Investition und Finanzierung

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1 Investition und Finanzierung WS 2015/2016 Prof. Dr. André Betzer Dipl. Oek. Felix Schweder Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Schumpeter School of Business and Economics Bergische Universität Wuppertal Gaußstraße Wuppertal

2 Kapitel III Verfahren der Investitionsrechnung

3 Kapitelübersicht Einführung und Überblick Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode 2.2 Die Annuitätenmethode 2.3 Die Methode des internen Zinsfußes Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung

4 1 Einführung und Überblick Einführung und Überblick Annahmen: Vollkommener und vollständiger Kapitalmarkt, sichere Erwartungen, symmetrische Informationsverteilung. Konsequenzen: Separierbarkeit von Investitions- und Konsumentscheidungen, Delegierbarkeit von Investitionsentscheidungen, Unabhängigkeit der Investitions- von den Finanzierungsentscheidungen. Abbildung der Investitionsprojekte erfolgt durch Zahlungsreihen. 123

5 1 Einführung und Überblick Beispiel: Eine Zahlungsreihe I t 0 t 1 t 2 t n Einzahlung E 0 E 1 E 2 E n Auszahlung A 0 A 1 A 2 A n Einzahlungsüberschuss ( Cash-flow ) (E 0 A 0 ) (E 1 A 1 ) (E 2 A 2 ) (E n A n ) Beispiel: Eine Zahlungsreihe II Anschaffungsauszahlung Einzahlungsüberschüsse Normalinvestition A 0 E 1 E 2 E n Vorzeichen Wichtig: Gesuchte Zahlungen sind "cash flows". 124

6 1 Einführung und Überblick Das Problem der Datenbeschaffung Als Datenbeschaffung wird die Ermittlung der Zahlungsreihen verstanden, die in die Investitionsrechnung eingehen, Absatzplanung (Mengen/Preise), Reparaturplanung, Personalplanung, etc. Wichtig: ex-post-kontrolle. 125

7 1 Einführung und Überblick Drei Typen von Investitionsentscheidungen I. Ja-Nein-Entscheidung: Das sind Entscheidungen, bei denen zwischen den Alternativen Durchführung einer Investition und Unterlassung der Investition auszuwählen ist (z.b. Unternehmenskauf oder nicht). II. Auswahlentscheidungen: Das sind Entscheidungen, bei denen eines von mehreren Investitionsprojekten ausgewählt und durchgeführt wird (z.b. Finanzmittel sind beschränkt etc.). Programmentscheidungen: Im Gegensatz zu II geht es nicht darum, eines von mehreren Investitionsprojekten zu realisieren, sondern darum, ein Investitionsprogramm aufzustellen (z.b. mehrere Maschinen für den operativen Prozess). 126

8 1 Einführung und Überblick Statische I Merkmale: Investitionsprojekte werden bewertet auf Basis periodisierter (periodenbezogener) Erfolgsgrößen, vernachlässigen die zeitliche Struktur der Ein- und Auszahlungen. Verfahren: Kostenvergleich, Gewinnvergleich, Rentabilitätsvergleich, (statische) Amortisationsrechnung: Ermittelt Zeitpunkt, an dem die Anschaffungsauszahlung vollständig zurückgeflossen ist, vernachlässigt aber später anfallende Zahlungen. 127

9 1 Einführung und Überblick Statische II Beurteilung: Verfahren sind populär, aber unzureichend, sie führen nicht immer zur gleichen Entscheidung wie die dynamischen Verfahren. Amortisationsrechnung kann als Risikomaß interpretiert werden. Statische Verfahren werden auf Grund ihrer Einfachheit oft und gerne in der Praxis angewandt, schützen allerdings daher auch nicht vor Fehlentscheidungen. Dynamische oder finanzmathematische Verfahren sollten bevorzugt werden. 128

10 Kapitelübersicht Einführung und Überblick Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode 2.2 Die Annuitätenmethode 2.3 Die Methode des internen Zinsfußes Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung

11 2 Dynamische Dynamische Merkmale: Basieren auf Ein- und Auszahlungen (Cash-flows), berücksichtigen die zeitliche Struktur der Ein- und Auszahlungen. Die Verfahren: Kapitalwertmethode (net present value, NPV), Annuitätenmethode, Methode des internen Zinsfußes (internal rate of return, IRR). 130

12 2 Dynamische Der Kalkulationszins I Alle drei Verfahren benötigen einen Kalkulationszinssatz und unterstellen Existenz eines vollkommenen Kapitalmarktes. Der Kalkulationszins ist: bei Annahme sicherer Erwartungen der Zinssatz für risikolose Geldanlage bzw. Kreditaufnahme am vollkommenen Kapitalmarkt, bei der (realistischeren) Annahme unsicherer Erwartungen ein risikoadjustierter Zins. Genauer: der Kapitalmarktzins für Geldanlage bzw. Kreditaufnahme mit dem gleichen Risiko wie das Investitionsprojekt. 131

13 2 Dynamische Der Kalkulationszins II Kalkulationszins Projektrisiko 132

14 2 Dynamische Die Verfahren Bei Unsicherheit sinnvoll: Sensitivitätsanalysen. Unterschiede: Kapitalwertmethode und Annuitätenmethode sind (bei richtiger Anwendung) äquivalent. Sie drücken lediglich die durch die Investition erzielbare Vermögensmehrung auf unterschiedliche Weise aus. Die Methode des internen Zinsfußes kann zu anderen Entscheidungen führen. Grund hierfür ist eine abweichende Reinvestitions- und Finanzierungsannahme. 133

15 Kapitelübersicht Einführung und Überblick Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode 2.2 Die Annuitätenmethode 2.3 Die Methode des internen Zinsfußes Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung

16 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Die Kapitalwertmethode C 1 Investitionsfunktion (Transformationskurve) Isobarwertlinie (neu) Isobarwertlinie (alt) C 0 135

17 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Das Prinzip der Kapitalwertmethode I Investition wird anhand der Veränderung der Konsummöglichkeiten beurteilt. Bei vollständigem und vollkommenem Kapitalmarkt ist es unerheblich, ob die Veränderung im Zeitpunkt t 0 oder t 1 gemessen wird: ( ) C = C + i Gilt bei mehr als zwei Perioden entsprechend. 136

18 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Das Prinzip der Kapitalwertmethode II i ist der Kalkulationszinssatz: Allgemein: Opportunitätskostensatz (Alternativertragssatz), bei sicheren Erwartungen: Zinssatz [Soll = Haben] für risikolose Anlagen auf dem vollkommenen Kapitalmarkt, bei unsicheren Erwartungen: risikoäquivalenter Alternativertragssatz auf dem vollkommenen Kapitalmarkt. 137

19 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Das Prinzip der Kapitalwertmethode III Veränderung der Konsummöglichkeiten durch einperiodiges IP: Verzicht auf A 0 heute, Zuwachs E 1 in t 1, Veränderung der Konsummöglichkeiten in t 0 : K E = A ( 1+ i) 138

20 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Das Prinzip der Kapitalwertmethode IV Mehrperiodenfall: Alle dem Investitionsprojekt zuzurechnenden Zahlungen werden auf den Zeitpunkt unmittelbar vor der ersten Zahlung (i.a. t 0 ) bezogen. Wegen der Annahmen über den Kapitalmarkt ist ein solcher Tausch von Zahlungen tatsächlich zum Zins i möglich. 139

21 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Der Kapitalwert I K 0 : Summe aller auf den Zeitpunkt t 0 abgezinsten Zahlungen. Gegenwarts- oder Barwert, Kapitalwerte sind additiv: ( 1) ± ( 2) = ( 1± 2) K I K I K I I Alternative Definitionen des Kapitalwerts: Veränderung der Konsummöglichkeiten (Vermögensmehrung) im Zeitpunkt t 0, Grenzpreis der Investition. 140

22 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Der Kapitalwert II E1 E2 E n K0 = E A0 + A1 + A K = n n Et At 0 = 2 n 2 ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) t ( 1+ i) t ( 1+ i) ( Et At ) t ( 1+ i) t= 0 = 0 n t= 0 t A n n 141

23 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Kapitalwert für Normalinvestition K E E E = A 1 2 n 0 n 0 2 ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) n Et = A t= 1 ( 1+ i) t 0 142

24 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Das Entscheidungskriterium der Kapitalwertmethode Ja-Nein-Entscheidung: Ein IP sollte genau dann durchgeführt werden, wenn sein Kapitalwert positiv ist. Auswahlentscheidung zwischen sich aus technischen Gründen ausschließenden Projekten: Das Investitionsprojekt mit dem höchsten Kapitalwert sollte durchgeführt werden. 143

25 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Zinsstruktur und Kapitalwert Annahme eines vollständigen und vollkommenen Kapitalmarktes erfordert nicht, dass der Zinssatz in allen Perioden gleich ist. Zinssätze können vom Zeitpunkt der Kapitalüberlassung abhängen. Ein sogenanntes Termingeschäft stellt einen Vertrag dar, der im Zeitpunkt t 0 geschlossen wird und der beispielsweise festlegt, dass der eine Vertragspartner im Zeitpunkt t 1 einen Geldbetrag von 100 GE bekommt und dafür nach einem weiteren Jahr, also im Zeitpunkt t 2, 112 Geldeinheiten zurückbezahlen muss (Terminzinssatz). Wenn Wirtschaftssubjekte tendenziell früheren Konsum einem gleich hohen späteren Konsum vorziehen, also, eine Gegenwartspräferenz besitzen, so müssten die Preise am Kapitalmarkt dies reflektieren. Das Versprechen auf Zahlung eines bestimmten Betrages in einer Periode müsste heute am Kapitalmarkt einen höheren Preis erzielen bzw. mehr kosten als das Versprechen auf Zahlung eines gleich hohen Betrages in zwei Perioden. 144

26 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Beispiel: Zinsstruktur und zum Kapitalwert Annahme Periodenzins: 10%. Gegenleistung für 1 GE in zwei Perioden - was würde man für diese berechnete Gegenleistung heute bezahlen, wenn man diese schon nach einer Periode erhält? Zinssätze für eine einzelne Periode können sich bei unterschiedlichen Laufzeiten und Fristigkeiten ebenfalls unterscheiden (trotz der Annahme eines vollkommenen Kapitalmarktes). Diesen Zusammenhang zwischen Laufzeit und Periodenzinssatz bezeichnet man als Zinsstruktur. 145

27 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Die Zinsstruktur I Mögliche Gründe für den unterschiedlichen Verlauf der Kurven: 1. Erwartungshypothese 2. Liquiditätspräferenzhypothese Quelle: FAZ,

28 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Die Zinsstruktur II Zinsstruktur normal flach invers i 1 < i 2 < i 3 < < i n i 1 = i 2 = i 3 = = i n i 1 > i 2 > i 3 > > i n Rückzahlung in: Geldanlage oder Kreditaufnahme in: t 0 t 1 t 2 t 1 t 2 t 3 i0,1 i i i 1 0,2 0,3 i i 1,2 2 i i 1,3 i 2,

29 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Die Zinsstruktur III Mit: 2 ( 1+ i0,2 ) = ( 1+ i0,1 )( 1+ i1,2 ) = ( 1+ i1 )( 1+ i2 ) 3 ( 1+ i0,3 ) = ( 1+ i0,1 )( 1+ i1,2 )( 1+ i2,3 ) = ( 1+ i1 )( 1+ i2 )( 1+ i3 ) n n ( 1+ i0, n ) = ( 1+ it 1, t ) = ( 1+ it ) t= 1 t= 1 n 148

30 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode K Anwendung des Kapitalwertes bei nicht-flacher Zinsstruktur E E E = A 1 2 n 0 0 ( 1+ i1 ) ( 1+ i1 )( 1+ i2 ) ( 1+ i1 )( 1 + i2 )...( 1+ in ) Et = A n t t= 1 τ = 1 ( 1+ ) i τ 0 ODER: K E E E = A 1 2 n 0 n 0 2 ( 1+ i0,1 ) ( 1+ i0,2 ) ( 1+ i0, n ) n E = A t t= 1 ( 1+ i0, t ) t 0 149

31 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Reinvestitions- und Finanzierungsannahmen I Wofür braucht man solche Annahmen? Was geschieht mit zwischenzeitlichen Einzahlungen? Wie können zwischenzeitliche Auszahlungen finanziert werden? Was passiert, wenn zwei zu vergleichende Projekte unterschiedlichen Kapitaleinsatz aufweisen? Was passiert, wenn die zeitliche Struktur der Zahlungsreihen zweier Projekte unterschiedlich ist? Kapitalwertmethode nimmt (in Übereinstimmung mit der Annahme eines vollständigen und vollkommenen Kapitalmarktes) an, dass: o zwischenzeitliche Einnahmen aus einem IP zum Kalkulationszinssatz i angelegt werden können und o benötigte Mittel über einen Kredit zum Kalkulationszinssatz beschafft werden können. 150

32 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Beispiel: Reinvestitions- und Finanzierungsannahmen I Projekt: [ 100; 60; 60] Zins: i = 10% K = = = 4,13 1,1 1,1 1,1 1, Zuwachs an Konsummöglichkeiten in t 0 ist realisierbar, wenn Geldanlage und Kreditaufnahme zum Kalkulationszinssatz möglich sind: 151

33 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Beispiel: Reinvestitions- und Finanzierungsannahmen II Projekt: [ 100; 60; 60] Zins: i = 10% t 0 t 1 t 2 Projekt Anlage Kredit 104, Summe 4, (Vollständiger Finanzplan, hier mit Vermögensmaximierung in t 0.) 152

34 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Beispiel: Reinvestitions- und Finanzierungsannahmen III Er ist nicht realisierbar, wenn zwischenzeitliche Anlage zu i nicht möglich ist: t 0 t 1 t 2 Projekt Anlage Kredit 99, Summe - 0, Die Annahme eines vollständigen und vollkommenen Kapitalmarktes ist notwendig. 153

35 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Projekte mit unterschiedlicher Nutzungsdauer 1. Fall: Projekte werden nur einmal durchgeführt Keine Änderung der Entscheidungsregel, Beispiel: Zwei technische Möglichkeiten, ein Rohstoffvorkommen zu fördern. 2. Fall: Projekte können mehrmals durchgeführt werden unendliche identische Reinvestition, Modifikation der Entscheidungsregel (s.u.). Beispiel: Taxiunternehmen muss sich zwischen zwei Fahrzeugen mit unterschiedlicher erwarteter (technischer oder ökonomischer) Nutzungsdauer entscheiden. 154

36 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Modifizierte Entscheidungsregel I Es müssen Projekte mit gleicher Laufzeit verglichen werden. Identische Reinvestition so lange, bis gleiche Laufzeit erreicht ist. kleinstes gemeinsames Vielfaches Falsch: Beispiel: (i = 10%) t 0 t 1 t 2 t 3 K 0 I ,13 I ,5 42,5 42,5 5,69 155

37 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Richtig: Modifizierte Entscheidungsregel II t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 K 0 I I ,5 42,5 42, ,5 42,5 42,5 10,36 9,96 Ebenfalls richtig und einfacher: t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 K 0 I 1 4,13 4,13 4,13 10,36 I 2 5,69 5,69 9,96 Bildung sogenannter Ergänzungszahlungsreihen, Verfahren ist auf Fälle mit mehr als zwei Projekten übertragbar. 156

38 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Nutzungsdauerentscheidungen Die Nutzungsdauer eines Investitionsprojektes ist oft nicht vorgegeben, daher: Frage nach der wirtschaftlich optimalen Nutzungsdauer. Beispiel: Nach wie vielen Jahren sollte man ein Auto ersetzen? Ein einfaches Verfahren: Ermittlung der plausiblen Nutzungsdauern, Aufstellung der Zahlungsreihen (unter Berücksichtigung des Restwertes am Ende der untersuchten Nutzungsdauer), Keine Wiederholung: einfacher Kapitalwertvergleich, Wiederholung (d.h. jeweils Ersatz am Ende der ND): Vergleich gemäß der o.a. Methode für mehrere wiederholbare Projekte mit unterschiedlicher Nutzungsdauer. 157

39 2 Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode Beispiel: Nutzungsdauerentscheidungen Eine Maschine kann maximal 3 Jahre genutzt werden. Danach ist sie wertlos und muss verschrottet werden. Alternativ könnte sie nach zwei Jahren ersetzt werden. Sie kann dann für 30 GE verkauft werden. t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 K 0 I ,92 I ,66 t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 K 0 I 1 25,92 25,92 45,39 I 2 20,66 20,66 20,66 51,85 Ersatz nach zwei Jahren ist vorteilhaft, aber: ohne Ersatz Nutzung über 3 Jahre vorteilhaft. 158

40 Kapitelübersicht Einführung und Überblick Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode 2.2 Die Annuitätenmethode 2.3 Die Methode des internen Zinsfußes Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung

41 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Die Annuitätenmethode I Jede regelmäßige Geldzahlung heißt Rente. Je nach Zahlungsdauer unterscheidet man in Zeitrente (bekannte Frist), Leibrente (unbekannte Frist) und ewige Rente (unbegrenzt). Kapitalisierung ist das Umrechnen einer Rente in eine einmalige (heutige) Zahlung. 160

42 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Die Annuitätenmethode II Abzinsen und Summieren K 0 =? a a a... a n (Jahre) Gegenwartswert einer Rentenzahlung: K = a 1 + a 1 + a 1 + K+ a i 1+ i 2 1+ i 3 1+ i ( ) ( ) ( ) n 161

43 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Die Annuitätenmethode III Da dies mit einer langen Frist schwer zu berechnen ist, existiert eine Vereinfachung: K = a K+ 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i ( ) ( ) ( ) = a K+ 1+ i 1+ i ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) 1 = a f + f + f + f + + f mit f = n 1 ( 1 K ) 2 3 n 1 n ( 1+ i) 162

44 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Die Annuitätenmethode IV Eine geometrische Reihe Für alle Reihen: s = 1+ g + g + g + K+ g n + g gilt: n n 1 s n n 1 n i 1 g = g = 1 g i= 0 163

45 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode D.h. in unserem Fall (g=f): Die Annuitätenmethode V ( K n ) K = a f + f + f + f + + f n 1 f 1 = a f mit f = 1 f 1+ n ( i) ( 1 i) 1+ 1 = a = a Rbf n + i ( i) Mit Hilfe des Rentenbarwertfaktors (Rbf) lässt sich aus einer nachschüssigen (d.h. Rentenzahlung beginnt erst in t = 1) Rente a bei Laufzeit n und Zins i der Barwert K 0 errechnen. 164

46 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Beispiel: Die Annuitätenmethode I Ein Raucher gibt pro Jahr 1200 für Zigaretten aus. Wie hoch ist der Gegenwartswert der Zahlungsreihe bei einer Restlebenserwartung von 40 Jahren und einem Zins von 6%? Berechnung zu Beispiel I: K ( i) ( i) n ( ) ( ) , 06 1 = a = i 1,06 0,06 0 n , ,

47 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Beispiel: Die Annuitätenmethode II Ein Unternehmer rechnet damit, seinen Angestellten nach Ausscheiden aus der Arbeitstätigkeit für 25 Jahre eine betriebliche Rente i. H. v jährlich zu zahlen. Wie viel muss er zum Zeitpunkt der Pensionierung für jeden Arbeitnehmer bereitliegen haben, wenn er kein Kapital in die betriebliche Rentenkasse nachschießen möchte (i=6%)? Berechnung zu Beispiel II: K ( i) ( i) n ( ) ( ) , 06 1 = a = i 1,06 0,06 0 n , ,

48 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Beispiel: Die Annuitätenmethode III Die Jahresmiete für eine Wohnung beträgt Mit welchem Betrag könnte man bereits heute die Miete für die nächsten 12 Jahre begleichen (i = 10%)? Berechnung zu Beispiel III: K ( i) ( i) n ( ) ( ) ,10 1 = a = i 1,1 0,1 0 n , ,

49 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Beispiel: Die Annuitätenmethode IV Auf welche Mieteinnahmen verzichtet der Vermieter, wenn er die Wohnung verkauft und die Miete sich niemals ändert (i = 10%)? Berechnung zu Beispiel IV: Ewige Rente, d.h. n = unendlich ( ) ( 1 i) n ( ) 1+ i i a K0 = lim a = a lim = n n n + i i i Der Gegenwartswert einer ewigen (nachschüssigen) Zahlung von a beträgt a/i Der Gegenwartswert und heißt Barwert einer einer ewigen(nachschüssigen) Rente. Zahlung von a beträgt a/i und heißt. K0 = a i = ,1 = n 168

50 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Beispiel: Die Annuitätenmethode V Caroline hat von ihrem Opa geerbt. Damit möchte sie sich ihre Ausbildung finanzieren. Mit welchem jährlichen Zuschuss kann sie rechnen, wenn nach dem Ende der Ausbildung (4 Jahre) a) nichts mehr, b) 5000 übrig sein sollen? Berechnung zu Beispiel V: a) Jetzt: Nicht die Rente sondern Barwert gegeben, der in (nachschüssige) Rente verwandelt werden soll. 169

51 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Beispiel: Die Annuitätenmethode VI Auflösen nach a: K = a Rbf a = 1 K = Wgf K Rbf mit Wgf = = Rbf ( 1 i) n ( i) n + i 1+ 1 Mit Hilfe des Wiedergewinnungsfaktors (Wgf) lässt sich aus einer einmaligen heutigen Zahlung K 0 die nachschüssigen Rente a bei Laufzeit n und Zins i errechnen. 170

52 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Beispiel: Die Annuitätenmethode VII ( i) ( i) ( ) ( ) 1 1+ i 1+ 0,1 0,1 a = K0 = K0 = n 4 Rbf ,1 1 0, , 42 n 4 Verrenten K 0 a =? a =? a =?... a =? n (Jahre) 171

53 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Beispiel: Die Annuitätenmethode VIII b) Nun soll nicht nur eine 4 jährige Rente gezahlt werden, sondern auch noch ein Restbetrag von (in t = 4) verbleiben: t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = a + a + a + a Darstellung als Investitionsprojekt mit Anfangsauszahlung i. H. v (=Geldanlage) und Einzahlungen. t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = a + a + a + a

54 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Beispiel: Die Annuitätenmethode IX! = a Rbf , , 07 = a Rbf ,93 = a Rbf , ,93 1,1 0,1 Wgf 1,1 4 1 = = a = 5.232, 06 a 173

55 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Die Annuitätenmethode Gegeben: Zahlungsreihe eines Investitionsprojekts. Die Annuität (a) ist diejenige nachschüssige Rente, die den gleichen Kapitalwert aufweist wie die Investitionszahlungsreihe: a = K Wgf = K 0 0 ( 1+ i) n ( i) n i 1+ 1 Sonderfall ewige Rente: a = K0 i Anwendungsfall: z.b. Baufinanzierungskredite. 174

56 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Prinzip der Annuitätenmethode Investitionszahlungsreihe wird in Annuität umgerechnet. Die Beurteilung erfolgt anhand der Höhe der Annuität. Die Annuität eines IP ist der zusätzliche Einkommensbetrag, den der Investor während der Laufzeit der Annuität durch die Realisation des Projektes erzielt. 175

57 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Errechnung I. Errechnung des Kapitalwertes II. Umrechnung des Kapitalwertes in eine Annuität: a Entscheidungsregel: Eine Investition ist vorteilhaft, wenn ihre Annuität positiv ist. Von mehreren sich ausschließenden (und nicht wiederholbaren) IP ist das mit der höchsten Annuität zu wählen. Voraussetzung: gleiche Laufzeit der Annuitäten. 176

58 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Beispiel: Errechnung I Projekt: [-100, 60, 60] Zins: i = 10%; K 0 : 4,13 2 1,1 0,1 2 1,1 1 Wgf = = 0,5762 a = 4,13 0,5762 = 2,38 Dieser Zuwachs an Konsummöglichkeiten in t 1 und t 2 ist bei vollkommenem Kapitalmarkt realisierbar: 177

59 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Beispiel: Errechnung II t 0 t 1 t 2 Projekt Anlage - 57,62 63,38 Kredit Summe 0 2,38 2,38 Vollständiger Finanzplan, hier mit Einkommensmaximierung während der Projektlaufzeit. 178

60 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Projekte mit unterschiedlicher Nutzungsdauer I Einmalige Durchführung: Keine Modifikation, aber Annuitäten beider Projekte müssen mit gleicher Laufzeit berechnet werden. Wiederholbare Projekte entweder: Angleichung der Projektlaufzeiten wie bei Kapitalwertmethode; oder: Berechnung der Annuität mit der jeweiligen Projektdauer als Laufzeit (implizite Annahme unendlicher identischer Reinvestition). 179

61 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Projekte mit unterschiedlicher Nutzungsdauer II Kapitalwert Annuität einmalige Durchführung Direkter Kapitalwertvergleich Annuitätenvergleich, gleiche Laufzeit unendliche identische Reinvestition Angleichung der Laufzeit, dann Kapitalwertvergleich Annuitätenvergleich, unterschiedliche Laufzeit 180

62 2 Dynamische 2.2 Die Annuitätenmethode Annuitätenmethode und Kapitalwertmethode Bei vollständigem und vollkommenem Kapitalmarkt kann höherer Geldbetrag in t 0 auch in höhere Annuität gegebener Laufzeit transferiert werden. Folge: Kapitalwertmethode und Annuitätenmethode führen (bei richtiger Anwendung) zu identischen Entscheidungen. Da die Annuität eine Transformation des Kapitalwertes ist, entsprechen auch die Reinvestitions- und Finanzierungsannahmen der Annuitätenmethode denen der Kapitalwertmethode. Die Annuitätenmethode ist in den Ergebnissen gleichwertig, in der Anwendung jedoch (meist) komplizierter. 181

63 Kapitelübersicht Einführung und Überblick Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode 2.2 Die Annuitätenmethode 2.3 Die Methode des internen Zinsfußes Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung

64 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Grundidee: Die Methode des internen Zinsfußes I Beurteilung von Investitionsprojekten anhand der Verzinsung auf das eingesetzte Kapital; d.h. anhand ihrer Rendite, Vorteil: Renditezahlen sind leicht interpretierbar. Die Investitionsrendite wird als interner Zinsfuß bezeichnet. Renditeermittlung allgemein: r t p p p p p p t t 1 t t 1 t 1 t = 1+ rt = + = pt 1 pt 1 pt 1 pt 1 pt pt pt 1 = pt 1 = 0 1+ r 1+ r 183

65 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Die Methode des internen Zinsfußes II Für einperiodige Normalinvestition: E1 1+ r A = 0 0 Daher: Interner Zinsfuß (Rendite) einer Investition ist derjenige Zinssatz, der einen Kapitalwert von 0 ergäbe, wenn man ihn als Kalkulationszinssatz verwendete. 184

66 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Die Methode des internen Zinsfußes III Allgemein: ( ) ( ) ( Et At ) ( ) E A = 0 oder = 0 1+ r 1+ r 1+ r n n n t t t t t t= 0 t= 0 t= 0 Normalinvestition: n t= 1 E t ( 1+ r) t A =

67 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Die Methode des internen Zinsfußes IV Errechnung: Errechnung des internen Zinsfußes für n-periodiges Investitionsprojekt erfordert Lösung eines Polynoms n-ten Grades. Häufig nur numerisch lösbar. Probleme mit Mehrfachlösungen und nicht existierenden (reellen) Lösungen. 186

68 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Die Methode des internen Zinsfußes V Bei Beschränkung auf ökonomisch interpretierbare Werte (r > -1 bzw. r > -100%) gilt: Eine Zahlungsreihe hat höchstens so viele reelle interne Zinsfüße wie sie Vorzeichenwechsel aufweist. Normalinvestition und Normalfinanzierung: Nur ein Vorzeichenwechsel, demnach eindeutiger interner Zinsfuß. 187

69 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Die Methode des internen Zinsfußes VI I 1 K ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 i I

70 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Interpretationen des internen Zinsfußes Investitionsrendite oder -rentabilität, Kritischer Zinssatz für die Finanzierung, Effektivverzinsung des jeweils gebundenen Kapitals. 189

71 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Entscheidungsregel Eine Investition ist vorteilhaft, wenn ihr interner Zinsfuß über dem Kalkulationszins ( hurdle rate ) liegt. Eine Finanzierung ist vorteilhaft, wenn ihr interner Zinsfuß unter dem Kalkulationszins liegt. Richtiger Kalkulationszins auf vollkommenem Kapitalmarkt: Kapitalmarktzins i als Zinssatz für risikolose Anlagen bzw. als risikoäquivalenter Alternativertragssatz. Auswahlentscheidungen: nächster Abschnitt. 190

72 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Reinvestitions- und Finanzierungsannahmen Zwischenzeitliche Einnahmen aus einem Investitionsprojekt können zum internen Zinsfuß r angelegt werden. Ist diese Annahme nicht erfüllt, so ist die ermittelte Investitionsrendite nicht erzielbar. 191

73 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Beispiel: Der interne Zinsfuß I Projekt: [ 100, 60, 60] Zins: i = 10% ( r) = 0 ( 1+ r) ( 1+ r) ( r) ( r) 0, ,6 1+ = 0 ( r) ,3 = 0,6 + 0,09 = 0,69 r 1+ = ± 0,69 + 0,3 = 0,13066, r = 1, interner Zinsfuß r = 13,066%. 192

74 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Beispiel: Der interne Zinsfuß I t 0 t 1 t 2 Projekt Anlage ,84 Kredit ,84 Summe Rendite aus dem Investitionsprojekt reicht aus, um den mit 13,066% zu verzinsenden Kredit zurückzuzahlen, dafür ist es erforderlich, dass zwischenzeitliche Geldanlage zu 13,066% erfolgt, Widerspruch zur Annahme des vollständigen und vollkommenen Kapitalmarktes. 193

75 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Beispiel: Der interne Zinsfuß I t 0 t 1 t 2 Projekt Anlage Kredit 98, Summe - 1, Ist Anlage nur zum Kapitalmarktzins 10% möglich, reichen die Erträge nicht, um den mit 13,066% zu verzinsenden Kredit zurückzuzahlen. Daher: Investitionsrendite von r ist nicht realisierbar, wenn zwischenzeitliche Geldanlage nicht zum Zinssatz r möglich ist. 194

76 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Ein weiteres Beispiel: Zwei sich ausschließende Projekte Zins: i = 10% I 1 : [-100, 125] I 2 : [-200, 240] Kapitalwertmethode: I 2 ist vorzuziehen. Interner Zinsfuß: I 1 ist vorzuziehen. Implizite Annahme, der Differenzbetrag könne zum internen Zinsfuß (25%) angelegt werden. Schlussfolgerung: Reinvestitions- und Finanzierungsannahmen widersprechen der Annahme eines vollständigen und vollkommenen Marktes. Methode des internen Zinsfußes kann zu anderen Ergebnissen führen als die Kapitalwertmethode. 195

77 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Kapitalwertmethode und Methode des internen Zinsfußes I Gemeinsamkeiten: Kalkül auf Basis von Ein- und Auszahlungen, Berücksichtigung der zeitlichen Struktur der Zahlungen. Unterschiede: Entscheidungskriterium: Maximierung des Vermögens in t 0 versus Maximierung der Investitionsrendite, Reinvestitions- und Finanzierungsannahmen: Kapitalmarktzins versus interner Zinsfuß. 196

78 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Kapitalwertmethode und Methode des internen Zinsfußes II Gelegentlich behauptet, aber falsch: Für die Anwendung der Methode des internen Zinsfußes sei die Kenntnis eines Kalkulationszinsfußes nicht erforderlich. Frage: Führen beide Methoden zu identischen Entscheidungen? Wenn nein: Führt eine Methode zu besseren Entscheidungen? 197

79 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Kapitalwertmethode und Methode des internen Zinsfußes II Analyse anhand der Kapitalwertfunktion - gibt die Höhe des Kapitalwertes einer Zahlungsreihe in Abhängigkeit vom Kalkulationszins an: E K i A 0 ( ) = n t t 0 t=1 1 ( + i) 198

80 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Zur Wiederholung: Entscheidungskriterien Kapitalwertmethode: Ja-Nein: Führe ein (Investitions- oder Finanzierungs-) Projekt durch, wenn der Kapitalwert positiv ist. Auswahl: Führe von mehreren sich ausschließenden Projekten das mit dem höchsten Kapitalwert durch. Interner Zinsfuß: Ja-Nein: Führe ein Investitionsprojekt [Finanzierungsprojekt] durch, wenn der interne Zinsfuß größer als [kleiner als] der Kalkulationszinsfuß (!) ist. Auswahl: Führe von mehreren sich ausschließenden Investitionsprojekten [Finanzierungsprojekten] das mit dem höchsten [niedrigsten] internen Zinsfuß durch (?). 199

81 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Ja-Nein-Entscheidungen bei Normalinvestitionen (und Normalfinanzierungen) Beide Verfahren führen zu der gleichen Entscheidung. [-100, 40, 40, 40] 200

82 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Auswahlentscheidung bei Normalinvestitionen (und Normalfinanzierung) Unterschiedliche Entscheidungsempfehlungen möglich! [-100, 40, 40, 40] [-100, 0, 35, 90] Grund: unterschiedliche Reinvestitions- und Finanzierungsannahmen! 201

83 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Ein Beispiel: Reinvestitions- und Finanzierungsannahmen und Entscheidungsempfehlungen I (i = 10%): I 1 : [-100, 60, 60] K 0 : 4,13 r: 13,066% I 2 : [-100, 0, 127,5] K 0 : 5,37 r: 12,916% Projekte unterscheiden sich hinsichtlich: Breite und zeitlicher Struktur des Zahlungsstroms. Jetzt: Angleichung der zeitlichen Struktur, durch Kreditaufnahme/Geldanlage, gemäß einem den Reinvestitions- und Finanzierungsannahme entsprechenden Zins. 202

84 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Ein Beispiel: Reinvestitions- und Finanzierungsannahmen und Entscheidungsempfehlungen I Kapitalwertmethode: interner Zinsfuß: I ,5 I EZR ergänztes I I ,5 I EZR ,84 ergänztes I ,84 Die unterschiedlichen Reinvestitions- und Finanzierungsannahmen führen zu der unterschiedlichen Entscheidungsempfehlung. 203

85 2 Dynamische 2.2 Die Methode des internen Zinsfußes Fazit Nur die Reinvestitions- und Finanzierungsannahme der Kapitalwertmethode passt zur Annahme des vollkommenen Kapitalmarktes. Daher ist unter der Annahme eines vollkommenen Kapitalmarktes die Kapitalwertmethode der Methode des internen Zinsfußes überlegen. 204

86 Kapitelübersicht Einführung und Überblick Dynamische 2.1 Die Kapitalwertmethode 2.2 Die Annuitätenmethode 2.3 Die Methode des internen Zinsfußes Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung

87 3 Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung I Annahme der Investitionsrechnung: vollkommener Kapitalmarkt, d.h. Soll- und Habenzinssatz identisch, keine Finanzierungsrestriktionen, solange Rückzahlung möglich ( sichere Erwartungen). Alle profitablen Projekte sind (zum Kapitalmarktzins i) finanzierbar. Investitionsentscheidungen können isoliert beurteilt werden. 206

88 3 Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung II Unvollkommener Kapitalmarkt: beschränkter Kapitalmarkt: Sollzins > Habenzins ( gespaltener Soll/Habenzins). Strikte Rationierung: Limitierung der insgesamt beschaffbaren Mittel, schwache Rationierung: Zins steigt mit dem Kreditvolumen. Konsequenz des unvollkommenen Kapitalmarkts: Isolierte Beurteilung von Investitionsprojekten nicht möglich, Isolierung von Investitions- und Konsumentscheidungen nicht möglich. 207

89 3 Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung III Lösung i.a.: Vorgabe eines Ziels Endvermögensmaximierung bei gegebenem Entnahmestrom oder Maximierung des Entnahmestroms bei gegebenem Endvermögen. Investitions- Finanzierungs- und Konsumentscheidungen sind simultan zu treffen, dazu: Verwendung wirklicher Konditionen für Kreditaufnahme und Geldanlage. Verfahren: 1. Capital Budgeting (Dean-Modell), 2. Simultanplanung mit Hilfe der linearen Programmierung. 208

90 3 Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung Capital Budgeting - Das Dean-Modell I Charakteristika: Einperiodenmodell (s.u.), Mehrere (beliebig teilbare) Investitions- und Finanzierungsprojekte gegeben, Konsumentscheidung für t 0 ist getroffen, Konsum/Vermögen in t 1 soll maximiert werden. 209

91 3 Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung Capital Budgeting - Das Dean-Modell II Lösungsansatz: Kapitalbedarf: Ordnung von Investitionsprojekten nach dem internen Zinsfuß. Kapitalangebot: Ordnung von Finanzierungsalternativen nach den Kapitalkosten. Optimales Investitionsprogramm im Schnittpunkt von Kapitalangebotsund Kapitalbedarfskurve. 210

92 3 Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung Ein Beispiel: Das Dean-Modell I Inv.- Projekt A 0 Int. Kap.- Finanzierung E 0 Zinsfuß Kosten % % % % % % % % Quelle: (Schmidt/Terberger 1997, S. 170f.) 211

93 3 Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung Ein Beispiel: Das Dean-Modell II 25 Interner Zinsfuß bzw. Kapitalkosten Interner Zinsfuß Kapitalkosten Volumen 212

94 3 Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung Ein Beispiel: Das Dean-Modell II Kurven stellen dar: Grenzerträge der Mittelverwendung bzw. Grenzkosten der Mittelbeschaffung. Gleichgewicht also: Grenzrendite der Mittelverwendung = Grenzkosten der Mittelbeschaffung Schnittpunkt (cut-off-point) liefert optimales Investitions- und Finanzierungsprogramm. 213

95 3 Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung Optimales Investitions- und Finanzierungsprogramm I Interner Zinsfuß bzw. Kapitalkosten Fläche zwischen den Kurven links vom cut-off-point misst Gewinn durch das optimierte Investitions- und Finanzierungsprogramm. i Kapitalangebot Cut-Off-Point Kapitalnachfrage Volumen 214

96 3 Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung Optimales Investitions- und Finanzierungsprogramm II Bei stetigem Kurvenverlauf liefert der cut-off-point den Zinssatz (die cut-off-rate), der dem internen Zinsfuß der besten nicht ausgeführten (d.h. verdrängten) Investition und dem Zinssatz der letzten gerade noch akzeptierten Finanzierung entspricht. 215

97 3 Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung Beurteilung des Dean-Modells Verwendung des internen Zinsfußes als Beurteilungskriterium: Das Dean-Modell ist nur als Ein-Perioden-Modell korrekt. Übertragung auf Mehrperiodenfall kann zu falschen Ergebnissen führen. Unteilbarkeitsprobleme. Welche Kapitalkosten sind für Eigenkapital anzusetzen? Konsum- bzw. Ausschüttungsplanung wird vernachlässigt. Bei unvollkommenem Kapitalmarkt ist aber auch der Konsum simultan zu planen. Bei unsicheren Erwartungen zusätzlich: Abhängigkeiten zwischen den Finanzierungskosten werden vernachlässigt (z.b.: Kreditzins kann von EK- Ausstattung abhängen). 216

98 3 Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung Fazit Das Dean-Modell: Verdeutlicht die Grundidee der simultanen Investitions- und Finanzierungsprogrammplanung bei unvollkommenem Kapitalmarkt, hat aber zahlreiche Nachteile, Weiterentwicklung: Simultanplanung mit Hilfe der linearen Programmierung Schmidt und Terberger 1997, ab S. 177). (siehe 217

99 Zahlungsreihe Auswahlentscheidungen Dynamische Investitionsverfahren Iso-Barwert Linie Barwert Begriffsuniversum Kapitel II Investitionsfunktion Annuität Kapitalwertmethode sichere vs. unsichere Erwartungen Ja-Nein-Entscheidungen BWL III: Investition und Finanzierung Kapitel III: interner Zinsfuß Investitionsrentabilität Kapitalwert Annuitätenmethode Zinsstruktur Statische Investitionsverfahren Programmentscheidungen Termingeschäft Investitionsrendite Gegenwartswert Gegenwartswert der Rentenzahlung geometrische Reihe Wiedergewinnungsfaktor Kalkulationszins

100 VIELEN DANK FÜR IHRE AUFMERKSAMKEIT. Basisliteratur: Schmidt, R. H. und Terberger, E. (1997): Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie, 4. Auflage, Gabler-Verlag, Kapitel 4. Breuer, W. (2002): Investition I: Entscheidungen bei Sicherheit, 2. Auflage, Gabler, Kapitel 1 bis 5. Grinblatt, M. und Titman S. (2002): Financial Markets and Corporate Strategy, 2nd edition, Mc Graw Hill, Kap. 10. Ergänzung und Vertiefung: Breuer, W. (2002): Investition I: Entscheidungen bei Sicherheit, 2. Auflage, Gabler, Kapitel 6 und IV.4. Bitz, M., Ewert, J. und Terstege, U. (2002): Investition. Gabler, Kapitel 5.