕ(p 1). Man kann beweisen, dass ϕ(n) n/6 ln(ln(n)) für alle n. Wenn man also zufällig ein Element α aus Z n zieht, dann ist die Chance gut, dass α ein Generator ist. Die Zahl α Z n ist ein Generator von Z n genau dann, wenn α ϕ(n)/p 1 (mod n) für alle Primteiler p von ϕ(n). Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 12 / 23

13 Generierung der öffentlichen Parameter Algorithmus zur Generatorerzeugung RandomGenerator(p, p 1, e 1, p 2, e 2,..., p k, e k ) Input: Primzahl p, Primfaktorzerlegung p e 1 1 pe pe k k Output: Generator α von Z p 1 found := false; 2 while (found = false) do 3 α := Random(2, p 1); 4 found := true; 5 for i := 1 to k do 6 b := α p 1/p i mod p; 7 if (b = 1) then found := false; 8 return α; von ϕ(p) Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 13 / 23

14 Generierung der öffentlichen Parameter Berechnung der DH-Parameter GenerateDHParams(n, s) Input: Natürliche Zahl n, Qualitätsparameter s Output: n-bit Primzahlen p, q mit p = 2q + 1, Generator α von Z p 1 found := false; 2 while (found = false) do 3 p := Random(2, 2 n 1); 4 if p ungerade then 5 q := (p 1)/2; 6 found := MillerRabinTest(p, s) and MillerRabinTest(q, s); 7 α = RandomGenerator(p, 2, 1, q, 1) 8 return (p, q, α); Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 14 / 23

15 Einsatz einer kleinerern Untergruppe Einsatz einer kleineren Untergruppe Nachteil der Verwendung einer sicheren Primzahl ist der hohe Aufwand bei der Berechnung der modularen Exponentiationen. Ist p eine n-bit Primzahl (und somit q eine (n 1)-Bit Primzahl), dann benötigt eine modulare Exponentation im Mittel 3n/2 Multiplikationen. Ein gängiger Ansatz zur Verminderung des Aufwands besteht im Einsatz einer Primzahl p der Form p = Nq + 1, wobei q eine Primzahl ist. Ist p = Nq + 1, dann hat Z p eine Untergruppe der Größe q. Das Element α wird so gewählt, dass es genau diese Untergruppe erzeugt. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 15 / 23

16 Einsatz einer kleinerern Untergruppe Einsatz einer kleineren Untergruppe Erzeugung der Parameter: 1. Generiere zufällig eine Primzahl q mit < q < Generiere zufällig eine große gerade Zahl N und überprüfe, ob p = Nq + 1 eine Primzahl ist. Wiederhole diesen Schritt, bis eine Primzahl gefunden wird. 3. Generiere zufällig eine Zahl a {1, 2,..., p 1} und berechne α = a N mod p. α hat die Ordnung q, falls α 1 (mod p), und α q 1 (mod p). Wiederhole diesen Schritt, bis ein passender Wert für α gefunden wird. 4. Lege (p, q, α) als öffentliche Parameter für das Diffie-Hellman Protokoll fest. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 16 / 23

17 Einsatz einer kleinerern Untergruppe Wahl der Größe von p Frage: Wieviele Bits sollte N bzw. p haben? Dilemma: Je größer p ist, um so sicherer ist das Diskreter-Logarithmus Problem. Je größer p ist, um so aufwändiger ist die Berechnung der modularen Exponentation. Ansatz: Einsatz der Formeln von A. Lenstra und E. Verheul 1, mit denen man passende Schlüssellängen berechnen kann. 1 A. Lenstra, E. Verheul: Selecting Cryptographic Key Sizes. Journal of Cryptography 14(4): , Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 17 / 23

18 Einsatz einer kleinerern Untergruppe Wahl der Größe von p (Forts.) Ziel: Wahl der Schlüssellänge in Abhängigkeit von der Schutzdauer der verschlüsselten Daten in Jahren. Ergebnis: Schlüssellänge Schutz bis zum Jahr 2048 Bit Bit Bit 2050 Warnung: Derartige Abschätzungen sind mit Vorsicht zu genießen. Online-Berechnung über die Web-Page Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 18 / 23

19 No-Key Protokoll von Shamir Das No-Key Protokoll von Shamir Frage: Wie kann Alice an Bob eine geheime Nachricht senden, ohne dass beide einen Schlüssel vereinbaren? Antwort: Alice und Bob setzen das No-Key Protokoll von Shamir zum Versand der Nachricht ein. Shamir s Idee: Verwende die diskrete Exponentialfunktion f(a, x) = x a mod p als symmetrische Verschlüsselungsfunktion. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 19 / 23

20 No-Key Protokoll von Shamir Shamir s No-Key Protokoll (Vorbereitung) Alice und Bob einigen sich auf eine große Primzahl p. Diese Zahl muss nicht geheim gehalten werden. Der Nachrichtenraum ist Z p. Alice wählt ein Zahlenpaar (a, a ) so dass a a 1 (mod p 1). Bob wählt ein Zahlenpaar (b, b ) so dass b b 1 (mod p 1). Für alle s Z p gilt: s aa s bb s (mod p). Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 20 / 23

21 No-Key Protokoll von Shamir Shamir s No-Key Protokoll (Ablauf) Alice Bob Berechnet x = s a mod p x y Berechnet y = x b mod p Berechnet z = y a mod p z Berechnet s = z b mod p Es gilt: z b mod p s aba b ( s aa }{{}) bb s (mod p) =s Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 21 / 23

22 No-Key Protokoll von Shamir Beispiel für das No-Key Protokoll Alice und Bob einigen sich im Vorfeld auf die Primzahl p = 113. Alice wählt als Schlüsselpaar (a, a ) = (47, 31), Bob das Schlüsselpaar (b, b ) = (61, 101). Es gilt: (mod 112) (mod 112) Übertragung der Nachricht s = 20: 1. Alice Bob: mod 113 = Bob Alice: mod 113 = 3 3. Alice Bob: 3 31 mod 113 = 47 Bob berechnet s = mod 113 = 20 Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 22 / 23

23 Zusammenfassung Zusammenfassung Das Diffie-Hellman Protokoll ermöglicht die Vereinbarung eines geheimen Schlüssels über einen unsicheren Kanal. Mittels sicherer Primzahlen lässt sich das Diffie-Hellman Protokoll weiter verbessern. Die von Diffie und Hellman vorgestellten Techniken werden in zahlreichen weiteren Protokollen eingesetzt. Die Erfindung des Diffie-Hellman Protokolls gilt als die Geburtsstunde der Public Key Kryptographie. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Kryptographische Protokolle Schlüsselvereinbarung 23 / 23

Kryptographische Algorithmen

Kryptographische Algorithmen Kryptographische Algorithmen Lerneinheit 6: Public Key Kryptosysteme Prof. Dr. Christoph Karg Studiengang Informatik Hochschule Aalen Wintersemester 2016/2017 19.9.2016 Public Key Kryptosysteme Einleitung

Mehr

Wiederholung. Symmetrische Verfahren: klassische Verfahren / grundlegende Prinzipien: Substitution, Transposition, One-Time-Pad DES AES

Wiederholung. Symmetrische Verfahren: klassische Verfahren / grundlegende Prinzipien: Substitution, Transposition, One-Time-Pad DES AES Wiederholung Symmetrische Verfahren: klassische Verfahren / grundlegende Prinzipien: Substitution, Transposition, One-Time-Pad DES AES Mathematische Grundlagen: algebraische Strukturen: Halbgruppe, Monoid,

Mehr

Kryptographische Algorithmen

Kryptographische Algorithmen Kryptographische Algorithmen Lerneinheit 6: Public Key Kryptosysteme Prof. Dr. Christoph Karg Studiengang Informatik Hochschule Aalen Wintersemester 2016/2017 19.9.2016 Public Key Kryptosysteme Einleitung

Mehr

Public-Key-Verschlüsselung und Diskrete Logarithmen

Public-Key-Verschlüsselung und Diskrete Logarithmen Public-Key-Verschlüsselung und Diskrete Logarithmen Carsten Baum Institut für Informatik Universität Potsdam 10. Juni 2009 1 / 30 Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Grundlagen Gruppen, Ordnung, Primitivwurzeln

Mehr

Kryptograhie Wie funktioniert Electronic Banking? Kurt Mehlhorn Adrian Neumann Max-Planck-Institut für Informatik

Kryptograhie Wie funktioniert Electronic Banking? Kurt Mehlhorn Adrian Neumann Max-Planck-Institut für Informatik Kryptograhie Wie funktioniert Electronic Banking? Kurt Mehlhorn Adrian Neumann Max-Planck-Institut für Informatik Übersicht Zwecke der Krytographie Techniken Symmetrische Verschlüsselung( One-time Pad,

Mehr

Public-Key-Kryptographie

Public-Key-Kryptographie Kapitel 2 Public-Key-Kryptographie In diesem Kapitel soll eine kurze Einführung in die Kryptographie des 20. Jahrhunderts und die damit verbundene Entstehung von Public-Key Verfahren gegeben werden. Es

Mehr

Kryptographie und Komplexität

Kryptographie und Komplexität Kryptographie und Komplexität Einheit 5.2 ElGamal Systeme 1. Verschlüsselungsverfahren 2. Korrektheit und Komplexität 3. Sicherheitsaspekte Das ElGamal Verschlüsselungsverfahren Public-Key Verfahren von

Mehr

Kryptographische Verfahren auf Basis des Diskreten Logarithmus

Kryptographische Verfahren auf Basis des Diskreten Logarithmus Kryptographische Verfahren auf Basis des Diskreten Logarithmus -Vorlesung Public-Key-Kryptographie SS2010- Sascha Grau ITI, TU Ilmenau, Germany Seite 1 / 18 Unser Fahrplan heute 1 Der Diskrete Logarithmus

Mehr

Public-Key Kryptographie mit dem RSA Schema. Torsten Büchner

Public-Key Kryptographie mit dem RSA Schema. Torsten Büchner Public-Key Kryptographie mit dem RSA Schema Torsten Büchner 7.12.2004 1.Einleitung 1. symmetrische-, asymmetrische Verschlüsselung 2. RSA als asymmetrisches Verfahren 2.Definition von Begriffen 1. Einwegfunktionen

Mehr

Übung GSS Blatt 6. SVS Sicherheit in Verteilten Systemen

Übung GSS Blatt 6. SVS Sicherheit in Verteilten Systemen Übung GSS Blatt 6 SVS Sicherheit in Verteilten Systemen 1 Einladung zum SVS-Sommerfest SVS-Sommerfest am 12.07.16 ab 17 Uhr Ihr seid eingeladen! :-) Es gibt Thüringer Bratwürste im Brötchen oder Grillkäse

Mehr

Vorlesung Datensicherheit. Sommersemester 2010

Vorlesung Datensicherheit. Sommersemester 2010 Vorlesung Datensicherheit Sommersemester 2010 Harald Baier Kapitel 3: Hashfunktionen und asymmetrische Verfahren Inhalt Hashfunktionen Asymmetrische kryptographische Verfahren Harald Baier Datensicherheit

Mehr

Algorithmentheorie Randomisierung. Robert Elsässer

Algorithmentheorie Randomisierung. Robert Elsässer Algorithmentheorie 03 - Randomisierung Robert Elsässer Randomisierung Klassen von randomisierten Algorithmen Randomisierter Quicksort Randomisierter Primzahltest Kryptographie 2 1. Klassen von randomisierten

Mehr

Kryptographie mit elliptischen Kurven

Kryptographie mit elliptischen Kurven Kryptographie mit elliptischen Kurven Dr. Dirk Feldhusen SRC Security Research & Consulting GmbH Bonn - Wiesbaden Inhalt Elliptische Kurven! Grafik! Punktaddition! Implementation Kryptographie! Asymmetrische

Mehr

Kryptografische Protokolle

Kryptografische Protokolle Kryptografische Protokolle Lerneinheit 7: Diverse Protokolle Prof. Dr. Christoph Karg Studiengang Informatik Hochschule Aalen Sommersemester 2016 20.6.2016 Einleitung Einleitung Inhalt dieser Lerneinheit

Mehr

Kryptografische Protokolle

Kryptografische Protokolle Kryptografische Protokolle Lerneinheit 5: Authentifizierung Prof. Dr. Christoph Karg Studiengang Informatik Hochschule Aalen Sommersemester 2015 19.6.2015 Einleitung Einleitung Diese Lerneinheit hat Protokolle

Mehr

IT-Sicherheit Kapitel 3 Public Key Kryptographie

IT-Sicherheit Kapitel 3 Public Key Kryptographie IT-Sicherheit Kapitel 3 Public Key Kryptographie Dr. Christian Rathgeb Sommersemester 2013 1 Einführung In der symmetrischen Kryptographie verwenden Sender und Empfänger den selben Schlüssel die Teilnehmer

Mehr

Kryptografische Protokolle

Kryptografische Protokolle Kryptografische Protokolle Lerneinheit 6: Elektronisches Geld Prof. Dr. Christoph Karg Studiengang Informatik Hochschule Aalen Sommersemester 2016 14.6.2016 Anforderungen an elektronisches Geld Sicherheit:

Mehr

Datensicherheit durch Kryptographie

Datensicherheit durch Kryptographie Datensicherheit durch Kryptographie Dr. Michael Hortmann Fachbereich Mathematik, Universität Bremen T-Systems Michael.Hortmann@gmx.de 1 Kryptographie: Klassisch: Wissenschaft und Praxis der Datenverschlüsselung

Mehr

3: Zahlentheorie / Primzahlen

3: Zahlentheorie / Primzahlen Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 96 3: Zahlentheorie / Primzahlen 3: Zahlentheorie / Primzahlen Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 97 Definition 37 (Teiler, Vielfache, Primzahlen,

Mehr

Entwicklung der Asymmetrischen Kryptographie und deren Einsatz

Entwicklung der Asymmetrischen Kryptographie und deren Einsatz Entwicklung der Asymmetrischen Kryptographie und deren Einsatz Peter Kraml, 5a hlw Facharbeit Mathematik Schuljahr 2013/14 Caesar-Verschlüsselung Beispiel Verschiebung der Buchstaben im Alphabet sehr leicht

Mehr

4: Algebraische Strukturen / Gruppen

4: Algebraische Strukturen / Gruppen Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 120 4: Algebraische Strukturen / Gruppen Definition 46 Sei G eine nichtleere Menge. Eine Funktion : G G G bezeichnen wir als Verknüpfung auf G. Das Paar (G,

Mehr

Wiederholung Symmetrische Verschlüsselung klassische Verfahren: Substitutionschiffren Transpositionschiffren Vigenère-Chiffre One-Time-Pad moderne

Wiederholung Symmetrische Verschlüsselung klassische Verfahren: Substitutionschiffren Transpositionschiffren Vigenère-Chiffre One-Time-Pad moderne Wiederholung Symmetrische Verschlüsselung klassische Verfahren: Substitutionschiffren Transpositionschiffren Vigenère-Chiffre One-Time-Pad moderne Verfahren: DES (Feistel-Chiffre) mehrfache Wiederholung

Mehr

11. Das RSA Verfahren und andere Verfahren

11. Das RSA Verfahren und andere Verfahren Chr.Nelius: Kryptographie (SS 2011) 31 11. Das RSA Verfahren und andere Verfahren Eine konkrete Realisierung eines Public Key Kryptosystems ist das sog. RSA Verfahren, das im Jahre 1978 von den drei Wissenschaftlern

Mehr

Probabilistische Primzahltests

Probabilistische Primzahltests 23.01.2006 Motivation und Überblick Grundsätzliches Vorgehen Motivation und Überblick Als Primzahltest bezeichnet man ein mathematisches Verfahren, mit dem ermittelt wird, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl

Mehr

Diffie-Hellman, ElGamal und DSS. Vortrag von David Gümbel am 28.05.2002

Diffie-Hellman, ElGamal und DSS. Vortrag von David Gümbel am 28.05.2002 Diffie-Hellman, ElGamal und DSS Vortrag von David Gümbel am 28.05.2002 Übersicht Prinzipielle Probleme der sicheren Nachrichtenübermittlung 'Diskreter Logarithmus'-Problem Diffie-Hellman ElGamal DSS /

Mehr

IT-Sicherheit: Kryptographie. Asymmetrische Kryptographie

IT-Sicherheit: Kryptographie. Asymmetrische Kryptographie IT-Sicherheit: Kryptographie Asymmetrische Kryptographie Fragen zur Übung 5 C oder Java? Ja (gerne auch Python); Tips waren allerdings nur für C Wie ist das mit der nonce? Genau! (Die Erkennung und geeignete

Mehr

AES und Public-Key-Kryptographie

AES und Public-Key-Kryptographie Jens Kubieziel jens@kubieziel.de Friedrich-Schiller-Universität Jena Fakultät für Mathem atik und Informatik 22. Juni 2009 Beschreibung des Algorithmus Angriffe gegen AES Wichtige Algorithmen im 20. Jahrhundert

Mehr

Kryptologie. K l a u s u r WS 2006/2007, Prof. Dr. Harald Baier

Kryptologie. K l a u s u r WS 2006/2007, Prof. Dr. Harald Baier Kryptologie K l a u s u r WS 2006/2007, 2007-02-01 Prof. Dr. Harald Baier Name, Vorname: Matrikelnummer: Hinweise: (a) Als Hilfsmittel ist nur der Taschenrechner TI-30 zugelassen. Weitere Hilfsmittel sind

Mehr

Digitale Unterschriften mit ElGamal

Digitale Unterschriften mit ElGamal Digitale Unterschriften mit ElGamal Seminar Kryptographie und Datensicherheit Institut für Informatik Andreas Havenstein Inhalt Einführung RSA Angriffe auf Signaturen und Verschlüsselung ElGamal Ausblick

Mehr

Vorlesung Sicherheit

Vorlesung Sicherheit Vorlesung Sicherheit Dennis Hofheinz IKS, KIT 06.05.2013 1 / 25 Überblick 1 Hashfunktionen Erinnerung Angriffe auf Hashfunktionen Zusammenfassung Hashfunktionen 2 Asymmetrische Verschlüsselung Idee Beispiel:

Mehr

Asymmetrische Kryptographie u

Asymmetrische Kryptographie u Asymmetrische Kryptographie u23 2015 Simon, Florob e.v. https://koeln.ccc.de Cologne 2015-10-05 1 Zahlentheorie Modulare Arithmetik Algebraische Strukturen Referenzprobleme 2 Diffie-Hellman Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch

Mehr

Proseminar Datensicherheit & Versicherungsmathematik RSA-Verfahren

Proseminar Datensicherheit & Versicherungsmathematik RSA-Verfahren Proseminar Datensicherheit & Versicherungsmathematik RSA-Verfahren Herwig Stütz 2007-11-23 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Das RSA-Verfahren 2 2.1 Schlüsselerzeugung.................................

Mehr

Angewandte Kryptographie

Angewandte Kryptographie Angewandte Kryptographie 3. Asymmetrische Verfahren Netzwerksicherheit WS 2001/2002 Jean-Marc Piveteau 1. Die Public Key -Revolution Angewandte Kryptographie Kapitel 2 2 Symmetrische Kryptographie: Die

Mehr

Was ist Kryptographie

Was ist Kryptographie Was ist Kryptographie Kryptographie Die Wissenschaft, mit mathematischen Methoden Informationen zu verschlüsseln und zu entschlüsseln. Eine Methode des sicheren Senden von Informationen über unsichere

Mehr

Konzepte von Betriebssystemkomponenten: Schwerpunkt Sicherheit. Asymmetrische Verschlüsselung, Digitale Signatur

Konzepte von Betriebssystemkomponenten: Schwerpunkt Sicherheit. Asymmetrische Verschlüsselung, Digitale Signatur Konzepte von Betriebssystemkomponenten: Schwerpunkt Sicherheit Thema: Asymmetrische Verschlüsselung, Digitale Signatur Vortragender: Rudi Pfister Überblick: Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren - Prinzip

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Gruppe und Ring

Vorlesung Diskrete Strukturen Gruppe und Ring Vorlesung Diskrete Strukturen Gruppe und Ring Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2009/10 1 Bernhard Ganter, TU Dresden Modul Einführung in

Mehr

Technikseminar SS2012

Technikseminar SS2012 Technikseminar SS2012 ECC - Elliptic Curve Cryptography Kryptosysteme basierend auf elliptischen Kurven 11.06.2012 Gliederung Was ist ECC? ECC und andere Verfahren Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Funktionsweise

Mehr

SSL/TLS Sicherheit Warum es sich lohnt, sich mit Ciphersuites zu beschäftigen

SSL/TLS Sicherheit Warum es sich lohnt, sich mit Ciphersuites zu beschäftigen SSL/TLS Sicherheit Warum es sich lohnt, sich mit Ciphersuites zu beschäftigen Immo FaUl Wehrenberg immo@ctdo.de Chaostreff Dortmund 16. Juli 2009 Immo FaUl Wehrenberg immo@ctdo.de (CTDO) SSL/TLS Sicherheit

Mehr

2.7 Digitale Signatur (3) 2.7 Digitale Signatur (4) Bedeutung der digitalen Signatur. Bedeutung der digitalen Signatur (fortges.)

2.7 Digitale Signatur (3) 2.7 Digitale Signatur (4) Bedeutung der digitalen Signatur. Bedeutung der digitalen Signatur (fortges.) 2.7 Digitale Signatur (3) Bedeutung der digitalen Signatur wie Unterschrift Subjekt verknüpft Objekt mit einer höchst individuellen Marke (Unterschrift) Unterschrift darf nicht vom Dokument loslösbar sein

Mehr

9 Schlüsseleinigung, Schlüsselaustausch

9 Schlüsseleinigung, Schlüsselaustausch 9 Schlüsseleinigung, Schlüsselaustausch Ziel: Sicherer Austausch von Schlüsseln über einen unsicheren Kanal initiale Schlüsseleinigung für erste sichere Kommunikation Schlüsselerneuerung für weitere Kommunikation

Mehr

Kryptographie Wie funktioniert Electronic Banking? Kurt Mehlhorn Adrian Neumann Max-Planck-Institut für Informatik

Kryptographie Wie funktioniert Electronic Banking? Kurt Mehlhorn Adrian Neumann Max-Planck-Institut für Informatik Kryptographie Wie funktioniert Electronic Banking? Kurt Mehlhorn Adrian Neumann Max-Planck-Institut für Informatik Übersicht Zwecke der Kryptographie Techniken Symmetrische Verschlüsselung (One-time Pad,

Mehr

Kryptographie und Komplexität

Kryptographie und Komplexität Kryptographie und Komplexität Einheit 4 Public Key Kryptographie mit RSA 1. Ver- und Entschlüsselung 2. Schlüsselerzeugung und Primzahltests 3. Angriffe auf das RSA Verfahren 4. Sicherheit von RSA Probleme

Mehr

Kurze Einführung in kryptographische Grundlagen.

Kurze Einführung in kryptographische Grundlagen. Kurze Einführung in kryptographische Grundlagen. Was ist eigentlich AES,RSA,DH,ELG,DSA,DSS,ECB,CBC Benjamin.Kellermann@gmx.de GPG-Fingerprint: D19E 04A8 8895 020A 8DF6 0092 3501 1A32 491A 3D9C git clone

Mehr

Das RSA-Verfahren. Armin Litzel. Proseminar Kryptographische Protokolle SS 2009

Das RSA-Verfahren. Armin Litzel. Proseminar Kryptographische Protokolle SS 2009 Das RSA-Verfahren Armin Litzel Proseminar Kryptographische Protokolle SS 2009 1 Einleitung RSA steht für die drei Namen Ronald L. Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman und bezeichnet ein von diesen Personen

Mehr

IT-Risk-Management und Kryptographie

IT-Risk-Management und Kryptographie IT-Risk-Management und Kryptographie Theoretische Einführung und praktische Übungen Prof. Grimm, Prof. Paulus, Dipl.-inform. Droege, Dipl.-ing. Hundacker Seminar für die Debeka 8.12.2006 Universität Koblenz-Landau

Mehr

Kryptographie Reine Mathematik in den Geheimdiensten

Kryptographie Reine Mathematik in den Geheimdiensten Kryptographie Reine Mathematik in den Geheimdiensten Priska Jahnke 10. Juli 2006 Kryptographie Reine Mathematik in den Geheimdiensten Kryptographie (Kryptologie) = Lehre von den Geheimschriften Kaufleute,

Mehr

Vorkurs für. Studierende in Mathematik und Physik. Einführung in Kryptographie Kurzskript 2015

Vorkurs für. Studierende in Mathematik und Physik. Einführung in Kryptographie Kurzskript 2015 Vorkurs für Studierende in Mathematik und Physik Einführung in Kryptographie Kurzskript 2015 Felix Fontein Institut für Mathematik Universität Zürich Winterthurerstrasse 190 8057 Zürich 11. September 2015

Mehr

RSA Verfahren. Kapitel 7 p. 103

RSA Verfahren. Kapitel 7 p. 103 RSA Verfahren RSA benannt nach den Erfindern Ron Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman war das erste Public-Key Verschlüsselungsverfahren. Sicherheit hängt eng mit der Schwierigkeit zusammen, große Zahlen

Mehr

Kryptographie. nur mit. Freier Software!

Kryptographie. nur mit. Freier Software! Michael Stehmann Kryptographie nur mit Freier Software! Kurze Einführung in Kryptographie ErsterTeil: Bei der Kryptographie geht es um die Zukunft von Freiheit und Demokratie Artur P. Schmidt, 1997 http://www.heise.de/tp/artikel/1/1357/1.html

Mehr

Erste Vorlesung Kryptographie

Erste Vorlesung Kryptographie Erste Vorlesung Kryptographie Andre Chatzistamatiou October 14, 2013 Anwendungen der Kryptographie: geheime Datenübertragung Authentifizierung (für uns = Authentisierung) Daten Authentifizierung/Integritätsprüfung

Mehr

Netzwerktechnologien 3 VO

Netzwerktechnologien 3 VO Netzwerktechnologien 3 VO Univ.-Prof. Dr. Helmut Hlavacs helmut.hlavacs@univie.ac.at Dr. Ivan Gojmerac gojmerac@ftw.at Bachelorstudium Medieninformatik SS 2012 Kapitel 8 - Netzwerksicherheit 8.1 Was ist

Mehr

Grundlagen der Kryptographie

Grundlagen der Kryptographie Grundlagen der Kryptographie Seminar zur Diskreten Mathematik SS2005 André Latour a.latour@fz-juelich.de 1 Inhalt Kryptographische Begriffe Primzahlen Sätze von Euler und Fermat RSA 2 Was ist Kryptographie?

Mehr

Grundlegende Protokolle

Grundlegende Protokolle Grundlegende Protokolle k.lindstrot@fz-juelich.de Grundlegende Protokolle S.1/60 Inhaltsverzeichnis Einleitung Passwortverfahren Wechselcodeverfahren Challange-and-Response Diffie-Hellman-Schlüsselvereinbarung

Mehr

Kryptographische Verfahren. zur Datenübertragung im Internet. Patrick Schmid, Martin Sommer, Elvis Corbo

Kryptographische Verfahren. zur Datenübertragung im Internet. Patrick Schmid, Martin Sommer, Elvis Corbo Kryptographische Verfahren zur Datenübertragung im Internet Patrick Schmid, Martin Sommer, Elvis Corbo 1. Einführung Übersicht Grundlagen Verschlüsselungsarten Symmetrisch DES, AES Asymmetrisch RSA Hybrid

Mehr

Kapitel 3 Elementare Zahletheorie

Kapitel 3 Elementare Zahletheorie Kapitel 3 Elementare Zahletheorie 89 Kapitel 3.1 Ganze Zahlen, Gruppen und Ringe 90 Die ganzen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Z={..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} Es gibt zwei Operationen Addition: Z Z Z, (a,b)

Mehr

Workshop Experimente zur Kryptographie

Workshop Experimente zur Kryptographie Fakultät Informatik, Institut Systemarchitektur, Professur Datenschutz und Datensicherheit Workshop Experimente zur Kryptographie Sebastian Clauß Dresden, 23.03.2011 Alltägliche Anwendungen von Kryptographie

Mehr

Asymmetrische. Verschlüsselungsverfahren. erarbeitet von: Emilia Winkler Christian-Weise-Gymnasium Zittau

Asymmetrische. Verschlüsselungsverfahren. erarbeitet von: Emilia Winkler Christian-Weise-Gymnasium Zittau Asymmetrische Verschlü erarbeitet von: Emilia Winkler Christian-Weise-Gymnasium Zittau Gliederung 1) Prinzip der asymmetrischen Verschlü 2) Vergleich mit den symmetrischen Verschlü (Vor- und Nachteile)

Mehr

Algorithmische Kryptographie

Algorithmische Kryptographie Algorithmische Kryptographie Walter Unger, Dirk Bongartz Lehrstuhl für Informatik I 27. Januar 2005 Teil I Mathematische Grundlagen Einleitung Anforderungen Einfaches Protokoll (Shimon Even 1978) Sicherheitsaspekte

Mehr

Symmetrische und Asymmetrische Kryptographie. Technik Seminar 2012

Symmetrische und Asymmetrische Kryptographie. Technik Seminar 2012 Symmetrische und Asymmetrische Kryptographie Technik Seminar 2012 Inhalt Symmetrische Kryptographie Transpositionchiffre Substitutionchiffre Aktuelle Verfahren zur Verschlüsselung Hash-Funktionen Message

Mehr

Einwegfunktionen mit und ohne Falltür

Einwegfunktionen mit und ohne Falltür Technikseminar SS 2012 Thema: Einwegfunktionen mit und ohne Falltür Eingereicht von: Bjarne Adam, B_Wing 8875 Neuhausweg 5 21368 Dahlenburg Referent(FH Wedel): Prof. Dr. Michael Anders Fachhochschule Wedel

Mehr

Authentikation und digitale Signatur

Authentikation und digitale Signatur TU Graz 23. Jänner 2009 Überblick: Begriffe Authentikation Digitale Signatur Überblick: Begriffe Authentikation Digitale Signatur Überblick: Begriffe Authentikation Digitale Signatur Begriffe Alice und

Mehr

Kommunikationsalgorithmus RSA

Kommunikationsalgorithmus RSA Kommunikationsalgorithmus RSA Herr Maue Ergänzungsfach Informatik Neue Kantonsschule Aarau Früjahrsemester 2015 24.04.2015 EFI (Hr. Maue) Kryptographie 24.04.2015 1 / 26 Programm heute 1. Verschlüsselungsverfahren

Mehr

Kryptographie praktisch erlebt

Kryptographie praktisch erlebt Kryptographie praktisch erlebt Dr. G. Weck INFODAS GmbH Köln Inhalt Klassische Kryptographie Symmetrische Verschlüsselung Asymmetrische Verschlüsselung Digitale Signaturen Erzeugung gemeinsamer Schlüssel

Mehr

IT-Sicherheit Wintersemester 2014/2015 Harald Baier Kapitel 3: Kryptographie (Begleitfolien)

IT-Sicherheit Wintersemester 2014/2015 Harald Baier Kapitel 3: Kryptographie (Begleitfolien) IT-Sicherheit Wintersemester 2014/2015 Harald Baier Kapitel 3: Kryptographie (Begleitfolien) Asymmetric Encryption Plaintext Ciphertext Plaintext Document encrypt decrypt Document Encryption key e Decryption

Mehr

Proseminar: Electronic Commerce und Digitale Unterschriften Public-Key-Kryptographie

Proseminar: Electronic Commerce und Digitale Unterschriften Public-Key-Kryptographie Proseminar: Electronic Commerce und Digitale Unterschriften Public-Key-Kryptographie Ziele der Kryptographie 1. Vertraulichkeit (Wie kann man Nachrichten vor Fremden geheim halten?) 2. Integrität (Wie

Mehr

Einführung in die Kryptographie. 20.6.2011, www.privacyfoundation.ch

Einführung in die Kryptographie. 20.6.2011, www.privacyfoundation.ch Einführung in die Kryptographie 20.6.2011, www.privacyfoundation.ch Kryptographie Name kryptós: verborgen, geheim gráphein: schreiben Verschlüsselung Text so umwandeln, dass man ihn nur noch entziffern/lesen

Mehr

Ein RSA verwandtes, randomisiertes Public Key Kryptosystem

Ein RSA verwandtes, randomisiertes Public Key Kryptosystem Seminar Codes und Kryptographie WS 2003 Ein RSA verwandtes, randomisiertes Public Key Kryptosystem Kai Gehrs Übersicht 1. Motivation 2. Das Public Key Kryptosystem 2.1 p-sylow Untergruppen und eine spezielle

Mehr

Public-Key Verschlüsselung

Public-Key Verschlüsselung Public-Key Verschlüsselung Björn Thomsen 17. April 2006 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Wie funktioniert es 2 3 Vergleich mit symmetrischen Verfahren 3 4 Beispiel: RSA 4 4.1 Schlüsselerzeugung...............................

Mehr

SCHRIFTLICHE ZUSAMMENFASSUNG ZUM VORTRAG DIE GRUNDLAGEN DER RSA-VERSCHLÜSSELUNG VON DANIEL METZSCH

SCHRIFTLICHE ZUSAMMENFASSUNG ZUM VORTRAG DIE GRUNDLAGEN DER RSA-VERSCHLÜSSELUNG VON DANIEL METZSCH SCHRIFTLICHE ZUSAMMENFASSUNG ZUM VORTRAG DIE GRUNDLAGEN DER RSA-VERSCHLÜSSELUNG VON DANIEL METZSCH Freie Universität Berlin Fachbereich für Mathematik & Informatik Institut für Mathematik II Seminar über

Mehr

Einführung in die Kryptographie

Einführung in die Kryptographie Einführung in die Kryptographie Stefan Katzenbeisser Institut für Informatik Technische Universität München skatzenbeisser@acm.org Kryptographie p.1/54 Vom Zeichen zum Code Älteste Form: Codes repräsentieren

Mehr

Diffie-Hellman, RSA, etc.

Diffie-Hellman, RSA, etc. Diffie-Hellman, RSA, etc. mathematische Grundlagen asymmetrischer Verschlüsselungsverfahren Sven Moritz Hallberg pesco@hamburg.ccc.de SIGINT 09, 22. 24. Mai 2009 Zusammenfassung Inzwischen sind kryptographische

Mehr

Kryptographie. ein erprobter Lehrgang. AG-Tagung Informatik, April 2011 Alfred Nussbaumer, LSR für NÖ. LSR für NÖ, 28. April 2011 Alfred Nussbaumer

Kryptographie. ein erprobter Lehrgang. AG-Tagung Informatik, April 2011 Alfred Nussbaumer, LSR für NÖ. LSR für NÖ, 28. April 2011 Alfred Nussbaumer Kryptographie ein erprobter Lehrgang AG-Tagung Informatik, April 2011 Alfred Nussbaumer, LSR für NÖ 1 Variante: Kryptographie in 5 Tagen Ein kleiner Ausflug in die Mathematik (Primzahlen, Restklassen,

Mehr

KRYPTOSYSTEME & RSA IM SPEZIELLEN

KRYPTOSYSTEME & RSA IM SPEZIELLEN KRYPTOSYSTEME & RSA IM SPEZIELLEN Kryptosysteme allgemein Ein Kryptosystem ist eine Vorrichtung oder ein Verfahren, bei dem ein Klartext mithilfe eines Schlüssels in einen Geheimtext umgewandelt wird (Verschlüsselung)

Mehr

Konzepte von Betriebssystem-Komponenten: Schwerpunkt Sicherheit Grundlagen: Asymmetrische Verschlüsslung, Digitale Signatur

Konzepte von Betriebssystem-Komponenten: Schwerpunkt Sicherheit Grundlagen: Asymmetrische Verschlüsslung, Digitale Signatur Konzepte von Betriebssystem-Komponenten: Schwerpunkt Sicherheit Grundlagen: Asymmetrische Verschlüsslung, Digitale Signatur Rudi Pfister Rudi.Pfister@informatik.stud.uni-erlangen.de Public-Key-Verfahren

Mehr

Verfügbarkeit (Schutz vor Verlust) Vertraulichkeit (Schutz vor unbefugtem Lesen) Authentizität (Schutz vor Veränderung, Fälschung)

Verfügbarkeit (Schutz vor Verlust) Vertraulichkeit (Schutz vor unbefugtem Lesen) Authentizität (Schutz vor Veränderung, Fälschung) Was bisher geschah Sicherheitsziele: Verfügbarkeit (Schutz vor Verlust) Vertraulichkeit (Schutz vor unbefugtem Lesen) Authentizität (Schutz vor Veränderung, Fälschung) von Information beim Speichern und

Mehr

Betriebssysteme und Sicherheit

Betriebssysteme und Sicherheit Betriebssysteme und Sicherheit Signatursysteme WS 2013/2014 Dr.-Ing. Elke Franz Elke.Franz@tu-dresden.de 1 Überblick 1 Prinzip digitaler Signatursysteme 2 Vergleich symmetrische / asymmetrische Authentikation

Mehr

Anhang IV zur Vorlesung Kryptologie: Public-Key Kryptographie

Anhang IV zur Vorlesung Kryptologie: Public-Key Kryptographie Anhang IV zur Vorlesung Kryptologie: Public-Key Kryptographie von Peter Hellekalek Fakultät für Mathematik, Universität Wien, und Fachbereich Mathematik, Universität Salzburg Tel: +43-(0)662-8044-5310

Mehr

PGP warum, was und wie?

PGP warum, was und wie? Gliederung 1. Ein paar Worte zur Überwachung 2. Wo wird abgehört? 3. Verschlüsselung 4. Public Key-Verfahren 5. Signaturen 6. Das Web of Trust 7. Vorführung PGP warum, was und wie? Überwachung von E-Mail

Mehr

Bernd Blümel. Verschlüsselung. Prof. Dr. Blümel

Bernd Blümel. Verschlüsselung. Prof. Dr. Blümel Bernd Blümel 2001 Verschlüsselung Gliederung 1. Symetrische Verschlüsselung 2. Asymetrische Verschlüsselung 3. Hybride Verfahren 4. SSL 5. pgp Verschlüsselung 111101111100001110000111000011 1100110 111101111100001110000111000011

Mehr

1. Asymmetrische Verschlüsselung einfach erklärt

1. Asymmetrische Verschlüsselung einfach erklärt 1. Asymmetrische Verschlüsselung einfach erklärt Das Prinzip der asymmetrischen Verschlüsselung beruht im Wesentlichen darauf, dass sich jeder Kommunikationspartner jeweils ein Schlüsselpaar (bestehend

Mehr

Primzahlen: vom antiken Griechenland bis in den Computer

Primzahlen: vom antiken Griechenland bis in den Computer Primzahlen: vom antiken Griechenland bis in den Computer Jakob Stix Institut für Mathematik Goethe Universität Frankfurt am Main 28 April 2016 Girls Day GU-Frankfurt Primzahlen Atome (unteilbar!) der Multiplikation:

Mehr

Das Programm Cryptool kann man unter herunter laden. Auf der Download Seite befindet sich auch das Skript zum Programm.

Das Programm Cryptool kann man unter  herunter laden. Auf der Download Seite befindet sich auch das Skript zum Programm. Aufgabenstellung SN-Labor Versuch 4: CrypTool Das Programm Cryptool kann man unter http://www.cryptool.de/ herunter laden. Auf der Download Seite befindet sich auch das Skript zum Programm. 1. Führen Sie

Mehr

9. Primitivwurzeln. O. Forster: Einführung in die Zahlentheorie

9. Primitivwurzeln. O. Forster: Einführung in die Zahlentheorie 9. Primitivwurzeln 9.1. Satz. Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung m und g G ein erzeugendes Element. Das Element a := g k, k Z, ist genau dann ein erzeugendes Element von G, wenn k zu m teilerfremd

Mehr

Schutz von Informationen bei Übertragung über unsichere Kanäle Beispiele für zu schützende Informationen

Schutz von Informationen bei Übertragung über unsichere Kanäle Beispiele für zu schützende Informationen Kryptographie Motivation Schutz von Informationen bei Übertragung über unsichere Kanäle Beispiele für zu schützende Informationen Geheimzahlen (Geldkarten, Mobiltelefon) Zugriffsdaten (Login-Daten, Passwörter)

Mehr

Elliptische Kurven in der Kryptographie

Elliptische Kurven in der Kryptographie Elliptische Kurven in der Kryptographie 1 Gliederung Einleitung Elliptische Kurven Elliptische Kurven über Körper Public-Key Verfahren mittels elliptischer Kurven Elliptische Kurven Vergleich ECC und RSA

Mehr

Vorlesung IT-Sicherheit FH Frankfurt Sommersemester 2007

Vorlesung IT-Sicherheit FH Frankfurt Sommersemester 2007 Vorlesung IT-Sicherheit FH Frankfurt Sommersemester 2007 Dr. Volker Scheidemann Teil 5 Schlüsselverteilung Public Key Kryptographie Idee der digitalen Signatur Diffie-Hellman Schlüsselaustausch RSA-Verfahren

Mehr

Das RSA Kryptosystem

Das RSA Kryptosystem Kryptografie Grundlagen RSA Institut für Mathematik Technische Universität Berlin Kryptografie Grundlagen RSA mit geheimem mit öffentlichem Schlüssel Realisierung Kryptografie mit geheimem Schlüssel Alice

Mehr

und Digitale Signatur

und Digitale Signatur E-Mail Sicherheit und Digitale Signatur 13/11/04 / Seite 1 Inhaltsverzeichnis Vorstellung Motivation und Lösungsansätze Sicherheitsdemonstration Asymetrische Verschlüsselung Verschlüsselung in der Praxis

Mehr

Kryptographie: Verteidigung gegen die dunklen Künste in der digitalen Welt

Kryptographie: Verteidigung gegen die dunklen Künste in der digitalen Welt Kryptographie: Verteidigung gegen die dunklen Künste in der digitalen Welt Prof. Dr. Rüdiger Weis Beuth Hochschule für Technik Berlin Tag der Mathematik 2015 Flächendeckendes Abhören Regierungen scheitern

Mehr

5. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12)

5. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12) Technische Universität München Zentrum Mathematik PD Dr. hristian Karpfinger http://www.ma.tum.de/mathematik/g8vorkurs 5. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12) Aufgabe 5.1: In einer Implementierung

Mehr

Digitale Signaturen. Kapitel 10 p. 178

Digitale Signaturen. Kapitel 10 p. 178 Digitale Signaturen Realisierung der digitalen Signaturen ist eng verwandt mit der Public-Key-Verschlüsselung. Idee: Alice will Dokument m signieren. Sie berechnet mit dem privaten Schlüssel d die digitale

Mehr

Public-Key-Kryptosystem

Public-Key-Kryptosystem Public-Key-Kryptosystem Zolbayasakh Tsoggerel 29. Dezember 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Wiederholung einiger Begriffe 2 2 Einführung 2 3 Public-Key-Verfahren 3 4 Unterschiede zwischen symmetrischen und asymmetrischen

Mehr

Lenstras Algorithmus für Faktorisierung

Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Bertil Nestorius 9 März 2010 1 Motivation Die schnelle Faktorisierung von Zahlen ist heutzutage ein sehr wichtigen Thema, zb gibt es in der Kryptographie viele weit

Mehr

13. Der diskrete Logarithmus

13. Der diskrete Logarithmus 13. Der diskrete Logarithmus 13.1. Definition. Sei p eine Primzahl. Wie wir in 9 bewiesen haben, ist die multiplikative Gruppe F p des Körpers F p = Z/p zyklisch. Sei g ein erzeugendes Element von F p

Mehr

Systemsicherheit 8: Das Internet und Public-Key-Infratrukturen

Systemsicherheit 8: Das Internet und Public-Key-Infratrukturen Systemsicherheit 8: Das Internet und Public-Key-Infratrukturen Das TCP/IP-Schichtenmodell Das TCP/IP-Schichtenmodell (2) Modem Payload Payload Payload Payload http http http http TCP TCP TCP IP IP IP PPP

Mehr

4 RSA und PGP. Die Mathematik von RSA an einem Beispiel

4 RSA und PGP. Die Mathematik von RSA an einem Beispiel 4 RSA und PGP Im Juni 1991 wurde das Programm PGP (für pretty good privacy ) von Phil Zimmermann ins Internet gestellt. Es ermöglichte jedermann, e-mails derart gut zu verschlüsseln, dass nicht einmal

Mehr

Praktikum Diskrete Optimierung (Teil 11) 17.07.2006 1

Praktikum Diskrete Optimierung (Teil 11) 17.07.2006 1 Praktikum Diskrete Optimierung (Teil 11) 17.07.2006 1 1 Primzahltest 1.1 Motivation Primzahlen spielen bei zahlreichen Algorithmen, die Methoden aus der Zahlen-Theorie verwenden, eine zentrale Rolle. Hierzu

Mehr

Lösung zur Klausur zu Krypographie Sommersemester 2005

Lösung zur Klausur zu Krypographie Sommersemester 2005 Lösung zur Klausur zu Krypographie Sommersemester 2005 1. Bestimmen Sie die zwei letzten Ziffern der Dezimaldarstellung von 12 34 Es gilt: 12 34 = 12 32+2 = 12 32 12 2 = 12 (25) 12 2 = ((((12 2 ) 2 ) 2

Mehr

Methoden der Kryptographie

Methoden der Kryptographie Methoden der Kryptographie!!Geheime Schlüssel sind die sgrundlage Folien und Inhalte aus II - Der Algorithmus ist bekannt 6. Die - Computer Networking: A Top außer bei security by obscurity Down Approach

Mehr

Homomorphe Verschlüsselung

Homomorphe Verschlüsselung Homomorphe Verschlüsselung Sophie Friedrich, Nicholas Höllermeier, Martin Schwaighofer 11. Juni 2012 Inhaltsverzeichnis Einleitung Motivation Mathematische Definitionen Wiederholung Gruppe Ring Gruppenhomomorphisums

Mehr