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1 Gleichungen Eine Gleichung ist eine Aussage, in der die Gleichheit zweier Terme durch Mathematische Symbol ausgedrückt wird. Dies wird durch das Gleichheitssymbol = symbolisiert G : = T 2 Definitionsmenge ist die Menge aller Elemente der Grundmenge, bei deren Einsetzen anstelle der Variablen die Gleichung G in eine Wahre oder falsche Aussage übergeht. Lösungsmenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereiches D G, die die Gleichung zu einer Wahre Aussage machen. Beim Lösen einer Gleichung muss man die folgende beachten: die gefundene Lösung Element der Grundmenge sein muss die in der Gleichung auftretenden Terme für die Lösung definiert sein müssen Das bedeutet, dass die Definitionsmenge der Gleichung (x) = T 2 (x) als Durchschnittsmenge der Definitionsmengen der Terme x und T 2 x bestimmt werden kann. Bemerkungen: Beide Seiten einer Gleichung dürfen mit gleichen Term addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert werden. = T 2 ± T 3 = T 2 ± T 3 T 3 = T 2 T 3, T 3 0 T 3 = T 2 T 3, T 3 0 Ein Produkt zweier Terme wird genau dann Null, wenn einer der Terme oder beide Null wird. T 2 = 0 = 0 T 2 = 0 Beide Seiten einer Gleichung dürfen zur demselben positiven Basis a potenziert oder logarithmiert werden. = T 2 a = at 2, a R + {1} = T 2 log a = log a T 2, a R + {1},, T 2 > 0 M. Komasi 1

2 I) Lineare Gleichungen Eine lineare Gleichung von allgemeinen Typ hat genau eine Lösung, nämlich a x + b = 0 x 1 = b a. 1) 3 x + 12 = 0, Lösungsmenge: L = { 4 } 2) 8 x 4 = 0, Lösungsmenge: L = { 1 2 } II) Quadratische Gleichung Die allgemeine Form einer quadratische Gleichung mit den Parametern Unbekannten x lautet: a, b, c und der a x 2 + b x + c = 0 Die allgemeine Lösungen dieser Gleichung lauten: a b c Formel: x 1, 2 = b ± b2 4a c 2a Eine Fallunterscheidung wird dabei unter Anwendung der Diskriminante D = b 2 4 a c wie folgt vorgenommen: i) D 0 : Zwei verschiedene reelle Lösungen ii) D = 0 : Eine (doppelte) reelle Lösung x 1, 2 = b 2a iii) D 0 : Keine reelle Lösungen 1) 4 x 2 8 x + 12 = 0, Lösungsmenge: L = { 3, 1 } 2) 4 x x + 25 = 0, Lösungsmenge: L = { 5 2 } 3) 3 x 2 4 x + 5 = 0, Lösungsmenge: L = {} M. Komasi 2

3 III) Gleichungen 3. und höheren Grades i. Die allgemeine Gleichung dritten Grades hat die Form: a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 Sie hat 3 Lösungen, von denen mindestens eine reell ist. Die weitere Lösungen sind entweder beide reell oder beide komplex. ii. Die spezielle Form der kubischen Gleichungen a x 3 + b x 2 + c x = 0 in denen das absolute Glied (konstantes Glied) fehlt, kann immer durch Ausklammern der Unbekannten x in eine lineare und eine quadratische Gleichung zerlegt werden. x (a x 2 + b x + c ) = 0 x = 0 a x 2 + b x + c = 0 x 1 = 0 ist eine Lösung und zwei weitere Lösungen können aus der quadratischen Gleichung resultieren. Beispiel: 1) 2 x x 2 5 x = 0, Lösungsmenge: L = { 5 2, 0, 1 } iii. Eine Gleichung vierten Grades vom speziellen Form a x 4 + b x 2 + c = 0 heißt bi-quadratisch. Um diese Gleichungen zu lösen, kann man x 2 mit z substituieren( x 2 = z ). Somit erhält man eine quadratische Gleichung für z : a z 2 + b z + c = 0 Durch Rücksubstitution z = x 2 erhält man die Lösungen der bi-quadratischen Gleichung. Eine bi-quadratische Gleichung hat daher entweder keine oder zwei oder vier reelle Lösungen. Beispiel: 1) x 4 5 x = 0, Lösungsmenge: L = { 2, 1, 1, 2 } iv. Eine Gleichung n ten Grades ist in der Form a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 darstellbar. Sie hat höchstens n reelle Lösungen. Ist der n ungerade, so existiert mindestens eine reelle Lösung. M. Komasi 3

4 IV) Wurzelgleichung Wurzelgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable im Radikanden (unter der Wurzel) steht. Bei Wurzelgleichungen soll zunächst der Definitionsbereich bestimmt werden, da der Radikand immer nichtnegativ sein muss. Beispiel: 6 x x = 0 Der Wurzelausdruck wird zunächst isoliert: 6 x 2 = x Definitionsbereich bestimmen: Die Lösungen müssen zwei Bedingungen erfüllen: I. Der Radikand der Wurzel darf nicht negativ werden,d.h.: 6 x x 2 x 1 3 D 1 = [ 1 3, ) II. Eine Quadratwurzel ist immer größer oder gleich Null, d.h.: 3 x x 5 x 5 3 D 2 = [ 5 3, ) Beide Bedingungen müssen zugleich erfüllt sein. Man erhält daher: D = D 1 D 2 D = [ 1 3, ) [ 5 3, ) D = [ 5 3, ) Sollten im weiteren Verlauf des Lösungsverfahrens werte auftreten, die diese Bedingung nicht erfüllen, so handelt es sich um sog. Scheinlösungen. Wurzelausdruck quadrieren: 6 x 2 = x quadrieren 6 x 2 = ( x ) 2 9 x 2 36 x + 27 = 0 x 1 = 3, x 1 D x 2 = 1, x 2 D Scheinlösung Der erste Wert erfüllt die Bedingung x 5 3 ( Scheinlösung ). L = {3}, der zweite Wert dagegen nicht M. Komasi 4

5 V) Betragsgleichungen Betrag einer Zahl Unter dem Betrag a einer reellen Zahl a versteht man die nicht negative Zahl. a = a falls a 0 a falls a < 0 Bemerkungen: a gibt den Abstand der Zahl a von der Zahl 0. 1) 7 = 7 2) 5 = 5 a b ist der Abstand der Zahlen a und b voneinander. Beispiel: 1) a 20 = 3 a 20 = 3 a = 23 oder a + 20 = 3 a = 17 Sätze: Für alle a R gilt a 0 a 0 a = 0 a = 0 a 0 a 0 a = a Für alle x, a R mit a 0 gilt: a x a x a Für alle a, b R gilt: a + b a + b a b a + b a b a b Für alle a, b R gilt: a b = a b a b = a b, b 0 M. Komasi 5

6 1) 2 x 1 = 3 x 4 2 x 1 = 2 x 1 falls 2 x 1 0 x 1 2 (2 x 1) falls 2 x 1<0 x < 1 2 [ 1 2 Daher sind zwei Fälle zu unterscheiden: 1. Fall: x 1 2 In diesem Intervall ist der Term 2 x 1 positiv: 2 x 1 = 3 x 4 x = 3 Dieser Wert liegt im Intervall x 1 2 und ist somit eine Lösung der Betragsgleichung. 3 [ 1 2, ) L 1 = { 3 } 2. Fall: x 1 2 In diesem Intervall ist der Term 2 x 1 negativ: (2 x 1) = 3 x 4 x = 1 Dieser Wert ist eine Scheinlösung, da er außerhalb des Intervalls x 1 2 liegt. 1 (, 1 2 ) L 2 = { } Lösungen: L = L 1 L 2 = { 3 } = { 3 } { } = { 3 } L = { 3 } M. Komasi 6

7 2) x x 2 = 3 x + 3 = x 2 = x + 3 falls x x 3 ( x + 3) falls x + 3 < 0 x < 3 x 2 falls x 2 0 x 2 (x 2) falls x 2 < 0 x < 2 [ [ 3 2 Daher sind insgesamt drei Fälle zu unterscheiden: 1. Fall: x < 3 In diesem Intervall sind die beide Terme negativ: (x + 3) 2( ( x 2)) = 3 x x 4 = 3 x = 10 Dieser Wert ist eine Scheinlösung, da er außerhalb des Intervalls 10 (, 3 ) L 1 = { } x < 3 liegt. 2. Fall:. 3 x < 2 Der Term x + 3 ist positiv, der Term x 2 dagegen negativ. Somit gilt: x ( (x 2)) = 3 x x 4 = 3 x = 4 3 Dieser Wert liegt im Intervall 3 x < 2 und ist somit eine Lösung der Betragsgleichung. 4 3 [ 3, 2 ) L = 2 { 4 3 } 3.Fall: x 2 In diesem Intervall sind die beide Terme positiv: x ( x 2) = 3 x x + 4 = 3 x = 4 Dieser Wert liegt im Intervall und 4 [ 2, ) L 3 = { 4 } x 2 ist somit eine Lösung der Betragsgleichung. Lösungen: L = L 1 L 2 L 3 = { } { 4 3 } { 4 } = { 4 3, 4 } M. Komasi 7

8 VI) Exponentialgleichungen Es kommt häufig vor, dass in einer Gleichung b x = a der Exponent Gleichung nennt man Exponentialgleichung. Jede Exponentialgleichung der Form x zu bestimmen ist. Solche b x = a mit b R + {1}, a R + hat eine eindeutige bestimmte Lösung x. x R Man kann nur mit dem Logarithmus bei einer Exponentialgleichung die Variable im Exponenten einer Potenz berechenbar machen. Ähnlich wie beim Quadrieren von Wurzelgleichungen muss man auch hier darauf achten, dass die Potenz alleine auf einer Seite der Gleichung steht. 1) e 2 x + 4 e x 1 = 0 e 2 x + 4 = e x 1 Logarithmieren auf beiden Seiten mit ln liefert: ln (e 2 x + 4 ) = ln(e x 1 ) (2 x + 4) ln e = ( x 1) ln e 2 x + 4 = x 1 x = 5 2) ( 3 x+1 2) ln( 3 x+1 2) = ( 2 3 3) = ln( 2 3 3) (x + 1)ln ( 3 2) = 3 ln ( 2 3) x + 1 = x = 4 Logarithmieren auf beiden Seiten mit ln liefert: 3(ln 2 ln 3) (ln 3 ln 2) = 3 M. Komasi 8

9 VII) Logarithmische Gleichungen Logarithmen Logarithmen sind alle Lösungen der Gleichung b x = a zu vorgegebenen Größen a und b b x = a log b a = x, b R + {1}, a R +, x R x ist Logarithmus von a zur Basis b Logarithmenbasen Logarithmen zu Basis 10 heißen Zehnerlogarithmen. Man kürzt ab: log 10 x = lg x Logarithmen zu Basis e heißen natürliche Logarithmen. Man kürzt ab: log e x = ln x Bemerkungen: lg 1 = ln1 = log b 1 = 0 lg 10 = ln e = log b b = 1 e ln x = x weil log e x = ln x ln(e x ) = x Rechenregeln für Logarithmen I. log b (x y) = log b x + log b y II. III. log b( x y) = log b x log b y log b (x r ) = r log b x 1) log b( 1 x) = log b1 log b x = log b x 1 2) log b ( x) n = log b ( x n ) = 1 n log x b M. Komasi 9

10 Logarithmische Gleichungen sind die Gleichungen, in denen die Variable im Argument des Logarithmus auftritt. Einfache logarithmische Gleichungen löst man durch Potenzieren mit der passenden Basis. Beispiel: 1) ln ( 4 x 5 ) + 4 = ln ( 4 x ), x 0 5 ln(x 4) + 4 = ln( x 5 4 ln x 1 4 ln x = 4 1 4) ln x = 4 Man potenziert beide Seiten zur Basis e e ln x = e 4 x = e 4 > 0 L = e 4 M. Komasi 10

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