Übungsklausur Lineare Algebra I - Wintersemester 2008/09

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1 1 Übungsklausur Lineare Algebra I - Wintersemester 008/09 Teil 1: Multiple Choice (1 Punkte Für ie ganze Klausur bezeichne K einen beliebigen Körper. 1. Welche er folgenen Aussagen sin ann un nur ann erfüllt, wenn eine Mengenabbilung f : X Y surjektiv ist? Für jees x X gibt es ein y Y, so ass f(x = y. Es gibt ein x X, so ass für alle y Y gilt: f(x = y. Für jees y Y gibt es ein x X, so ass f(x = y. Es gibt ein y Y, so ass für alle x X gilt: f(x = y. (Die erste Aussage gilt für jee Mengenabbilung; ie zweite impliziert, ass Y einelementig ist; un ie vierte besagt, ass as Bil von f aus einem Element besteht.. Die Abbilung R R, ( x y x y, ist surjektiv. injektiv. bijektiv. weer injektiv noch surjektiv. ( a (Die Abbilung ist surjektiv, enn für jee nichtnegative reelle Zahl a gilt a, un für jee 0 ( negative reelle Zahl a gilt a 0 a. Sie ist nicht injektiv, a z.b. ( 0 0 un ( 1 1 auf asselbe abgebilet weren. Damit erleigen sich auch ie restlichen Punkte von selbst.. Man betrachte M, (R mit er üblichen Aition + un Multiplikation von Matrizen. Welche er folgenen Aussagen sin korrekt? (M, (R, + ist eine abelsche Gruppe. (M, (R, +, ist ein Ring. (M, (R, +, ist ein Körper. (M, (R, + mit er üblichen skalaren Multiplikation ist ein R-Vektorraum. (M, (R ist ein R-Vektorraum nach Denition., also insbesonere bzgl. er Aition eine abelsche Gruppe. Auÿerem ist M, (R nach Korollar.5 ein unitärer Ring. Es ist aber kein Körper, enn nicht jees Element verschieen von Null hat ein multiplikatives Inverses (z.b. hat ( kein Inverses, a es Rang 1 hat. 4. Welche er folgenen Teilmengen U R n (n sin Untervektorräume? U = {x R n x 1 = = x n } U = {x R n x 1 = 1} U = {x R n x 1 + x x n = 0} U = {x R n x 1 = 0} (Die Teilmenge {x R n x 1 = = x n } ist ein Untervektorraum, enn es ist Bil er linearen Abbilung f : R R n, a (a,..., a t. Ebenso ist U = {x R n x 1 = 0} als Kern er linearen Abbilung g : R n R, x x 1, ein Untervektorraum. {x R n x 1 = 1} kann kein Untervektoraum sein, a es en Nullvektor nicht enthält, un ie letzte Menge {x R n x 1 + x x n = 0} umfasst alle Vektoren mit Norm 0, also nur en Nullvektor. Aber ie nur aus em Nullvektor bestehene Teilmenge {0} R n ist ein Untervektorraum. 5. Ein System (v 1, v von Vektoren in K ist genau ann eine Basis, wenn v 1 v. v 1 0 un λv 1 v für alle λ K. λ 1 v 1 λ v für alle λ 1, λ K. λ 1 v 1 + λ v 0 für alle λ 1, λ K. (Die erste Aussage ist falsch: v 1 = ( 1 0, v = ( 0 0 sin ungleich, bilen aber keine Basis von K. Die zweite Aussage ist richtig: Gilt v 1 0 un λv 1 v λ K, so ist (v 1, v linear unabhängig: In er Tat, falls λ 1 v 1 + λ v = 0 für λ 1, λ K, so gilt λ = 0, a sonst v = λ1 λ v 1. Daraus folgt λ 1 v 1 = 0 un wegen v 1 0 aher auch λ 1 = 0. Wegen im K = ist amit (v 1, v ein maximales linear unabhängiges System un somit eine Basis. Umgekehrt gilt: Ist (v 1, v eine Basis, also linear unabhängig, so gilt λ 1 v 1 + λv 0 λ 1, λ K mit (λ 1, λ (0, 0, also insbesonere für (λ 1, λ = (1, 0 bzw. (λ, 1 (λ K,.h. v 1 0, λv 1 v 0. Die ritte Aussage ist falsch: ( ( 1 0, ( 0 1 ist eine Basis von K, aber 0 ( 1 0 = 0 ( 0 1. Die vierte Aussage ist falsch: ( ( 1 0, ( 0 0 ist keine Basis von K, aber λ 1 ( 1 0 +λ ( 0 0 = ( λ 1 0 ( 0 0 für alle λ 1, λ K.

2 Übungsklausur Lineare Algebra I - Wintersemester 008/09 6. Sei V ein K-Vektorraum un v 1,..., v n V Vektoren, so ass Lin((v 1,..., v n = V. Welche er folgenen Aussagen sin stets richtig? (v 1,..., v n ist ein Erzeugenensystem von V. V ist ein enlich-imensionaler K-Vektorraum. Die Dimension von V beträgt minestens n. Wenn n = im V, so ist as System (v 1,..., v n linear unabhängig. (Die erste Aussage gilt nach Denition es Begris Erzeugenensystem (.15(a, ie zweite aus er Bemerkung vor Lemma.8 (bzw. im Prinzip schon aus Satz.0. Die ritte Aussage ist falsch: z.b. ist Lin(( 1 0, ( 0 1, ( 1 1 = K, aber ie Dimension von K ist < ; sie wäre korrekt, wenn man `minestens' urch `höchstens' ersetzte. Die vierte Aussage stimmt: Ist n = im V, so ist (v 1,..., v n nach Korollar.5 ein minimales Erzeugenensystem, also eine Basis un amit linear unabhängig. 7. Sei V ein enlich-imensionaler K-Vektorraum un seien U 1, U Untervektorräume von V. Welche er folgenen Aussagen sin immer richtig? im(u 1 U im U im(u 1 U = im V = U 1 U im(u 1 U < im U 1 = U U 1 im U 1 + im U > im V = U 1 U {0} (Die erste Aussage gilt nach Satz.7, a U 1 U ein Untervektorraum von U ist. Auch ie zweite Aussage stimmt: Nach Satz.7 folgt aus im(u 1 U = im V, ass U 1 U = V ; wegen U 1 U U 1, U V gilt also U 1 = U = V un insbesonere U 1 U. Die ritte Aussage ist im allgemeinen falsch, wie man mit V = K, U 1 = Lin ( ( 1 0, U = Lin ( ( 0 1 leicht nachprüft. Die vierte Aussage ist korrekt: Gilt im U 1 +im U > im V, so folgt wegen im V im(u 1 +U insbesonere im U 1 +im U > im(u 1 +U ; also folgt wegen.6 für ie Dimension von U 1 U : im(u 1 U = im U 1 + im U im(u 1 + U > 0. Nach em Beispiel nach Denition.6 ist ies gleichbeeuten mit U 1 U {0}. 8. Welche er folgenen Mengen sin er Kern einer linearen Abbilung f : V W? {w W f(0 = w} {f(v v = 0} {v V f(v = 0} f 1 ({0} (nach Denition 1.8 bzw. unter Anwenung von Def. 1.15; ie beien aneren Möglichkeiten bezeichnen jeweils ie Menge {0} W. 9. Der Rang Rg(f einer linearen Abbilung f : V W lässt sich berechnen als im ker(f im im(f im W im V im ker(f (Die Aufgabe war leier unpräzise formuliert: Sin V un W enlich-imensional, so stimmen ie oben angegebenen Antworten: Per Denition.4 gilt Rg(f = im im(f, un nach.5 gilt im im(f + im ker(f = im V. Anernfalls ist er Rang nicht eniert woren, un ie Formel im V im ker(f könnte je nachem nicht interpretierbar sein. 10. Seien f, g Enomorphismen eines enlich-imensionalen K-Vektorraumes V. Welche er folgenen Aussagen sin richtig? f injektiv = f surjektiv f, g injektiv = f g injektiv f, g injektiv = f + g injektiv f g bijektiv = f, g bijektiv. (Die erste Aussage gilt nach Korollar.9, ie zweite nach Aufgabe (a von Übungsblatt, ie ritte ist falsch z.b. für f = i V, g = i V, un ie vierte folgt aus Aufgabe (c+( von Übungsblatt zusammen mit Korollar Die Abbilung R R, ( x y ( x+y y x ist bezüglich er kanonischen Basis es R urch ie folgene Matrix gegeben: ( ( ( Welche er folgenen reellen Matrizen haben en Rang? ( ( (

3 Übungsklausur Lineare Algebra I - Wintersemester 008/09 Teil : Freie Antworten (16 Punkte A. Betrachten Sie folgene -Matrix als Matrix über (a R, (b Z/Z un beantworten Sie in beien Fällen folgene Fragen: Ist ie Matrix invertierbar? Falls ja, bestimmen Sie ie inverse Matrix. Falls nein, bringen Sie sie in strenge Zeilenstufenform un bestimmen Sie en Rang: (+ Punkte (a über R: ( 10 1 Die Matrix ist invertierbar, ie inverse Matrix ist (b über Z/Z: = Der Prozess bricht ab, ie Matrix ist nicht invertierbar; ihre strenge Zeilenstufenform lautet, ihr Rang ist. (Man hätte sich ie rechte Seite ieser Umformungen auch ersparen ( können, a bei er ursprünglichen Matrix bereits klar ist, ass sie nicht invertierbar ist, enn ihr Rang kann nicht maximal sein (sie hat zwei gleiche Spalten.

4 4 Übungsklausur Lineare Algebra I - Wintersemester 008/09 B. Sei A = ( α β γ δ M, (Q gegeben. Man betrachte ie lineare Abbilung Bestimmen Sie ie arstellene Matrix f : M, (Q M, (Q, B A B. M v1,v,v,v4 v 1,v,v,v 4 (f von f bezüglich er Basis (v 1, v, v, v 4 von M, (Q, wobei v 1 = ( , v = ( , v = ( 0 0 un v 4 = ( (4 Punkte Es gilt: un aher ( α 0 f(v 1 = A v 1 = = αv γ γv (= α v v + γ v + 0 v 4 ( 0 α f(v = A v = = αv 0 γ + γv 4 ( β 0 f(v = A v = = βv δ δv ( 0 β f(v 4 = A v 1 = = βv 0 δ + δv 4 α 0 β 0 Mv v1,v,v,v4 1,v,v,v 4 (f = 0 α 0 β γ 0 δ 0. 0 γ 0 δ

5 5 Übungsklausur Lineare Algebra I - Wintersemester 008/09 C. Man betrachte ie lineare Abbilung ϕ : M, (Q M, (Q, A 1 (A + At. Zeigen Sie: (a im(ϕ = {A M, (Q A = A t } un ker(ϕ = {A M, (Q A = A t }. (b Es gilt ϕ ϕ = ϕ, un ker(ϕ un im(ϕ sin zueinaner komplementäre Untervektorräume von M, (Q. (a Für beliebiges A = ( a b c M, (Q gilt: ( (a ϕ(a = 1 ( b a c + = c b ( a = ( a t, (+ Punkte also im(ϕ {A M, (Q A = A t }. Umgekehrt gilt für jees A M, (Q mit A = A t : ϕ(a = 1 (A + At = 1 (A + A = A, also A im(ϕ. Folglich gilt {A M, (Q A = A t } im(ϕ. Beie Inklusionen zusammen ergeben ie behauptete Beschreibung von im(ϕ. Für ker(ϕ gilt: ker(ϕ = {A M, (Q ϕ(a=0} = {A M, (Q A+A t =0} = {A M, (Q A= A t } (b Sei A = ( a b c M, (Q beliebig. Dann gilt ϕ(a = ϕ(ϕ(a = ϕ ( ( a Somit gilt ϕ ϕ = ϕ. Es gilt = 1 ( ( a + ( a un ( a = ( a = ϕ(a. A im(ϕ ker(ϕ A = A t un A = A t A = A t = A A = 0 un amit im(ϕ ker(ϕ = {0}. Zuem gilt für beliebiges A M, (Q: A = ϕ(a + (A ϕ(a mit ϕ(a im(ϕ, un ϕ(a ϕ(a = ϕ(a ϕ(ϕ(a = 0, also A ϕ(a ker(ϕ. Folglich gilt: im(ϕ + ker(ϕ = M, (Q. Wegen im(ϕ ker(ϕ = {0} un im(ϕ + ker(ϕ = M, (Q sin ker(ϕ un im(ϕ zueinaner komplementäre Untervektorräume von M, (Q.

6 6 Übungsklausur Lineare Algebra I - Wintersemester 008/09 D. Sei V ein enlich-imensionaler K-Vektorraum. Zeigen Sie folgene Aussage, ohne en gleichlautenen Satz aus er Vorlesung zu zitieren: Ein maximales linear unabhängiges System (v 1,..., v n von Vektoren in V ist ein Erzeugenensystem von V. (4 Punkte Beweis urch Wierspruch: Angenommen, (v 1,..., v n ist ein maximales linear unabhängiges System, aber kein Erzeugenensystem von V. Dann gibt es einen Vektor v V, er sich nicht als Linearkombination er v i schreiben lässt. Behauptung: (v 1,..., v n, v ist linear unabhängig. In er Tat: Angenommen, es gilt λ 1 v λ n v n + λv = 0 mit λ 1,..., λ n, λ K. Wäre λ 0, so folgte v = 1 λ (λ 1v λ n v n Lin(v 1,..., v n, im Wierspruch zu unserer Annahme an v. Daher gilt λ = 0 un amit λ 1 v λ n v n = 0. Wegen er linearen Unabhängigkeit von (v 1,..., v n folgt λ 1 =... = λ n = 0. Damit ist ie Behauptung wahr, somit (v 1,..., v n kein maximales linear unabhängiges System, im Wierspruch zu unserer Annahme.

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