12 Rangtests zum Vergleich zentraler Tendenzen

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1 12 Rangtests zum Vergleich zentraler Tendenzen 12.1 Allgemeine Bemerkungen 12.2 Gepaarte Stichproben: Der Wilcoxon Vorzeichen- Rangtest 12.3 Unabhängige Stichproben: Der Wilcoxon Rangsummentest und der Mann Whitney U Test Appendix A: Mann Whitney U Test mit SPSS Appendix B: Übersicht der Testverfahren 12.1 Allgemeine Bemerkungen Warum Rangtests? 1. Der z Test ist nur für große Stichprobenumfänge anwendbar (aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes). 2. Der t Test setzt insbesondere normalverteilte Merkmale voraus. StatBio 357

2 Rangtests verzichten auf die Normalverteilungsannahme (wie der z Test auch) und sind insbesondere für kleine Stichprobenumfänge geeignet. Folgende Hypothesen werden betrachtet: Nullhypothese: Grundgesamtheit 1 und Grundgesamtheit 2 besitzen gleiche Verteilungen (damit besteht insbesondere kein Unterschied in der zentralen Tendenz). Alternative: Wenn ein Unterschied zwischen den Verteilungen zweier Grundgesamtheiten besteht, dann soll dieser Unterschied in der zentralen Tendenz zum Ausdruck kommen (annähernd gleiche Streuung, ähnliche Verteilungsformen). StatBio 358

3 12.2 Gepaarte Stichproben: Der Wilcoxon Vorzeichen Rangtest Sei (X 1, X 2 ) ein metrisch skaliertes Merkmalspaar. Man möchte wissen, ob die Ausprägungswerte von X 1 tendenziell kleiner oder größer als die Ausprägungen des zugehörigen Paarwertes X 2 sind. Wiederum von Interesse ist die Paardifferenz X 1 X 2 Bezeichne med X1 X 2 den Populations Median der Paardifferenzen. Gilt med X1 X 2 > 0, so sind die Ausprägungen von X 1 tendenziell größer als die Ausprägungen des zugehörigen Paarwertes X 2. Gilt med X1 X 2 < 0, so sind die Ausprägungen von X 1 tendenziell kleiner als die Ausprägungen des zugehörigen Paarwertes X 2. StatBio 359

4 Gilt med X1 X 2 = 0, so besteht keine solche Tendenz. Die Ausprägungswerte von X 1 X 2 können positiv wie negativ sein; weder positive noch negative Werte sollten überwiegen. Verteilungsannahme: Das Merkmal X 1 X 2 ist stetig und symmetrisch um den Populations Median med X1 X 2 verteilt. Betrachtet werden die Testprobleme (A) zweiseitig H 0 : med X1 X 2 = 0, H 1 : med X1 X 2 0 (B) einseitig H 0 : med X1 X 2 0, H 1 : med X1 X 2 > 0 (C) einseitig H 0 : med X1 X 2 0, H 1 : med X1 X 2 < 0 StatBio 360

5 Sei (x 11, x 21 ),..., (x 1n, x 2n ) eine gepaarte Stichprobe vom Umfang n. Um Unterschiede festzustellen, werden wie beim z bzw. t Test auch die Paardifferenzen d i = x 1i x 2i, i = 1,..., n betrachtet. Der Wilcoxon Rangtest für gepaarte Stichproben (Wilcoxon matched pairs rank test), auch Wilcoxon Vorzeichen Rangtest (Wilcoxon signed rank test) genannt, funktioniert nach folgendem Schema: 1. Die Paardifferenzen d i = x 1i x 2i, i = 1,..., n werden gebildet. Annahme: d i 0 für i = 1,..., n (siehe nachfolgende Bem (ii)). StatBio 361

6 2. Den Absolutbeträgen der Paardifferenzen d 1,..., d n werden Ränge zugeordnet: 1 R i = Rang( d i ), i = 1,..., n 3. Dann werden zwei Rangsummen gebildet: Die Summe der Ränge, die einer positiven Paardifferenz zugeordnet sind und die Summe der Ränge, die einer negativen Paardifferenz zugeordnet sind: R + = i:d i >0 R i und R = i:d i <0 R i Unter H 0 wird erwartet, dass diese Rangsummen annähernd gleich groß sind: R + R 1 Per Definition ist d i = d i, falls d i > 0 und d i = d i, falls d i < 0. StatBio 362

7 4. Die Wilcoxon Teststatistik ist die kleinere der beiden Rangsummen: w = min(r +, R ) Die Verteilung von w unter H 0 hängt nicht von der Verteilung der Paardifferenzen X 1 X 2 ab (,,verteilungsfrei )(!) und kann mittels kombinatorischer Überlegungen bestimmt werden. 5. Der Prüfgrößenwert w wird mit einem kritischen Wert w krit ( Tab. 12 1) verglichen. Ist ein Testniveau α vorgegeben, so lauten die Testentscheidungen wie folgt: (A) Zweiseitige Alternative: H 1 : med X1 X 2 0 Ablehnung von H 0, falls w w n;α/2 StatBio 363

8 (B) Einseitige Alternative: H 1 : med X1 X 2 > 0 Unter H 1 werden mehr positive als negative Differenzen erwartet und damit R + > R Ablehnung von H 0, falls w = R w n;α (C) Einseitige Alternative: H 1 : med X1 X 2 < 0 Unter H 1 werden mehr negative als positive Differenzen erwartet und damit R > R + Ablehnung von H 0, falls w = R + w n;α StatBio 364

9 12.1 Bemerkung: (i) Kommt bei den Differenzen d 1,..., d n ein Absolutwert mehrfach vor (sogenannte Bindung), so erhalten die numerisch gleich großen Einzelwerte als Rangzahl den Durchschnittsrang. Bindungen beeinflussen den Wert von R + bzw. R nur dann, wenn sie zu Differenzen mit unterschiedlichen Vorzeichen gehören. (ii) Sollten Paardifferenzen gleich Null sein, so ist es üblich, diese einfach wegzulassen. 2 Das heißt, der Wilcoxon Vorzeichen Rangtest basiert immer auf Paardifferenzen d i 0. Die Anzahl der Paare, die beim Wilcoxon Vorzeichen Rangtest Berücksichtigung finden, ist m = n Anzahl der Differenzen d i mit d i = 0 2 Dies ist ein Auswertungsnachteil, da gerade diese Werte für die Gültigkeit der Nullhypothese sprechen würden. StatBio 365

10 Tabelle 12 1 Kritische Werte w m;α für den Wilcoxon Vorzeichen Rangtest mit α = 0.1, 0.05, 0.02 und m = Anzahl der α Differenzen Fortsetzung nächste Seite! StatBio 366

11 m = Anzahl der α Differenzen StatBio 367

12 Fortsetzung von Beispiel 11.1: Es soll auf die Normalverteilungsannahme verzichtet werden. Man möchte feststellen, ob eine spezielle Diät zu einer Gewichtsabnahme führt. Bei 10 Personen wurde das Gewicht (in kg) vor der Diät (x 1i ) und nach der Diät (x 2i ) gemessen. Sei d i = x 1i x 2i, i = 1,..., 10. Person x i1 x 2i d i d i R i Vorzeichen Man vermutet von vornherein eine Gewichtsreduzierung durch die Diät. Betrachtet wird daher StatBio 368

13 das einseitige Testproblem H 0 : med X1 X 2 = 0, H 1 : med X1 X 2 > 0 Das Testniveau sei α = Es gilt R + = =53.5 und R = 1.5 Rechenkontrolle: Es muss gelten Gesamtsumme der Ränge = In Bsp ist m = 10: m (m + 1) 2 = m 10 i=1 R i = R + + R = = 55 StatBio 369

14 und = = 55 Unter H 0 hätte man erwartet, dass R + und R in der Nähe von 55/2 = 27.5 liegen. Wegen w = min(53.5, 1.5) = 1.5 < 8 = w 10;0.05 (siehe Tab. 12 1) kann die Nullhypothese H 0 zum Niveau 0.05 abgelehnt werden Bemerkung: Für m > 30 ist unter H 0 die standardisierte Wilcoxon Rangsumme w + = R + m(m+1) 4 m(m+1)(2m+1) 24 (11.1) näherungsweise standardnormalver- unter H 0 teilt. StatBio 370

15 Ein Prüfgrößenwert w + spricht gegen H 0, falls im zweiseitigen Fall (A) w + z 1 α/2 oder w + z 1 α/2 in den einseitigen Fällen (B) und (C) bzw. w + z 1 α w + z 1 α gilt. (Die kritischen Werte sind wieder Quantile der Standard Normalverteilung, Tab. 10.1, letzte Zeile.) Liegen Bindungen vor, so wird die Prüfgröße (11.1) häufig korrigiert, um die Annäherung an die Standard Normalverteilung zu verbessern. StatBio 371

16 12.3 Unabhängige Stichproben: Der Wilcoxon Rangsummentest und der Mann Whitney U Test Voraussetzung: Zwei Merkmale X 1 und X 2 sind metrisch skaliert und stetig verteilt. Man möchte wissen, ob die Ausprägungswerte von X 1 (Grundgesamtheit 1) tendenziell kleiner oder größer als die Ausprägungswerte von X 2 (Grundgesamtheit 2) sind. Formaler: Bezeichnet med 1 und med 2 den Median von Grundgesamtheit 1 bzw. 2, so betrachtet man Testprobleme (A) zweiseitig H 0 : med 1 = med 2, H 1 : med 1 med 2 (B) einseitig H 0 : med 1 med 2, H 1 : med 1 > med 2 StatBio 372

17 (C) einseitig H 0 : med 1 med 2, H 1 : med 1 < med 2 Seien x 11,..., x 1n1 (Stichprobe 1) und x 21,..., x 2n2 (Stichprobe 2) zwei unabhängige Stichproben. Die Herleitung einer Prüfgröße ist einfach. 1. Man betrachtet die vereinigte Stichprobe x 11,..., x 1n1, x 21,..., x 2n2 und bildet die Ränge bezüglich der vereinigten Stichprobe. StatBio 373

18 2. Man berechnet Rangsummen: Man addiert die Ränge auf, die zur Stichprobe 1 gehören, R 1 = Rang(x 11 ) Rang(x 1n1 ) und man addiert die Ränge auf, die zur Stichprobe 2 gehören, R 2 = Rang(x 21 ) Rang(x 2n2 ) Da R 1 + R 2 die Gesamtsumme der Ränge ist, R 1 + R 2 = (n 1 + n 2 ) = (n 1 + n 2 ) (n 1 + n 2 + 1) 2 (dies kann als Rechenkontrolle dienen), gilt zwischen R 1 und R 2 die lineare Beziehung R 2 = (n 1 + n 2 ) (n 1 + n 2 + 1) 2 R 1 StatBio 374

19 Gilt med 1 > med 2, so sind in Stichprobe 1 tendenziell größere Werte als in Stichprobe 2 zu erwarten. Folglich ist R 1 > R 2 zu erwarten. Gilt med 1 < med 2, so sind in Stichprobe 1 tendenziell kleinere Werte als in Stichprobe 2 zu erwarten. Folglich ist R 1 < R 2 zu erwarten. Unter H 0 zeigt sich keine solche Tendenz und die beiden Rangsummen R 1 und R 2 werden annähernd gleich groß sein. Wilcoxon Rangsummentest Dieser Test verwendet die Prüfgröße R 1 (genauso gut kann als Prüfgröße R 2 gewählt werden). Testentscheidung: (A) zweiseitige Alternative H 1 : med 1 med 2 Ablehnung von H 0 zum Niveau α, falls R 1 unterer kritischer Wert StatBio 375

20 oder R 1 oberer kritischer Wert (B) einseitige Alternative H 1 : med 1 > med 2 Ablehnung von H 0 zum Niveau α, falls R 1 oberer kritischer Wert (C) einseitige Alternative H 1 : med 1 < med 2 Ablehnung von H 0 zum Niveau α, falls R 1 unterer kritischer Wert Die kritischen Werte hängen von n 1, n 2 und α ab und sind in Tabellen wiedergegeben. StatBio 376

21 Mann Whitney U Test Dieser Test betrachtet die folgenden Prüfgrößen: U 1 = n 1 n 2 + n 1 (n 1 + 1) 2 R 1 und U 2 = n 1 n 2 + n 2 (n 2 + 1) 2 R 2 Es gilt stets U 1 + U 2 = n 1 n 2 Die eigentliche Prüfgröße ist dann U = min(u 1, U 2 ) (Mann Whitney U Statistik). Es gilt stets 0 U n 1 n 2 StatBio 377

22 Testendscheidung: (A) zweiseitige Alternative H 1 :med 1 med 2 Ablehnung von H 0 zum Niveau α, falls U u krit (B) einseitige Alternative H 1 : med 1 > med 2 Ablehnung von H 0 zum Niveau α, falls U = U 1 u krit (C) einseitige Alternative H 1 : med 1 < med 2 Ablehnung von H 0 zum Niveau α, falls U = U 2 u krit Die kritischen Werte hängen von n 1, n 2 und α ab und sind in Tabellen wiedergegeben. StatBio 378

23 Bemerkung: Die Prüfgröße U hat gegenüber der Verwendung der Wilcoxon Prüfgröße R 1 den Vorteil, dass man nur untere kritische Werte benötigt (aus Symmetriegründen). Man kommt also mit sparsameren Tabellen aus. Der Mann Whitney U Test und der Wilcoxon Rangsummentest sind äquivalent, d.h. beide Tests führen immer zu derselben Testentscheidung! Nächste Seite: Tabelle 12 2 Kritische Werte u krit des Mann Whitney U Tests zum Niveau α = 0.05 (zweiseitig) und zum Niveau α = (einseitig). StatBio 379

24 n 1 n Fortsetzung nächste Seite! StatBio 380

25 n 1 n StatBio 381

26 12.3 Beispiel: (siehe Kap. 1, Untersuchung über die fraßhemmmende Wirkung eines Alkaloids). Substrat S1 enthält ein bestimmtes Alkaloid, Substrat S2 nicht. Von 15 Raupen einer Insektenart (gleiches Gelege, gleicher Entwicklungsstand) werden 7 auf das Substrat S1 gesetzt und 8 auf das Substrat S2. Nach fünf Tagen wird die Gewichtszunahme (in mg) gemessen: Es gilt Gewichts Gewichts zunahme mit S1 zunahme mit S med 1 = 81 und med 2 = = 96 StatBio 382

27 Frage: Kann man aus diesem Unterschied der Mediane schon schließen, dass das Alkaloid der Grund für die Gewichtsreduzierung ist? Es soll keine Normalverteilungsannahme getroffen werden. Hier ist n 1 = 7 und n 2 = 8. Es soll nicht von vorneherein ausgeschlossen werden, dass das Alkaloid sich positiv auswirken könnte und daher wird zweiseitig getestet. Sei α = 0.05 das vorgegebene Signifikanzniveau. Zunächst wird die gesamte Stichprobe der Größe nach geordnet, die Ränge vergeben, und die Zugehörigkeit zu den Stichproben festgestellt: StatBio 383

28 Stichprobenwerte Rang Stichprobe geordnet Die Rangsummen betragen und R 1 = = 44.5 R 2 = = 75.5 StatBio 384

29 Wegen n 1 = 7 und n 2 = 8 ist U 1 = = 39.5 und U 2 = = 16.5 Kontrolle: U 1 + U 2 = = 56 = 7 8 = n 1 n 2 Die Mann Whitney U Statistik hat somit den Wert U = min(39.5, 16.5) = 16.5 Aus Tab ergibt sich der kritische Wert u krit = 10 StatBio 385

30 so dass H 0 nicht abgelehnt werden kann. Bemerkung: Kommt in der gemeinsamen Stichprobe x 11,..., x 1n1, x 21,..., x 2n2 ein bestimmter Wert mehrfach vor (Bindung), so erhalten die numerisch gleich großen Einzelwerte als Rangzahl den Durchschnittsrang. Bindungen beeinflussen den Wert von U 1 und U 2 nur dann, wenn sie zwischen den beiden Stichproben auftreten. Große Stichprobenumfänge Für große Stichprobenumfänge (n 1 > 20, n 2 > 20) kann unter H 0 die Stichprobenverteilung der standardisierten U Testtatistik annähernd durch die Standard Normalverteilung beschrieben werden. Liegen Bindungen vor, so wird die Prüfgröße häufig korrigiert, um die Annäherung an die Standard Normalverteilung zu verbessern. StatBio 386

31 Liegen keine Bindungen vor, so kann die standardisierte Prüfgröße Z = U n 1 n 2 2 n1 n 2 (n 1 + n 2 + 1) verwendet werden. In Bsp erhält man den Wert (nicht für Bindungen korrigiert) 12 Z = ( ) = StatBio 387

32 Abschließende Bemerkung: Der Vergleich von zwei (unabhängigen) Stichproben lässt sich verallgemeinern auf k Stichproben mit k > 2. Dies führt zur Varianzanalyse (analysis of variance, ANOVA). Unter einer Normalverteilungsannahme ist dies eine Verallgemeinerung des Zwei Stichproben t Tests (parametrische Varianzanalyse). Die nichtparametrische Varianzanalyse ist eine Verallgemeinerung des Mann Whitney U Tests und führt zum Kruskal Wallis Test. Appendix A: Mann Whitney U Test mit SPSS Fortsetzung von Bsp Dateneingabe: Sie erfolgt im Daten Editor Fenster nach folgendem Muster: StatBio 388

33 Befehle: Folgende Befehle sind aus der Menüleiste auszuwählen: StatBio 389

34 Analysieren Nichtparametrische Tests Zwei unabhängige Stichproben Programm Output: Output Exegese: StatBio 390

35 Im SPSS Output bedeuten: Mann Whitney U: Prüfgröße U = min(u 1, U 2 ) Wilcoxon W: Rangsumme R 1 (Prüfgröße des Wilcoxon Rangsummentests) Z: Standardisierte Prüfgröße des Mann Whitney U Tests Asymptotische Signifikanz (2 seitig): Asymptotischer p Wert (zweiseitig), genauer: = 2 Φ( 1.332) = 2 (1 Φ(1.332)) Dies entspricht annähernd dem p Wert. Exakte Signifikanz (2 seitig): p Wert (zweiseitig) p( 1.332) = StatBio 391

36 (Zur Erinnerung: Der p Wert ist die Wahrscheinlichkeit, einen im Sinne der Nullhypothese noch kleinern Prüfgrößenwert U zu beobachten als 16.5.) Wegen p > 0.05 kann H 0 nicht abgelehnt werden. p Wert (einseitig) = p Wert (zweiseitig) 2 = = Appendix B: Übersicht der Testverfahren Tests auf zentrale Tendenz: Voraussetzung: metrisch skalierte Merkmale X 1 und X 2. Abkürzung: SP=Stichprobe(n) StatBio 392

37 Gepaarte SP Name des Tests Verteilungsannahme SPder Paardifferenzen Umfang t-test für gepaarte SP normalverteilt beliebig (Ein-SP-t-Test) z-test für gepaarte SP keine groß (Ein-SP-z-Test) Wilcoxon-Vorzeichen- stetig und sym- beliebig Rangtest metrisch verteilt Unabhängige SP Name des Tests Verteilungs- SPannahme Umfang Zwei-SP-t-Test normalverteilt und beliebig Varianzhomogenität Zwei-SP-z-Test keine groß Wilcoxon-Rang- stetig verteilt beliebig summentest bzw. Mann-Whitney-U-Test StatBio 393