WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG

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Christoph Bieber
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1 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Mathematischer Teil In der Wahrscheinlichkeitsrechnung haben wir es mit Zufallsexperimenten zu tun, d.h. Ausgang nicht vorhersagbar. Grundbegriffe Zufallsexperiment und Ergebnisse Jeder mögliche Ausgang des Zufallsexperiments heißt Ergebnis ω. Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißt Ergebnisraum (Ergebnismenge), wobei Mächtigkeit des Ergebnisraumes, die Anzahl der möglichen Ergebnisse in angibt. Bsp.: Ziehen aus einer Urne 8 Kugeln: 5 rot (r), 2 schwarz (s), 1 grün (g) die Ereignis Jede Teilmenge des endlichen Ergebnisraumes heißt Ereignis A d.h.. Ein Ereignis, d.h. eine Teilmenge mit nur einem Ergebnis, heißt Elementarereignis. Die Menge aller Ereignisse heißt Ereignisraum. Der Ereignisraum ist die Menge aller möglichen Versuchsausgänge. Bsp. Werfen eines Würfels und Feststellen der Augenzahl Ereignis A: Augenzahl gerade Bsp. Gesucht sind alle möglichen Ereignisse, d.h. der Ereignisraum (leere Menge = unmögliches Ereignis)

2 Ereignisraum schaut jetzt folgendermaßen aus Kolmogorow (sowjetischer Mathematiker) Axiome (1933) Eine Funktion, die jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit P(A) (reelle Zahl) zwischen 0 und 1 zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung über bzw. Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn für die Ereignisse gelten: 1. Nichtnegativität: Bsp.: Münzwurf: Zahl Wappen 2. Normiertheit: Bsp.: Münzwurf: Zahl, Wappen 3. Additivität: (FORMEL!! HERLEITUNG) Wahrscheinlichkeitsverteilung Ein Zufallsexperiment wird oft mit Hilfe einer Zufallsvariable beschrieben. Eine Abbildung, die jedem Ereignis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet, heißt Zufallsgröße Z oder Zufallsvariable Zwei Arten von Zufallsexperimenten: Diskrete Zufallsexperimente: In diesem Fall ist der Ereignisraum diskret, d.h. die möglichen Versuchsausgänge können abgezählt (bzw. durchnummeriert) werden. Die Zufallsvariable nimmt nur einzelne diskrete Werte an. Beispiel: Augenzahl beim Würfelwurf. Die ZV kann auf endlichen viele Werte beschränkt sein oder unendlichen viele mögliche Versuchsausgängen darstellen. Im zweiten Fall hat der Ereignisraum unendlichen viele Elemente, ist aber abzählbar. (Eine Menge heißt abzählbar unendlichen, wenn sie die gleiche Mächtigkeit hat wie die Menge der natürlichen Zahlen. BSP: die Zahl, der auf eine Photoelement pro Zeiteinheit auftreffenden Photonen (ist zwar nicht unendlich aber nach oben hin nicht begrenzt) Die einfachste Möglichkeit, eine gegebene diskrete WK-Verteilung zu überblicken, besteht in der graphischen Darstellung. Punktgraph

3 Beispiel z P(z) z P(z) P(z) z Jedem möglichen Wert von z kann einer WK P(z) zugeordnet werden. Kennzahlen Der Erwartungswert der Zufallsvariable zi < > steht ganz allgemein für eine Mittelung über die zu erwartende Realisierung. Der Erwartungswert schaut in die Zukunft, d.h. er sagt aus, dass sich bei sehr vielen Durchführungen des Zufallsexperiments ein Mittelwert <z> einstellen wird. Kontinuierliches Zufallsexperiment In diesem Fall bilden die möglichen Versuchsausgänge (d.h. der Ereignisraum) ein Kontinuum, d.h. die Mächtigkeit der reellen Zahlen. Wir beschränken uns auf kontinuierliche Zufallsexperimente, deren Ereignisraum die reellen Zahlen oder ein reelles Intervall ist. Jedem einzelnen Versuchsausgang (d.h. jedem Elementarereignis) muss die WK 0 zugeordnet werden!

4 Wird etwa eine reelle Zufallszahl zw 0 und 1 erzeugt, und zwar derart, dass kein Punkt dieses Intervalls bevorzugt ist, dann ist die WK, dass diese Zahl im Intervall [a,b] liegt gleich b-a, d.h. gleich der Länge des Intervalls. Für einen einzelnen vorgegebenen Punkt bleibt dann nur mehr 0 als WK übrig! Im kontinuierlichen Fall muss also jedem Bereich eine WK zugeordnet werden, nicht jedem Punkt. Dies geschieht mit Hilfe einer Funktion ROH, der sogenannten WK-Dichte. Die WK, dass ein konkreter Wert der ZV in einem gegebenen Bereich liegt ist G ist ein Ereignis. Erwartungswert der Zufallsvariable x Varianz Die Varianz ist ein Maß für die gemittelte, quadratische Abweichung einer ZV von deren Erwartungswert.

5 Sie weist eine Schwäche auf durch das Quadrat, weil die Ausreisser stark gewichtet werden. Diese Schwäche wird von der Standardabweichung überwunden. Standardabweichung (Streuung) Die Standardabweichung ist mathematisch die Quadratwurzel der Varianz. Sie ist der Mittelwert aller möglichen Abweichungen vom Erwartungswert. Die Kennzahlen lassen sich auf beliebige Funktionen der ZV übertragen. f(x) Physikalischer Teil Die Wahrscheinlichkeit und die Physik Im Gegensatz zur klassischen Physik, wo alle Vorgänge deterministisch sind, besagt die Quantentheorie, dass sich Vorgänge nur durch Wahrscheinlichkeiten beschreiben lassen. Die Väter der Kopenhagener Deutung der Quantenphysik sind Bohr und Heisenberg. Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gibt Aussagen über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in der Zukunft beschreibt die Menge aller möglichen Vorgänge Messung für die Bestimmung des Anfangszustandes nötig Ungenauigkeit über die Kenntnis des Anfangszustandes Der Messprozess Heisenberg sagt, dass jede Messung das Messobjekt beeinflusst. Dadurch ergibt sich eine neue Wellenfunktion: Messbar ist also nur ein diskreter Zustand. Der Zustand zwischen zwei Messungen ist nicht bestimmt. das Geschehen kann nur durch eine Messung beobachtet werden, es schließt nicht die Zeit zwischen Messungen ein zum Zeitpunkt der Messung wechselwirkt das gemessene Objekt mit der übrigen Welt, vor allem mit dem Beobachter die Beobachtung ändert die Wellenfunktion, sie kollabiert. (Dies ist das vierte Grundgesetz der Messungen)

6 Einige Thesen der Kopenhagener Deutung Der Zufall ist eine grundlegende Eigenschaft der Naturgesetze Wenn das Mögliche zum Faktischen übergeht, geschieht ein Quantensprung Komplementäre Eigenschaften (Welle-Teilchen, Ort-Impuls) können nicht gleichzeitig beobachtet werden Nur die Ergebnisse von Messungen können als wahr angesehen werden Was nicht gemessen wurde, kann nicht als wahr angesehen werden. Eine Aussage über die Zeit zwischen den Messungen ist nicht möglich. Reine Quantenzustände sind objektiv, aber nicht real Quellenverzeichnis: guterding.pdf

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