9 Integration von Funktionen in mehreren Variablen
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- Bernt Heidrich
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1 9 Integrton von Funktonen n mehreren Vrlen 9 9 Integrton von Funktonen n mehreren Vrlen Der Integrlegrff für Funktonen n mehreren Vrlen st wesentlch velfältger ls der e Funktonen n ener Vrlen. Dem unestmmten Integrl e ener Vrlen entsprcht m mehrdmensonlen Fll de Integrton enes Vektorfeldes, n de Stelle von estmmten (egentlchen oder unegentlchen) Integrlen treten erechsntegrle, urvenntegrle und Oerflächenntegrle. () Integrton von Vektorfeldern Ene Funkton f(,, 3 ), welche jedem Vektor (,, 3 ) 3 enen Sklr n zuordnet, ezechnet mn uch ls Sklrfeld. Ene vektorwertge Funkton f : 3 3, f (,, 3 ) (f (,, 3 ), f (,, 3 ), f 3 (,, 3 )), de jedem Vektor enen Vektor zuordnet, nennt mn uch Vektorfeld. e der ldung des Grdenten verglechr mt der ersten Aletung für Funktonen n ener Vrlen wrd enem Sklrfeld en Vektorfeld zugeordnet: F(,, 3 ) grd F ( F/, F/, F/ 3 ). Gt es umgekehrt zu jedem Vektorfeld f (f,f,f 3 ) ene Funkton F mt grd F f? Mn nennt f n enem solchen Fll en Grdentenfeld (uch: Potentlfeld oder konservtves Vektorfeld) und F ene Stmmfunkton (oder Potentl oder unestmmtes Integrl) von f. De Antwort uf oge Frge fällt jedoch m Allgemenen negtv us. Genuer gesgt glt: En Vektorfeld f ( ) f (,..., n ) (f (,..., n ),...,f n (,..., n )) estzt (unter estmmten Vorussetzungen) genu dnn ene Stmmfunkton F mt grd F f, wenn de edngung f j f j für lle, j,...,n, (d.. de sogennnte Integrltätsedngung) erfüllt st. espele: Für de erechnung ener Stmmfunkton zu f (, ) f f (, ) 3 (, ) j üerprüfen wr zunächst de Integrltätsedngung f / 6 f /, lso estert ene Stmmfunkton F(,) mt F f und F f. Zunächst st F f F f (,) d c(), woe c() ene elege Funkton n st (welche j e der prtellen Aletung nch verschwndet). Zur estmmung von c() fhren wr fort gemäß
2 9 Integrton von Funktonen n mehreren Vrlen 3 F f 6 + c () 6 3 c () 3 c() 3 + C, lso st F(,) C mt C. Ds Vektorfeld f (,,z) (,, ) st eenflls en Grdentenfeld, denn lle gemschten prtellen Aletungen snd glech (nämlch lle ), und somt st de Integrltätsedngung erfüllt. De zugehörende Stmmfunkton lutet F(,,z) z + C, C, we mn us F, F und F z sofort erkennt. Ene punktförmge Ldung Q m oordntenursprung erzeugt en elektrsches Feld Q + + z ) E 3 / (. z We lutet ds Potentl ϕ(,,z) F(,,z) (d.h. E grd ϕ)? Wr prüfen zuerst de Integrltätsedngung für E (E,E,E 3 ) und fnden E Q Q 3 E 3 / 5 / ( + + z ) ( + + z ) und genuso E / z E 3 /, E / z E 3 /. De gesuchte Stmmfunkton F erhält mn nun durch Integrton von E nch, lso F(,,z) Q E(,, z)d Q ( + + z ) / ( + c + + z (,z), ) 3 / wo c (,z) ene uneknnte Funkton n und z st. Aus F/ E folgt dnn c (,z)/, lso c (,z) c (z), und mt F/ z E 3 erhält mn schleßlch c 3 (z) C konstnt. Folglch st ds gesuchte Potentl gegeen durch Q ϕ (,,z) F(,,z) + C, C. + + z d
3 9 Integrton von Funktonen n mehreren Vrlen 3 () Doppel- und Drefchntegrle Gegeen st ene Funkton f: D R R und en erech D. Wr denken uns den erech uf krertem Pper gezechnet. Jedes ästchen ht de Länge und de rete. Ist (, ) rgend en Punkt us dem -ten ästchen, so st f(, ) ds Volumen des drüer stehenden Quders und n f(, ) st nnähernd ds Volumen des neen stehenden örpers. Mcht mn nun de ästchen mmer klener (, ), so erhält mn mmer essere Näherungswerte. Schleßlch estert (unter estmmten Vorussetzungen) der Grenzwert den mn mt lm n n f f(, ) (, ) dd ezechnet (Doppelntegrl oder erechsntegrl oder -dmensonles Integrl üer dem erech ). We erechnet mn nun? ( ) {,, } c d dd Dnn glt: (, ) d f (, ) c f d d f (, ) d c d d d c Strefen (ereche) Wenn der erech ken Rechteckserech st: {(, ), ϕ( ) ϕ( )} (, ) dd f (, ) f ϕ ( ) ϕ ( ) d d ϕ ( ) ϕ ( )
4 9 Integrton von Funktonen n mehreren Vrlen 3 espele: dd st de Fläche von. + dd mt :, : ( ) ( + ) dd ( + ) d d + d + 3 d Ds st ds Volumen üer dem Rechteckserech, der nch oen mt der Fläche egrenzt st. f (, ) sehe oges espel. Wr wollen jetzt sttt ener rechteckgen Grundfläche () ene dreeckge verwenden (Ermttlung der Funktonen ϕ und ϕ sehe Grphk rechts). 7 3 ( + ) dd ( ) d d d d ϕ ( ) ϕ ( )
5 9 Integrton von Funktonen n mehreren Vrlen 33 Auf nloge Wese knn mn uch Drefchntegrle (llgemen: Mehrfchntegrle) defneren. () urvenntegrle espel: Aret rft * Weg. We erechnet mn jedoch de Aret, wenn sch de rft ständg ändert; konkreter: espelswese längs ener Rumkurve? Vektorfeld f f f f 3. f ( ) d ( f d + f d + f dz) 3 De urve muss durch enen enzgen Prmeter drgestellt werden können. Dnn erfolgt de erechnung durch Rückführung uf en gewöhnlches estmmtes Integrl mttels Prmeterdrstellung von. espel: (, ) (, ) (, ) nch (,3 ) : () t t () + t Gegeen st en Vektorfeld f ( ) und de Strecke von t f d () t + t f f d + d d () + () dt (,) z A (,3) ( ) ( ) d t dt t dt t dt + t dt + + t d 3 t t t 8 9 ( + t+ + 8t+ 8t ) dt t+ 9t+ 3 6 t () t Führen Se de sele Rechnung für de urve t (), t, durch! t () t t+ (Zegen Se zuvor, dss dese urve uch durch de eden Punkte (;) und (;3) geht!) Der Wert des urvenntegrls st lso von der spezellen Whl der urve ncht hängg, sondern nur vom Anfngs- und Endpunkt der urve. Des glt llerdngs nur, wenn ds Vektorfeld en Potentlfeld st. espel: Gegeen snd ds Vektorfeld f(, ) sowe de urven und : () t t : t (), t t () t + (egründen Se, dss en Prelstück zwschen den Punkten (;) und (;5) st!) st de Verndungsgerde zwschen den Punkten (;) und (;5).
6 9 Integrton von Funktonen n mehreren Vrlen 3 ) erechnen Se: f d und f d ) Zegen Se, dss f en Potentlfeld st, und erechnen Se de Potentlfunktonen! c) Es se P ene solche Potentlfunkton. erechnen Se P(;5) P(;) und verglechen Se mt dem Ergens von Aufge )! d) Rechnen Se Aufge ) uch für ds Vektorfeld f(, )! Erklärung?
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