Mathematik Lösung der Klassenarbeit Nr. 3 Klasse 8a Seite

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1 Klasse 8a Seite Aufgabe 1: Bestimme die Lösungsmenge. Zwischenschritte (Hauptnenner, kürzen) sind gefordert aber auch sinnvoll! a) [3P] 3x 6x 9 0 b) [3P] 1 1 c) [3P] x 1 x 0 3 Lösungsvorschlag 1: zu a) Division durch 3 ergibt x x 0,5 1 x x 3 0. Damit ergibt die MNF: x1/ 3 / zu b) umformen zu x x 0 / Multiplikation mit dem Hauptnenner = 4 4 ergibt 8x x1 0. Damit folgt mit der MNF x1/ / zu c) Multiplikation mit dem Hauptnenner = 6 ergibt 3x x 6 0. Damit ergibt die MNF: x1/ k. L. 3 6 Aufgabe : Berechne die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen - oft geht es ohne Mitternachtsformel leichter und schneller, nutze das aus!: a) [P] 3x x 0 b) [P] 4x x 3 4x 5 0 c) [3P] Lösungsvorschlag : zu a) Da nur zwei Summanden vorhanden sind, benötigen wir keine MNF. Wir x 3x 0. Ein Produkt kann nur dann 0 sein, wenn einer klammern x aus: der Faktoren 0 ist. 1. Fall: x1 0. Fall: 3x 0 oder x 3 zu b) Umformen zu (d.h. auf beiden Seiten 100 addieren) 4x 100, Division durch 4: x 5. Damit ergibt sich: x1/ 5 zu c) Ein Produkt ist nur dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist: 3 1. Fall: x 3 0 oder x 3 d.h. x1 5. Fall: 4x 5 0 oder 4x 5d.h. x 4 Aufgabe 3: [P] Bestimme die Nullstellen graphisch, indem Du eine Parabel und eine Gerade schneidest (Bereich des Koordinatensystems: -4<x<4 und -1<y<17, Einheit 1 cm) h(x) x x 3

2 Klasse 8a Seite Lösungsvorschlag 3: Gesucht sind die x, für die gilt h(x)=0. Also die x, für die gilt x x 3 0 oder die x, für die x x 3 Dies sind die Schnittunkte der Parabel und der Geraden g( x) x 3 p( x) x Damit sind x1 3 und x 1 die gesuchten Nullstellen. Der Satz von Vieta zeigt die Richtigkeit: b x1 x 3 1 bzw. c 3 x x Aufgabe 4: Gib die Gleichung der verschobenen Normalparabel an. a) [1P] Die Parabel ist um 3,5 Einheiten auf der y- Achse nach unten verschoben. b) [1P] Die Parabel ist um 3,5 Einheiten in positive x-richtung verschoben. Lösungsvorschlag 4: Zu a) f ( x) x 3,5 Zu b) f ( x) x 3,5 Aufgabe 5: Zeichne die beiden Parabel in ein gemeinsames Koordinatensystem (Bereich des Koordinatensystems: -6<x<6 und -4<y<1, Einheit 1 cm): Lösungsvorschlag 5: a) [P] f (x) x 3 b) [3P] g(x) x 6x 11 (quadr. Erg.)

3 Klasse 8a Seite Der Scheitel der rechten Parabel f(x) ist: S / 3 Zur Parabel g(x): Hier müssen wir die Darstellung umformen. Der zweite Summand 6x x 3 zeigt uns, dass b 3 sein muss. Also addieren wir b 9 und ziehen ihn wieder ab, damit sich der Wert des Terms nicht ändert. Es ergibt sich damit mit der ersten binomischen Gleichung g(x) x x x 3 Damit ist die Parabel um 3 nach links und um nach oben verschoben, der S 3 3/ Scheitel liegt bei g Aufgabe 6:Aus einem Korb mit vier Pflaumen, sechs Äpfeln und zwei Birnen wählst Du nacheinander zufällig Früchte aus. a) [P] Du nimmst drei Früchte, Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es zwei Birnen und ein Apfel Zeichne einen Baum, beschrifte ihn, bestimme die Ergebnismenge und berechne. b) [P] Du nimmst vier Früchte. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es nur Äpfel? Zeichne den reduzierten Baum und berechne dann. c) [3P] Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhältst Du beim Herausnehmen von drei Früchten eine Pflaume, einen Apfel, eine Birne? f

4 Klasse 8a Seite Lösungsvorschlag 5: Zu a) Der Baum besteht aus drei Ebenen

5 Klasse 8a Seite Die Wahrscheinlichkeit, dass man zwei Birnen und ein Apfel zieht ist p(e) = P({BBA, BAB, ABB}) = P({BBA}) + p({bab}) + p({abb} = zu b) der reduzierte Baum ist Die Wahrscheinlichkeit nur Äpfel zu ziehen ist p Zu c) Dem ersten Baum entnimmt man z.b. p = P(PAB) + P(PBA) +P(APB) P(ABP) + P(BAP) + P(BPA) = Übrigens für den ersten Zug gibt es drei Möglichkeiten: P, A oder B, für den zweiten dann noch und für den letzten Zug 1 Möglichkeit. Also gibt es 6 Möglichkeiten, wobei im Zähler bei jeder Möglichkeit dieselben Zahlen stehen, im Nenner steht immer 4, 6 und. *Aufgabe: [+P] Für welche Werte von k hat die Gleichung x 4x k 0 keine Lösung? Für welches k hat sie Lösungen, die sich um 5 unterscheiden? Lösungsvorschlag *: k Die MNF liefert für die Lösung der Gleichung: x1/ 4 k Es gibt keine Lösung, wenn die Diskriminante (die Zahl unter der Wurzel) kleiner als Null ist, d.h. wenn 16 4k 0 oder k 4 Die zwei Lösungen unterscheiden sich um d x1 x 4 k Also ist das k gesucht, für das 4 k 5 oder 5 9 k 4,5 4 4 In diesem Fall ist die Lösung der Gleichung 5 4 k oder 4 x 4x, , x1/ /. Die Differenz der beiden Lösungen ist also 5, wenn k =,5 ist.