Klausur zur Digitalen Kommunikationstechnik

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1 Klausur zur Digitalen Kommunikationstechnik Prof. Dr. Henrik Schulze, Fachhochschule Südwestfalen, Standort Meschede 16. Januar 2015 Name Matr.-Nr. Vorname Unterschrift Aufgabe Summe Note Punkte Die Klausur umfasst 4 Aufgaben. Insgesamt sind 48 Punkte erreichbar. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Erlaubtes Hilfmittel (neben Schreib- und Zeichengerät): Ein Taschenrechner. Die Folien der Vorlesung mit Notizen. Ausdrücklich verboten sind Lösungen zu den Übungsaufgaben! Eingeschaltete Kommunikationsgeräte (z.b. Mobiltelefone) müssen als Täuschungsversuch gewertet werden. Verwenden Sie bitte ausschließlich das bereit gestellte Papier.

2 1. Faltungscode: Ein Faltungscode ist gegeben durch seine Generatoren (4,7) oct Σ 1 = 12P (a) Encoder-Schaltung: (3 P) Datenbits Codebits (b) Skizzieren Sie das Zustandsdiagramm (wahlweise aufgeschnitten oder auch nicht) und bestimmen Sie daraus die freie Distanz d free! Wieviel db beträgt der asymptotische Gewinn G a?: (3 P) a) 10 1/11 0/01 0/ / / /11 b) 1/ /00 1/11 0/01 0/ d free = 4 G a = d free R c = 4 2 = 3dB (c) Fehler-Ereignisse mit d = d free und d = d free + 1. Wie viele davon gibt es und wie viele Fehler gehören jeweils dazu? Wie lauten die zugehörigen Koeffizizienten c d? (3 P) d free = 4, c 4 = 1+2 = 3, c 6 = 0 (d) Näherungsformel für die Bitfehlerrate: (3 P) P b erfc 4 2 E b

3 2. Effizienzvergleich: Bei einer Richtfunk-Übertragung mit 64-QAM beträgt die Bitrate R 64 QAM = 10 Mbit/s bei einer Bandbreite von B 64 QAM = 2 MHz. (a) Wie groß ist der Rolloff-Faktor α des verwendeten Nyquist-Filters? Symbolrate: T 1 S = s 1 Bandbreite: B = 1+α 2MHz = (1+α) 10 T S s 1 1 = 5 6 (1+α) Rolloff: (4 P) α = 1 5 = 20% (b) 4-QAM: Welche Datenraten könnte man bei gleicher Sendeleistung mit (uncodierter) 4-QAM übertragen? Welche Bandbreite würde dafür mit dem in (a) ermittelten Rolloff-Faktor α benötigt? Die Leistungseffizienz ist um den Faktor 7 höher als bei 64-QAM Datenrate R 4 QAM = 7 10Mbit/s = 70Mbit/s. Bandbreite B 4 QAM = 3 7 2MHz = 42MHz. (4 P) (c) Faltungscode: Welche Datenraten könnte man bei gleicher Sendeleistung mit dem Faltungscode (5,7) oct und 4-QAM übertragen? Welche Bandbreite würde dafür mit dem in (a) ermittelten Rolloff- Faktor α benötigt? 4-QAM: Die Leistungseffizienz ist um den Faktor 5/2 höher als bei 4-QAM Datenrate R codiert = Mbit/s = 175Mbit/s. Bandbreite B codiert = MHz = 210MHz. (4 P)

4 3. 8-QAM: Die Signalkonstellation einer 8-QAM ist durch 8 Punkte in der Ebene gegeben, die man als die Spaltenvektoren s i (i = 1,2,...,8) der folgenden Matrix darstellen kann: ( ) S = δ Hierbei ist δ > 0 ein Parameter. (a) Skizzieren Sie das Konstellationsdiagramm in der Ebene! y/δ x/δ (b) Drücken Sie die mittlere Energie E S der Signalkonstellation sowie die mittlere Bitenergie E b durch den Parameter δ aus! E S = (1+ 3) 2 8 = (1+ 12 ) (1+ 3) 2 ( = 3+ ) 3 δ 2 δ 2 δ 2 (4 P) E S = ( 3+ ) 3 δ δ 2 E b = E S /3 = 3+ 3 δ δ 2 3 (4 P) (c) Wie lautet die höchste auftretende Paarfehlerwahrscheinlichkeit (im AWGN-Kanal) P(s i s k ) (i k) als Funktion von E b /? Um wieviel ist die Leistungseffizienz dieses Verfahrens (asymptotisch) besser oder schlechter als 4-QAM? δ 2 = = E b E b = 1 2 (3 3)E b 0.63E b Pr(s 1 s 2 ) = 1 2 erfc δ 2 ( = 1 2 erfc 0.63 E b Also: Nur 63% der Leistungseffizienz von 4-QAM (d.h. -2 db) (4 P) )

5 4. Paarfehlerwahrscheinlichkeiten: Bei einem digitalen Übertragungsverfahren gibt es 4 mögliche Sendesignale s 1,s 2,s 3,s 4, die gegeben sind als die Spaltenvektoren der folgenden Matrix: [ ] 1 s1 s 2 s 3 s = ES (a) Wieviel Datenbits kann man bei diesem Verfahren pro Sendevektor übertragen? Vier Signale => 2 Bits (2 P) (b) Bei einer Übertragung im AWGN-Kanal wird der durch Rauschen gestörte Spaltenvektor r = ( ) T empfangen. Welches Signal wurde am wahrscheinlichsten gesendet? r T [ s 1 s 2 s 3 s 4 ] = [ ] Also wurde s 4 am wahrscheinlichsten gesendet (max. Skalarprodukt) (4 P) (c) Geben Sie die größte auftretende Paarfehlerwahrscheinlichkeit (im AWGN-Kanal) P(s i s k ) (i k) als Funktion von E b / an. Um wieviel ist dieses Verfahren bezüglich der Leistungseffizienz (asymptotisch) besser oder schlechter als BPSK? Die Signalenergie ist s i 2 = E S für i = 1,2,3,4. Lösungsweg 1: Es gilt (6 P) s 1 s 3 = 0 und s 2 = s 1 und s 4 = s 3 Daraus ergibt sich folgendes Bild: s = 2ES s 3 s s Man erkennt schon aus dem Bild, dass diese Konstellation geometrisch äquivalent zu einer QPSK ist. Aus dem Bild sieht man, dass folgende Distanzen auftreten: 2 13 = 2 23 = 2 24 = 2 41 = 2E S und 2 12 = 2 34 = 2 E S Lösungsweg 2: Ohne Bild kann aber auch die Distanzen ausrechen. Man erhält für die kleinste Distanz: (2 13 ) 2 = s 1 s 3 2 = s 2 1 +s2 3 s 1 s 3 = E S +E S 0 = 2E S 2 13 = 2 23 = 2 24 = 2 41 = 1 2 E S = E b. Die Paarfehlerwahrscheinlichkeit zu dieser kleinsten Distanz ist P(s 1 s 3 ) = 1 2 erfc 2 12 = 1 2 erfc Eb.

6 Die (asymptotische) Leistungseffizienz ist also die selbe wie bei BPSK und QPSK 1. 1 Wenn man auch Gray-Codierung verwendet, ist sogar die Bitfehlerwahrscheinlichkeit exakt identisch. Aber darüber war in der Aufgabenstellung nichts gesagt.