v A B A α h 1 h c) Wie lautet der Geschwindigkeitsvektor beim Auftreffen der Kugel im Punkt B?

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1 Institut für Mechanik Prof. Dr.-In. habil. P. Betsch Prof. Dr.-In. habil. Th. Seeli Prüfun in Dynamik 3. Auust 4 Aufabe ca. 0 % der Gesamtpunkte) H m v 0 y v A B A α h h L x Eine Kuel Punktmasse m) bewet sich reibunsfrei mit der Anfanseschwindikeit v 0 zunächst eine schiefe Ebene hinab und dann durch eine Mulde, die sie im Punkt A unter dem Winkel α verlässt. Ge.: m, v 0, H, h, L, α, a) Wie lautet der Geschwindikeitsvektor v A der Kuel im Punkt A? b) Wie lautet die Bahnkurve yx) der Kuel? In welcher Höhe h trifft die Kuel im Punkt B auf? jeweils mit Herleitun!) c) Wie lautet der Geschwindikeitsvektor beim Auftreffen der Kuel im Punkt B?

2 Institut für Mechanik Prof. Dr.-In. habil. P. Betsch Prof. Dr.-In. habil. Th. Seeli Prüfun in Dynamik 3. Auust 4 Aufabe ca. 0 % der Gesamtpunkte) x S m, J S ϕ r F 0 r S α Eine auf einer rauhen Ebene ruhende Seiltrommel Masse m, Massenträheitsmoment J S ) wird in Beweun esetzt, indem am Seil unter dem Winkel α mit der konstanten Kraft F 0 ezoen wird. a) Schneiden Sie das System frei Freikörperbild). b) Bestimmen Sie die Beschleuniun a S des Schwerpunktes S, wenn die Trommel rollt. c) Wie roß muss dafür der Haftkoeffizient µ 0 sein? µ 0 Ge.: m, J S, F 0, r, r, α,

3 Institut für Mechanik Prof. Dr.-In. habil. P. Betsch Prof. Dr.-In. habil. Th. Seeli Prüfun in Dynamik 3. Auust 4 Aufabe 3 ca. 35 % der Gesamtpunkte) Zwei Pendel sind wie darestellt über eine Feder der Steifikeit c miteinander ekoppelt. Das erste Pendel besteht aus einem schlanken homoenen Stab der Masse m und der Läne a, während das zweite Pendel aus einem masselosen Stab der Läne a besteht, an dessen freiem Ende eine Punktmasse m befestit ist. Beide Stäbe können sich um ihre Drehachsen A und B reibunslos drehen. In der Lae ϕ = ϕ = 0 sei die Feder entspannt. Für die Auslenkun der Feder sei nur der horizontale Anteil zu berücksichtien! A B m a a ϕ ϕ c a m Bestimmen Sie: a) die Beweunsleichunen in den aneebenen eneralisierten Koordinaten ϕ und ϕ mit Hilfe der Larane schen Gleichunen, b) die linearisierten Beweunsleichunen für kleine Auslenkunen, c) die Eienkreisfrequenzen des Systems für den Fall: m = 3m, m = m, c = m a, d) Berechnen Sie unter der Näherunsannahme ω = 0.8 a und ω =.5 a die Eienvektoren des Systems und skizzieren Sie die Schwinunsformen. Geeben: m, m, a, c,

4 Institut für Mechanik Prof. Dr.-In. habil. P. Betsch Prof. Dr.-In. habil. Th. Seeli Prüfun in Dynamik 3. Auust 4 Aufabe 4 ca. 5 % der Gesamtpunkte) Das darestellte System besteht aus einer vertikal frei bewelichen Rolle m, J, r ), einer elenki elaerten Rolle m, J, r ) und einer Masse m 3, die über ein masseloses, dehnstarres Seil verbunden sind. Der Reibunskoeffizient zwischen der Masse m 3 und der schiefen Ebene ist µ. Das System befindet sich zu Beinn in Ruhe und der Mittelpunkt der Rolle in einer Höhe h über dem Boden. Es ist davon auszuehen, dass das Seil auf den Rollen nicht leitet. ϕ J, m r x 3 m 3 µ ϕ α r x h J, m a) Geben Sie die kinematischen Beziehunen zwischen den Koordinaten x,ϕ,ϕ und x 3 an. b) Ermitteln Sie mit Hilfe des Arbeitssatzes die Geschwindikeit, mit der die Rolle auf dem Boden aufsetzt. Geeben: m, m, m 3, J, J, r, r, α, µ,, h

5 Lösun zu Aufabe a) Wie lautet der Geschwindikeitsvektor v A der Kuel im Punkt A? Der Enerieerhaltunssatz lautet: T +V = T +V ) Das Nullniveau wird in den Punkt A elet. Somit folt für die Enerieterme: T = mv 0 V = mh h) T = mv A V = 0 ) Setzen wir die Terme ein und lösen nach v A : mv 0 +mh h) = mv A v A = H h)+v0 Somit ilt für den Geschwindikeitsvektor: [ ] cosα v A = v A sinα 3) 4) b) In welcher Höhe h trifft die Kuel im Punkt B auf? Wie lautet die Bahnkurve yx) der Kuel? jeweils mit Herleitun!) Die Beschleuniunen in x- und y-richtun sind wie folt eeben: Durch Interation erhalten wir: ẍ = 0 ÿ = 5) ẋ = v Ax ẏ = t+v Ay x = v Ax t+x 0 y = t +v Ay t+y 0 6)

6 mit den Randbedinunen x 0 = 0 und y 0 = 0 erhalten wir: t = x v Ax y = t +v Ay t 7) Setzen wir diese Gleichunen ineinander ein, erhält man die Bahnkurve yx) des Massenpunktes: y = ) x x +v Ay v Ax v Ax y = x va cos α +v x A sinα 8) v A cosα y = x +x tanα va cos α Die Höhe h kann somit durch die Läne L berechnet werden: h = L +L tanα 9) va cos α c) Wie lautet der Geschwindikeitsvektor kurz vor dem Auftreffen der Kuel am Punkt B? [ ] va cosα v B = t+v Ay [ ] 0) v A cosα v B = L +v v A cosα A sinα

7 Lösun zu Aufabe a) Freikörperbild x S ϕ r F 0 r S α m H N b) Kräfte- und Momentensatz ma S = F 0 cosα H ) 0 = N m +F 0 sinα ) J s ϕ = r H r F 0 3) Kinematik x S = r ϕ, v S = r ϕ, a S = r ϕ 4) Schwerpunktbeschleuniun a S = F cosα r 0 r m + J S r m c) Damit kein Rutschen auftritt, muss elten H µ 0 N aus ), 3) J S cosα r H = F r 0 + J S r m 5) aus ) N = m F 0 sinα 6) einsetzen liefert µ 0 J S cosα r m + r r ) m F 0 sinα + J S r m )

8 Lösun zu Aufabe 3 a) Lösunsmölichkeit über Larane. Art Kinetische Enerie T = JA) ϕ + JB) ϕ mit MTM bzl. jeweiliem MGP: J A) = J S) +m a ) = m a +m a 4 = 3 m a J B) = m a) = 4m a T = 6 m a ϕ +m a ϕ Potentielle Enerie V = m a cosϕ ) m acosϕ )+ ca sinϕ ) sinϕ )) Larane Funktion L = T V = 6 m a ϕ +m a ϕ +m a cosϕ )+m acosϕ ) ca sinϕ ) sinϕ )) Larane Formalismus Larane. Art; konservatives System) L = ϕ 3 m a ϕ d ) L = dt ϕ 3 m a ϕ L = m a ϕ sinϕ ) ca sinϕ ) sinϕ )) cosϕ )) 3 m a ϕ +m a sinϕ ) ca cosϕ )sinϕ ) sinϕ )) = 0 L = 4m a ϕ d ) L = 4m a ϕ ϕ dt ϕ L = m asinϕ ) ca cosϕ )sinϕ ) sinϕ )) ϕ 4m a ϕ +m asinϕ )+ca cosϕ )sinϕ ) sinϕ )) = 0

9 b) Linearisierun sinϕ) ϕ cosϕ) sinϕ)cosϕ) ϕ Matrix-Vektor-Notation [ m ] [ ][ ] [ 3 a 0 ][ ϕ m a 0 4m a + +ca ca ϕ 0 ϕ ca m a+ca = ϕ 0] c) Eienkreisfrequenzen [ detk ω M) = m a +ca ω m 3 a ca ] ca m a+ca ω 4m a [ = ma ω ma ma ] ma 5 ma ω 4ma = ) ma ω ma ) 5 ma ω 4ma 4 m a ) = ω 4 4m a 4 ω m a m a = ω 4 + ) ω a 6a = 0 ω/ = 6a ) 9 6a 6 a ω = 6 = 0.76 a 6 ) 9 6 a ω = 6 + =.497 a 6 ) 9 6 a

10 Modalformen ) Eienform/Hauptschwinun K ω M ) a = 0 [ ma ω ma ma ma 5 ma ω 4ma ][ a a ] = [ ] 0 0 ma ω ma) a maa = 0 a = ma ω ma ) ma ) a = 4 ω a a [ a = a 4 ω a a ] [ ] ) = a.7 ) Eienform/Hauptschwinun K ω M ) a = 0 [ ma ω ma ma ][ ] [ a 0 ma 5 = ma ω 4ma a 0] ma ω ma ) a maa = 0 a = ma ω ma ) ma ) a = 4 ω a a [ a = a 4 ω a a ] [ ] ) = a 0.5 Darstellun Eienformen.Eienform a leichphasi).7.eienform a eenphasi)

11 Lösun zu Aufabe 4 a) Kinematik: r ϕ = ẋ r ϕ = x r ϕ = r ϕ r ϕ = ẋ, r ϕ = x r ϕ = ẋ 3 r ϕ = ẋ, x 3 = x b) Arbeitssatz: T +V = T +V +W #) Anfansbedinunen: x = ϕ = ϕ = x 3 = 0 ẋ = ϕ = ϕ = ẋ 3 = 0 T = 0 V = 0 Potentielle Enerie: V = m 3 sinα)x 3 m x Reibarbeit: W = µm 3cosα)x 3 Kinetische Enerie: T = m 3ẋ 3 + J ϕ + J ϕ + m ẋ Die kinematischen Beziehunen werden in den Arbeitssatz einesetzt: W = µm 3 cosα)x V = m 3 x sinα) m x T = m 3 4ẋ ) + J ) 4 ẋ r + J ẋ ) r + m ẋ Einsetzen in #) ẋ = µm 3 cosα) m 3 sinα) +m 4 x 4m 3 +J +J r + m r µm3 cosα) m 3 sinα) +m ẋ = 4 h r ) 4m 3 +J +J r + m r