Vorlesung 7: Value-at-Risk für Kreditrisiken

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1 Vorlesung 7: Value-at-Risk für Kreditrisiken 17. April 2015 Dr. Patrick Wegmann Universität Basel WWZ, Department of Finance

2 Die Verlustverteilung im Kreditrisiko Erwarteter Verlust Relative Häufigkeit Ökonomisches Kapital bei 99% Standardabweichung Kredit Value-at-Risk bei 99% Portfoliomodell zur Berechnung der Verlustverteilung: Berücksichtigung der Korrelationen Berechnung des Diversifikationseffekts Portfolioverlust Folie 2

3 Kreditportfoliomodelle: Ökonomisches Modell oder statistisches Modell? Strukturelle Modelle Reduzierte Modelle Modellieren die ökonomische Ursache des Kreditausfalls über den Firmenwert Ausfallkorrelationen werden durch das mikroökomomische Modell bestimmt Generell anfälliger auf unplausible Modellannahmen Bsp.: CreditMetrics (JP Morgan) PortfolioManager (KMV) Modellieren den Ausfall statistisch ohne irgendwelche Ursachen Ausfallkorrelationen kommen über gemeinsame Einflussfaktoren zustande Generell anfälliger auf schlechte Inputdaten Bsp.: CreditRisk + (CS) CreditPortfolioView (McKinsey) Folie 3

4 Was ist der betrachtete Credit Event? Nur Ausfall oder auch Ratingverschlechterung Default-Mode Mark-to-Market Risiko des Ausfalls der Gegenpartei Realisierter Verlust Immer relevant Risiko einer Ratingverschlechterung der Gegenpartei Buchverlust Nur relevant bei möglicher Veräusserung vor Ende der Laufzeit Default als eine mögliche Ratingverschlechterung Buchverlust als tatsächlicher Verlust Folie 4

5 CreditMetrics: Das Risiko einer einzelnen Position Einzel-Value-at-Risk aufgrund von Kreditrisiko Kreditrating Rangigkeit Kredit-Spreads Ratingmigrationswahrscheinlichk. Recovery Rate im Ausfall Barwert Neubewertung Standardabweichung des Wertes abhängig von Kreditqualitätsveränderungen einer einzelnen Position Folie 5

6 CreditMetrics: Input historische Übergangsmatrix Rating in einem Jahr (in %) Initial Rating AAA AA A BBB BB B CCC Default AAA AA A BBB BB B CCC Quelle: Standard & Poors, Credit Week ( ) Folie 6

7 CreditMetrics: Mögliche Ratingveränderungen eines Bonds Beispiel: 5-jähriger Coupon-Bond Coupon: 6% Rating: BBB (Senior Unsecured) Nominalbetrag: 100 Mögliche Ratings des Bonds in einem Jahr: AAA 0.02% AA 0.33% A 5.95% BBB BBB 86.93% BB 5.30% B 1.17% CCC 0.12% Default 0.18% Folie 7

8 CreditMetrics: Input historische Recovery Rates Seniority Class Erwartungswert Standardabweichung (%) Senior Secured Senior Unsecured Senior Subordinated Subordinated Junior Subordinated Quelle: Moody s Investors Service, Global Credit Research, Folie 8

9 CreditMetrics: Die Verteilung einer einzelnen Position Aktuelles Rating BBB 8 mögliche Zustände in 1 Jahr AAA AA A BBB BB B CCC Default Wahrscheinlichkeiten 0.02% 0.33% 5.95% 86.93% 5.30% 1.17% 0.12% 0.18% Bondwert (aufgrund Forward Rate) E = s = 2.99 Folie 9

10 CreditMetrics: Einbezug von Korrelationen über das Firmenwertmodell (Merton Modell) Annahme: Firmenwertveränderungen sind multivariat normalverteilt BBB 86.93% Default CCC B BB A AA AAA D Firmenwert standardisiert Die kritischen Grenzen werden so gewählt, dass die Wahrscheinlichkeiten einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen genau den historischen entsprechen. Folie 10

11 CreditMetrics: Einbezug von Korrelationen Bsp.: Bivariate Normalverteilung: Wirkung der Korrelation auf die Wahrscheinlichkeit: r = * = r = r = P Ausfallkorrelation: Default Default P z 2.91, z 2.91 P 1, Default Default N 2.91, 2.91, r r Default 1, 2 2 P P D1, D2 P D1 P D2 D 1 P D P D 1 P D 1 Korrelation r = 0.5 r Default = 0.066; r = r Default = Folie 11

12 CreditMetrics: Modellübersicht Exposures Value at Risk aufgrund von Kreditrisiken Kreditrating Rangigkeit Kredit-Spreads Korrelationen Ratingdaten Aktienkurse Indizes Marktvolatilitäten Ratingmigrationswahrscheinlichk. Recovery Rate im Ausfall Barwert Neubewertung Modelle (z.b. Korrelationen) Benutzerportfolio Exposureverteilung Standardabweichung des Wertes abhängig von Kreditqualitätsveränderungen eines einzelnen Exposures Gemeinsame Kreditqualitätsveränderungen Value-at-Risk des Portfolios aufgrund von Kreditrisiken Folie 12

13 CreditMetrics: Berechnung des Credit-Value-at-Risk mit Monte Carlo 1. Simulation von N multivariat standardnormalverteilten Zufallsvariablen mit der richtigen Korrelation 2. Für jedes der N Instrumente: 1. Ablesen des Ratings gemäss kritischen Grenzen 2. Einsetzen des Forward-Wertes gemäss Rating 3. Wenn Default: Simulation der Recovery Rate gemäss Seniority aus einer Beta-Verteilung mit dem historischen Erwartungswert und der historischen Standardabweichung 3. Wiederholung der obigen Schritte (z.b Mal) 4. Sortieren und Ablesen des Value-at-Risk Folie 13

14 CreditMetrics: Bemerkungen Annahme: Korrelation der Firmenwertveränderungen ist gleich der Korrelation der Aktienrenditen Behandlung des Exposure: Expected Credit Exposure Angenommen als extern berechnet Aufwendige Berechnung Geeignet vor allem für gehandelte Positionen (Bonds), weniger für Retailkredite Folie 14

15 CreditRisk + : Modellübersicht Value at Risk aufgrund von Kreditrisiken Korrelationen Kreditrating Rangigkeit Exposure Sektorenaufteilung Volatilität der Ausfallw keit Recovery Rate im Ausfall Ausfallwahrscheinlichk. Nettoexposure Erwarteter Verlust des Portfolios Value-at-Risk des Portfolios aufgrund von Kreditrisiken Folie 15

16 CreditRisk + : Modellannahmen Default-Mode Modell Versicherungsmathematisch (ohne ökonomisches Modell) Anzahl Ausfälle ~ Poisson(l) P n Ausfälle Problem der Overdispersion: Poisson: Erwartungswert = Varianz Empirisch: Erwartungswert < Varianz Poisson unterschätzt deshalb den Credit-Value-at-Risk Erweiterung: l ist selbst stochastisch: l ~ Gamma Daraus folgt: Anzahl Ausfälle ~ Negativ Binomial Erwartete Recovery Rate wird vom Exposure abgezogen n l exp l n! n 0,1,2 Folie 16

17 CreditRisk + : Berechnung des Credit-Value-at-Risk Monte Carlo: Simulation der erwarteten Anzahl Ausfälle aus einer Gamma-Verteilung Simulation der Anzahl Ausfälle aus einer entsprechenden Poisson-Verteilung CreditRisk + liefert aber auch eine analytische Approximation: Explizite Berechnung der Wahrscheinlichkeit, keinen Verlust zu erleiden Rekursionsbeziehung für n Verluste Spreadsheet-Implementierung möglich (Excel) Folie 17

18 CreditRisk + : Auswirkung der Volatilität der Ausfallwahrscheinlichkeit Bsp.: Portfolio von 25 identischen Krediten a) Keine Volatilität der Ausfallwahrscheinlichkeit b) 10% Volatilität c) 20% Volatilität a b c Erwartungswert % Quantil Folie 18

19 CreditRisk + : Sektorenaufteilung Jeder Kredit wird auf orthogonale Sektoren aufgeteilt gemäss den wirtschaftlichen Hintergrundfaktoren, die seine Bonität beeinflussen Sektoren sind systematische Risikofaktoren 1 idiosynkratischer Sektor für das nicht systematische Risiko Auswirkungen der Konzentration werden deutlich: Credit Value-at-Risk Ausfallkorrelation Folie 19

20 CreditRisk + : Sektoraufteilung Beispiel Kredit X 30% 10% 30% 30% Europa Asien Energie... Idiosynkrat. Sektor 20% 35% 45% Kredit Y Folie 20

21 CreditRisk + : Auswirkung der Sektoraufteilung Bsp.: Portfolio von 25 identischen Krediten a) Alle Kredite in einem Sektor b) 3 Sektoren, alle Kredite sind in genau 1 Sektor c) 3 Sektoren, alle Kredite sind in alle 3 Sektoren aufgeteilt a b c Erwartungswert 14.2m 14.2m 14.2m 99% Quantil 55.3m 49.9m 47.4m Folie 21

22 CreditRisk + : Bemerkungen Keine Annahmen bezüglich Ausfallursache Einbezug der Volatilität der Ausfallwahrscheinlichkeit Gut skalierbar Effiziente Berechnung mit dem Computer (analytisch) Geringe Datenanforderungen Keine Berücksichtigung einer stochastischen Recovery Rate Folie 22

23 Vergleich der Berechnungen von CreditMetrics und CreditRisk + Portfolio: 20 Kredite mit verschiedener Grösse und Rating 3 Sektoren 1 Jahr Zeithorizont Nur Berücksichtigung von Ausfällen CreditMetrics Korrelationen konsistent mit der CreditRisk + Sektoraufteilung Kalibrierung der Volatilität der Ausfallwahrscheinlichkeit in CreditRisk +, so dass das 99% Quantil identisch ist Folie 23

24 CreditMetrics und CreditRisk + Vergleichsrechnung CreditRisk + CreditMetrics Kein Ausfall 52.4% 51.4% Mittelwert Fazit: Sehr ähnliche Ergebnisse bei konsistenten Inputparametern Folie 24

25 CreditPortfolioView: Einbezug der Makroökonomie über Logit-Regression Übergangs- und Ausfallwahrscheinlichkeiten sind abhängig vom Zustand der Gesamtwirtschaft Regressionsansatz mit erklärenden Variablen Übergangswahrscheinlichkeiten in der Matrix als Funktion der spekulativen Ausfallwahrscheinlichkeit p j, t 1 1 exp y j, t y X X X j, t j, 0 j, 1 j, 1, t j, 2 j, 2, t j, 3 j, 3, t j, t p j,t : y j,t : X j,t : Spekulative Ausfallwahrscheinlichkeit im Segment j zum Zeitpunkt t Segmentspezifischer Ausfallindex Makroökonomische erklärende Variablen Folie 25

26 Motivation von CreditPortfolioView: Erklärungsgehalt der makroökonomischen Faktoren Daten: 1971 bis 1993, jährlich Abhängige Variable: Spekulative Ausfallwahrscheinlichkeit in D Erklärende Variable Koeffizient Konstante BIP Wachstumsrate Arbeitslosenquote Durchschn. Inflationsrate Adjusted R 2 der Regression 79.39% Folie 26

27 CreditPortfolioView: Berechnung des Value-at-Risk mit Monte Carlo Zeitreihenmodell (AR(2)) für N erklärende Variablen schätzen Simulation von N multivariat standardnormalverteilten Zufallsvariablen mit der Korrelation der Faktoren Einsetzen in die Gleichungen des Zeitreihenmodells zur Prognose der Faktoren für den Simulationslauf Berechnen des spekulativen Ausfallwahrscheinlichkeit aus der Logit-Gleichung Berechnen der bedingten Übergangswahrscheinlichkeiten Simulation der Ratingveränderungen der einzelnen Kreditpositionen (vgl. CreditMetrics) Folie 27

28 CreditPortfolioView: Bemerkungen Einbezug des makroökonomischen Zustands ist sinnvoll Sehr komplexe Modellierung über mehrere Stufen Zeitreihenmodell Logit-Regression Schwierig in der Umsetzung Einbezug des makroökonomischen Zustands kann einfacher erfolgen Einbezug in das Ratingmodell Konditionierung der Ausfallwahrscheinlichkeit pro Ratingklasse Folie 28

29 Fallstudie zum Kreditrisiko: Logistica Logistica ist ein weltweit tätiger Anbieter für Dienstleistungen im Bereich der Logistik Die Rechnungsstellung für die Dienstleistungen erfolgt erst nach Durchführung Die geschuldeten Beträge sind dem Kreditrisiko ausgesetzt Der gesamte Debitorenbestand von Logistica betrug Ende 1999 rund 700 Mio. CHF In den vergangenen 4 Jahren betrug die Ausfallwahrscheinlichkeit rund 1.3%, d.h. ca. 10 Mio. CHF Das Management von Logistica will wissen, wie die Verlustverteilung aufgrund von Kreditausfällen sein kann und welche Massnahmen der Absicherung bestehen Folie 29

30 Struktur des Debitorenportfolios von Logistica Debitorenbestand von CHF 699,150, Grosskunden mit Volumina bis CHF 20 Mio., zumeist durch Agenturen geratet ca. 130 Kunden mit einem Volumen über CHF 500,000, teilweise durch Agenturen geratet kleine Kunden ohne Rating mit Volumina unter CHF 500,000 Folie 30

31 Historische Ausfallwahrscheinlichkeiten von Logistica und Agenturdaten im Vergleich Ausfallquoten von Logistica über die letzten 4 Jahre: % % % % Mittelwert 1.33% Ausfallquoten von Moody s ( ): Aaa Aa A Baa Ba B Caa-C Adjustierte Ausfallwahrscheinlichkeiten von Standard & Poor s: AAA AA A BBB BB B CCC Folie 31

32 Vorgehensweise zur Berechnung Für die gerateten wird das Agenturrating nach Standard & Poor s mit den entsprechenden adjustierten Ausfallwahrscheinlichkeiten verwendet Die nicht gerateten Grosskunden erhalten ein Rating, das einer vergleichbaren Unternehmung entspricht Den nicht gerateten Kunden mit Exposure über 500,000 wird die Ausfallwahrscheinlichkeit des Durchschnittsratings Ba von 1.34% zugewiesen Für die kleinen Kunden liegen keine Angaben bezüglich Exposure und Rating vor; das Exposure wird für alle mit 250,000 CHF angenommen und die Ausfallwahrscheinlichkeit so gewählt, dass die Ausfallwahrscheinlichkeit des gesamten Portfolios 1.34% ist Die Standardabweichung der Ausfallwahrscheinlichkeit wird gleich hoch gesetzt wie die Ausfallwahrscheinlichkeit Folie 32

33 0 3'682'250 7'364'500 11'046'750 14'729'000 18'411'250 22'093'500 25'775'750 29'458'000 33'140'250 36'822'500 40'504'750 44'187'000 47'869'250 51'551'500 55'233'750 58'916'000 Die Kreditverlustverteilung von Logistica berechnet mit CreditRisk % 4.00% 3.50% 3.00% 2.50% 2.00% 1.50% 1.00% 0.50% 0.00% Verlustverteilung Credit Loss Percentile Amount Mean 9'365' '176' '852' '608' '599' '869' '869' '860' '097'069 Das Modell kann unter heruntergeladen werden. Folie 33

34 Mögliche Verbriefung des Kreditrisikos nach dem Beispiel der HAT Transaktion Zielrating der Credit Linked Note B : BBB (0.17%) Zielrating der Credit Linked Note A : AA (0.01%) Verlustquantil 99.83%: CHF 62,500,000 Verlustquantil 99.95%: CHF 75,000,000 Mögliche Struktur: Verluste bis CHF 62,500,000 werden von Logistica getragen Die Tranche B beträgt CHF 20,000,000 Die Tranche A beträgt CHF 20,000,000 Der Credit Default Swap deckt somit die Verluste von CHF 62,500,000 bis CHF 102,500,000 Folie 34

35 Aufgabe 1: Eine stärkere Sektorkonzentration der Kredite im Portfolio wird: den erwarteten Portfolioverlust erhöhen. den Value-at-Risk des Portfolios erhöhen. sowohl den erwarteten Verlust als auch den Value-at-Risk des Portfolios erhöhen. keine Auswirkungen auf die Verteilungsparameter haben. Folie 35

36 Aufgabe 2: Zeigen Sie Probleme in der Vorgehensweise zur Berechnung der Kreditverlustverteilung von Logistica auf. Bringen Sie diese Probleme in den Zusammenhang mit der Erstellung von Ratings von Verbriefungstransaktionen. Folie 36

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