Känguru 2016 Student Lösungen und Erklärungen

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1 Känguru 016 Student Lösungen und Erklärungen 1. Lösungsweg 1: Tom und Johann sind zusammen 3 Jahre alt, Tom und le zusammen 5. a das lter von Tom in beiden Summen gleich ist, muss le also um Jahre älter sein als Johann.. Johann und Tom sind zusammen 3 Jahre alt, Johann und le zusammen 4. Hier ist das lter von Johann in beiden Summen gleich, also muss le um ein Jahr älter sein als Tom. aher ist le am ältesten. Lösungsweg : In diesem Lösungsweg erfahren sogar das genaue lter aller drei Personen. Wir wenden den in vielen Situationen nützlichen Trick an, einfach alle drei Summen zusammenzuzählen. So erfahren wir, dass die Summe der lter von Tom + Johann + Johann + le + le + Tom gleich = 7 ist. Halbieren wir das, so wissen wir, dass die Summe der lter von le + Johann + Tom gleich 36 ist. Wenn le + Johann + Tom = 36 und laut ngabe Tom + Johann = 3 ist, dann ist le = 13. uf dem gleichen Wege sehen wir Johann + le = 4 und daher Tom = 1, und schließlich le + Tom = 5 und daher Johann = 11. lso ist le am ältesten = = In der folgenden Skizze sind bei jedem Fluss von einigen Punkten aus die kürzesten rücken ans andere Ufer eingezeichnet: ei Flüssen (), (), () und (E) sind alle blauen Linien über den jeweiligen Fluss gleich lang. ei () dagegen ist vom rot markierten Kreis aus die kürzestmögliche rücke deutlich länger als die entlang der blauen Linien möglichen rücken am gleichen Fluss. 4. Lösungsweg 1: Es gilt = und = , daher gibt es keine Zahlen, die dazwischen liegen. Lösungsweg : Wenn wir die Multiplikation nicht ausrechnen wollen, können wir die Rechnung auch wie folgt vereinfachen: = (016 1) ( ) = Somit ist nur um 1 größer als , daher gibt es keine Zahlen, die dazwischen liegen. 5. Lösungsweg 1: Wenn wir wissen, dass die Vertauschung der - und -Koordinaten einer Spiegelung entlang der Geraden = entspricht, sehen wir sofort, dass () das Ergebnis ist. Lösungsweg : Wir betrachten für einige markante Punkte, wo sie nach der Vertauschung liegen. ei der Nase des Kängurus rechts oben sind - und -Koordinate ungefähr gleich groß, daher ändert sich durch die Vertauschung nicht viel. ie Nase bleibt also ungefähr an der gleichen Stelle rechts oben. uch bei der Schwanzspitze des Kängurus links unten sind - und -Koordinate beide ungefähr gleich, daher bleibt die Schwanzspitze ungefähr an der gleichen Stelle links unten. ie Zehenspitzen des Kängurus rechts unten haben eine große - und eine kleine -Koordinate. Nach der Vertauschung ist die -Koordinate klein und die -Koordinate groß, also landen die Zehenspitzen links oben.

2 Umgekehrt hat die leere Fläche über dem Rücken links oben kleine - und große -Koordinaten, daher sind nach der Vertauschung die -Koordinaten groß und die -Koordinaten klein, daher landet der leere ereich rechts unten. aher stellt () das Känguru dar, dass wir nach der Vertauschung erhalten. 6. ereits mit 4 Ebenen ist es möglich, einen begrenzen ereich einzugrenzen, beispielsweise einen Tetraeder (dreiseitige Pramide). Es ist bekannt, dass 3 Ebenen dafür noch nicht genügen, was man etwa so argumentieren kann: Ein von Ebenen begrenzter Körper im dreidimensionalen Raum hat mehrere Ecken, wobei eine Ecke immer dort entsteht, wo 3 oder mehr Ebenen zusammenstoßen. Umgekehrt wissen wir aber, dass drei Ebenen einander in höchstens einem Punkt schneiden. Mit 3 Ebenen können wir also höchstens einen Eckpunkt bilden, was für einen begrenzten Körper zu wenig ist. 7. Wie in der ersten Zeichnung bezeichnen wir die Zahlen links oben, oben und in der Mitte mit, und z (wobei diese Zahlen nicht notwendigerweise verschieden sein müssen). H H z z G G F E F E ie reiecke und müssen dieselbe Summe haben. reieck hat Summe + + z, reieck hat Summe + z + [Ecke rechts oben], daher muss in der Ecke rechts oben ebenfalls die Zahl stehen. reiecke und müssen dieselbe Summe haben, also steht rechts in der Mitte wieder. reiecke und haben dieselbe Summe, also steht rechts unten sicher wieder, und so weiter, bis wir gezeigt haben, dass die Zahlen so verteilt sind wie in der rechten Zeichnung. Es kommen also nur die Zahlen, und z vor, daher können nicht mehr als drei Zahlen auftreten. Umgekehrt können wir für, und z drei verschiedene Zahlen wählen und sehen, dass trotzdem immer noch alle 8 kleinen reiecke dieselbe Summe + + z haben, also ist eine Lösung mit drei verschiedenen Zahlen möglich. Sie kann daher höchstens 3 verschiedene Zahlen verwenden. 8. ezeichne das kleine weiße Rechteck (mit Größe ) links unten. ie beiden Rechtecke S 1 und S dieselbe Fläche. Fügen wir zu beiden das kleine weiße Rechteck hinzu, so haben auch S 1 + und S + dieselbe Fläche. Von diesen neuen Rechtecken sind die Flächen nun leicht zu berechnen: as Rechteck S 1 + ist breit und 5 hoch, also ist die Fläche gleich 5. as Rechteck S + ist 8 breit und hoch, also ist die Fläche gleich 8. ie Flächen sind nach ngabe gleich groß, also gilt 5 = 8, was sich leicht umformen lässt (durch ivision durch 5) zu : = 8 : Es soll 4 + = 0 gelten, was für = 0 nicht erfüllt wäre, daher ist 0. aher dürfen wir beide Seiten der Gleichung durch dividieren und erhalten die äquivalente Gleichung 4 + = 0. ddieren wir auf beiden Seiten 4, so erhalten wir + = Wir wissen, dass die ogenlängen sich zueinander gleich verhalten wie die dazugehörigen Winkel zum Mittelpunkt, also OP : P O = 0 : 16 = 5 : 4. ie Summe der beiden Winkel ist 180. er Winkel P O macht daher 4 9 davon aus und beträgt somit 80. a die Tangente P X im erührpunkt P normal auf den Radius P O steht, ist XP O ein rechter Winkel. ie Winkelsumme im reieck beträgt 180, daher bleiben für den gesuchten Winkel XP = OXP = 180 P OX XP O = = 10 übrig.

3 11. Wir formen a + = b um zu a = b 4 und sehen, dass b um 4 größer ist als a. ie dritte Gleichung c = d : formen wir um zu c 4 = d und sehen, dass d vier Mal so groß ist wie c. Nun müssen wir noch b und d vergleichen, daher formen wir b = d : um zu d = b 4 = b+b 4 = b+a. aher ist d so groß wie a und b zusammen und somit die größte Zahl. 1. Seien a, b und c die Zahlen in der untersten Reihe. ann stehen in der mittleren Reihe die Zahlen ab und bc, und oben steht die Zahl ab c. Es können daher nur solche Zahlen oben stehen, die sich als solches Produkt darstellen lassen. etrachten wir die 5 Lösungsmöglichkeiten, so sehen wir, dass diese arstellung bei vier davon möglich ist, während bei einer nicht genügend Primfaktoren dafür zur Verfügung stehen: () 56 = 7 () 84 = 3 7 () 84 = 3 5 () 105 = (E) 0 = Wir berechnen den Wert unter nwendung der Rechenregeln für Potenzen: 1 = = 3 = ( ) ( ) = = +1 = 3 4 = ( 3)( 3 ) = 3 3 = 3 8 = 3+8 = a genau halb so lang ist wie, ist genau die Hälfte eines gleichseitigen reiecks. In diesem beträgt jeder Winkel 60, also insbesondere = 60. ls Ergänzung auf den rechten Winkel des Rechtecks erhalten wir weiters = 90 = = 30. Wegen X = X ist das reieck X gleichschenkelig, damit gilt weiters X = X = 30. X 15. a die Gesamtfläche 016 und die nzahl der Quadrate 56 bereits vorgegeben sind, muss jedes der Quadrate die Fläche = 36 haben, und somit die Seitenlänge 6. Unabhängig von der ursprünglichen Form des Rechtecks sehen die Quadrate also immer gleich aus. aher müssen wir nur noch berechnen, auf wieviele rten diese 56 Quadrate wieder zu einem Rechteck zusammengelegt werden können. Wenn das erhaltene Rechteck n Quadrate breit ist, muss es 56 n Quadrate hoch sein, wobei sowohl n als auch 56 n ganze Zahlen sein müssen. Wir können für n daher alle Teiler von 56 wählen: 1,, 4, 7, 8, 14, 8, 56. Jeweils dieser Rechtecke haben nach rehung dieselbe Form (zum eispiel = 4 14 und = 14 4), also gibt es 4 verschiedene Formen. 16. Wir beschriften die Punkte wie in der Zeichnung. as Quadrat hat einen Umfang von 4, also eine Seitenlänge von 1. ezeichne a den bstand X. as reieck XY hat einen rechten Winkel und einen Winkel von 60, daher ist es genau die Hälfte eines gleichseitigen reiecks X mit Höhenfußpunkt Y. Somit beträgt der bstand Y gleich a. Im rechtwinkeligen reieck XY gilt nach Pthagoras, dass ( ) a + 1 = a, was sich umformen lässt (durch Multiplikation mit 4) zu a + 4 = 4a, und somit weiters zu a = 4 3 und a = 3. ie gesamte Länge beträgt daher Y + Y = 1+ a = 1+ 3 = as dreifache davon ergibt ) einen Umfang von 3 ( = = a a X Y Z

4 17. Ein Ritter sagt immer die Wahrheit, daher muss jeder Ritter gemäß seiner eigenen ussage zwischen zwei Lügnern sitzen. aher können wir höchstens 3 Ritter am Lagerfeuer unterbringen, weil bei 4 oder mehr Rittern zwei davon benachbart sitzen würden. Wenn ein Lügner behauptet, er würde zwischen zwei Lügnern sitzen, dann muss mindestens einer seiner Sitznachbarn in Wirklichkeit ein Ritter sein, da der Lügner ja sonst die Wahrheit gesagt hätte. aher können nie mehr als Lügner in einer Reihe nebeneinander sitzen. eshalb können höchstens 4 Lügner am Lagerfeuer sitzen, da bei 5 oder mehr Lügnern auf jeden Fall irgendwo drei davon in einer Reihe nebeneinander sitzen müssten. eshalb sitzen am Lagerfeuer genau 3 Ritter und 4 Lügner. 18. Wir wissen, dass die Ziffernsumme einer Zahl bei ivision durch 9 den gleichen Rest haben muss wie die Zahl selbst. Wenn wir drei dreistellige Zahlen [abc], [def] und [ghi] betrachten, dann hat [abc] den gleichen Rest bei ivision durch 9 wie a+b+c, [def] hat den gleichen Rest wie d+e+f, und [ghi] hat den gleichen Rest wie g + h + i. ddiert man diese Zahlen, so hat auch die Summe [abc]+[def]+[ghi] den gleichen Rest bei ivision durch 9 wie a + b + c + d + e + f + g + h + i. ie Summe a + b + c + d + e + f + g + h + i kennen wir aber, da laut ngabe ja jede der Ziffern von 1 bis 9 genau ein Mal darin vorkommt, also a+b+c+d+e+f +g +h+i = = 45 = 5 9. aher gilt für die Summe [abc] + [def] + [ghi] sicher, dass auch diese durch 9 teilbar ist. Für die Zahl 1500 gilt dies nicht, daher kann sie nicht das Ergebnis einer solchen Summe sein. er Umkehrschluss gilt nicht, daher müssen wir für die anderen Zahlen erst zeigen, dass sie als solche Summe dargestellt werden können. Wir finden für die vier vorgegebenen Zahlen die folgenden eispiele: () 1503 = () 151 = () 151 = (E) 1575 = Wir bezeichnen die Zahlen wie in der ersten Skizze. Wir müssen auf jeden Fall a = 1 setzen, damit die Summe im linken unteren weißen reieck durch 3 teilbar ist. f f f d e d e 0? a b c 1 1 b c 1 b c Wenn wir? = 0 setzen, so erhalten wir die Lösung, die in der zweiten Skizze abgebildet ist und deren Korrektheit wir leicht überprüfen können. Wenn wir? = 1 setzen wie in der dritten Skizze, so müssen wir d = setzen für das weiße reieck links auf halber Höhe. Für das weiße reieck rechts auf halber Höhe müssen wir e = 0 setzen. ann ist aber die Summe beim oberen schwarzen reieck durch 3 teilbar, also ist diese Lösung nicht möglich. Wenn wir? = setzen wie in der vierten Skizze, dann ist die Summe beim linken unteren schwarzen reieck durch 3 teilbar, also ist auch diese Lösung nicht möglich. Eine gültige Lösung können wir daher nur für 0 erhalten. 0. a die fünf Winkel zusammen 180 betragen, gilt = 36. uf Grund der Smmetrie ist E parallel zu der Tangente. ie Winkelsumme im reieck beträgt 180, daher ist E = = 36 =. er Peripheriewinkelsatz besagt, dass eine Sehne von jedem Punkt des Kreises aus unter demselben Winkel erscheint. Über der Sehne E beispielsweise gilt E = E =. er Winkel beträgt daher E + E = = 7.

5 1. Für reelle Zahlen a und b gibt es folgende Fälle, in denen a b = 1 gilt: a = 1, b beliebig: Für a = = 1 erhalten wir die oppellösung 1 = =. a = 1, b ganzzahlig gerade: a = = 1 ist äquivalent zu = ( ) + = 0, was keine Lösung hat. a beliebig ungleich 0, b = 0: Für b = + 30 = 0 erhalten wir die beiden Lösungen 1, = 1 ± 1 1± =. er Term a = = ( ) + 1 kann nie 0 werden, daher sind beide tatsächlich Lösungen. Wir haben daher insgesamt 3 Lösungen gefunden.. Seien wie in der Zeichnung,, und die Eckpunkte des Tangentenvierecks, E, F, G und H die erührpunkte des Inkreises, und M der Mittelpunkt des Inkreises. Weiters sei r der Radius des Inkreises. er Umfang des Vierecks berechnet sich als U = + + +, der Umkreis des Kreises als U = rπ. as Verhältnis der Umfänge ist also U = U rπ. G F r r M r r E H Für die erechnung der Fläche zerlegen wir das Tangentenviereck in vier reiecke. Für jedes dieser reiecke berechnet sich die Fläche als Grundlinie Höhe, also erhalten wir die Gesamtfläche = r + r + r + r ie Fläche des Kreises berechnet sich als = r π. Für das Verhältnis der Flächen erhalten wir somit = ( ) r. (+++) r = r π = rπ = U U. Somit gilt sogar in jedem beliebigen Tangentenviereck die Gleichung : = U : U. Für das Tangentenviereck aus der ngabe folgt also : = U : U = 4 : Zunächst wissen wir, dass eine quadratische Funktion bei jeder -Koordinate nur einen Wert annehmen kann, also kann die Funktion immer nur durch höchstens einen von drei direkt übereinander angeordneten Punkten verlaufen. Wenn die Funktion durch drei der markierten Punkte gehen soll, muss sie also aus jeder der drei übereinanderliegenden Gruppen genau einen Punkt enthalten. Es gibt = 7 verschiedene Möglichkeiten, aus jeder dieser drei Gruppen genau einen Punkt auszuwählen. Weiters wissen wir, dass eine quadratische Funktion f() = a + b + c dann und nur dann drei Punkte in einer geraden Linie enthält, wenn a = 0 ist. (egründung: Mit 3 Punkten ist eine quadratische Funktion eindeutig bestimmt. Eine lineare Funktion ist ein Sonderfall einer quadratischen Funktion, bei der den Koeffizienten 0 hat. a es durch 3 auf einer Geraden liegenden Punkte eine lineare Funktion gibt, ist diese die einzige quadratische Funktion durch diese Punkte.) ies schließt 5 Fälle aus: ie 3 unteren Punkte, die 3 mittleren Punkte, die 3 oberen Punkte, die iagonale von links unten nach rechts oben, und die iagonale von links oben nach rechts unten.

6 Für die verbleibenden Möglichkeiten können wir eispiele finden, von denen einige in der Grafik zu sehen sind und der Rest durch Spiegelungen und Verschiebungen erhalten werden kann: (a) 8 Möglichkeiten ähnlich der grünen Linie, bei der zwei benachbarte Punkte auf der gleichen Höhe sind und der dritte Punkt um 1 höher oder tiefer. (b) 4 Möglichkeiten ähnlich der grauen Linie, bei der zwei benachbarte Punkte auf der gleichen Höhe sind und der dritte Punkt um höher oder tiefer. (c) 4 Möglichkeiten ähnlich der blauen Linie, bei der die zwei äußeren Punkte auf der gleichen Höhe sind und der mittlere Punkt um 1 höher oder tiefer. (d) Möglichkeiten ähnlich der gelben Linie, bei der die zwei äußeren Punkte auf der gleichen Höhe sind und der mittlere Punkt um höher oder tiefer. (e) 4 Möglichkeiten ähnlich der roten Linie, bei denen alle drei Punkte auf verschiedenen Höhen sind. 4. eim Schnittpunkt zweier Winkelsmmetralen eines reiecks handelt es sich um den Inkreismittelpunkt, daher ist der gegebene bstand von 8 zwischen P und der Hpotenuse gleichzeitig der Inkreisradius. iesen finden wir wieder bei den bständen zu den Fußpunkten und von P auf die Seiten und. Somit haben wir ein kleines Quadrat P mit Seitenlänge 8. Gesucht ist die iagonale P dieses Quadrats, die sich demnach berechnet als P = P = 8 = 16 = 4. P 5. Seien 1 und die beiden Lösungen von + a + b = 0. Gemäß Satz von Vieta gilt a = 1 und b = 1. Falls wir den Satz von Vieta gerade nicht zur Hand haben, können wir es auch ausrechnen: 1, = a ± a 4 b 1 + = a +... a... = a ( ) ( 1 = a + ) (... a ) (... = a ) a 4 b = a 4 ( ) a 4 b = b urch geschickte Kombination erhalten wir 1 + = = ( 1 + ) 1 = ( a) b = a b. Mit der gleichen Methode erhalten wir aus der Gleichung + b + a = 0 mit den Lösungen 1 und die Gleichheit 1 + = b a. Gemäß der ngabe ist die Summe der Quadrate gleich groß, also a b = 1 + = 1 + = b a. ies formen wir um: a b = b a b + b a b = a + b (a + b)(a b) = (a b) a + b = : (a b) 0 wobei wir die ivision durch (a b) deshalb durchführen dürfen, da laut ngabe a b gilt.

7 6. Sei s die Seitenlänge des Würfels. as Volumen einer Pramide berechnet sich als Grundfläche Höhe 3. Wir betrachten die Volumina der Pramiden über zwei gegenüberliegenden Flächen. Sei h die Höhe der einen Pramide, dann hat die gegenüberliegende Pramide die Höhe s h. eide Pramiden haben eine Grundfläche von s. ie Summe der Volumina beträgt also s h 3 + s (s h) 3 = s 3 (h + s h) = s3 3. iese Summe ist nicht von der Lage des Punktes P abhängig. araus folgt, dass wir die 6 Pramiden zu 3 Paaren zusammenfassen können, die jeweils in Summe das gleiche Volumen haben. Nun bleibt nur noch zu klären, welche der vorgegebenen Pramiden zu Paaren zusammengehören. Es ist klar, dass von den 6 Pramiden die größte mit der kleinsten ein Paar bildet, die zweitgrößte mit der zweitkleinsten und die drittgrößte mit der drittkleinsten. Nehmen wir an, die fehlende Pramide hätte ein Volumen kleiner als, dann wären die Paare {, 14}, {, 11} und {5, 10}. ber Hätte die fehlende Pramide ein Volumen größer als 14, so wären die Paare {, }, {5, 14} und {10, 11}. ber aher hat die fehlende Pramide ein Volumen zwischen und 14. Somit bilden die Pramiden mit den Volumen und 14 ein Paar, daher hat jedes Paar zusammen ein Volumen von 16. aher bildet 5 ein Paar mit 11, und der Pramide mit Volumen 10 fehlt ihr Gegenüber mit dem Volumen ei dieser ufgabe ist die erechnung selbst für den Zweck des Wettbewerbs relativ leicht. Will man allerdings mathematisch ganz sauber argumentieren, warum gewisse Figuren ähnlich oder kongruent sind, so brauchen einige Schritte etwas längere usführungen. a das Ziel dieser Lösungssammlung auch ist zu zeigen, wie eine klare eweisführung erfolgen könnte, mag die folgende Erklärung etwas umfangreicher erscheinen, als zum reinen usrechnen notwendig wäre. Für den Känguru-ewerb an sich würde es natürlich völlig ausreichen zu erkennen, dass durch die Faltung alles smmetrisch ist. N Y X M X Seien X und Y die Endpunkte der ersten Faltlinie auf bzw. wie in der Zeichnung zu sehen. ie weiße Fläche am Ende ist genau doppelt so groß wie die Fläche des reiecks MNY, daher berechnen wir nur diese Fläche. Nach dem Falten liegt das reieck Y X genau auf Y MX, daher ist Y = Y M und X = XM, und außerdem Y X = Y MX. ie Seiten und sind parallel, daher gilt nach Parallelwinkelsatz X = X. Zusammengesetzt ergibt das Y M = X, das heißt, dass MY und X denselben Winkel zu einschließen und daher zueinander parallel sind. ls Seitenteile des Rechtecks sind auch MX und Y zueinander parallel. Insgesamt haben wir damit also bewiesen, dass MXY eine Raute ist. Sei X der Fußpunkt der Höhe von X auf. Wir bezeichnen den Winkel MX mit α. In einer Raute stehen die iagonalen normal aufeinander, daher folgt aus der Winkelsumme im reieck zwischen M, X und dem Mittelpunkt der Raute, dass MXY = MX = 90 α. er Winkel MXX beträgt 90, daher bleibt für den Winkel X XY = 90 MXY = 90 (90 α) = α. araus folgt, dass die reiecke M und XX Y zueinander ähnlich sind, da sie die gleichen Winkel haben. us der Ähnlichkeit folgt nun Y X : X X = : M = 5 : 5 = 1 : 5. a XX als reite des Streifens eine Länge von 5 hat, hat Y X folglich eine Länge von 1. Für NY + X bleibt also eine Länge von 4 übrig. Wegen NY = N Y = M MX = X = X sind die beiden Teile links und rechts von Y X gleich lang, also NY = X = 1. Für das reieck MNY ergibt sich eine Fläche von MN NY somit die gesuchte Fläche von 60. = 5 1 = 30, und für beide Hälften zusammen

8 8. ie Summe der Zahlen von 1 bis n berechnet sich als n (n+1). Wenn p diese Summe teilen soll, muss also p entweder ein Teiler von n oder ein Teiler von n + 1 sein. Laut ngabe teilt p nicht n, daher ist p ein Teiler von n + 1. Jeder Teiler einer Zahl ist kleiner oder gleich als die Zahl selbst. Wäre p kleiner als n+1, so wäre p eine Zahl zwischen 1 und n und somit insbesondere ein Teiler dieser Zahl, was laut ngabe ebenfalls ausgeschlossen ist. aher ist p = n + 1. Wir suchen also eine Zahl n, für die n + 1 eine Primzahl ist und n + n + 1 = n + 1 einen der fünf vorgegebenen Werte annimmt. arauf überprüfen wir die fünf möglichen Werte: 17 = : 109 ist eine Primzahl 1 = = = = = = E 69 = = Hier eine Lösung mit 8 Zügen, also weniger als 10: 30. Eine Zahl n mit Primfaktorenzerlegung n = p α1 1 pα pα k k hat (α 1 + 1) (α + 1) (α k + 1) Teiler (da jeder Primfaktor p i zwischen 0 und α i oft verwendet werden kann). Wenn (α 1 + 1) (α + 1) (α k + 1) = 6 gilt, gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder k = 1 und α 1 = 5, oder k =, α 1 = 1 und α =. (Für k 3 gäbe es immer mindestens 8 Teiler.) Im ersten Fall hätte n die Form p 5 und somit die Teiler 1, p, p, p 3, p 4 und p 5. as Produkt von 5 dieser Teiler hätte daher die Form p für eine Primzahl p und eine ganze Zahl. ber 648 = hat zwei verschiedene Primfaktoren. aher muss der andere Fall gelten, also n = pq mit zwei verschiedenen Primzahlen p und q. ie sechs Teiler sind 1, p, q, pq, q, pq. Multipliziert man alle 6 Teiler, so erhält man p 3 q 6, also eine Zahl mit 9 Primfaktoren. as gegebene Produkt 648 von 5 dieser 6 Teiler enthält 7 Primfaktoren, daher hat der noch fehlende Teiler zwei Primfaktoren. Es fehlt also entweder der Teiler pq oder der Teiler q. Wenn der Teiler pq fehlen würde, wäre das Produkt der restlichen 5 Teiler gleich 1 p q q pq = p q 5, das passt von den Hochzahlen her aber nicht zu 648 = aher fehlt der Teiler q. as Produkt der restlichen 5 Teiler ist 1 p q pq pq = p 3 q 4 = 648 = 3 3 4, also p = und q = 3. er fehlende Teiler hat daher den Wert q = 3 = 9.