CERA - Klausur Quantitative Methoden des ERM

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1 CERA - Klausur Quantitative Methoden des ERM Hinweise: Als Hilfsmittel ist ein Taschenrechner zugelassen. Die Gesamtpunktzahl beträgt 0. Die Klausur ist bestanden, wenn mindestens 48 Punkte erreicht werden. Aufgaben. Risikomaße, Komonotonie. (0 Punkte) Die Zufallsgrößen X und Y seien komonoton. Die Verteilungsfunktion F von X lautet { 0 ; x < F (x) = ; x. x Die Verteilungsfunktion G von Y lautet { 0 ; y < G(y) = ; y. y 3 a) (5 Punkte) Definieren Sie Komonotonie und geben Sie eine ökonomische Interpretation an. b) (8 Punkte) Berechnen Sie Value at Risk und Expected Shortfall von Y zum Niveau 0,999. (Erinnerung: ES α = α α VaR z(y ) dz.) c) (5 Punkte) Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilungsfunktion H des Zufallsvektors (X, Y ). d) ( Punkte) Stellen Sie das obere partielle Moment. Ordnung von X + Y zur Schwelle 5 als Integral bezüglich der gemeinsamen Verteilungsfunktion H von (X, Y ) dar.. Risikomaße und multivariate Modellierung (0 Punkte) a) (0 Punkte) Zeigen Sie anhand eines selbstgewählten Beispiels, dass der Value at Risk im Allgemeinen nicht subadditiv ist. Diskutieren Sie kurz die Relevanz der Subadditivität für praktische Anwendungen. b) (0 Punkte) Der Zufallsvektor X = (X,..., X d ) sei multivariat normalverteilt. Sei M die Menge aller Risikopositionen der Form L = d i= λ ix i. Zeigen Sie, dass für α > 0.5 VaR α kohärent ist auf M.

2 3. Bayesianische Statistik. (5 Punkte) Seien X P ois(λ) und λ Gamma(, ). Hinweis. Die Dichte der Gamma-Verteilung mit den Parametern α, β > 0 lautet f(x) = βα Γ(α) xα exp( βx) (0, ) (x). a) (9 Punkte) Leiten Sie die a-posteriori Verteilung des Parameters und die Randverteilung von X her. b) (6 Punkte) Wir testen H 0 : λ gegen H : λ >. Geben Sie für die Beobachtung x = die a-posteriori Wahrscheinlichkeit für H 0 und die Testentscheindung unter der gewichteten 0- Verlustfunktion an. 4. Copulas. (5) a) (8 Punkte) Die bivariate Pareto-Verteilung hat die Überlebensfunktion ( x F (x, x ) = + x ) α + für x, x, α, β, β > 0. β β Berechnen Sie die zugehörige Überlebenscopula Ĉ, d.h. die copula mit der Eigenschaft, dass F (x,..., x d ) = Ĉ( F (x ),..., F d (x d )). b) (7 Punkte) Definieren Sie für zwei Zufallsvariablen X and X mit stetiger Randverteilung den Koeffizient der lower tail dependence λ l. Begründen Sie, dass λ l mit Hilfe der copula von X und X ausgedrückt werden kann. Warum ist tail dependence potentiell wichtig bei der Messung von Finanzrisiken? 5. Risk Integration. (8 Punkte) Betrachten Sie eine Versicherung mit zwei business lines (Investment und underwriting), deren Verlust (negative P& L) durch die Zufallsvariablen L i, i =, gegeben ist. Jede business line hat ein eigenes Risikomanagement-System und es sei bekannt, dass L N(µ, σ ) und dass L LN(µ, σ ) (d.h. ln L ist N(µ, σ )-verteilt). Allerdings gibt es kein firmenweites Risikomanagementmodell, so dass die Verteilung von L = (L, L ) nicht bekannt ist. a) (8 Punkte) ( Konstruieren Sie mit Hilfe der Gauss copula mit Parameter ρ ein konsistentes Modell für die Verteilungsfunktion F von L und beschreiben Sie einen Algorithmus, um Datenpunkte gemäß F zu simulieren. b) (6 Punkte) Diskutieren Sie eine Methode zur Schätzung von ρ, falls Beobachtungen L,..., L 0 aus den letzten 0 Jahren zur Verfügung stehen. c) (4 Punkte) Führen Sie kurz einige Vor- und Nachteile des in a) und b) beschriebenen Ansatzes zur Risikoaggregation auf.

3 P (3) (3,4)=.0467 P () (,4)=0.994 P () (,3)= P () (,4)= P () (,3)= P () (,)=0.955 P () (3,4)=0.940 P (0) (0,4)= P (0) (0,3)= P (0) (0,)=0.887 P (0) (0,)= P () (,4)=0.805 P () (,3)= P (0) (,4)=0.647 P (0) (,3)=0.738 P (0) (,)=0.857 P () (3,4)= P (0) (,4)=0.653 P (0) (,3)= P (0) (3,4)= Zinsmodelle. (4 Punkte) Betrachten Sie den obigen Baum der Diskontierungsfaktoren P (i) (t, T ) in einem Ho-Lee-Modell, wobei der obere Index (i) die Anzahl der bisherigen Aufwärtsbewegungen und [t, T ] das Zeitintervall der Diskontierung angibt. Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit für eine Aufwärtsbewegung beträgt π = 0.5. Berechnen Sie zum Zeitpunkt 0 den Preis eines Caplets mit Auszahlungszeitpunkt t = 3 und Strike Kreditrisiko. (8 Punkte) a) (0 Punkte) Beschreiben Sie die Modellierung des Konkurses einer Firma im Merton-Modell. Zeigen Sie, dass sich der Preis einer Firmenanleihe als Preis eines ausfallfreien Bonds abzüglich einer Put-Option darstellen lässt und bewerten Sie die Firmenanleihe mit der Black-Scholes Formel. Wie wirkt sich eine Erhöhung der Volatilität des Firmenwerts auf den Preis der Firmenanleihe aus? Diskutieren Sie ökonomische Implikationen. b) (8 Punkte) Betrachten Sie ein einfaches Kreditrisikomodell in reduzierter Form mit konstanter Zinsrate r > 0 und konstanter hazard-rate γ > 0 (unter dem zur Bewertung verwendeten risikoneutralen Maß Q. Geben Sie in Abhängigkeit von r und γ den Preis in t = 0 einer ausfallbehafteten Anleihe mit Nennwert an. Nehmen Sie dabei an, dass im Fall eines Konkurses zum Zeitpunkt τ T ein Betrag von 0.5 direkt in τ an den Halter der Anleihe ausgezahlt wird.

4 Lösungen. Risikomaße, Komonotonie. a) Zwei Zufallsvariablen X und X sind komonoton, falls es eine Zufallsvariable Z und wachsende Funktionen v, v mit X i = v i (Z), i =,, gibt. Komonotonie stellt eine perfekte Abhängigkeit dar; insbesondere ist bei komonotonen Risiken keine Diversifikation möglich. b) Die Gleichung = 0, 999 (VaR 0,999 (Y )) 3 führt auf den Value at Risk VaR 0,999 (Y ) = 0. Der Expected Shortfall ergibt sich zu ES 0,999 (Y ) = 0, 999 = 000 0,999 0,999 VaR z (Y ) dz ( ) /3 dz z = 500 [ ( z) /3 ] 0,999 = 5. c) Wegen der Komonotonie hat der Zufallsvektor (X, Y ) die Copula C(u, v) = min(u, v), so dass wir die gemeinsame Verteilungsfunktion { ; x > y 3 H(x, y) = C(F (x), G(y)) = y 3 ; x y 3 x erhalten. d) Das obere partielle Moment. Ordnung von X + Y zur Schwelle 5 ist gegeben durch UPM,5 (X + Y ) = (x + y 5) [5, ) (x + y) dh(x, y).. Risikomaße, multivariate Modelle. a) Hier gibt es viele Möglichkeiten. Im folgenden betrachten wir zwei ausfallbehaftete Anleihen mit unabhängigem default und identischer Ausfallwahrscheinlichkeit von p = 0.9%. Der heutige Preis der Anleihen sei gleich 00, der Nennwert sei 05, und die recovery rate sei gleich Null. Sei L i der Verlust (negative P&L) von Anleihe i. Es gilt e { (05 00) = 5 (no default, probability p = 0.99) L i = (0 00) = 00 (default, probability p = 0.009). Setze α = Es gilt P (L i < 5) = 0 und P (L i 5) = 0.99 > α und daher t VaR α (L i ) = 5.

5 Betrachte nun L = L + L, d.h. ein Portfolio das je eine Anleihe jeder Firma enthält. Wegen der vorausgesetzten Unabhängigkeit der Ausfälle folgt 0 (no default, probability ( p) = 0.98) L = (05 00) = 95 (exactly default, probability p( p) ) 00 ( defaults, probability p ) Insbesondere ist P (L 0) = 0.98 < 0.99 und P (L 95) > 0.99 und somit VaR α (L) = 95 Daher ist V ar α in diesem Beispiel nicht kohärent. Subadditivität eines Risikomaßes ist insbesondere wesentlich wenn risk taker (Händler/underwriter) gemäß risikoadjustierten Performance-Maßen bewertet werden und wenn gleichzeitig mit sehr schiefen Verlustverteilungen operiert wird. Ein nicht-subadditives Maß kann in solchen Situationen zu optimalen (aus Sicht des risk takers) Portfolien führen, die hohe Konzentrationsrisiken aufweisen. Wichtig ist Subadditivität auch bei limit-systemen. b) Sei L = d j= λ j X j und analog für L, und sei L = L + L Es gilt L i N(µ i, σi ), i =, und L N(µ L, σl ) (hier verwendet man, dass Linearkombinationen von multivariat normalverteilten Zufallsvariablen wieder multivariat normal sind). Es gilt offensichtlich µ L = µ + µ und σl = σ + ρσ σ + σ (σ + σ ) Hier bezeichnet ρ [, ] die Korrelation zwischen L und L. Es folgt VaR α (L i ) = µ i + σ i φ (α) und somit wegen φ (α) > 0 (da α > 0.5) VaR α (L) = µ L + σ L φ (α) µ + µ + (σ + σ )φ (α) = VaR α (L ) + VaR α (L ) 3. Bayesianische Statistik. a) Wir rechnen jeweils modulo einer Konstanten und nutzen bei der Identifikation der Ergebnisse aus, dass eine Dichte entsteht. Wir bezeichnen die a-priori Dichte mit π(λ), die Beobachtungsdichte mit f(x λ), die Randverteilungsdichte mit m(x) sowie die a-posteriori Dichte mit π(λ x). Wir erhalten π(λ x) = f(x λ)π(λ) m(x) f(x λ)π(λ) λ x exp( λ)λ exp( λ) = λ +x exp( λ) +x Γ( + x) λ(+x) exp( λ) Die a posteriori Verteilung ist also Gamma( + x, ).

6 Für die Randverteilung m(x) erhalten wir m(x) = f(x λ)π(λ) π(λ x) / +x = x!γ() Γ( + x) ( ) Γ( + x) +x =. x! b) Da λ x a posteriori Gamma( + x, )-verteilt ist, erhalten wir P π (λ H 0 x = ) = 0 3 Γ(3) λ exp( λ) dλ = λ exp( λ) dλ 0 Γ(, 3) =, wobei Γ(z, α) = z 0 λα exp( λ) dλ die unvollständige Gammafunktion bezeichnet. Unter der gewichteten Verlustfunktion 0 ; ϕ = H0 (θ) L(θ, ϕ) = a 0 ; θ H 0, ϕ = 0 a ; θ H, ϕ = erhalten wir die Testentscheidung ϕ π () = ( a a 0 +a, ( ) Γ(, 3) wobei ϕ π () = Annahme von H 0 bzw. ϕ π () = 0 Ablehnung von H 0 aufgrund der Beobachtung x = bedeuten. 4. Copulas. a) Wir verwenden die Formel ), Ĉ(u,..., u d ) = F ( F (u ),..., F d (u d)). Eine direkte Rechnung liefert Fi (u) = β i (u α ). Einsetzen ergibt Ĉ(u, u ) = (u /α + u /α ) α ; dies ist die Clayton copula mit Parameter θ = α.

7 b) Der Koeffizient der lower tail dependence des Zufallsvektors (X, X ) ist λ l (X, X ) = lim q 0 + P (X F (q) X F (q)) = lim q 0 + C(q, q) q nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit. Lower tail dependence ist ein Indikator für die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von gemeinsamen Extremereignissen im linken tail der Verteilung. 5. Risk-Integration. a) Verwendet man die Gauss copula Cρ Ga zur Konstruktion eines mathematischen Modells, so ergibt sich für die gemeinsame Verteilung F (l, l ) = C Ga ρ (F (l ), F (l )) mit F (l) = Φ ( (l µ)/σ ), F = Φ ( (ln l µ)/σ ) und Φ der VF der Standardnormalverteilung. Für die Gauss-copula ergibt sich folgende explizite Formel C Ga ρ (u, u ) == Φ (u ) Φ (u ) π( ρ exp ) / { (s ρs s + s ) ( ρ ) Zur Simulation verwendet man die inverse Aussage von Sklars Theorem: } ds ds. Schritt. Simuliere Z, Z unabhängig, N(0, ) und setze X = Z, X = ρz + ρ Z. Dann ist U = (Φ(X ), Φ(X )) gemäß Cρ Ga -verteilt. Schritt. Setze L = (F (U ), F (U )). b) Die einfachste Methode zur Schätzung von ρ basiert auf Kendall s τ. Es gilt ρ τ (L, L ) = π arcsin ρ. Ein Momentenschätzer für ρ τ ist Kendall s Rangkorrelationskoeffizient. Für die gegebenen 0 Beobachtungen erhält man ˆρ τ = ( ) 0 sign((l n, L m, )(L n, L m, )) n< m q0 Alternativ können natürlich auch Maximum Likelihood Methoden verwendet werden. c) Vorteile des Ansatzes: Man hat ein mathematisch konsistentes Modell und eine Prinzipienbasierte Methode zur Bestimmung der Gesamtverlustverteilung und des aggregierten Risikokapitals. Nachteil: Die Ergebnisse (Gesamtkapital und Kapitalallokation) hängen natürlich von der Wahl der copula und ihrer Parameter ab so dass der skizzierte Aggregationsansatz ein substantielles Modellrisiko beinhaltet.

8 6. Zinsmodelle. Die Auszahlung eines Caplets mit Strike K zum Zeitpunkt t ist mit dem variablen Zins (L (i) (t, t) K) + L (i) (t, T ) = ( ) T t P (i) (t, T ). Wir erhalten für den Preis P des Caplets mit Auszahlungszeitpunkt t = 3: [ P = (0, 04 0, 5 + 0, 04 0, 5) P () (, 3) (0, 5 P (0) (, ) + 0, 5 P () (, )) ] + (0, 347 0, 5 + 0, 347 0, 5) P (0) (, 3) 0, 5 P (0) (, ) 0, 5 P (0) (0, ) = 0, 054 Auszahlungsprofil Caplet für t=3 0 L () (,3) = L () (,) = ,04 L (0) (0,) = 0.05 L () (,3) = 0.4 0,04 L (0) (,) = ,347 L (0) (,3) = , Kreditrisiko. a) In Merton s Modell tritt der Ausfall der betrachteten Firma im Zeitpunkt T ein, falls der Wert V T der assets kleiner als der Nennwert B der Verbindlichkeiten ist. Man erhält für den Wert der Firmenanleihe bei Fälligkeit, dass B T = min(v T, B) = B (B V T ) +.

9 Unter den Annahmen des Merton-Modells folgt für den Preis in t < T, B t = Bp 0 (t, T ) P BS (t, V t ; r, σ V, B, T ), wobei der Preis eines Europ. Puts im Black-Scholes Modell gegeben ist durch P BS (t, V t ; r, σ V, B, T ) = Be r(t t) Φ( d t, ) V t Φ( d t, ), Vereinfachen liefert B t = p 0 (t, T )BΦ(d t, ) + V t Φ( d t, ). Der Preis des Bonds ist fallend in σ. Dies ist sinnvoll, da eine höhere Volatilität zu einer höheren Ausfallwahrscheinlichkeit führt, und da die bondholder an dem upside potential höherer Volatilität nicht partizipieren, denn die maximal mögliche Auszahlung ist durch B beschränkt. b) Die Auszahlung der Anleihe kann in zwei Teile zerlegt werden. Falls kein Ausfall eintritt so erhält man den Nennwert; der Preis dieses survival claims ist (mit T = ) Der Preis des recovery payments ist E Q (e rt {τ>t } ) = e rt Q(τ > T ) = e (r+γ)t. E Q( 0.5e rτ ) T {τ T } = 0.5 e rt γe γt dt = 0.5 γ ( e (r+γ)t ). r + γ 0