Experimentalphysik 1

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1 Ferienkurs Experimentalphysik 1 Winter 2015/16 Vorlesung 3 Technische Universität München 1 Fakultät für Physik

2 Inhaltsverzeichnis 6 Stöße zwischen Teilchen Elastische Stöße im Laborsystem Elastische Stöße im Schwerpunktssystem Inelastische Stöße Klassische Mechanik des starren Körpers Kinematik des starren Körpers Dynamik starrer Körper Reale feste und flüssige Körper Deformation fester Körper Hooke sche Gesetz Querkontraktion Scherung und Torsionsmodul Biegung Hydrostatik Hydrostatischer Druck Schweredruck und Auftrieb Flüssigkeitsgrenzflächen Reibung zwischen festen Körpern Technische Universität München 2 Fakultät für Physik

3 6 Stöße zwischen Teilchen Nähern sich zwei Teilchen, so werden sie durch die gegenseitige Wechselwirkung abgelenkt 1. Änderung des Impulses und der kinetischen Energie beider Teilchen. Wirkt keine äußere Kraft so gilt: Die Energie und der Impuls des Gesamtsystems bleibt erhalten. Die Grundgleichungen für Stoßprozesse lauten: Impulserhaltung: p 1 + p 2 = p 1 + p 2 (1) Energiesatz: p p2 2 = p 2 1 2m 1 2m 2 2m 1 + p 2 2 2m + Q (2) 2 Man unterscheidet: Elastische Stöße: Q = 0 E kin,vor = E kin,nach Inelastische Stöße: Q > 0 Kinetische Energie der Stoßpartner ist nach dem Stoß kleiner innere Energie der Stoßpartner hat zugenommen (Deformationsenergie). Superelastische Stöße: Q < 0 Kinetische Energie der Stoßpartner ist nach dem Stoß größer innere Energie von mind. einem Stoßpartner wurde ganz oder teilweise abgegeben. 6.1 Elastische Stöße im Laborsystem Annahme: p 2 = 0, sowie m 1 = m 1 und m 2 = m 2 Somit ergibt sich für die Grundgleichungen und mit Q = 0 für den Impuls und die Energie: p 1 = p 1 + p 2 = p (3) p 2 1 = p p 2 2 (4) 2m 1 2m 1 2m 2 Legt man nun die x-achse in Richtung von p 1, so dass p 1 = (p 1, 0, 0) und die Richtung des Bahndrehimpulses ( L = r p 1 ) als z-achse Wegen Drehimpulserhaltung verläuft der Stoß in der x-y-ebene. 1 im gesamten Bereich in dem die Wechselwirkung merklich ist. Technische Universität München 3 Fakultät für Physik

4 Falls nun p 2 in die Richtung von p 1 fällt und somit θ 1 = 0, so handelt es sich um einen zentralen Stoß. 6.2 Elastische Stöße im Schwerpunktssystem Falls keiner der Stoßpartner vor dem Stoß ruht, ist es im Allgemeinen einfacher den Stoßprozess im Schwerpunktssystem (SP-System) zu betrachten. In diesem bewegten Koordinatensystem befindet sich der Schwerpunkt des Systems im Koordinatenursprung. Der Zusammenhang zwischen den bei Stößen relevanten Größen im Labor und im Schwerpunktssystem ist wie folgt: Gesamtmasse: M = m 1 + m 2 Reduzierte Masse: µ = m 1 m 2 m 1 +m 2 Ortsvektor des Schwerpunktes: r S = (m 1 r 1 + m 2 r 2 ) 1 M Schwerpunktsgeschwindigkeit: v S = (m 1 v 1 + m 2 v 2 ) 1 M Relativabstand: r 12 = r 1 r 2 Relativgeschwindigkeit: v 12 = v 1 v 2 i-tes Teilchen im SP-System: r is = r i r S Geschw. des i-ten Teilchens: v is = v i v S Impuls des i-ten Teilchen im SP-System: Gesamtimpuls: p is = m i v is i p is = 0 Im SP-System gelten folgende wichtige Aussagen: Da der Gesamtimpuls im SP-System immer null ist, gilt: i p is = i p is = 0 Energieerhaltungssatz im SP-System: p 1S = p 2S und p 1S = p 2S (5) p 2 1S 2µ = p 2 1S 2µ + Q mit Q = 0 für elastische Stöße (6) Aus (6) folgt für elastische Stöße: p 2 1S = p 2 1S und p2 2S = p 2 2S Im SP-System behält jeder Stoßspartner beim elastischen Stoß seine kinetische Energie. Technische Universität München 4 Fakultät für Physik

5 6.3 Inelastische Stöße Bei einem inelastischen Stoß geht ein Teil der Anfangsenergie der Stoßpartner in die innere Energie der Stoßpartner über, d.h. Q 0. Den Grenzfall bildet der maximal inelastische Stoß. In diesem Fall bleiben beide Stoßpartner nach dem Stoß zusammen und bewegen sich mit der der SP-Geschwindigkeit: v S = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 (7) Der Anteil der kinetischen Energie die in innere Energie umgewandelt wird ist dann: Q = 1 2 (m 1 + m 2 )v 2 S 1 2 (m 1v m 2v 2 2 ) = 1 m 1 m 2 ( v 1 v 2 ) 2 = 1 2 m 1 + m 2 2 µv2 12 (8) Hieraus ergeben sich folgende Aussagen: Bei maximal inelastischen Stößen, wird genau die kinetische Energie der Realtivbewegung beider Partner in Anregungsenergie einer der beiden oder beider Stoßpartner umgewandelt. Höchstens kann bei inelastischen Stößen die Energie 1 2 µv2 12 in Wärme oder Anregungsenergie umgewandelt werden. Mindestens der Anteil 1 2 Mv2 S der SP-Bewegung bleibt als kinetischer Energie der Stoßpartner erhalten. Technische Universität München 5 Fakultät für Physik

6 7 Klassische Mechanik des starren Körpers Starrer Körper: große Anzahl an Massenpunkten, die mit festem Abstand verbunden sind. Das Gesamtvolumen V und die Gesamtmasse M eines starren Körpers ist: V = N V i bzw. M = i=1 N m i (9) i=1 Unter Verwendung der Massendichte ρ = m V ergibt sich: M = N ρ i V i (10) i=1 Übergang zu infinitesimalen kleinen Volumen- und Massenelementen führt zu: V = lim V 0 N V i = i=1 V dv bzw. M = V ρ dv (11) Bei homogenen Körpern ist ρ räumlich konstant. 7.1 Kinematik des starren Körpers Der Massenschwerpunkt eines starren Körpers ist für N und V 0 wie folgt definiert : r S = 1 r dm = 1 M V M rρ( r) dv (12) Mit Hilfe des Ortsvektor, der vom Schwerpunkt S zu einem Punkt P i zeigt r is = r i r s ergibt sich die Relativgeschwindigkeit d r is dt = v is = v i v S (13) Da in einem starren Körper alle Abstände fest sind ( r is = const), ergibt die Ableitung von r is 2 = const nach der Zeit t: 2 r is v is = 0 v is = ( ω r is ) (14) Hierbei ist ω die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich P i und die Achse A, die durch den SP und senkrecht zu v is geht, dreht. Allgemein gilt (im Laborsystem): v i = v S + ( ω r is ) (15) Technische Universität München 6 Fakultät für Physik

7 Die Bewegung eines starren Körpers setzt sich aus Translation des Schwerpunktes und Rotation des Körpers um den Schwerpunkt zusammen Dynamik starrer Körper Bei Kräften, die an einem ausgedehnten Körper angreifen, muss im Gegensatz zur Dynamik einzelner Massenpunkte, noch der Angriffspunkt P dieser Kräfte betrachtet werden: Eine Kraft F 1, die nicht im Schwerpunkt angreift, bewirkt daher ein Drehmoment bezogen auf den Schwerpunkt des starren Körpers: D S = r is F 1 (16) Da F 1 + F 3 = 0 Kräftepaar bewirkt keine Beschleunigung des Schwerpunktes. Die Schwerpunksbeschleunigung wird durch die Kraft F 2 hervorgerufen. Insgesamt ergibt sich für einen starren Körper: D = ( r F) = ( r F tangential } {{ } + r F Drehachse } {{ } + r F } {{ normal } ) (17) Änderung der Rot.Geschw. Änderung Lage Rot. Achse kein Einfluss, da r Ein starrer Körper befindet sich im Gleichgewicht, falls gilt: F i = 0 und i D i = 0 (18) i 2 Die Bewegung hat sechs Freiheitsgrade. Technische Universität München 7 Fakultät für Physik

8 Trägheitsmoment und Rotationsenergie: Die Rotationsenergie ist gegeben durch: E rot = 1 2 Iω2 mit I = V r 2 dm = V r 2 ρ dv (19) Wobei I das Trägheitsmoment ist. Es ist ein Maß für die Massenverteilung in einem ausgedehnten Körper bezüglich einer Rotationsachse. Für den Drehimpuls gilt: L = Iω (20) Satz von Steiner: Dreht sich ein Körper um eine Achse B, die nicht durch den Schwerpunkt verläuft, so gilt für das Trägheitsmoment: I B = I S + a 2 M (21) Technische Universität München 8 Fakultät für Physik

9 8 Reale feste und flüssige Körper 8.1 Deformation fester Körper Hooke sche Gesetz Wirkt auf einen elastischen Körper der Länge L mit Querschnitt A eine Zugkraft F, so gilt für den Betrag F : F = E A L L (Hooe sche Gesetz) (22) mit E dem Elastizitätsmodul 3. F Mit Hilfe der Zugspannung σ = A Gesetz umschreiben zu: und der relativen Dehnung ɛ = L L lässt sich das Hook sche σ = E ɛ (23) Querkontraktion Unter dem Einfluss einer Zugspannung ändern sich bei einem Körper auch die Querdimensionen. Für einen Stab der Länge L mit einem Querschnitt d 2 sich eine Volumenänderung von: V V = L ( d/d ) L L/L = ɛ(1 2µ) mit µ = d/d L/L (24) µ heißt Querkontraktionszahl oder Poissonzahl. Unter allseitigem hydrostatischen Druck ergibt sich die Längen- bzw. Querkontraktion: ( 1 2µ ) L = pl E bzw. ( 1 2µ ) d = pd E (25) Man definiert das Kompressionsmodul K wie folgt: p = K V V (26) Der Kehrwert wird Kompressibilität genannt: κ = 1 K = 3 (1 2µ) (27) E 3 Bei Materialien mit großen E-Modul braucht man eine große Kraft, um eine vorgegebene relative Längenänderung zu erreichen Technische Universität München 9 Fakultät für Physik

10 8.1.3 Scherung und Torsionsmodul Als Scherungskräfte bezeichnet man solche Kräfte, die tangential an einer Fläche A angreifen. Die Scherpannung ist: τ = F A (28) Die Scherspannung bewirkt das verkippen der Kanten L einer Quaders um einen Winkel α: Die Proportionalitätskonstante G wird Schubmodul genannt. Für isotrope Körper gelten folgenden Zusammenhänge: τ = Gα (29) E 2G = 1 + µ E 3K = 1 2µ 2G 3K = 1 2µ 1 + µ (30) Biegung Betrachtet wird eine Zugspannung, die tangential an einen Balken angreift: τ = E L L = z E l (31) Bei einer Biegung wird der Balken an der Oberseite gedehnt, während er an der Unterseite komprimiert wird. Der Kompressionsdruck ist: p = z E L (32) Für eine dünne Lage ergibt sich das rückstellende Drehmoment: dd y = b R Ez2 dz D y = Ed3 b 12R (33) mir R dem Krümmungsradius. Allgemein gilt: D y = E R B (34) mit dem Biegungsmoment: B = z 2 dydz (35) Technische Universität München 10 Fakultät für Physik

11 8.2 Hydrostatik ideale Flüssigkeit: Kein Auftreten von Reibungskräften oder Oberflächeneffekten Hydrostatischer Druck An der Oberfläche einer idealen Flüssigkeit ist die Tangentialkraft der Gesamtkraft Null Kraft wirkt immer senkrecht. Ein Gefäß, dass eine Flüssigkeit enthält, soll mit einem beweglichen Kolben abgeschlossen werden. Wirkt auf den Kolben senkrecht eine Kraft, so definiert man den Druck folgt definiert: p = F A (36) Betrachtet man ein beliebiges quaderförmiges Volumenelement dv so ergibt sich die Vektorgleichung: F = grad p dv (37) Aufgrund der Beweglichkeit der Flüssigkeitsmoleküle muss die Gesamtkraft auf ein ruhendes Volumenelement Null sein gradp = 0 Druck im gesamten Flüssigkeitsvolumen ist konstant Schweredruck und Auftrieb Bei einer Flüssigkeiten der Höhe h erzeugt das Eigengewicht im Schwerefeld 4 den Druck: P = F A = ρvg A = ρahg A Als Funktion der Höhe z entwickelt sich der Druck als: = ρgh (38) p(z) = ρg(h z) (39) Anmerkung: Der Schweredruck ist nur eine Funktion der Höhe der Flüssigkeit. Wird ein Quader mit Grundfläche A in eine Flüssigkeit der Dichte ρ K getaucht, so ist der Druckunterschied zwischen Ober- und Unterseite des Körpers: Die nach oben gerichtete Auftriebskraft ist: 4 Annahme: konstante Dichte p = ρ K g h (40) Technische Universität München 11 Fakultät für Physik

12 F A = paê z = ρ K ga hê z = G Fl (41) Archimedisches Prinzip: Die Auftriebskraft ist entgegengesetzt gleich dem Gewicht des durch den Körper verdrängten Flüssigkeitsvolumen. Für beliebige Formen gilt: F A = g ρ Fl dv = G Fl (42) Flüssigkeitsgrenzflächen Im Gegensatz zu idealen Flüssigkeiten treten bei realen aufgrund von mittleren Bindungskräften neue Effekte auf. Während im inneren einer Flüssigkeit die innere Anziehungskraft sich zu Null summiert, verschwindet sie an der Oberfläche nicht. Die spezifische Oberflächenenergie ist gegeben als: ɛ = W A = σ (43) Die spezifische Oberflächenenergie ɛ entspricht der Oberflächenspannung σ Reibung zwischen festen Körpern Man unterscheidet zwischen 3 Arten: Haftreibung: Körper sind zunächst in Ruhe. Die Haftreibung ist gegeben durch: F H = µ H F N (44) Hierbei ist µ H der Haftreibungskoeffizient Gleitreibung: Körper sind in Bewegung. Die Gleitreibung ist wie folgt definiert: F G = µ G F N (45) Mit µ G dem Gleitreibungskoeffizienten. Rollreibung: runder Körper rollt auf einer Unterlage. Der Betrag des Drehmomentes ist: D R = µ R F N mit µ R = r tan α R (46) µ R ist der Rollreibungskoeffizient. Technische Universität München 12 Fakultät für Physik