2.Übung Werkstoffmechanik Prof. K. Weinberg Universität Siegen Lehrstuhl für Festkörpermechanik

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Oswalda Schuler
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1 Hookesches Gesetz.Übung Werkstoffmechanik Aus der lastostatik ist das Hookesche Gesetz im -dimensionalen Raum bekannt. σ = ε Wobei σ die Spannung, das lastizitätsmodul und ε die Dehnung oder allgemeiner die erzerrung ist. Leider lässt sich nur eine Richtung beschreiben. Um diese inschränkung zu beseitigen, müssen wir den Zusammenhang von Spannungen und Dehnungen dreidimensional beschreiben. Das Ziel ist also eine Gleichung in folgender Weise: Spannungstensor σ σ ij = C ijkl ǫ kl Spannungsvektor t = df da t ist abhängig von n und hat zwei Komponenten (Normal- und Schubspannung) Für drei senkrechte Schnitte bzgl. des x-y-z-systems lassen sich die drei Spannungsvektoren t mit ihren drei Komponenten als Matrix schreiben. σ xx τ xy τ xz σ ij = τ yx σ yy τ yz Spannungstensor τ zx τ zy σ zz Momentengleichgewicht führt zu Symmetrie (τ xy = τ yx usw.) mit x =, y = und z = 3 als Indizes auch σ, σ, σ 3 usw. oder allgemein σ ij mit i,j=,,3. erzerrungstensor ε u, v, w erschiebungskomponenten eines Punktes Bewegung setzt sich aus Translation, Rotation und erformung zusammen Spannungen werden nur durch erformung bewirkt erformungen setzen sich aus Längen- und Winkeländerungen (Dehnungen und Gleitungen) zusammen und heißen allgemein erzerrungen Beispiel Dehnungen und ε = du dx (D) l = u(l) u() = l ε(x) dx damit für den 3-dimensionalen Fall = ε xx, v y = ε yy, w z = ε zz l maik.dittmann@uni-siegen.de 7. April 3

2 Beispiel Gleitungen in der x-y-bene y dy γ xy dy γ xy tan γ = dy y dy = y etwas allgemeiner α = y γ xy = α + β = y + v durch ertauschen von x, y und u, v γ yx = v + y = γ xy (*) β = v allerdings ist noch eine Drehung enthalten, also γ xy mit γ xy = ( y + v ) γ xy damit ist ǫ ij im Dreidimensionalen ε xx γ xy γ xz ε xx ε xy ε xz ǫ ij = γ yx ε yy γ yz = ε yx ε yy ε yz γ zx γ zy ε zz ε zx ε zy ε zz maik.dittmann@uni-siegen.de 7. April 3

3 mit ε xy = ε yx, ε xz = ε zx und ε yz = ε zy (in Analogie zu (*)) und mit x =, y = und z = 3 ǫ = ǫ ij (i,j=,,3) Hooke im 3-Dimensionalen Fall Allgemein hängen die Spannungen von der Dehnung ab. Zusammenhang durch lastizitätstensor C ijkl σ ausgeschrieben σ ij = σ ij (ǫ kl ) σ ij = C ijkl ǫ kl σ = C ε + C ε + C 3 ε 3 + C ε +C ε + C 3 ε 3 + C 3 ε 3 + C 3 ε 3 + C 33 ε 33 wegen σ ij = σ ji und ε kl = ε lk (Symmetrie) ist auch bei C ijkl ertauschen erlaubt. C ijkl = C jikl = C ijlk = C jilk s kann σ mit C =, C =, C 33 = 3, (C 3 + C 3 ) = C 3 = 4, (C 3 + C 3 ) = C 3 = 5 und (C + C ) = C = 6 σ = ε + ε + 3 ε ε ε ε umgeschrieben werden und das Hookesche Gesetz in der 3-dimensionalen Form dann folgendermaßen in Matrixform ausgedrückt werden. σ ε σ ε σ 33 σ = ε ε 3 σ ε 3 σ Aufgabe : Bestimmen Sie für eine einfache Scherung (mit Scherwinkel θ) eines Metallblockes (siehe Abb. ) mit der gegebenen isotropen lastizitätsmatrix den Spannungszustand. Dazu ermitteln Sie zuerst den erschiebungsvektor u = x X und daraus dann den zugehörigen erzerrungstensor ǫ ij. Hierbei sind die Konstanten,, 44 als bekannt vorausgesetzte Materialparameter. Für diese gilt mit dem lastizitätsmodul und der Querkontraktion ν: = ( ν) ( + ν) ( ν), = ε ν ( + ν) ( ν), 44 = ( + ν) maik.dittmann@uni-siegen.de 7. April 3

4 X, x L Ω X x Ω t θ X, x L Abbildung : Illustration der beschriebenen Scherung Die Konstante 44 spiegelt hier die wichtige Relation G = / ( + ν) zum Schubmodul G wider. Der betrachtete Metallblock hat die Abmessungen L L L 3. Ω stellt hier die Ausgangskonfiguration (mit Ortsvektor X) des Metallblocks und Ω t steht für den deformierten Block (mit Ortsvektor x). xkurs: Formänderungsenergie Die Formänderungsenergiedichte w f entspricht der auf das olumenelement d bezogenen Arbeit, die von den Spannungen σ mit den erzerrungen ε geleistet worden ist. w f = ε ij σ ij d ε ij (*) Da die inneren Kräfte konservativ und wegunabhängig sind, stellt w f ein Potential dar. Seine Änderung heißt spezifische Formänderungsenergiedichte, und für sie gilt: d w f = σ ij d ε ij = w f ε ij d ε ij womit für die Spannungen folgt: σ ij = w f ε ij Die Formänderungenergiedichte w f errechnet sich mit (*) und σ ij = C ijkl ε kl w f = C ijkl ε ij ε kl d ε ij = C ijkl ε kl ε ij = σ ij ε ij Die Formänderungsenergie W i im allgemeinen räumlichen Spannungszustand lässt sich als Summe der einzelnen Normal- und Schubspannungsanteile integriert über das olumen schreiben (γ xy = ε xy usw.): W i = σ ij ε ij d = [ σ xε x + σ yε y + σ zε z + τ xyγ xy + τ yzγ yz + τ xzγ xz] d maik.dittmann@uni-siegen.de 7. April 3

Die obige Gleichung geht als Funktion der Spannungen σ mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes in die Form [ ( W i = σ x + σy + ) ν ( ) ( σ z σx σ y + σ y σ z + σ z σ x + τ G xy + τyz + τ ) ] xz d über und

5 Man bedenke hierbei, dass σ d A eine Kraft und ε d x eine entsprechende Längennderung beschreiben. Somit ist deren Produkt gerade σ ε d A d x = σ ε d. Dieses entspricht der ursprünglichen Definition von W i als die Arbeit einer Kraft. Die obige Gleichung geht als Funktion der Spannungen σ mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes in die Form [ ( W i = σ x + σy + ) ν ( ) ( σ z σx σ y + σ y σ z + σ z σ x + τ G xy + τyz + τ ) ] xz d über und kann mit den Hauptspannungen folgendermaßen formuliert werden: W i = [ ( σ + σ + σ3) ν ( ) ] σ σ + σ σ 3 + σ σ 3 d Aufgabe : (Formänderungsenergie) (a) Berechnen Sie die elastische Formänderungsenergie, die zwei hochfeste Stahlschrauben A und B unter der Last P höchstens aufnehmen können. Schraube A hat den Durchmesser d A bei einer Länge a. Im Gewindebereich hat die Schraube den kleinsten Durchmesser d A über der Länge a. Schraube B hat über die gesamte wirkende Länge b = a + a einen reduzierten Durchmesser d B, siehe Abb.. (b) Berechnen Sie die elastische Formänderungsenergie eines Kragträgers der Länge L unter konstanter Streckenlast q und konstantem I. (c) Zeigen Sie mit Hilfe der spezifischen Formänderungsenergiedichte, dass die Hookesche Matrix symmetrisch ist. Gegeben: St = 3 MPa, σ F = 3 MPa, d A = mm, d A = 8 mm, d B = 8 mm, a = 5 mm, a = 6 mm, b = 56 mm, q und I. Abbildung : Geometrische Abmessungen der Schrauben A und B Abbildung 3: Darstellung eines durch eine konstante Streckenlast q belasteten Kragträgers maik.dittmann@uni-siegen.de 7. April 3

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