Kapitel 2: Berechnungen an Quadern und Prismen

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1 54 Kapitel : Berechnungen an Quadern und Prismen Für Dinge, die man verschicken will, kann man unterschiedliche Pakete auswählen. Welchen mathematischen Körper erkennst du? Zu erkennen sind Quader und Würfel. Aus welchen Flächen bestehen die Pakete? Beschreibe. Die Pakete bestehen jeweils aus vier rechteckigen (quadratischen) Seitenflächen unterschiedlicher Größe. Die Grund- und Deckfläche (Boden und Deckel) sind ebenfalls rechteckig oder quadratisch und jeweils gleich groß. Vergleiche das kleinste Paket mit dem größten. Beschreibe die Unterschiede. Die Pakete unterscheiden sich im Wesentlichen durch die Größe ihrer Grund- und Deckfläche und durch ihre Höhe. Die Abmessungen der Grund- und Deckflächen und die Länge der Höhe bestimmen die Größe der Seitenflächen. Geschenke werden oft kunstvoll verpackt. Welche mathematischen Körper erkennst du? Man kann Würfel, Quader, Prismen und Zylinder erkennen. Aus welchen Flächen bestehen die Verpackungen? Vergleiche bei jeder Verpackung den Deckel und den Boden. Die Verpackungen bestehen jeweils aus Seitenwänden (Rechtecke) sowie der Grund- und Deckfläche (Boden und Deckel). Die Grund- und Deckflächen sind unterschiedlich geformt (Quadrat, Rechteck, Kreis, Sechseck, Herz, Stern), innerhalb einer Verpackung jedoch deckungsgleich. Schulbuchseite 55

2 Kapitel : Basiswissencheck 55 1 a) 1. Reihe: Schultüte: Kegel Ananasdose: Zylinder Spielwürfel: Würfel Turm: Quader und Pyramide Haus: Quader und Prisma Käseschachtel: Zylinder. Reihe: Zündhölzer: Quader Bleistift: Zylinder und Kegel Garnrolle: Zylinder unterschiedlicher Größe Tennisball: Kugel Eis: Kegel und Kugeln Mauerstein: Quader a)/b) Bei den Körpern 1, 3, 5, und 8 besteht die Mantelfläche aus Rechtecken. Körper Anzahl der Ecken Anzahl der Kanten Anzahl der Flächen Art der Flächen 1 Würfel sechs Quadrate Pyramide vier Dreiecke 3 Quader sechs Rechtecke 4 Zylinder keine 3 zwei Kreise ein Rechteck 5 Quader zwei Quadrate vier Rechtecke 6 Kugel keine keine 1 gekrümmte Fläche 7 Kegel 1 1 ein Kreis ein Kreisausschnitt 8 Prisma zwei Dreiecke drei Rechtecke 9 Pyramide ein Rechteck vier Dreiecke 3 a) In die linke Dose passt mehr Inhalt hinein, da sie bei gleich großer Grundfläche höher ist. b) In die rechte Dose passt mehr Inhalt hinein, da sie bei gleich großer Höhe den größeren Radius und damit die größere Grundfläche hat. 4 a) 50 dm = 5 m b) 70 cm = 7, dm c) 8 m 3 = 8000 dm dm = 1400 cm 37 m = 3700 dm 00 mm 3 = 0, cm 3 58 dm = 5800 mm 15 dm = mm 4 m 3 = cm 3 60 cm = 6, m cm = 4,5 m mm 3 = 5,4 dm 3 Schulbuchseite 56/57

3 56 Kapitel : Würfel und Quader bauen 1 a) b) c) d) fehlende Kügelchen 1 1 fehlende Holzstäbe Sowohl für einen Würfel als auch für einen Quader benötigt man 1 Holzstäbe und 8 Knetkugeln. Für einen Würfel müssen alle 1 Holzstäbchen gleich lang sein. Bei einem Quader müssen die Stäbchen, die parallel verlaufende Seiten bilden, gleich lang sein. Das sind jeweils vier Stäbchen. 3 a) Die ausgebreitete Schachtel entspricht einem Quadernetz (Abbildung gemäß Merkkasten). b) Das Kantenmodell ist dreidimensional und hilft dabei, sich den Körper räumlich vorzustellen. Das Flächenmodell (Netz) ist zweidimensional und entspricht dem Körper in aufgefalteter Form. Im Netz kann man gut erkennen, aus welchen Flächen der Körper besteht und wie diese angeordnet sind. 4 Pro Quader/Würfel werden insgesamt sechs Flächen benötigt. Bei einem allgemeinen Quader müssen jeweils zwei Flächen gleich groß sein. Das sind die Flächen, die sich im späteren Körpermodell gegenüberliegen. Bei einem Quader mit einer quadratischen Grundfläche werden vier gleich große Flächen benötigt (Mantelfläche) und zwei weitere gleich große Flächen (Grund- und Deckfläche). Bei einem Würfel müssen alle sechs Flächen gleich groß sein. 10 cm 10 cm 6 cm 6 cm 6 cm 10 cm Schulbuchseite 58

4 Kapitel : Würfel und Quader bauen 57 1 a) Körpernetz 1 und : Würfel Körpernetz 3 und 4 : Quader Begründung Bei den Körpernetzen 1 und sind die einzelnen Flächen Quadrate, bei den Körpernetzen 3 und 4 sind die einzelnen Flächen Rechtecke. b) Figur gegenüberliegende Flächen c) Würfel: alle Flächen deckungsgleich Quader: jeweils zwei gegenüberliegende Flächen 1 gelb-weiß; blau-grau; grün-rot deckungsgleich rot-grün; weiß-blau; grau-gelb 3 grau-rot; weiß-blau; grün-gelb 4 rot-grau; gelb-grün; blau-weiß a) b) c) d) oben vorne hinten 3 1 rechts links a) Quadernetze: 1,, 5 b) oben (o), vorne (v), hinten (h), links (l), rechts (r) 1 5 h h o r o l r o l h r v v l v 4 a)/b) a) b) 3,6 cm 8 cm 8 cm 8 cm Schulbuchseite 59

5 58 Kapitel : Schrägbilder von Würfel und Quadern zeichnen 1 Emma hat das richtige Schrägbild gezeichnet, da bei Emma alle Kantenlängen cm betragen. Die nach hinten verlaufende Kante muss in halber Länge gezeichnet werden. Das hat Paul bei seiner Zeichnung nicht bedacht. a)/b) Die Zeichnungen entsprechen der Zeichnung im Merkkasten sowie Emmas Zeichnung aus dem Einstiegsbeispiel. 3 a) b) c) 5 cm 3,5 cm cm 6 cm cm,5 cm, f) d) e) 3,5 cm 3,6 cm 5, 5,5 cm cm 7,,6 cm 4,7 cm 1,9 cm 4 a) b) c) d) Schulbuchseite 60

6 Kapitel : Schrägbilder von Würfeln und Quadern zeichnen 59 1 a) Nein, der abgebildete Quader wurde aus unterschiedlichen Blickwinkeln betrachtet bzw. gezeichnet. Es handelt sich um einen und denselben Quader mit den Kantenlängen, und cm. b) 1 a) b) b) Das Schrägbild hilft dabei, sich den Körper räumlich vorzustellen. Im Netz kann man besser erkennen, aus welchen Flächen der Körper besteht und wie diese angeordnet sind y E H F G D (1,5 ) E (0,5 7) F (5,5 7) G (6,5 8) H (1,5 8) 4 3 D C 1 A B x 4 a) b) Es sind individuelle Lösungen möglich. Schulbuchseite 61

7 60 Kapitel : Rund um den Würfel 1 a) Kantenlänge Kantenlänge b) Länge der Würfelkante 1 cm cm 5 cm 10 cm 1 cm 0 cm Anzahl der Würfel a) b) Höhe der Würfelmauer 1 cm cm 5 cm Anzahl der Würfel untere Schicht Gesamtzahl der Würfel c) In der unterersten Reihe der Mauer kommen zu jeder nächsthöheren Mauer immer zwei Würfel dazu. Dasselbe gilt für die Reihen darüber. Die Gesamtzahl der Würfel entspricht dem Quadrat der Höhe der Würfelmauer. Schulbuchseite 6/63

8 Kapitel : Rund um den Würfel 61 3 Die Zahlen im Bauplan geben an, wie viele Würfel im Würfelgebäude an der entsprechenden Stelle aufeinandergesetzt sind. a) b) Würfelgebäude Anzahl der Würfel Ansicht von vorn Ansicht von rechts Ansicht von oben Schulbuchseite 6/63

9 6 Kapitel : Volumen von Quadern berechnen 1 a) 1 V = 4 1 cm 3 = 3 V = 60 1 cm 3 = 60 cm 3 3 V = 7 1 cm 3 = 7 cm 3 4 V = 4 1 cm 3 = 3 5 V = 36 1 cm 3 = 36 cm 3 a) V = cm cm b) V = 8 cm 6 cm 5 cm = 40 cm 3 V = 16 cm 3 V = 40 cm 3 c) V = 1 cm cm d) V = 6 cm V = 7 cm 3 V = 7 cm 3 3 a) b) c) d) e) f) g) V Qu 60 cm dm 3 55 dm 3 111,97 m 3 0,15 m mm 3 114,75 dm 3 4 a) (a b) wurde zu zusammengefasst. b) Beispiele: Länge (cm) Breite (cm) 1 6 4,4 1,5 1, 1 5 a) b) c) d) Volumen 10 cm 3 4 dm 3 79 dm 3 36 dm 3 a 5 cm 30 cm 9 dm 0,5 m b 6 cm 4 dm 900 mm 6 dm c dm 90 cm 1, dm Schulbuchseite 64

10 Kapitel : Volumen von Quadern berechnen 63 1 Lösungsmöglichkeit 1 Mögliche Bezugsgröße: die Höhe bzw. der Durchmesser eines Reifens (ca. 1 m). Damit ist der Laderaum des Müllwagens ca. 4 Meter lang, 3 Meter breit und Meter hoch. Somit beträgt das Volumen ca. V = 4 m 3 m m = 4 m 3. Mögliche Bezugsgröße: die Länge der ausgestreckten Hand (ca. 15 cm). Damit ist das rechte Paket ca. 5 cm breit, 5 cm lang und cm hoch. Somit beträgt das Volumen ca. V = 5 cm 5 cm cm = 50 cm 3 Das linke Paket ist in etwa 4-mal so breit (0 cm) und 5-mal so hoch (10 cm) wie das rechte Paket sowie ungefähr doppelt so lang wie breit (40 cm). Damit ergibt sich ein ungefähres Volumen von V = 0 cm 40 cm 10 cm = 8000 cm 3 = 8 l a) V Schwimmbecken = 0 m 10 m m b) 1 l = 1 dm 3 V Schwimmbecken = 400 m m 3 = dm 3 = l Es passen 400 m 3 Wasser in das Becken. Es passen Liter in das Becken. c) Zufluss (in Liter) in 3 Stunden (180 Minuten): l = l Zufluss pro Stunde: l : 3 = 3600 l Somit dauert das vollständige Befüllen des Beckens insgesamt über 100 Stunden. Der Bademeister wird die Befüllung des Beckens auf mehrere Tage aufteilen und könnte somit pünktlich nach Hause gehen. 3 a) Vlinkes Haus = 8,50 m 1,80 m,80 m Vlinkes Haus = 304,64 m3 300 m 3 Ja, das Haus ist warm. b) Vrechtes Haus = (9,70 m 3,50 m,80 m) + (18,0 m 6,50 m,80 m) Vrechtes Haus = 46,30 m3 45 m 3 Der Bruttorauminhalt der Nachbarn beträgt circa 45 m3. 4 a) V Container = 3,0 m 1,60 m 1,60 m V Container = 8,19 m m 3 : 8,19 m 3 31,9 30 (Container) Es passen ungefähr 30 Container in das Flugzeug. b) Maße des nutzbaren Innenraums eines Containers bei 10 cm Wandstärke: 3 m; 1,40 m; 1,40 m V = 3 m 1,40 m 1,40 m V = 5,88 m 3 Die Größe des nutzbaren Innenraums beträgt 5,88 m 3. Darin könnte man zum Beispiel Lebensmittel oder manche Bauteile transportieren. 5 a) V Öl =,5 m 3 m 0,3 m V Öl =,5 m 3 = 50 dm 3 = 50 l Es sind noch 50 Liter im Tank. b) 50 l : 65 l 34,6 34 (Tage) Herr Degelmann kommt mit seinem Vorrat noch ungefähr 34 Tage aus. c) 9000 l = 9000 dm 3 Maße der Grundfläche in dm: 5 dm (Breite) 30 dm (Länge) Füllstand des Öls bei 9000 dm 3 Füllmenge 9000 dm 3 = 5 dm 30 dm h h = 1, dm = 1 cm Das Öl steht 1 cm hoch. Schulbuchseite 65

11 64 Kapitel : Oberflächeninhalt von Quadern berechnen Vorteilhaftes Vorgehen bei und 3 Die Mantelfläche wird al sein großes Rechteck aufgefasst. Zum Flächeninhalt dieses großen Rechtecks wird zweimal der Flächeninhalt der Grundfläche (= Deckfläche) addiert. 1 = 6 cm cm = 5 cm (4 cm) + cm cm = 6 = 5 cm 8 cm + = = 40 cm + 8 cm = 48 cm 3 AO = ( cm + 1 cm) + 1 cm cm = 8 cm AO = 6 cm + cm AO = + AO = 8 cm 1 = 6 a a = (a b + b c + a c) = 6 cm cm = (5 cm cm + cm cm + 5 cm cm) = = 48 cm 3 a) = (5 cm 18 cm + 18 cm + 5 cm ) = 318 cm b) = (0 cm 5 cm + 5 cm 35 cm + 0 cm 35 cm) = 1950 cm c) = (15,5 cm 6 cm + 6 cm 1,5 cm + 15,5 cm 1,5 cm) = 50,5 cm d) = (18 cm 8 cm + 8 cm cm + 18 cm cm) = 39 cm e) = (6 cm + 8,5 cm + 6 cm 8,5 cm) = 18 cm 4 a b c d e f g h Oberfläche des Quaders cm cm cm 38,8 m 300 m 3,84 m 5 Verdoppelt man alle Kantenlängen, vervierfacht sich der Oberflächeninhalt. Halbiert man alle Kantenlängen, viertelt sich der Oberflächeninhalt. Der Oberflächeninhalt vervielfacht sich also um das Quadrat der Zahl, womit die Kantenlängen vervielfacht wurden. Für eine Verdoppelung (Halbierung) des Oberflächeninhalts müssten die Kantenlängen so vervielfacht werden, dass das Produkt zweier verschiedener Kantenlängen (ergibt. Hierbei ergeben sich keine ganzzahligen Kantenlängen. Schulbuchseite 66

12 Kapitel : Oberflächeninhalt von Quadern berechnen 65 1 Karton = (0 cm 10 cm + 10 cm 5 cm + 0 cm 5 cm) Karton = 700 cm = 7 dm Stefan benötigt 7 dm Pappe. a) Container = (1,19 m,44 m +,44 m,59 m + 1,19 m,59 m) Container = 135,7 m 136 m Der Oberflächeninhalt des Containers und damit die Fläche, die mit einem Schutzanstrich versehen werden muss, beträgt ungefähr 136 m. b) Abmessungen der Vorderseite (Rückseite) 1,19 m (Länge),59 m (Höhe) Flächeninhalt der Vorderseite (Rückseite) A Vorderseite = 1,19 m,59 m A Vorderseite 31,57 m 31,6 m Der Platz für den Schriftzug reicht, da die Vorder- bzw. Rückseite jeweils größer als 30 m ist. 3 Materialbedarf des Holzes ( Kiste ) Oberflächeninhalt der gesamten Kiste mit Deckel ( Quader )abzüglich des Flächeninhalts des Deckels. Abmessungen des Deckels (A Deckfläche ) 1,5 m (Länge) 90 cm (Breite) Kiste = Quader A Deckfläche Kiste = (1,5 m 0,9 m + 0,9 m 0,6 m + 1,5 m 0,6 m) 1,5 m 0,9 m Kiste = 5,58 m 1,35 m Kiste = 4,3 m Kosten für das Holz 4,3 m 15,95 67,47 68 Lucas kann die Kiste für 68 verkaufen. Soll ein Gewinn erzielt werden, müsste der Verkaufspreis entsprechend höher liegen. Hinweis: Diese Rechnung berücksichtigt ausschließlich Materialkosten. Ebenfalls vernachlässigt werden Verschnitt und Fehlkonstruktionen. 4 a) Höhe des Tetrapacks 1 dm 3 = 1 dm 0,5 dm h h = dm = 0 cm Die Verpackung ist 0 cm hoch. b) Materialbedarf für die Verpackung ohne Verschnitt Verpackung = (1 dm 0,5 dm + 0,5 dm dm + 1 dm dm) = 7 dm 10 % Verschnitt entspricht einem zusätzlichen Materialbedarf von 7 dm 0,1 = 0,7 dm. Materialbedarf für die Verpackung mit Verschnitt: 7,7 dm Es wird 7,7 dm Pappe für die Herstellung benötigt. Schulbuchseite 67

13 66 Kapitel : Trimm-dich-Zwischenrunde 1 a)/b) Schrägbild und Netz eines Quaders mit a =,5 cm (Länge), b = (Breite) und c = cm (Höhe),5 cm cm 1,5 cm cm,5 cm cm,5 cm cm,5 cm cm a) V = 5 cm 6 cm 7 cm = (5 cm 6 cm + 6 cm 7 cm + 5 cm 7 cm) V = 10 cm 3 = 1 b) V = 35 mm 55 mm 5 mm = (35 mm 55 mm + 55 mm 5 mm + 35 mm 5 mm) V = 4815 mm 3 = 8350 mm c) V = 1,5 m 0,45 m 0,8 m = (1,5 m 0,45 m + 0,45 m 0,8 m + 1,5 m 0,8 m) V = 0,54 m 3 = 4,47 m 3 Volumen des Sandes V Sand = 1,7 m 1,7 m 0, m V Sand = 0,578 m 3 0,6 m 3 4 Materialbedarf der Folie Folie = (1,1 m 1,3 m + 1,1 m 0,9 m + 1,3 m 0,9 m) Folie = 7,18 m Schulbuchseite 67

14 Kapitel : Prismen kennenlernen 67 1 a)/b) 1 4,1 cm 6 cm cm 6 cm 8 cm 4,1 cm 4,1 cm 6 cm 8 cm c) Die Mantelflächen der beiden Prismen sind Rechtecke. 1 Dieser Körper ist kein Prisma, da Grund- und Deckfläche nicht kongruent sind und die Mantelfläche nicht aus Rechtecken besteht. Dieser Körper ist ein Prisma, da Grund- und Deckfläche kongruente Vielecke sind und die Mantelfläche aus Rechtecken besteht. 3 Dieser Körper ist ein Prisma, da Grund- und Deckfläche kongruente Vielecke sind und die Mantelfläche aus Rechtecken besteht. 4 Dieser Körper ist kein Prisma, da die Grund- und Deckfläche nicht aus einem Vieleck besteht. 5 Dieser Körper ist kein Prisma, da er keine Deckfläche besitzt. 3 a) Diese Aussage stimmt, da ein Quader auch kongruente Vielecke (Quadrate oder Rechtecke) als Grund- und Deckfläche hat und seine Mantelflächen aus Rechtecken bestehen. Ein Quader ist im Prinzip ein spezielles Prisma. b) Diese Aussage ist falsch. Ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche besitzt drei Seitenflächen, da an jeder Kante der Grundfläche sich eine Kante einer Seitenfläche befindet. c) Diese Aussage ist falsch. Ein Prisma mit fünfeckiger Grundfläche besteht insgesamt aus 7 Flächen (1 Grundfläche, 1 Deckfläche und 5 Seitenflächen). 4 Die Köpernetze 1, und 3 gehören zu Prismen, da die Grund- und Deckflächen jeweils aus kongruenten Vielecken bestehen (Quadrat, gleichschenkliges Dreieck, Sechseck) und die Mantelfläche aus Rechtecken. Die Köpernetze 4 und 5 ergeben keine Prismen. Die Mantelfläche besteht nicht aus Rechtecken, sondern Dreiecken. Es gibt jeweils keine Deckfläche. Das Körpernetz 4 gehört zu einer dreieckigen Pyramide, das Körpernetz 5 zu einer quadratischen Pyramide. Schulbuchseite 68

15 68 Kapitel : Schrägbilder von Netze und Prismen zeichnen 1 Die Zeichnung entspricht der Abbildung im Buch. Beim Körper 1 ist die Grund- und Deckfläche ein allgemeines Viereck, bei Körper und 3 ein Trapez. a) Das Schrägbild entspricht der Abbildung im Buch. b) Man zeichne zuerst die Vorderfläche mit den angegebenen Maßen. Danach werden die nach hinten laufenden Kanten im Winkel von 45 gezeichnet und auf die Hälfte der eigentlichen Länge gekürzt. Die hinteren Eckpunkte verbindet man zur Rückfläche. Nicht sichtbare Kanten werden gestrichelt. 3 a) Die Abbildung entspricht der Zeichnung im Buch. b) 1,75 cm ,5 cm 5 a) b) c) 3,5 cm 5 cm 5 cm,5 cm 5 cm 5 cm 1 cm Schulbuchseite 69

16 Kapitel : Volumen von Prismen berechnen 69 1 Das Volumen des Dreiecksprismas entspricht bei Aufgabe 1, und 4 jeweils der Hälfte des Volumens des Quaders, bei Aufgabe 3 dem vierten Teil davon. 1 V Quader = 0 cm 30 cm 15 cm V Quader = 1,5 m 6 m 1 cm V Quader = 9000 cm 3 V Quader = 9 m 3 V Prisma = 4500 cm 3 V Prisma = 4,5 m 3 3 V Quader = m m 1,6 m 4 V Quader = 1 m 3 m 8 m V Quader = 6,4 m 3 V Quader = 307 m 3 V Prisma = 1,6 m 3 V Prisma = 1536 m 3 V = 3 V = 4 V = V = 4,5 m 3 V = 1,6 m 3 V = 1536 m 3 3 a) V = b) V = cm 8 cm V = 5, 3 V = 6 3 c) V = ( 8,5 cm) + (9 cm 4,5 cm 8,5 cm) V = 40,75 cm3 4 a) b) c) d) e) f) g) Länge der Grundseite 8 cm 4,5 cm 3,5 cm 8 1 cm 5 1 m 4 4,5 m 14,4 m Höhe des Dreiecks 3, cm 1, cm 34 mm 4,4 m 17 dm 3,75 m Höhe des Köpers 6 cm 7, cm 4,4 m 4, cm 3,5 m 15 dm 18 m Volumen 96 cm 3 51,8 3 9,4 m 3 60,69 cm 3 40,45 m 3 5,4 m m 3 5 Prismen a) b) c) d) 115 cm 6 m 8,1 dm 3, h K 1 17,5 m 18 dm 0,75 cm V cm m 3 145,8 dm 3,55 cm 3 Schulbuchseite 70

17 70 Kapitel : Volumen von Prismen berechnen 1 a) Der Körper ist ein Prisma mit sechseckiger Grund- und Deckfläche. b) Man kann das Volumen bestimmen, indem man das Volumen eines dreiseitigen Prismas berechnet und dieses Ergebnis mit sechs multipliziert. oder Der Flächeninhalt der sechseckigen Grundfläche wird durch Zerlegung in Dreiecke berechnet und anschließend mit der Körperhöhe multipliziert. c) V = V = 1170 cm 3 a) Zerlegung der Grundfläche in zwei rechtwinklige Dreiecke mit g = 1 m und h = 3, m sowie ein Rechteck mit den Seitenlängen m und 3, m V =? + m 3, m) 7 m V = 67, m3 b) Zerlegung der Grundfläche in ein kleines Rechteck mit den Seitenlängen 1 und 8 cm sowie ein großes Rechteck mit den Seitenlängen 40 cm und 46 cm V = (1 8 cm + 40 cm 46 cm) 15 cm V = cm 3 c) Zerlegung der Grundfläche in ein rechtwinkliges Dreieck mit g = 35 cm und h = 40 cm sowie ein Rechteck mit den Seitenlängen 15 cm und 40 cm V = (? + 15 cm 40 cm) 6 cm V = 7800 cm 3 3 Zerlegung der Grundfläche in ein Rechteck mit den Seitenlängen 6,8 m und 1,4 m und ein Dreieck mit g = 6,8 m und h = 1,1 m h K = 1,4 m V Gewächshaus = (? + 6,8 m,1 m) 1,4 m V Gewächshaus 3,45 m 3 5 m 3 Das Luftvolumen des Gewächshauses beträgt ungefähr 3,45 m 3 5 m 3. 4 a) Zerlegung der Grundfläche in ein kleines Rechteck mit den Seitenlängen 0 cm und 40 cm, ein mittleres Rechteck mit den Seitenlängen 40 cm und 40 cm sowie ein großes Rechteck mit den Seitenlängen 60 cm und 40 cm h K = 100 cm V Treppe = (0 cm 40 cm + 40 cm 40 cm + 60 cm 40 cm) 100 cm V Treppe = cm 3 = 480 dm 3 = 0,48 m 3 b) Gewicht der Treppe m = cm 3 0,5 m = g = 40 kg Herr Özdemir kann die Treppe gerade so noch in seinem Auto transportieren. 5 Zerlegung der Grundfläche in ein Rechteck mit den Seitenlängen 40 cm und 35 cm sowie zwei rechtwinklige Dreiecke mit g = 5,5 cm und h = 35 cm h K = 9 V Blumenkasten =? + 40 cm 35 cm) 9 V Blumenkasten = cm 3 = 149,695 dm l Inhalt der fünf Blumensäcke à 35 l: 175 l Die Blumenerde reicht aus. Schulbuchseite 71

18 Kapitel : Oberflächeninhalt von Prismen berechnen 71 1 a) 1 : Quader : dreiseitiges Prisma (Dreiecksäule) 3 : dreiseitiges Prisma Die Seitenflächen sind Rechtecke. Sie ergeben als gesamte Mantelfläche wieder ein Rechteck. b) 1 = 8 cm 5 cm = 40 cm = 5, cm = 0,8 cm 3 = 1 cm cm = 1 = 40 cm + = 46 cm = 0,8 cm + cm 1 cm =,8 cm 3 = + = 36 cm 1 AG = 1 cm 3 = AG = = 6 cm u = (1 cm + ) u = cm u = 8 cm u = 1 cm = 8 cm 5 cm = 1 cm cm = 40 cm = = + 40 cm = 6 cm + = 46 cm = 36 cm 3 a) u = 4,6 cm + 3,5 cm + 5,8 cm b) u = 10,1 cm + 7,7 cm + 9, u = 13,9 cm u = 7, cm = 13,9 cm 5, cm = 7, cm 8,9 cm = 7,8 cm = 4,08 cm = = = 8,05 cm = 34,31 cm = 7,8 cm + 8,05 cm = 4,08 cm + 34,31 cm = 88,38 cm = 310,7 cm c) u = 5 + 4,5 cm + 9 cm u = 3 = 3 8,5 cm = 80,5 cm = + 4,5 cm 9 cm = 49,5 cm = 80,5 cm + 49,5 cm = 379,5 cm 4 a) b) c) d) e) f) 8 cm cm 50 mm 1,5 m 59,1 dm 30 cm 1 17 cm cm 330 mm,8 m 1,8 dm 86 cm cm 805 cm 830 mm 5,8 m 1, m Schulbuchseite 7

19 7 Kapitel : Oberflächeninhalt von Prismen berechnen 1 a) Oberflächeninhalt der Verpackung ohne Verschnitt = (40 mm 165 mm mm 30 mm + 40 mm 30 mm) = mm = 55 cm 165 mm 10 % Verschnitt entspricht einem zusätzlichen Materialbedarf von 55 cm 0,1 = 5,5 cm. Materialbedarf für die Verpackung mit Verschnitt: 80,5 cm Es werden 80,5 cm Pappe für die Herstellung benötigt. 30 mm 30 mm 40 mm 30 mm 40 mm b) Die fehlenden Seitenlängen sind durch Nachmessen zu ermitteln. Oberflächeninhalt der Verpackung ohne Verschnitt = 35 mm 39 mm = 68,5 mm u = 35 mm + 43 mm + 43 mm u = 11 mm = 11 mm 180 mm = mm = 68,5 mm mm = mm 180 mm 10 % Verschnitt entspricht einem zusätzlichen Materialbedarf von mm 0,1 = 314,5 mm. Materialbedarf für die Verpackung mit Verschnitt: 5 459,5 mm Es werden 5 459,5 mm, also rund mm (= 55 cm ) Pappe für die Herstellung benötigt. 43 mm 35mm 39 mm 43 mm 43 mm 43 mm Schulbuchseite 73

20 Kapitel : Oberflächeninhalt von Prismen berechnen c) Die fehlenden Seitenlängen sind durch Nachmessen zu ermitteln mm 100 mm 100 mm 100 mm 100 mm 40 mm 64 mm 40 mm 100 mm 40 mm 64 mm 40 mm 64 mm Oberflächeninhalt der Verpackung ohne Verschnitt Zerlegung der Grundfläche in ein Rechteck mit den Seitenlängen 40 mm und 100 mm und ein Dreieck mit g = 100 mm und h = 40 mm = 100 mm 40 mm mm 40 mm = 4000 mm mm = 6000 mm u = 100 mm + 40 mm + 64 mm u = 308 mm = 308 mm 100 mm = mm = 6000 mm mm = mm = 48 cm 10 % Verschnitt entspricht einem zusätzlichen Materialbedarf von 48 cm 0,1 = 4,8 cm. Materialbedarf für die Verpackung mit Verschnitt: 470,8 cm Es werden 470,8 cm Pappe für die Herstellung benötigt. Schulbuchseite 73

21 74 Kapitel : Oberflächeninhalt von Prismen berechnen d) Die fehlenden Seitenlängen sind durch Nachmessen zu ermitteln. 15 mm 15 mm 35 mm 35 mm 35 mm 35 mm 35 mm 35 mm 35 mm 35 mm 35 mm 30 mm 35 mm 35 mm 35 mm 35 mm Oberflächeninhalt der Verpackung ohne Verschnitt Zerlegung der Grundfläche sechs gleichseitige Dreiecke mit g = 35 mm und h = 30 mm = 6 35 mm 30 mm = 3150 mm u = 6 35 mm u = 10 mm = 10 mm 15 mm = 6 50 mm = 3150 mm mm = mm 10 % Verschnitt entspricht einem zusätzlichen Materialbedarf von mm 0,1 = 355 mm. Materialbedarf für die Verpackung mit Verschnitt: mm Es werden mm, also rund mm (= 358 cm ) Pappe für die Herstellung benötigt. Es muss die Vorder- und Rückfläche, die Seitenwände und ggf. der Boden des Blumenkastens gestrichen werden. Die Vorder- und Rückfläche (Trapez) wird zerlegt in ein Rechteck mit den Seitenlängen 40 cm und 35 cm und zwei rechtwinklige Dreiecke mit g = 5,5 cm und h = 35 cm. Die Seitenwände sind Rechtecke mit den Seitenlängen 9 und 35,5 cm. Der Boden ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 9 und 40 cm. A Vorder- und Rückfläche = 40 cm 35 cm = 800 cm² A Seitenwände = 9 35,5 cm = 667 A Boden = 9 40 cm = 3760 cm esamt = 13 3 Die zu streichende Fläche ist etwas größer, da hier der Flächeninhalt der Innenwände berechnet wurde. Geschätzte Außenfläche: cm = 13,3 m Ein Farbeimer von 10 m reicht nicht aus. Würde Elzbeth auf den Anstrich des Bodens verzichten, würde der Farbeimer knapp ausreichen. Schulbuchseite 73

22 Kapitel : Trimm-dich-Zwischenrunde cm 5 cm cm 5 cm 5 cm 5 cm cm a) 1 u = + cm = 10 cm u = 5 cm + 5,1 cm + 5,1 cm = 15, cm = 10 cm = 40 cm = 15, cm = 60,8 cm = cm = 6 cm = = 11,5 cm = 6 cm² + 40 cm = 5 cm = 11,5 cm + 60,8 cm = 83, 3 u = 6 cm + 8 cm + 5, = 19, 4 u = cm + 5 cm = 0 cm = 19, = 77, cm = 0 cm = 80 cm = = 15,9 cm = + = cm = 15,9 cm + 77, cm = 109 cm = cm + 80 cm = 1 b) V = h K 1 V = 3 V = 45 cm 3 3 V = 63,6 cm 3 4 V = 88 cm 3 11 m 3,5 m 3 a) V = 5,8 m 11 m 13 m + 13 m V = 1079,65 m 3 Kosten: , also rund b) V = 10,5 m 14,4 m 3, m + 10,5 m 4 m 14,4 m V = 786,4 m 3 Kosten: , also rund Schulbuchseite 74

23 76 Kapitel : Auf einen Blick Aufgaben zur Differenzierung 1 Basis-Aufgabe a) Diese Aussage ist richtig. Ein Würfel ist ein Spezialfall eines Quaders. b) Diese Aussage ist falsch. Jeder Quader ist auch ein Prisma. c) Diese Aussage ist richtig. Ein Quader ist ein Spezialfall eines Prismas. d) Diese Aussage ist falsch. Jeder Würfel ist auch ein Quader. Vertiefende Aufgabe a) Diese Aussage ist richtig. Das Prisma ist dann ein Würfel. b) Diese Aussage ist falsch. Die Kantenlängen der Grund- und Deckfläche können unterschiedlich lang sein. Dementsprechend müssen die Rechtecke der Mantelfläche nicht deckungsgleich sein. c) Diese Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: das Prisma 3 auf S. 70/1 im Schulbuch. Basis-Aufgabe Vertiefende Aufgabe a) b) 3 Basis-Aufgabe V = 5 cm,5 cm V = 50 cm 3 = ( 5 cm + 5 cm,5 cm +,5 cm) = 85 cm Vertiefende Aufgabe a) 7 cm 3 = 6 cm c c = = (6 cm cm ) = 108 cm b) 80 cm 3 = a 5 cm a = = ( + 5 cm + 5 cm) = 11 cm 4 Basis-Aufgabe V = h K = + u h K a) V = 4 V = 6006 cm 3 = + ( 16,7 cm + 1 cm) 4 = 666,6 cm b) V = 77 cm V = cm 3 = + (65 cm + 8 cm + 56 cm) 77 cm = Vertiefende Aufgabe V = h K = + u h K a) V = ( 1 cm 1,5 cm + 1,5 cm 1,5 cm ) 6, V = 19, cm 3 = ( + 1,5 cm 1,5 cm) + (1,5 cm + 1,5 cm + 1,7 cm +,5 cm) 6, = 5,08 cm Schulbuchseite 75

24 Kapitel : Auf einen Blick Aufgaben zur Differenzierung 77 b) Die Grundfläche ist ein ungleichmäßiges Trapez. Der Flächeninhalt dieses Trapezes kann mit Hilfe der Formel aus der Formelsammlung berechnet werden. Diese lautet: A Trapez = a + c h Mit a =, c = cm und h = 1,6 cm ergibt sich V = ( + cm 1,6 cm ) 7 cm V = 33,6 cm 3 = ( + ( + 1,7 cm +,1 cm + cm) 7 cm = 78, cm 5 Basis-Aufgabe a) V Sand = 6 m 5 m 0,4 m b) 3 m 3 : 4,5 m 3 7,11 V Sand = 3 m 3 Der LKW muss 8-mal fahren. Es wird 3 m 3 Sand benötigt. Vertiefende Aufgabe a) Glas = (80 cm 50 cm + 50 cm 50 cm + 80 cm 50 cm) 80 cm 50 cm Glas = cm = 1,7 m Es wird 1,7 m Glas benötigt. b) V Wasser = 50 cm 40 cm 80 cm V Wasser = cm 3 = 160 dm 3 Es müssen 160 l Wasser in das Aquarium gefüllt werden. Schulbuchseite 75

25 78 Kapitel : Auf einen Blick Vermischte Aufgaben 1 Die Körpernetze A, B, D und E gehören zu Würfeln bzw. Quadern. A B C D F E Lösungsmöglichkeiten: a) b) cm cm 6 cm cm 3 a) Volumen der linken Box V = 1 cm 1 cm 1 cm = 178 cm 3 Volumen der linken Box V = 6 cm 11 cm = 1518 cm 3 Es passen nicht gleich viele Kosmetiktücher in die Verpackungen, da die linke Box ein größeres Volumen hat als die rechte Box. b) Möglicher Maßstab: 1 :, d. h. alle Seitenlängen werden in der halben Länge gezeichnet. 6 cm 5,75 cm 6 cm 5,5 cm Schulbuchseite 76

26 Kapitel : Auf einen Blick Vermischte Aufgaben 79 4 Volumen des Körpers V Körper = V großer Quader V kleiner Quader V Körper = 6 cm cm cm 1 cm V Körper = Der Oberflächeninhalt des Körpers lässt sich durch geschicktes Überlegen bzw. Rechnen einfach bestimmen. Durch gedankliches Verschieben der Seitenflächen des weggefrästen Quaders erkennt man: der Oberflächeninhalt des Körpers entspricht dem Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Seitenlängen 6 cm, und cm ( großer Quader ). Körper = (6 cm + cm + 6 cm cm) Körper = 88 cm 5 V = h K a) V = 5 cm 6 cm = 150 cm 3 3,5 cm b) V = 8,8 cm = 46, cm 3 6 V = h K = + u h K 30 mm 40 mm a) V = 60 mm V = mm 3 = 30 mm 40 mm + (30 mm + 40 mm + 50 mm) 60 mm = 8400 m 6 cm,6 cm b) V = 15 cm V = 117 cm 3 = 6 cm,6 cm + (6 cm + + ) 15 cm = 5,6 cm 7 Zelt = 1,5 m 1,8 m + (1,5 m + 1,95 m + 1,95 m),5 m Zelt = 16, m Für ein Zelt wird 16, m Material gebraucht und somit für 500 Zelte 8100 m Material. 8 V Verpackung =,6 cm 15 cm V Verpackung = 58,5 cm 3 Die Firma sollte die Verpackung von 60 cm 3 wählen, da die Verpackung des neuen Schokoladenriegels 58,5 cm 3 groß ist und somit 50 cm 3 zu klein und 70 cm 3 zu groß sind. 9 a) A = ( 4 m 16 m + 16 m 4 m ) + (1 m 4 m) + (9 m 1 m) Dach und Wände = 504 m Es wird 504 m Metallblech für den Bau von Dach und Wänden benötigt. b) V Lagerraum = ( 4 m 16 m + 16 m 4 m ) 1 m V Lagerraum = 115 m 3 Der Firma steht dann 115 m 3 Lagerraum zur Verfügung. 10 Alle drei Würfelnetze sind richtig. Schulbuchseite 76/77

27 80 Kapitel : Auf einen Blick Vermischte Aufgaben 11 a) b) V Körper = V großer Würfel 8 V kleiner Würfel V Körper = 8 cm 8 cm 8 cm 8 cm cm cm V Körper = 448 cm 3 c) Der Oberflächeninhalt des Körpers lässt sich durch geschicktes Überlegen bzw.rechnen einfach bestimmen. Durch gedankliches Verschieben der Seitenflächen der weggefrästen Würfel erkennt man: der Oberflächeninhalt des Körpers entspricht dem Oberflächeninhalt eines Würfels mit der Seitenlänge 8 cm ( großer Würfel ). Körper = 6 8 cm 8 cm Körper = 38 1 a) Körper A Körper B AG =,5 cm cm 1 cm 1cm = ² = cm = V = h K 1 cm 3 = h K h K = V = h K 1 cm 3 = h K h K = Körper C =,5 cm cm =,5 cm b) V = h K 1 cm 3 =,5 cm h K h K = 4,8 cm A B C cm,5 cm 1,5 cm cm cm cm,5 cm, 13 Mit dem Maßstab 1 : 00 ergeben sich folgende Seitenlängen: In der Wirklichkeit Auf dem Blatt 15 m 7,5 cm 10 m 5 cm 7 m 3,5 cm 1 m 6 cm 6 cm 3,5 cm 7,5 cm,5 cm Schulbuchseite 77

28 Kapitel : Auf einen Blick Vermischte Aufgaben a) V Werkstück = 1,5 cm 7 cm 1, + cm 1 cm 1, V Werkstück = 3, cm 3 Masse des Werkstücks m =,7 g cm 3, 3 = 86,94 g 87 g b) V Werkstück = ( 4, 18,8 cm) (,5 cm 3,6 cm 18,8 cm ) V Werkstück = 163,56 cm 3 Masse des Werkstücks m =,7 g 163,56 cm3 3 cm m = 441,61 g 44 g 15 a) Kantenlänge a der Granitsäule 3150 cm = 4 a 6 a = 1,5 cm V Granitsäule = 1,5 cm 1,5 cm 6 V Granitsäule = 9843,75 cm3 b) Masse der Granitsäule m = 7,8 g 9843,75 cm3 3 cm m = ,5 g = 76,781 kg 16 V Pflasterstein = 5 cm 15 cm 8 cm V Pflasterstein = 3000 cm 3 Masse eines Steins m =, g 3000 cm3 3 cm m = 6600 g = 6,6 kg 1500 Steine wiegen dann 9900 kg = 9,9 t Der LKW kann die Steine nicht transportieren. 17 a) Zerlegung der Grundfläche in ein Rechteck mit den Seitenlängen 0 m und 5 m sowie zwei rechtwinklige Dreiecke mit g = 15 m und h = 5 m h K = 5 km = 5000 m V neuer Deich = ( 5 m 15 m + 5 m 0 m ) 5000 m V neuer Deich = m 3 b) Volumen des Materials (Abdeckung und Sandkern) V Material = (5 m 15 m + 5 m 0 m 100 m ) 5000 m V Material = m 3 Masse des Materials m = 1,6 t m3 3 m m = t Es wurde Tonnen Material verwendet. 18 Nein, Gulias Vermutung stimmt nicht. Die Gleichheit von Oberflächeninhalt und Volumen ist Zufall. Ihr Würfel hat die Kantenlänge 6 cm da gilt: V = 6 cm 6 cm 6 cm 16 cm 3 = 6 6 cm 6 cm = 16 cm Schulbuchseite 77

29 8 Kapitel : Trimm-dich-Abschlussrunde 1 a) V = 7 cm 9 cm = 5 cm 3 b) V = 45 mm 65 mm 15 mm = mm 3 c) V = 1, m 0,7 m 0,75 m = 0,63 m 3 d) V = 6 cm 15 cm 11 cm = 990 cm 3 e) V = 4 dm 7 dm 1,5 dm = 4 dm 3 a) 1 a = ; b = 5 cm ; c = cm = ( 5 cm + 5 cm cm + cm) = 76 cm b) Fehlende Länge: a = (1,8 cm ) : = 6,9 cm b = 6 cm; c = = (6,9 cm + 6 cm + 6,9 cm 6 cm) = 186 cm 1 cm,5 cm 6,9 cm 3 a) b), cm cm 4,5 cm 5 cm V = 5 cm cm 6 cm V = 30 cm³ = 5 cm cm + (5 cm +, cm + 4,5 cm) 6 cm = 80, cm 4,5 cm, cm 5 cm 4 Dach = 3,50 m 6,50 m Dach = 45,5 m Kosten für die Dachziegel 6,5 45,5 1194, Die Dachziegel kosten ungefähr a) V Werkstück = (4,8 cm 5 cm ) ( 8,5 cm 5 cm) V Werkstück = cm 3 Masse des Werkstücks m = 7,8 g cm3 3 cm m = g = 187,51 kg 188 kg Schulbuchseite 78

30 Kapitel : Trimm-dich-Abschlussrunde 83 b) V Werkstück = ( 8 cm 38 cm + 1 cm 38 cm ) 0 cm (18 cm 8 cm 0 cm) V Werkstück = 960 cm 3 Masse des Werkstücks m = 7,8 g 960 cm3 3 cm m = g = 179,088 kg 179 kg 6 V Kiste = V Kiste Außenmaße V Kiste Innenmaße V Kiste = 80 cm 50 cm 60 cm 76 cm 46 cm 58 cm V Kiste = cm cm 3 V Kiste = 37 3 Masse der Kiste m = ,5 g cm 3 m = g = 18,616 kg 58 cm 80 cm 76 cm 46 cm 50 cm 60 cm 7 Volumen des Wassers l = dm 3 = 80 cm = 0,8 dm dm 3 = 0,8 dm h h =,5 dm Schulbuchseite 78