Teubner Skripten zur Mathematischen Stochastik. Rolf Schneider und Wolfgang Weil Integralgeometrie

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1 Teubner Skripten zur Mathematischen Stochastik Rolf Schneider und Wolfgang Weil Integralgeometrie

2 Teubner Skripten zur Mathematischen Stochastik Herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. Jurgen Lehn, Technische Hochschule Darmstadt Prof. Dr. rer. nat. Norbert Schmitz, Universitat Munster Prof. Dr. phil. nat. Wolfgang Weil, Universitat Karlsruhe Die Texte dieser Reihe wenden sich an fortgeschrittene Studenten, junge Wissenschaftler und Dozenten der Mathematischen Stochastik. Sie dienen einerseits der Orientierung uber neue Teilgebiete und ermoglichen die rasche Einarbeitung in neuartige Methoden und Denkweisen; insbesondere werden Oberblicke uber Gebiete gegeben, fur die umfassende Lehrbucher noch ausstehen. Andererseits werden auch klassische Themen unter speziellen Gesichtspunkten behandelt. Ihr Charakter als Skripten, die nicht auf Volistandigkeit bedacht sein mussen, erlaubt es, bei der Stoffauswahl und Darstellung die Lebendigkeit und Originalitat von Vorlesungen und Seminaren beizubehalten und so weitergehende Studien anzuregen und zu erleichtern.

3 I ntegralgeometrie Von Prof. Dr. phil. nat. Rolf Schneider Universitat Freiburg und Prof. Dr. phil. nat. Wolfgang Weil Universitat Karlsruhe B. G. Teubner Stuttgart 1992

4 Prof. Dr. phil. nat. Rolf Schneider Geboren 1940 in Hagen/Westf. Von 1960 bis 1964 Studium der Mathematik und Physik und 1967 Promotion an der Johann-Wolfgang-Goethe-Universitat in Frankfurt am Main Habilitation an der Ruhr-Universitat Bochum Wiss. Rat und Professor an der Universitat Frankfurt und o. Professor an der Technischen Universitat Berlin, seit 1974 Professor an der Albert-Ludwigs-Universitat Freiburg i. Br. Prof. Dr. phil. nat. Wolfgang Weil Geboren 1945 in Kitzingen. Von 1964 bis 1968 Studium der Mathematik und Physik und 1968 Diplom an der Universitat Frankfurt (Main). Promotion zum Dr. phil. nat in Frankfurt. Wiss. Assistent an der Technischen Universitat Berlin und an der Universitat Freiburg Habilitation im Fach Mathematik an der Universitat Freiburg. Von 1978 bis 1980 Akad. Rat in Freiburg, seit 1980 Professor an der Universitat Karlsruhe und 1990 Gastprofessor an der University of Oklahoma, Norman, USA. Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Schneider, Rolf: Integralgeometrie I von Rolf Schneider und Wolfgang Weil. - Stuttgart: Teubner, 1992 (Teubner-Skripten zur mathematischen Stochastik) ISBN-13: DOl: / NE: Weil, Wolfgang: e-isbn-13: Das Werk einschlieblich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschotzt. Jede Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulassig und strafbar. Das gilt besonders for Vervielfiiltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. B. G. Teubner Stuttgart 1992 Herstellung: Druckhaus Beltz, Hemsbach/BergstraBe Einband: P. P. K, S-Konzepte, Tabea Koch, Ostfildem Stuttgart

5 Vorwort Die von Blaschke begriindete Integralgeometrie handelt von beweglichen Figuren im Raum und von invarianten Integralen, die sich bei ihnen bilden lassen. Dieses Zitat aus Hadwiger [1957] (S. 225) beschreibt recht gut die wesentlichen Elemente der Integralgeometrie: Es geht urn bewegte Figuren, also der Operation einer Gruppe unterworfene geometrische Objekte, und urn invariante Mittelwerte im Zusammenhang mit solchen bewegten Figuren. Integralgeometrie ist also ein Teilgebiet der Geometrie, das sich mit der Bestimmung und Anwendung von Mittelwerten geometrisch definierter Funktionen beziiglich invarianter Maf3e befabt.~ Zu den Grundlagen der Integralgeometrie gehoren daher einerseits Teile der Theorie invarianter Maf3e auf topologischen Gruppen und homogenen Raumen, andererseits gewisse Gebiete aus der Geometrie der Punktmengen, wie etwa der Polyeder, konvexen Mengen oder differenzierbaren Untermannigfaltigkeiten. Urspriinglich aus Fragestellungen iiber geometrische Wahrscheinlichkeiten entstanden und von Blaschke, Chern, Hadwiger, Santal6 und anderen ab 1935 entwickelt, hat sich die Integralgeometrie in jiingerer Zeit als wichtiges Hilfsmittel in der Stochastischen Geometrie und deren Anwendungsgebieten (Stereologie, Bildanalyse, raumliche Statistik) erwiesen. Dies hat zu neuen Resultaten gefiihrt, zu Verallgemeinerungen klassischer integralgeometrischer Formeln, aber auch zu andersartigen Zugangen und zu neuen Gesichtspunkten. Das vorliegende Buch ist sowohl klassischen Ergebnissen der Integralgeometrie gewidmet als auch neueren Entwicklungen. Es unterscheidet sich in mehrfacher Hinsicht wesentlich von den vorhandenen Monographien. Da die Integralgeometrie im Hinblick auf Anwendungen in den Gebieten der Geometrischen Wahrscheinlichkeiten und der Stochastischen Geometrie dargestellt werden soli, stellen wir uns einen Leser vor, zu dessen Riistzeug eher die mabtheoretischen Grundlagen der Stochastik gehoren als die differentialgeometrischen Techniken, die bei den traditionellen Beweisen der zentralen integralgeometrischen Formeln eingesetzt werden. DemgemaB verfolgen wir hier einen konsequent mabtheoretischen Aufbau, mit besonderer Betonung invarianter Maf3e. Die zur Untersuchung zugelassenen raumlichen Punktmengen sollen, dem mabtheoretischen Zugang entsprechend, nicht durch Glattheitsvoraussetzungen eingeschrankt werden. Andererseits sollen sie aber auch nicht so allgemein sein, dab zu ihrer Behandlung technisch

6 VI aufwendigere Methoden der Geometrischen Ma6theorie erforderlich werden. Wir betrachten daher kompakte konvexe Mengen und endliche Vereinigungen von solchen, legen also Hadwigers Konvexring zugrunde. Zur Modellierung realer Mengen im physikalischen Raum sind fur Anwendungszwecke die lokal endlichen Vereinigungen konvexer Mengen hinreichend allgemein. Ein weiterer Unterschied zu den vorhandenen Lehrbuchern besteht darin, dab wir, hierin Federer folgend, die Integralgeometrie im wesentlichen lokal betreiben, also allgemein fur KrummungsmaBe anstelle der spezielleren global definierten Funktionale. Bei der Behandlung der kinematischen Integralformeln legen wir besonderen Wert auf die Trennung des translativen Anteils und des Rotationsanteils. Damit werden auch Translationsformeln bereitgestellt, wie sie etwa bei der Behandlung stationiirer, nicht-isotroper Strukturen in der Stochastischen Geometrie erforderlich sind. Die Anwendungsbeispiele integralgeometrischer Resultate sind hier auf zwei Kapitel beschriinkt. Kapitel 5 enthiilt einige einfache Ergebnisse uber geometrische Wahrscheinlichkeiten sowie Erwartungswert-Formeln aus der Stereologie und der Bildanalyse. Kapitel 6 zeigt an Beispielen den Einsatz integralgeometrischer Transformationen bei Berechnungen in der Stochastischen Geometrie. Die an sich interessanteren Versionen integralgeometrischer Resultate fur zufiillige Mengen und Punktprozesse geometrischer Objekte verlangen eine ausfuhrliche Darstellung dieser stochastischen Modelle. Darauf soli in einem weiteren Band dieser Reihe eingegangen werden. Der vorliegende Text entstand aus Vorlesungen, die wir beide wiederholt in Freiburg bzw. Karlsruhe gehalten haben. Wir danken Herrn Stefan Glasauer fur eine grundliche Durchsicht des Manuskripts und einige nutzliche Hinweise sowie Frau Sabine Linsenbold fur die sorgfiiltige Ausfuhrung der Reinschrift in D.TF)C Freiburg und Karlsruhe, im Miirz 1992 R. Schneider W. Weil

7 Inhalt Einleitung 1 1 Invariante MaBe Gruppen und homogene Raume der euklidischen Geometrie Invariante Mafie auf Bewegungsgruppen Invariante Mafie auf Raumen von Ebenen 26 2 Mengen und Funktionale Konvexe Korper und Konvexring QuermaBintegrale KrummungsmaBe Additive Fortsetzung auf den Konvexring 50 3 Die kinematische Hauptformel Translative Integralformeln Drehintegrale Croftonsche Formeln 77 4 Weitere Integralformeln Drehsummenintegrale Projektionsformeln Integralformeln fur Zylinder 98 5 Anwendungen in der Stochastischen Geometrie Geometrische Wahrscheinlichkeiten Stereologie und Bildanalyse Beruhrmafie 131

8 Vlll 6 Integralgeometrische Transformationen 6.1 Blaschke-Petkantschin-Formeln 6.2 Verteilungen zufalliger Unterraume 6.3 Weitere Anwendungen Anhange 7.1 Anhang I: Konvexgeometrie 7.2 Anhang II: Mefibarkeitsfragen 7.3 Anhang III: Relativ invariante Mafie Literaturverzeichnis Symbolverzeichnis Sachverzeichnis