Der Satz von Eichler. Paul Breiding. 29. Januar Fakultat fur Mathematik und Informatik Georg-August-Universitat Gottingen

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1 Fakultat fur Mathematik und Informatik Georg-August-Universitat Gottingen 29. Januar 2013

2 Im Jahr 1637 schrieb der franzosiche Jurist Pierre Fermat an den Rand, neben das Problem 8, seiner Ausgabe der Arithmetica: Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter it nullam in innitum ultra quadratumpotestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere. Es ist nicht moglich, einen Kubus in zwei Kuben, oder ein Biquadrat in zwei Biquadrate und allgemein eine Potenz, hoher als die zweite, in zwei Potenzen mit demselben Exponenten zu zerlegen.

3 In moderner Schreibweise: Theorem (Fermats letzter Satz) Seien X ; Y ; Z 2 Z; XYZ 6= 0; n 3, dann gilt X n + Y n 6= Z n (1)

4 In moderner Schreibweise: Theorem (Fermats letzter Satz) Seien X ; Y ; Z 2 Z; XYZ 6= 0; n 3, dann gilt X n + Y n 6= Z n (1) Der Satz konnte erst 1993 von Andrew Wiles bewiesen werden.

5 Angenommen (X ; Y ; Z ; n) ist Losung fur (1), n = a b mit a; b 2 Z. Wegen X n + Y n = X a b + Y a b = (X a ) b + (Y a ) b = X b a + Y b a sind (X a ; Y a ; Z a ; b) und (X b ; Y b ; Z b ; a) ebenfalls Losungen. ) Es genugt (1) fur Primzahlen und fur n = 4 zu untersuchen. Fermat lieferte selbst Beweise fur n = 3; 4, konnen daher annehmen: n = p > 3 eine Primzahl.

6 Wir unterscheiden zwei Falle: 1. Fall: X p + Y p = Z p mit p - XYZ. 2. Fall: X p + Y p = Z p mit p j XYZ. Von jetzt an der 1. Fall. Sei (X ; Y ; Z ; p) eine Losung und = exp( 2i ) p te primitive p Einheitswurzel in C, dann gilt: X p + Y p = p Y1 i=0 (X + i Y ) ) X p + Y p zerfallt uber Q() (sogar uber Z[]) in Linearfaktoren.

7 Notation: K := Q(); K + := Q( + 1 ). O K = Z[] = f P p 2 i=0 a i i : a i 2 Zg. E K = (O K ) = f" k : " reelle Einheit ; 0 k p 1g. G := Gal(K : Q) = f i : 7! i : i = 1; : : : ; p 1g. C := Cl(K ) sei die Klassengruppe von K. C := C =C +, wobei C + := Cl(K + ). h := jcj. h := jc j. C p sei die p-sylowgruppe von C.

8 Theorem (Eichler, 1965) Falls eine nichttriviale Losung (X ; Y ; Z ; p) im ersten Fall existiert, dann gilt: p bp pc 1 j h.

9 Beweis des Satzes Via Kontraposition. Sei - (X ; Y ; Z ; p), p > 3, Losung fur den 1. Fall. - ggt(p bp pc 1 ; h ) = p s - s < b p pc 1

10 Fasse Z als Hauptideal (Z ) auf: p Y1 i=0 (X + i Y ) = (Z ) p als Gleichung von Idealen. Lemma (X + i Y ), i = 0; : : : ; p 1, sind paarweise teilerfremd. (Z ) p ist eine p-te Potenz ist ) Die (X + i Y ) sind p-te Potenzen. Seien a i, i = 0; : : : ; p 1, so dass a p i = (X + i Y ).

11 Nach Annahme: jc p j = p s. Konnen folgende Operation von (Z=p s Z)[G ] auf C p p X1 Setze r := b p pc a i i ; J M := 1 und! ( r X Y p P 1 p 1 7! J a i i := a i i : 0 a i p 1 i (J) a i ) denieren jmj = p r > p s = jc p j ) Es ex. 2 M, 6= 0, s.d. a 1 2 C+.

12 Es existiert ein Ideal S mit S = S und 2 Z[]: a 1 = ()S ) (X + Y ) = () p S p Es folgt: S p ist Hauptideal: S p = (); 2 K +. Sei = P r a i i. Schreibe die Gleichung wieder als Zahlen: ry (X + i Y ) a i = u p ; mit u 2 E K

13 Komplexe Konjugation liefert: ry X + i Y X + i Y ai u p = u p ; da = - Falls = P p 2 i=0 i i, dann p P p 2 i=0 p i p mod p. - u u = k fur ein k, nach Struktur von E K. ) ) ry ry X + i ai Y X + i k mod p Y X + i ai Y n mod p; n = k Y + i X rx ia i

14 F (T ) := G (T ) := ) F () = G () n mod p. ry ry X + T i a i Y Y + T i a i X ) Es existieren Q(T ); R(T ) 2 Z(T ), mit F (T ) = G (T )T n + pq(t ) + (T )R(T )

15 1 beide Seiten mit (1 T ) multiplizieren. 2 nach T ableiten 3 wieder T = setzen 4 beide Seiten modulo p rechnen. Erhalten: (1 )F 0 () F () (1 )(n n 1 G () + n G 0 ()) n G () mod p

16 F () ist nach Konstruktion Einheit in Z[] mod p: (1 F 0 () ) F (1 () )n 1 + (1 G 0 () ) G () mod p (2) Es gilt: F 0 () F () = G 0 () G () = rx rx ia i i 1 Y X + i Y ia i i 1 X Y + i X (3)

17 Einsetzen von (3) in (2): rx (1 ) ia i i Y X + i Y X Y + i X (1 )n mod p (4) Wir wollen nun die Nenner eliminieren, um eine Darstellung in der Z-Basis f1; ; : : : ; p 2 g zu erhalten. Daher multiplizieren wir beide Seiten von (4) mit Q r (X + i Y )(Y + i X ).

18 Die linke Seite wird zu: (1 )(Y 2 X 2 ) rx ia i i Y j6=i (X + j Y )(Y + j X ) i Q j6=i (X + j Y )(Y + j X ) ist ein Polynom in vom Grad i + 2 rx j=1 j 2i = i + r (r + 1) ) Die linke Seite hat als Polynom in einen Grad von hochstens r (r + 1) 1. mit fuhrendem Koezient a i0 i 0 (XY ) m (X 2 Y 2 ). (i 0 der kleinste Index mit a i0 6= 0, m > 0)

19 Die rechte Seite wird zu: n(1 ) ry (X + i Y )(Y + i X ); ) Die rechte Seite hat als Polynom in einen Grad von 1 + r (r + 1) mit fuhrendem Koezient n(xy ) r(r+1) 2. p Da 1 + r (r + 1) = 1 + p p < p 1, mussen auf beiden Seiten entsprechende Koezienten kongruent modulo p sein. r(r+1) ) n(xy ) 2 0 mod p; d.h. n 0 mod p

20 Es folgt (1 )(Y 2 X 2 ) rx ia i i Y j6=i (X + j Y )(Y + j X ) 0 mod p Insbesondere a i0 i 0 (XY ) m (X 2 Y 2 ) 0 mod p ) X 2 Y 2 mod p ) X Y mod p Wegen Symmetrie gilt auch X Z mod p. Aus X p + Y p = Z p folgt dann X p 0 mod p. Widerspruch! 2

21 Kummer lieferte bereits 1850 einen Beweis fur den ersten Fall, falls p - h. Fur diese Bedingung gab er folgendes Kriterium an: Denition Deniere die Bernoullizahlen B n, n 0, als das n!-fache der Koezienten in der Potenzreihenentwicklung von X e X 1 = Der Irregularitatsindex von p ist 1X n=0 B n X n n! X e X 1 : i (p) := jfb 2k : p j num(b 2k ); 2k = 2; 4; : : : ; p 3gj

22 Theorem (Kummer) i (p) = 0 ) p - h. Gibt es fur Eichlers Satz eine ahnliche Aussage? Sei jc p j = p s, R = (Z=p s Z)[G ] und ^G = f! i : i = 1; : : : ; p 1g die Charaktergruppe zu G. Denition " i := 1 p 1 in R. P 2G!i () 1 ; i = 1; : : : ; p 1 sind die Idempotenten

23 Lemma Es gilt: 1 " 2 i = " i 2 " i " j = 0; i 6= j P p 1 3 " i = 1 4 " i =! i ()" i Fur den R-Modul C p folgt: C p = p M1 C i ; C i := C " i p

24 Theorem (Herbrand) Fur ungerade i, 3 i p 2, gilt: C i 6= 0 ) p j num(b p i ) Theorem (Ribet) Fur ungerade i, 3 i p 2, gilt: p j num(b p i ) ) C i 6= 0

25 Lemma C p = L Somit: C i i unger. i (p) = jfc i 6= 0 : i ungeradegj. p i(p) jc p j

26 Betrachte jetzt wieder die a i, i = 1; : : : ; p 1, mit a p = (X + i Y ). Sei A die von a i 1 ; : : : ; a p 1 erzeugte Untergruppe in C p. Da a i = a i 1, gilt: A = M i unger. < a " i 1 > Hier: < x >= zyklische Gruppe erzeugt von x.

27 Sei ja j = p t. Wir haben folgendes gezeigt: t = jfi ungerade : a " i 1 jfi ungerade : C i 6= 0g = i (p) 6= 0g Falls wir nun i (p) < b p P pc 1 fordern, gilt auch t < r = b p pc 1 r und wir nden ein = a i i 2 R: a 1 2 C+. Ab dann konnen wir wie Eichler verfahren:

28 Theorem (Eichler, Brucker, Iwasawa, Skula) Falls eine nichttriviale Losung (X ; Y ; Z ; p) im ersten Fall existiert, dann gilt: i (p) b p pc 1

29 L.C. Washington, Introduction to cyclotomic elds, Springer, NY, P. Ribenboim, 13 lectures on Fermat's last theorem, Springer, NY, 1979.