Perkolation Christina Sander

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1 Perkolation Christina Sander

2 Seite 2 Perkolation Christina Sander Inhalt Motivation Definitionen Kritischer Wert Boolsches Modell Anhang

3 Seite 3 Perkolation Christina Sander Motivation Inhalt Motivation Definitionen Kritischer Wert Boolsches Modell Anhang

4 Seite 4 Perkolation Christina Sander Motivation Motivation (percolation: engl. Durchsickern) Flüssigkeiten, die ein poröses Material durchdringen elektrische Leitfähigkeit von Legierungen Ausbreitung von Epidemien und Waldbränden und viele mehr

5 Seite 5 Perkolation Christina Sander Motivation Was ist Perkolation in der Mathematik? Die Perkolationstheorie beschreibt das Ausbilden von zusammenhängenden Gebieten, sogenannten Clustern, auf zufälligen Graphen.

6 Seite 6 Perkolation Christina Sander Definitionen Inhalt Motivation Definitionen Kritischer Wert Boolsches Modell Anhang

7 Seite 7 Perkolation Christina Sander Definitionen Definitionen Graph Ein Graph besteht aus einer Menge von Knoten{x 1,..., x n } und einer Menge von Kanten{e 1,..., e m }, wobei eine Kante stets zwei Knoten miteinander verbindet.

8 Seite 7 Perkolation Christina Sander Definitionen Definitionen Graph Ein Graph besteht aus einer Menge von Knoten{x 1,..., x n } und einer Menge von Kanten{e 1,..., e m }, wobei eine Kante stets zwei Knoten miteinander verbindet. Zusammenhängend Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn je zwei Knoten des Graphen über eine Folge von Kanten verbunden sind. Eine zusammenhängende Komponente innerhalb eines Graphen nennt man Cluster.

9 Seite 8 Perkolation Christina Sander Definitionen Definitionen Kantenwahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit p [0, 1], mit der eine Kante des Gitters geöffnet wird, nennt man Kantenwahrscheinlichkeit.

10 Seite 8 Perkolation Christina Sander Definitionen Definitionen Kantenwahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit p [0, 1], mit der eine Kante des Gitters geöffnet wird, nennt man Kantenwahrscheinlichkeit. Perkolationskonfiguration Die Menge aller offener Kanten wird Perkolationkonfiguration genannt.

11 Seite 9 Perkolation Christina Sander Definitionen Definitionen Gitter Z d Ein Gitter ist ein Graph G mit der Knotenmenge aller ganzzahliger Knoten, wobei ein Knoten mit seinen nächsten Nachbarn über eine Kante verbunden ist. Ist d = 2, dann heißt G = Z 2 das quadratische Gitter.

12 Seite 10 Perkolation Christina Sander Definitionen Beispiel Eine Kantenperkolation auf dem Gitter Z 2 mit p = 0, 3.

13 Seite 11 Perkolation Christina Sander Definitionen Beispiel Eine Kantenperkolation auf dem Gitter Z 2 mit p = 0, 7.

14 Seite 12 Perkolation Christina Sander Kritischer Wert Inhalt Motivation Definitionen Kritischer Wert Boolsches Modell Anhang

15 Seite 13 Perkolation Christina Sander Kritischer Wert Kritischer Wert Zentrale Fragestellung Ab welcher Wahrscheinlickeit erhält man einen unendlichen Cluster?

16 Seite 13 Perkolation Christina Sander Kritischer Wert Kritischer Wert Zentrale Fragestellung Ab welcher Wahrscheinlickeit erhält man einen unendlichen Cluster? Definition: Kritischer Wert Sei ψ(p) die Wahrscheinlichkeit, dass die Kantenperkolation auf dem Gitter Z d mit der Kantenwahrscheinlichkeit p zu einer unendlich zusammenhängenden Komponente { führt. Dann nennt man p c den kritischen Wert, wenn gilt: 0, für p < p c ψ(p) = 1, für p > p c.

17 Seite 13 Perkolation Christina Sander Kritischer Wert Kritischer Wert Zentrale Fragestellung Ab welcher Wahrscheinlickeit erhält man einen unendlichen Cluster? Definition: Kritischer Wert Sei ψ(p) die Wahrscheinlichkeit, dass die Kantenperkolation auf dem Gitter Z d mit der Kantenwahrscheinlichkeit p zu einer unendlich zusammenhängenden Komponente { führt. Dann nennt man p c den kritischen Wert, wenn gilt: 0, für p < p c ψ(p) = 1, für p > p c. Satz: Kritischer Wert Für jedes Gitter Z d (d 2) existiert ein kritischer Wert p c [0, 1].

18 Seite 14 Perkolation Christina Sander Kritischer Wert Satz vom kritischen Wert Satz vom kritischen Wert auf Z 2 Sei ψ(p) die Wahrscheinlichkeit, dass die Kantenperkolation auf dem Gitter Z 2 mit der Kantenwahrscheinlichkeit p zu einer unendlich zusammenhängenden { Komponente führt. Dann gilt: 0, für p 1 ψ(p) = 2 1, für p > 1 2. (Beweis: Harris, 1960 und Kesten, 1980)

19 Seite 15 Perkolation Christina Sander Kritischer Wert Abgeschwächte Form Proposition Für die Kantenperkolation auf dem Gitter Z 2 existiert ein kritischer Wert p c, für den gilt 1 3 p c 2 3, so dass die Wahrscheinlichkeit ψ(p) für die Existenz einer unendlichen { zusammenhängenden Komponente 0, wenn p < p c ψ(p) = 1, wenn p > p c beträgt.

20 Seite 16 Perkolation Christina Sander Kritischer Wert Äquivalente Formulierung Lemma I Für jedes p < 1 3 gilt: ψ(p) = 0.

21 Seite 16 Perkolation Christina Sander Kritischer Wert Äquivalente Formulierung Lemma I Für jedes p < 1 3 gilt: ψ(p) = 0. Lemma II Für jedes p 2 3 gilt: ψ(p) = 1.

22 Seite 16 Perkolation Christina Sander Kritischer Wert Äquivalente Formulierung Lemma I Für jedes p < 1 3 gilt: ψ(p) = 0. Lemma II Für jedes p 2 3 gilt: ψ(p) = 1. Lemma III Für jedes p ist ψ(p) entweder 0 oder 1.

23 Seite 16 Perkolation Christina Sander Kritischer Wert Äquivalente Formulierung Lemma I Für jedes p < 1 3 gilt: ψ(p) = 0. Lemma II Für jedes p 2 3 gilt: ψ(p) = 1. Lemma III Für jedes p ist ψ(p) entweder 0 oder 1. Lemma IV Seien p 1 und p 2 zwei Wahrscheinlichkeiten mit 0 p 1 p 2 1. Dann gilt ψ(p 1 ) ψ(p 2 ).

24 Seite 17 Perkolation Christina Sander Kritischer Wert Abschätzung der kritischen Werte Satz Für die kritischen Werte p c (d) auf den jeweiligen Gittern Z d gilt folgende Abschätzung: p c (2) p c (3) p c (4)...

25 Seite 18 Perkolation Christina Sander Boolsches Modell Inhalt Motivation Definitionen Kritischer Wert Boolsches Modell Anhang

26 Seite 19 Perkolation Christina Sander Boolsches Modell Boolsches Modell

27 Seite 20 Perkolation Christina Sander Boolsches Modell Boolsches Modell Kritischer Wert Für ein Boolsches Modell auf R 2 erzeugt duch einen Poisson-Prozess, Intensität λ und Radius r = 1 gilt: 0, 174 < λ c < 0, 843.

28 Seite 21 Perkolation Christina Sander Boolsches Modell Ende Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

29 Seite 22 Perkolation Christina Sander Anhang Inhalt Motivation Definitionen Kritischer Wert Boolsches Modell Anhang

30 Seite 23 Perkolation Christina Sander Anhang Beweis von Lemma I Sei p < 1 3. Z.z.: ψ(p) = 0. D.h., es existiert eine unendliche zusammenhängende Komponente. Sei x ein beliebiger Knoten und habe die Koordinaten (0,0). Sei K n = {(i, j) Z 2 : n i n, n j n}, dann ist der Rand der Menge K n : K n = {(i, j) K n : min. eine der Koordinaten i und j ist gleich -n oder n}. Sei das Ereignis, dass x in einer unendlichen zusammenhängenden Komponente liegt, mit x bezeichnet und mit x K n, dass x in einer zusammenhängenden Komponenteliegt, die mindestens einen Knoten vom Rand enthält.

31 Seite 24 Perkolation Christina Sander Anhang Beweis von Lemma I Dann gilt: P(x ) P(x K n ) Für die Anzahl der selbstvermeidenden Pfade der Länge n gilt: Für die erste Kante hat man 4 Möglichkeiten und für alle folgende jeweils 3. = min. 4 3 n 1 selbstvermeidenden Pfade von x nach K n = P(x K n ) 4 3 n 1 p n = 4 3 (3p)n. = lim n P(x K n ) = 0 = P(x ) = 0 = ψ(p) = 0, da x beliebig.

32 Seite 25 Perkolation Christina Sander Anhang Beweis von Lemma II Definition Das zu Z 2 gehörigen duale Gitter Z 2 wird durch ein um 0,5 sowohl nach oben als auch nach rechts verschobenes quadratisches Gitter definiert. Abb.: quadratisches Gitter Z 2 (schwarz) mit gehörigen duala Gitter Z 2 (weiss).

33 Seite 26 Perkolation Christina Sander Anhang Beweis von Lemma II Definition Für jede Kante ẽ des Gitters Z 2 sei ẽ offen genau dann, wenn die Kante e des Gitters Z 2, die ẽ kreuzt, geschlossen ist. Den so entstandenen Graph nennt man den dualen Perkolationsprozess. Beachte: p = (1 p) Abb.: duale Perkulationskonfiguration

34 Seite 27 Perkolation Christina Sander Anhang Beweis von Lemma II Definition Ein selbstvermeidender Pfad in Z 2 heisst Kontur, wenn jeder seiner Knoten mit höchstens zwei Kanten verbunden ist und Anfangs- und Endknoten derselbe sind.eine Kontur heisst geschlossen, wenn alle ihre Kanten vorhanden sind und sie heisst Kontur um x, wenn der Knoten x im Inneren der Kontur liegt. Abb.: Endliche zusammenhängende Komponente auf dem quadratischen Gitter mit umschliessender Kontur des dualen Perkolationsprozesses.

35 Seite 28 Perkolation Christina Sander Anhang Beweis von Lemma II Sei p > 2 3. Z.z.: psi(p) = 1. Liege der Punkt 0 im Nullpunkt des Perkolationsprozesses auf Z 2. Dann gilt: = min. n 3 n 1 Konturen der Länge n = min. n 3 n 1 (1 p) n geschlossene Konturen der Länge n um 0 = E[AnzahldergeschlossenenKonturenum0] n=1 n 3n 1 (1 p) n = n=1 n 3 (3(1 p))n <, da 3(1 p) < 1 für p < 2 3 = P (es gibt max. endlich viele geschlossene Konturen um 0) = 1

36 Seite 29 Perkolation Christina Sander Anhang Beweis von Lemma III Definition Sei A ein Ereignis, das durch endlich viele Zufallsvariablen definiert ist. A heisst terminales Ereignis, wenn es nicht durch beliebige Änderungen endlich vieler Zufallsvarbiablen beeinflusst werden kann. Kolmogorows 0-1-Gesetz Seien X 1,..., X n unanbhängige Zufallsvariablen und sei A ein terminales Ereignis definiert durch X 1,..., X n. = P(A) = 0 oder P(A) = 1. (ohne Beweis)

37 Seite 30 Perkolation Christina Sander Anhang Beweis von Lemma III Z.z.: p: ψ(p) = 0 oder ψ(p) = 1. Seien e 1, e 2, e 3... die Kanten des Gitters Z 2 mit zugehörigen Zuvallsvariablen X ei, wobei { 0, wenn die Kante e i in der Perkolationskonfiguration ist, X ei = 1, sonst. = X e1, X e2,{... sind unabhängige Zuvallsvariablen mit: 0, mit Wahrscheinlichkeit p X ei = Sei das Ereignis A = { eine 1, mit Wahrscheinlichkeit 1-p. unendliche zussammenhängende Komponente in der Perkolationskonfiguration. } Offensichtlich ist A ein terminales Ereignis und dann folgt die Behauptung als direkte Anwendung des 0-1-Gesetz von Kolmogorow.

38 Seite 31 Perkolation Christina Sander Anhang Beweis von Lemma IV Sei p 1 p 2. Z.z.: ψ(p 1 ) ψ(p 2 ). Seien e 1, e 2,... die Kanten des Gitters Z 2 mit zugehörigen U e1, U e2,... auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariablen. Seien die die zu p 1 und p 2 zugehörigen Perkolationskonfigurationen und X p 1 e = X p 2 e = { 1, für U e p 1 0, sonst { 1, für U e p 2 0, sonst.

39 Seite 32 Perkolation Christina Sander Anhang Dann gilt für jede Kante e: X p 1 e = 1 und X p 2 e = 1, wenn U e p 1 X p 1 e = 0 und X p 2 e = 1, wenn p 1 < U e p 2 X p 1 e = 0 und X p 2 e = 0, wenn p 2 < U e = X p 1 e X p 2 e D.h., jede Kante, die in der zu p 1 zugehörigen Perkolationskonfigurationen offen ist, ist auch in der zu p 2 zugehörigen Perkolationskonfigurationen offen. Mit ψ(p 1 ) = P( die p 1 -Perkolationskonfigurationen beinhaltet eine unendliche zusammenhängende Komponente) und ψ(p 2 ) = P( die p 2 -Perkolationskonfigurationen beinhaltet eine unendliche zusammenhängende Komponente) folgt dann: ψ(p 1 ) ψ(p 2 ).

40 Seite 33 Perkolation Christina Sander Anhang Literatur Olle Häggström: Streifzüge durch die Wahrscheinlichkeitstheoie. Springer (2006) Ronald Meester und Rahul Roy: Continuum Percolation. Cambridge University Press (2004)