Wahrscheinlichkeit. Für die Berechnung von Wahrscheinlichkeitsproblemen gelten einige Axiome.

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1 Wahrschenlchket Wahrschenlchket De Axome der Wahrschenlchketsrechnung Zwschen der Anzahl bestmmter Eregnsse, de durch ene gewsse Zufallsvarable gekennzechnet snd, und der Wahrschenlchket für hr Entreten st wohl zu unterscheden. De Zufallsvarablen können dskreter (sprunghafter) oder kontnuerlcher (stetger) Natur sen. Für de Berechnung von Wahrschenlchketsproblemen gelten enge Axome.. Relatve Häufgket Wenn von der Gesamtzahl N ges von zufällgen Eregnssen N nt Eregnsse von besonderem Interesse snd, beträgt de relatve Häufgket H deser nteresserenden Eregnsse N nt H = N ges H = 0 bedeutet z.b., dass das erwartete, nteresserende Eregns ncht entrtt. En mt Scherhet entretendes Eregns hat de relatve Häufgket H =. Im praktschen Fall schwankt mt wachsender Gesamtzahl glechartger Eregnsse de relatve Häufgket mmer wenger um enen bestmmten Wert. Für rechnersche Untersuchungen kommt man ncht umhn, de relatve Häufgket H als Wahrschenlchket Q zu deuten. H = Q Wenn z.b. für de Vertelung P nach enem der ver Vertelungsgesetze de entsprechende Wahrschenlchket ermttelt werden soll, muss noch durch de Summe der Vertelungsmöglchketen  P getelt werden.. Addtonsregel De Summe der Enzelwahrschenlchketen =n Q = ÂQ = gbt de Gesamtwahrschenlchket an, mt der Fall des ersten Merkmals oder der Fall des zweten Merkmals oder wetere Fälle bs hn zum n-ten Merkmal entreten. 3. Multplkatonsregel Das Produkt der Enzelwahrschenlchketen =n Q = Q = gbt de Gesamtwahrschenlchket an, mt der Fall des ersten Merkmals als auch der Fall des zweten Merkmals und wetere Fälle bs hn zum n-ten Merkmal entreten. 4. Scheres Eregns Das schere Eregns st durch Q = gekennzechnet. 5. Unmöglches Eregns Das unmöglche Eregns st durch Q = 0 gekennzechnet. 6. Wahrschenlchket be stetger Zufallsvarable Wahrschenlchket.doc

2 De Wahrschenlchketsfunkton n = x Fx ( ) = Ú f( n ) dn n =- Wahrschenlchket st de Stammfunkton oder Integralfunkton der Wahrschenlchketsdchte f ( n ) mt n als Zufallsvarable und x als deren oberer Grenze. De Wahrschenlchket Q für das Entreten enes bestmmten Eregnsses m Intervall n = a bs n = b beträgt n = b Qab (, ) = Ú f( n )dn. n = a De Wahrschenlchket dafür, dass das Merkmal des Eregnsses m Intervall dn legt oder dass von N Telchen das Merkmal n haben, beträgt dq = f ( n) dn =, N wobe z.b. n de Geschwndgket (Eregns) enes bewegten Telchens n enem Gas und dn das Geschwndgketsntervall (Merkmal) sen kann, n dem dese Geschwndgket legt. Be stetger Vertelung der Zufallsvarablen st de Wahrschenlchket dafür, dass de Zufallsvarable enen bestmmten Wert annmmt, glech Null. 7. Normerung De Wahrschenlchket für das Entreten rgend enes Eregnsses n m Berech n =-E bs n =+E st glech. n =+ Ú n =- f ( n)dn = Dese Bedngung muss von der Wahrschenlchketsdchte notwendgerwese erfüllt werden. Das Integral erstreckt sch über den Defntonsberech der Wahrschenlchketsdchte. Anderersets kann jede Funkton f ( n ), de dese Bedngung erfüllt, als Wahrschenlchketsdchte fungeren. In der Statstk snd vele solcher Funktonen bekannt, z.b. de Wahrschenlchketsdchte der Gaußschen Normalvertelung. Wahrschenlchketsdchte und Wahrschenlchketsfunkton Be dskreter Vertelung der Zufallsvarablen lässt sch de Wahrschenlchketsfunkton mt den, den entsprechenden Eregnssen zugeordneten Enzelwahrschenlchketen Q -... Q... Q + n folgender Wese berechnen Fx ( ) =x = Â Q = - Bedngung st das de Wahrschenlchketsfunkton für x =+E den Wert annmmt. De Funkton =+ Â F( E) = Q = =- f ( x ) = e p - x (Glockenkurve) erfüllt de Bedngungen, de an ene Vertelungsfunkton oder Wahrschenlchketsdchte gestellt werden. De Funkton muss an der Stelle des Erwartungswertes en Maxmum haben. Das Integral der Funkton von n =-E bs n =+E muss glech sen. Im vorlegenden Fall st der Erwartungswert m = 0 und de Streuung s =. Der Erwartungswert (oder Mttelwert) m und de Streuung (oder der Abstand der Wendepunkte) s Wahrschenlchket.doc

3 Wahrschenlchket 3 lassen sch auch unmttelbar n de Vertelungsfunkton enbauen. Mt n als Varable lautet de Glechung dann f ( n ) = e ps Mt der Substtuton n - m = x s und der Streuung s = ( n -m ) - s erhält man wederum de Funkton der Gaußschen Normalvertelung. De Wahrschenlchketsfunkton erhält man durch Integraton der Wahrschenlchketsdchte. n = x Fx ( ) = Ú f( n )dn n =- De Wahrschenlchket, dass en Eregns n enem bestmmten Berech legt, st glech dem Integral zwschen den Grenzen deses Bereches. Gaußsche Normalvertelung Wahrschenlchketsdchte 0, f( n) 0,5 0, 0, n Zahlenbespel f ( n ) = e ps n m = 0 s = ( n -m ) - s Zufallsvarable Mttelwert Streuung De Streuung s st der halbe Abstand der Wendepunkte. Maxmum be 0,99 Wahrschenlchketsfunkton Kumulatve Wahrschenlchketsvertelung,0 n = x F ( x ) Fx ( ) = Ú f ( n )d n 0,75 n =- 0,5 0, x f ( n ) = e ps ( n -m ) - s n Zufallsvarable m = 0 Mttelwert s = Streuung Thermodynamsche Wahrschenlchket In der Thermodynamk werden Systeme mt molekularer Telchenstruktur, z.b. Gasgemsche, flüssge und feste Lösungen usw., mt Hlfe der Statstk untersucht. En Merkmal der bewegten und unterschedbaren Telchen kann z.b. der Aufenthalt n enem Telvolumen sen. Befnden sch N Wahrschenlchket.doc

4 Wahrschenlchket 4 Telchen, de durch äußere Wärmeenwrkung n Bewegung snd, m Gesamtvolumen enes Behälters, so st de Wahrschenlchket, dass sowohl N Telchen mt vorgegebener Nummererung m Telvolumen V als auch N Telchen m Telvolumen V und allgemen Telchen m Telvolumen V bs hn zu N Telchen m Telvolumen V anzutreffen snd n =n N N N Nn N n = Q v v v v v = = wenn unter v der Antel von V am Gesamtvolumen V verstanden wrd. v = V V, v = V V... v = V V... v = V V De Telchenzahlen De Telvolumen n n N =n N = ÂN = V =n V = ÂV = setzen sch zur Gesamtzahl N zusammen. setzen sch zum Gesamtvolumen zusammen. Dese Überlegung fußt auf enem enfacheren Modell als das thermodynamsche Vertelungsgesetz. De Telvolumen V, V,... Vn, de m Kugel-Kasten-Modell den enzelnen Fächern entsprechen, snd her ncht weter untertelt. Wrd nun Fach n z, Fach n z, Fach n z, schleßlch Fach n n z n Telfächer engetelt, so lässt sch de thermodynamsche Wahrschenlchket durch folgende Glechung berechnen. =n N ( z z) QTh = N! N! = In deser Bezehung st z de Gesamtzahl der Telfächer. =n z =  z = De Bezehung für de thermodynamsche Wahrschenlchket Q Th lässt sch aber auch aus dem thermodynamschen Vertelungsgesetz P Th und der Gesamthet der thermodynamschen Vertelungen  P Th ermtteln. PTh QTh =  P Th Maxwell-Boltzmannsche Wahrschenlchket De Maxwell-Boltzmannsche Wahrschenlchket ergbt sch aus dem Maxwell- Boltzmannschen Vertelungsgesetz P MB und der Gesamthet der Maxwell-Boltzmannschen Vertelungen  P MB n der folgenden Wese. PMB QMB =  P MB Bose-Enstensche Wahrschenlchket Q De Bose-Enstensche Wahrschenlchket ergbt sch aus dem Bose-Enstenschen Vertelungsgesetz P und der Gesamthet der Bose-Enstenschen Vertelungen  P n der folgenden Wese. P Q =  P Ferm-Dracsche Wahrschenlchket Ferm-Dracsche Wahrschenlchket Q ergbt sch aus dem Ferm-Dracschen Vertelungsgesetz P und der Gesamthet der Ferm-Dracschen Vertelungen n der folgenden Wese., Q MB n N Wahrschenlchket.doc

5 Q P = Â P Vertelungsgesetze und Wahrschenlchketen Wahrschenlchket 5 De Rechenmethode zur Ermttlung der Vertelungen und der daraus resulterenden Wahrschenlchketen werden für alle ver Theoren (Th, MB,, ) an enem Bespel gezegt. De Vertelung für den wahrschenlchsten Fall st ausführlch dargestellt. Bespel: Vertelungsgesetz Folgende Daten snd gegeben. Gesamtzahl der Kugeln N=3 Anzahl der Fächer n= Gesamtzahl der Telfächer z=5 Anzahl der Telfächer n Fach z = Anzahl der Telfächer n Fach z =3 Kasten mt n = Fächern und Vorratsbehälter für N = 3 nsgesamt z = 5 Telfächern nummererte Kugeln Fach mt Fach mt 3 Telfächern 3 Telfächern Anwendung der ver Vertelungsgesetze: P, P, P und Makrozustand Makrozst ) N 3 0 Th N 0 3 Â P Â Q Th mak MB P P ) P Th mk P 3 8=54 3 =36 8=8 7=7 5 Th Q 54/5 36/5 8/5 7/5 Th P 9 6 8/6 7/6 5/6 MB Q (9 6)/5 (6 6)/5 8/5 7/5 MB P Q /35 9/35 4/35 0/35 P Q 6/0 3/0 - /0 Â P Th mak = 4 B ) ), Â PTh A mak = 8 Bespel: Vertelung der Kugeln (Telchen oder Elemente) für den. Makrozustand für alle ver Vertelungsarten De gegebenen Daten snd de glechen we m Bespel: Vertelungsgesetz. Gesamtzahl der Kugeln N=3 Anzahl der Fächer n= Gesamtzahl der Telfächer z=5 Anzahl der Telfächer n Fach z = Anzahl der Telfächer n Fach z = Wahrschenlchket.doc

6 Wahrschenlchket 6 Kasten mt n = Fächern und Vorratsbehälter für N = 3 nsgesamt z = 5 Telfächern nummererte Kugeln Fach mt Fach mt 3 Telfächern 3 Telfächern ) Thermodynamsche Vertelung (. Makrozustand) 3 3 Makro- 3 zustände 3 (Fach u. ) Mkro- zustände (Fach ) 3 x 8 = 54 3 Umord- 3 x 9 = 8 nungen 3 Mkro- 3 9 Mkro- zustände 3 zustände 3 (Fach ) De Anzahl der übergeordneten Makrozustände n Fach und beträgt P ThAmak = 3. De Mkrozustände n Fach und betragen nsgesamt P Thmk = 9 = 8. Für de thermodynamsche Vertelung, das heßt für de Gesamtzahl der Umordnungen für den Fall nummererter Elemente, bekommt man also PTh = PThA makpthmk = 3 8 = 54..) Maxwell-Boltzmannsche Vertelung Dese Vertelung ergbt sch ren rechnersch aus der thermodynamschen Vertelung und lässt sch ncht modellmäßg darstellen. 3.) Bose-Enstensche Vertelung c Zustände c Fach cc x 6 = c c Umordnungen c c 6 Zustände cc Fach c c cc Für de Bose-Enstensche Vertelung, das heßt für de Gesamtzahl der Umordnungen für den Fall ncht nummererter Elemente bekommt man also Wahrschenlchket.doc

7 Wahrschenlchket 7 P = 6 =. 4.) Ferm-Dracsche Vertelung c Zustände c (Fach ) x 3 = 6 c c Umordnungen c c 3 Zustände c c (Fach ) Für de Ferm-Dracsche Vertelung, das heßt für de Gesamtzahl der Umordnungen für den Fall ncht nummererter Elemente und Enzelbelegung der Telfächer, bekommt man also P = 3 = 6. Welches Vertelungsgesetz auch für en bestmmtes m Glechgewcht befndlches Telchenkollektv n der Thermodynamk, Cheme oder Optk zuständg st, es stellt sch mmer de Vertelung mt der größten Wahrschenlchket, d.h. mt der größten Anzahl von möglchen Umordnungen, en. Das Unterschedungsmerkmal der Telchen st bespelswese deren Vertelung auf de verfügbaren Energewerte. Fundamentalglechung der Thermodynamk In der Festkörperphysk und n der Optk st de Energe der Telchen (Elektronen, Photonen, Phononen, a-telchen usw.) en wesentlches Unterschedungsmerkmal be statstschen Untersuchungen. Es lassen sch de Gesetzmäßgketen der Thermodynamk (. und. Hauptsatz) anwenden. Nach dem. Hauptsatz muss be der Energeblanz enes thermodynamschen Vorgangs auch de nnere Energe U des Systems berückschtgt werden. De nnere Energe st ene Funkton der extensven Zustandsgrößen Entrope S Volumen V, Telchenzahl N sowe der elektromagnetschen Egenschaften der Telchen. Letztere bleben her aber unberückschtgt. U = U(S, V, N) In der Thermodynamk st der Glechgewchtszustand de Grundlage der theoretschen Überlegungen. De Änderungen deses Zustandes werden durch nfntesmale Größen beschreben, de das System nur unwesentlch aus dem Glechgewcht brngen. De Änderung enzelner Zustandsgrößen führt zur allgemenen Zustandsänderung des Systems, de durch das totale Dfferental der nneren Energe du ausgedrückt werden kann. du = TdS-p dv+m De ntensven Zustandsgrößen Temperatur T, Druck p und chemsches Potental m snd de Abletungen der Fundamentalglechnung U. U U U T = VN, - p = SN, m = SV, S V N Im Falle des thermodynamschen Glechgewchts st n enem abgeschlossenen System de Entrope konstant, d,h. de Änderung der Entrope ds st glech Null, und be der Entrope S legt en Maxmum vor. Außerdem herrscht n allen Telen des abgeschlossenen Systems de gleche Temperatur und der gleche Druck. Auch das dem System nnewohnende chemsche Potental, ene Art mttlerer Energe der Telchen, st n allen Telen des Systems von glecher Größe. In der Halbleterphysk entsprcht das chemsche Potental dem Ferm-Nveau W F. Das Ferm-Nveau stellt auch de Energe der Telchen bem absoluten Temperaturnullpunkt dar. De thermodynamschen Größen snd nur n abgeschlossenen und m Glechgewcht befndlchen Systemen defnert. Wechselwrkungen mt der Umgebung und das Glechgewcht störenden Wahrschenlchket.doc

8 Entrope 8 Prozesse, z.b. Energetransport, müssen abgeschlossen sen. Dese Systeme exsteren streng genommen nur m Gedankenexperment. In der Praxs snd se nur angenähert realserbar. Das chemsche Potental m stellt den Wderstand des Systems gegen de Vergrößerung der Telchenzahl um den Betrag dar. Soll sch das System nach dem Hnzufügen der Telchen weterhn m Glechgewcht befnden, so müssen de Telchen ene bestmmte Energe haben, de der mttleren Energe aller anderen Telchen entsprcht. Das chemsche Potental st von der Art der Telchen sowe deren Dchte und Temperatur abhängg. De Arbet da, de zur Erhöhung der Telchenzahl aufgebracht werden muss und um de de nnere Energe vergrößert wrd, beträgt da = m En verglechbarer Vorgang legt dann vor, wenn ene elektrsche Ladung ener berets vorhandenen Anzahl von Ladungsträgern hnzugefügt werden soll. Das Produkt aus der hnzugefügten Ladung und dem elektrschen Potental der vorhandenen Ladungen ergbt de aufzuwendende Energe be dem Verengungsvorgang. Während de Änderung der Gesamtenerge du en vollständges Dfferental darstellt, st de ausgetauschte Arbet da vom Prozess abhängg, was durch de besondere Schrebwese des Dfferentalzechens d zum Ausdruck gebracht wrd. Entrope De Boltzmann-Bezehung S= k lnp k Boltzmann-Konstante erlaubt es mt Hlfe der Entrope S den. Hauptsatz der Thermodynamk aufzustellen. Durch de Enführung der Entrope wrd es möglch, de be dem Kasten-Kugel-Modell gewonnen Erfahrungen mt der statstschen Vertelung von Kugeln n Fächern und Telfächern für de Thermodynamk nutzbar zu machen. Durch de Boltzmann-Bezehung wrd de Statstk mt der Thermodynamk und schleßlch mt der Entrope verknüpft. Folgende Überlegung macht de Boltzmann-Bezehung verständlch. Werden zwe abgeschlossene und m thermodynamschen Glechgewcht befndlche Systeme und zu enem enzgen abgeschlossenen System verengt, so adderen sch de beden Entropen S = S + S, während sch de Vertelungen (Anzahl der Umordnungen) nach den Regeln der Statstk multplzeren. P = P P Wenn also de Entrope ene Funkton der Anzahl der möglchen Umordnungen der Telchen st, kann es nur de Funkton S ~ lnp sen, denn nach den Regeln der Logarthmenrechnung glt ln( P P ) = ln P + ln P Um enen Zusammenhang zwschen dem Kasten-Kugel-Modell und enem thermodynamschen System herzustellen, wrd folgende Überlegung angestellt. Enem bs zum Zetpunkt der Manpulaton abgeschlossenem System m thermodynamschen Glechgewcht wrd ene -te Gruppe d N von Telchen hnzugefügt, deren Energe der mttleren Energe aller Telchen entsprcht, wobe aber das Volumen V und de Temperatur T des Systems kene Änderung erfahren soll. Durch de Vergrößerung der Telchenzahl wrd das Glechgewcht und de Vertelung der Telchen gerngförmg gestört. Mt dv=0 ergbt sch für de Änderung der nneren Energe Wahrschenlchket.doc

9 du TdS = +m. Entrope 9 Das chemsche Potental m enes Telchens der zusätzlchen Telchengruppe soll voraussetzungsgemäß dem chemschen Potental des ursprünglchen Systems und damt dessen Ferm-Nveau entsprechen. W F m = W F Der Betrag enes zusätzlchen Telchens an der nneren Energe beträgt du W =. Wrd dese Bezehung n de Fundamentalglechung engesetzt, erhält man ds W WF = T. Um desen Ausdruck auswerten zu können, müssen wr mt Hlfe der Boltzmann-Bezehung S= k lnp auf das Kasten-Kugel-Modell zurückgrefen. ds d lnp = k Gegenstand der Untersuchung st vor we nach de engeschleuste -te Telchengruppe d N, deren Antel an der nneren Energe mt Hlfe der Entrope bestmmt werden soll. Für de Auswertung der Bezehung st de Strlngsche Formel notwendg. ln N! ª ( N + )lnn - N De Formel glt für große Werte von N. d lnn! lnn Mt den Vertelungsgesetzen und der Strlngschen Formel mt hrer Abletung ergeben sch folgende Abletungen der Vertelungen nach Maxwell-Boltzmann, Bose-Ensten und Ferm-Drac: d lnpmb = lnz lnn d lnp d lnp = ln( z + N -) -lnn = ln( z N + ) lnn Allgemen kann mt N >> gesetzt werden d lnp ln( z N ) lnn = - d -. d=0 (Maxwell-Boltzmann) d=- (Bose-Ensten) d= (Ferm-Drac) Aus den Glechungen ds W WF = T ds d lnp = k d lnp d folgt de Bezehung N = - d - ln( z N ) lnn Wahrschenlchket.doc

10 W W Vertelungsfunkton F z N d = ln N. Entrope 0 Unter der Vertelungsfunkton f (W ) versteht man gemäß des Kasten-Kugel-Modells de Anzahl der Kugeln N je Fach bezogen auf de Anzahl der Telfächer z. Be kontnuerlcher Vertelung der Energe n konkreten Systemen gbt de Vertelungsfunkton an, welchen Tel N der verfügbaren und für de Energe W reserverten Plätze z von Telchen mt der Energe W engenommen wrd. De Vertelungsfunkton st ene Funkton der Energe W und wrd auch mt Besetzungswahrschenlchket bezechnet, obwohl se de relatve Häufgket darstellt, de m strengeren Snne kene Wahrschenlchket st. N fw ( ) = z W De an sch dskreten Energewerte durchlaufen enen zusammenhängenden Berech und können als stetge Varable angesehen werden. Das kommt be den weteren Glechungen dadurch zum Ausdruck, dass de Schrebwese geändert und W durch W ersetzt wrd. Mt der abkürzenden Schrebwese D W = W -W F erhält man de Vertelungsfunkton fw ( ) = DW e + d De Vertelungsfunktonen gelten be be d=0 (Maxwell-Boltzmann) für ncht entartetes, verdünntes Elektronengas fmb( W) =, DW e be d=- (Bose-Ensten) für Phononen, Photonen, a-telchen, Telchen ohne Spn f( W) =, DW e - be d= (Ferm-Drac) für entartetes, dchtes Elektronengas, Elektronen n Metallen, Ersatz durch Maxwell-Boltzmann (d=0) be W - W F >> 3 f( W) = DW e + d=0 (Maxwell-Boltzmann) für ncht entartetes, verdünntes Elektronengas, d=- (Bose-Ensten) für Phononen, Photonen, a-telchen, Telchen ohne Spn, d= (Ferm-Drac) für entartetes, dchtes Elektronengas, Elektronen n Metallen, Ersatz durch Maxwell-Boltzmann (d=0) be W - W >> 3 f ( W),0,5 F,0 0,5 MB DW Vertelungsfunktonen Wahrschenlchket.doc