Rückblick. Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen. 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen

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1 Rückblick Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits 66

2 Rückblick Gleitkommazahlen (IEEE Floating Point Standard 754) lassen das Komma bei der Darstellung wandern Zeichen werden mit Hilfe von Zeichensatztabellen (z.b. ASCII, ISO-8859-X, UTF-8, UTF-16) dargestellt 67

3 2.3 Boolesche Algebra Definition: Eine Boolesche Algebra ist eine Menge X mit Operationen +, und, die als oder, und und nicht bezeichnet werden und für die folgende Regeln gelten I. Assoziativität 8 a, b, c 2 X : (a + b)+c = a +(b + c) 8 a, b, c 2 X : (a b) c = a (b c) II. Kommutativität 8 a, b 2 X : (a + b) =(b + a) 8 a, b 2 X : (a b) =(b a) 68

4 Boolesche Algebra III. Distributivität 8 a, b, c 2 X : a +(b c) =(a + b) (a + c) 8 a, b, c 2 X : a (b + c) =(a b)+(a c) IV. Absorptionsgesetz 8 a, b 2 X : a +(a b) =a 8 a, b 2 X : a (a + b) =a V. Inverse Elemente 8 a 2 X : a + a =1 8 a 2 X : a a =0 69

5 Potenzmenge als Boolesche Algebra Beispiel 1: Die Potenzmenge P(M) einer beliebigen Menge M bildet mit den Operationen (Schnitt), (Vereinigung) und (Mengenkomplement) Betrachten wir die Menge M = {0, 1, 2}, dann hat ihre Potenzmenge die folgenden Elemente 8 9 ;, >< >= {0}, {1}, {2}, P (M) = {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, >: >; {0, 1, 2} 70

6 Potenzmenge als Boolesche Algebra Betrachten wir die Menge M = {1, 3, 5, 7}, dann hat ihre Potenzmenge die folgenden Elemente 71

7 Potenzmenge als Boolesche Algebra Beispiel 2: Die Menge der Booleschen Werte! = {0, 1} bildet mit den Operationen (oder), (und) und (nicht) eine Boolesche Algebra, welche Grundlage der Aussagenlogik ist _ ^

8 2.4 Aussagenlogik Auf der Menge der Booleschen Werte! = {0, 1} mit den Operationen (oder), (und) und (nicht) baut die sogenannte Aussagenlogik (vgl. Mathematik 1) auf Sie betrachtet Aussagen mit eindeutigen Wahrheitswert 11 ist eine Primzahl 16 ist ganzzahlig durch 3 teilbar Aussagen können miteinander verknüpft werden, um so zusammengesetzte Aussagen zu bilden 73

9 Aussagenlogik Neben den bereits bekannten Booleschen Operationen, und gibt es weitere Verknüpfungen z.b. XOR ( entweder oder ) Implikation ( folgt aus, wenn dann ) )

10 Aussagenlogik Äquivalenz ( genau dann wenn ),

11 Logische Variablen Definition: Wir nennen ein a {0,1} eine logische Variable Definition: Eine Zuweisung von Werten zu logischen Variablen nennen wir Belegung 76

12 Logische Ausdrücke Definition: Eine Verknüpfung von endlich vielen logischen Konstanten (0 und 1) und logischen Variablen heißt logischer Ausdruck. Die Reihenfolge, in der Verknüpfungen anzuwenden sind, wird durch Klammern bestimmt. Ausdrücke, die nur die Verknüpfungen, und enthalten, heißen Boolesche Ausdrücke. Um Klammern zu sparen, gelten Vorrangregeln bindet am stärksten bindet stärker als 77

13 Logische Äquivalenz Beispiele: (a b) c ist ein logischer Ausdruck a (b c) ist ein Boolescher Ausdruck Definition: Zwei logische Ausdrücke A 1 und A 2 heißen äquivalent (in Zeichen = ), wenn sie bei gleicher Belegung gemeinsamer Variablen stets den gleichen Wahrheitswert liefern A 1 = A 2 heißt dann logische Gleichung 78

14 Logische Äquivalenz mittels Wertetabellen In der Vorlesung Mathematik 1 wurde gezeigt, wie man die logische Äquivalenz zweier Ausdrücke A 1 und A 2 mittels ihrer Wertetabellen überprüfen kann Beispiel: A 1 = (a b) c und A 2 = ( a b) c a b c (a _ b) (a _ b) ) c a b c (a ^ b) (a ^ b) _ c

15 Logische Äquivalenz mittels Wertetabellen Beispiel: A 1 = (a b) und A 2 = ( a b) a b (a ) b) ( a _ b) Beispiel: A 1 = (a b) und A 2 = (a b) a b (a ) b) (a ^ b)

16 Logische Äquivalenz mittels Umformen Eine zweite Methode zum Zeigen der logischen Äquivalenz zweier Ausdrücke A 1 und A 2 besteht darin, einen anhand von Rechenregeln in den anderen umzuformen Rechenregeln für logische Ausdrücke (vgl. Handout): I. Negation der Negation ( a) =a II. Kommutativ-Gesetze a ^ b = b ^ a a _ b = b _ a 81

17 Logische Äquivalenz mittels Umformen III. Assoziativ-Gesetze (a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c) (a _ b) _ c = a _ (b _ c) IV. Distributiv-Gesetze a ^ (b _ c) =(a ^ b) _ (a ^ c) a _ (b ^ c) =(a _ b) ^ (a _ c) V. Idempotenz-Gesetze a ^ a = a a _ a = a 82

18 Logische Äquivalenz mittels Umformen VI. Komplement-Gesetze a ^ a =0 a _ a =1 VII. 0-1-Gesetze a ^ 0=0 a ^ 1=a a _ 0=a a _ 1=1 83

19 Logische Äquivalenz mittels Umformen VIII. Absorptions-Gesetze a ^ (a _ b) =a a _ (a ^ b) =a (a ^ b) _ (a ^ b) =a (a _ b) ^ (a _ b) =a (a ^ b) _ b = a _ b (a _ b) ^ b = a ^ b IX. De Morgan (a ^ b) = a _ b (a _ b) = a ^ b 84

20 Logische Äquivalenz mittels Umformen Beispiel: A 1 = (a b) c und A 2 = (a c) b (a ^ b) _ c =( a _ b) _ c (ix) = a _ ( b _ c) (iii) = a _ ( c _ b) (ii) =( a _ c) _ b (iii) = (a ^ c) _ b (ix) 85

21 Logische Äquivalenz mittels Umformen Beispiel: A 1 = ( (a b)) c und A 2 = a (b c) 86

22 2.5 Logische Funktionen Logische Funktionen spielen in der Informatik eine wichtige Rolle z.b. beim Entwurf von Schaltungen Definition: Eine Funktion f:{0,1} n {0,1} heißt vollständige (n-stellige) logische Funktion. Sie ordnet jedem binären n-tupel (a 1,,a n ) einen Wahrheitswert in {0,1} zu 87

23 Logische Funktionen Beispiel: An einem Haus sind drei Alarmsensoren befestigt. Ein Alarm soll ausgelöst werden, wenn mindestens zwei der Sensoren aktiv sind a i bezeichne den i-ten Sensor (a i = 0 : Sensor i nicht aktiv / a i = 1 : Sensor i aktiv) 88

24 Logische Funktionen Wir geben nun die Wertetabelle einer 3-stelligen logischen Funktion an, die angibt, wann ein Alarm ausgelöst wird a 1 a 2 a 3 f(a 1,a 2,a 3 ) Wie können wir eine gegebene n-stellige logische Funktion kompakt als logischen Ausdruck darstellen? 89

25 Disjunktive Normalform Definition: Ein logischer Ausdruck der Form K 1 _ K 2 _ K 3 _..._ K n heißt in disjunktiver Normalform (DN), wenn alle Konjunktionsterme K i (1 i n) paarweise verschieden sind Beispiele: Folgende Ausdrücke sind in disjunktiver Normalform (a ^ b) _ ( a ^ b) (a ^ b ^ c) _ ( a ^ b ^ c) _ (a ^ b ^ c) 90

26 Disjunktive Normalform Beispiele: Folgende Ausdrücke sind nicht in disjunktiver Normalform (a ^ b) _ ( a ^ b ^ c) _ (a ^ b) (a ^ b ^ c) _ (a ^ b ^ c) _ (a ^ b) Zu jedem logischen Ausdruck existieren in der Regel mehrere äquivalente logische Ausdrücke in disjunktiver Normalform Beispiel: (a ^ b) _ (a ^ b) _ (a ^ c) _ ( a ^ c) =a _ c 91

27 Kanonische disjunktive Normalform Definition: Ein logischer Ausdruck K 1 _ K 2 _ K 3 _..._ K n heißt in kanonischer disjunktiver Normalform (KDN), wenn er in DN ist und zusätzlich jeder der vorhandenen Konjunktionsterme alle n Variablen enthält und keine zwei Konjunktionsterme logisch äquivalent sind Es gibt keine zwei verschiedenen logischen Ausdrücke, die äquivalent sind und sich in KDN befinden 92

28 Kanonische disjunktive Normalform Die KDN einer logischen Funktion lässt sich wie folgt bestimmen: stelle die Wertetabelle der logischen Funktion auf konstruiere die Konjunktionsterme aus den Zeilen mit Wahrheitswert 1 ist a i in der Zeile wahr (d.h. mit 1 belegt) wird es zur Variablen a i ist a i in der Zeile falsch (d.h. mit 0 belegt) wird es zur Variablen a i 93

29 Kanonische disjunktive Normalform Beispiel: Die KDN zu unserem Alarm-Beispiel lässt sich aus der Wertetabelle ablesen als a 1 a 2 a 3 f(a 1,a 2,a 3 ) ( a 1 ^ a 2 ^ a 3 ) _ (a 1 ^ a 2 ^ a 3 ) _ (a 1 ^ a 2 ^ a 3 ) _ (a 1 ^ a 2 ^ a 3 ) 94

30 Kanonische disjunktive Normalform Die KDN der durch die Wertetabelle a 1 a 2 a 3 f(a 1,a 2,a 3 ) dargestellten logischen Funktion lautet 95

31 Zusammenfassung Boolesche Algebra als abstrakte algebraische Struktur Äquivalenz von logischen Ausdrücken lässt sich mittels Wertetabellen oder durch Umformung überprüfen Rechengesetze zum Umformen logischer Ausdrücke Kanonische disjunktive Normalform als eindeutige Darstellung einer logischen Funktion 96

32 Literatur [1] H.-P. Gumm und M. Sommer: Einführung in die Informatik, Oldenbourg Verlag, 2012 (Kapitel 5.2) 97

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