Nachklausur Analysis 1

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1 Nachklausur Analysis 1 Die Nachklausur Analysis 1 für Mathematiker, Wirtschaftsmathematiker und Lehrämtler findet als 90-minütige Klausur statt. Für Mathematiker und Wirtschaftsmathematiker ist es eine Klausur zur Erlangung des Scheines für das 1. Semester, für Lehrämtler eine Prüfung. Termin: Freitag, von 1.00 Uhr bis Uhr Ort: HS 9 Aufgabe 1: Diese Aufgabe besteht aus 8 Fragen zu Begriffen oder Beispielen aus der Vorlesung. Jede der Fragen wird mit 0,1, oder 1, Punkten bewertet. Nach spätestens 0 Minuten ist Aufgabe 1 abzugeben. Übrige Aufgaben: In den Aufgaben - sind 38 Punkte erreichbar. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Handys dürfen nicht mit in den Klausurraum genommen werden. Sollte während der Klausur bei einem Teilnehmer ein Handy auftauchen, so führt dies zum unmittelbaren Ausschluss aus der Klausur. Die Klausur wird dann mit der Note bewertet. Gesamtnote: Die Punkte aller Aufgaben werden addiert und auf diese Gesamtpunktzahl wird eine Note gegeben. Alle Aussagen sind zu begründen, andernfalls erfolgt evtl. Abzug aller Punkte auch bei richtigem Resultat! Falls ein Resultat aus der Vorlesung oder den Übungsaufgaben verwendet wird, so ist darauf hinzuweisen. Bitte jede der Aufgaben - auf ein gesondertes Blatt schreiben. Jedes Blatt ist deutlich lesbar mit Name, Vorname und Matrikelnummer zu versehen. Ablauf: 1.00 Uhr Beginn der Vorbereitungen Teil Uhr Beginn Aufgabe Uhr Abgabe Aufgabe Uhr Beginn der Vorbereitungen für die Aufgaben Beginn Teil 16.0 Uhr Abgabe der Aufgaben -. Viel Erfolg!

2 1. a) Was ist eine komplexe Cauchyfolge? Antwort: Eine komplexe Folge (a n ) n N ist genau dann eine Cauchyfolge, wenn zu jedem ɛ > 0 ein N(ɛ) N existiert, so dass für alle m, n N(ɛ) gilt a n a m < ɛ b) Wie ist das Minimum einer Menge von reellen Zahlen definiert? Muss es immer existieren? Antwort: Sei M R. Ein x 0 M heißt Minimum von M, wenn für alle x M gilt x 0 x. Das Minimum einer Teilmenge von reellen Zahlen muss nicht existieren. ( c) Ist die Folge 1+ n) 1 n konvergent und wenn ja, was ist ihr Grenzwert? Antwort: Diese Folge ist konvergent mit dem Grenzwert e (Eulersche Zahl). d) Geben Sie die Limesmenge der Folge (( 1) n ) n N an. Antwort: Die Limesmenge ist { 1, +1}. e) Skizzieren Sie die Menge {z C z i < ɛ} in der Gausßschen Zahlenebene. Antwort: Das Bild dieser Menge in der Gaußschen Zahlenebene ist das Innere eines Kreises um den Punkt i vom Radius ɛ > 0. Falls ɛ = 0 gilt, so besteht die Menge nur aus dem Punkt i. Für ɛ < 0 ist die Menge leer. f) Für welche α R konvergiert die Reihe 1 j=1 j α? Antwort: Die Reihe konvergiert für α > 1 und divergiert für α 1. g) Wie ist der Konvergenzradius einer Potenzreihe definiert? Antwort: Eine reelle Zahl ρ > 0 heißt Konvergenzradius der Potenzreihe, wenn die Reihe für alle z C mit z a < ρ konvergiert und für alle z mit z a > ρ divergiert. (Dabei ist a C der Mittelpunkt der Potenzreihe.) h) Was sind offene Mengen eines metrischen Raumes? Antwort: Eine Teilmenge eines metrischen Raumes heißt offen, wenn es zu jedem Punkt dieser Teilmenge eine Umgebung gibt, die ganz in der Menge enthalten ist. (Oder äquivalent: Wenn jeder Punkt der Menge ein innerer Punkt ist.)

3 . Es seien S und S die folgenden beiden Teilmengen von R: { } { } m n m n S := m + n m, n N 0, m + n 0, S := m + n m, n N (Dabei ist N 0 := {n Z n 0} = N {0}.) a) Zeigen sie, dass S und S beschränkt sind und bestimmen Sie jeweils das Infimum und Supremum dieser Mengen. In welchem der beiden Fälle ist das Infimum ein Minimum und das Supremum ein Maximum? ( Punkte) Lösung: Es ist S S. Daher genügt es, die Beschränktheit für S zu zeigen: Für alle m, n N 0, m + n 0 gilt: m n m + n m n m n m + n = = m + n m + n m + n = m + n m + n = 1 Also ist S und damit auch S beschränkt. Es ist ±1 S, daher ist 1 das Minimum von S und +1 das Maximum von S. Dagegen sind ±1 keine Elemente von S, aber ±1 sind Häufungspunkte von S, also sind ±1 das Infimum bzw. Supremum von S, aber keine Extrema. b) Schreiben Sie z in der Gestalt z = a + ib ( z = 1 ) i und berechnen Sie z. (3 Punkte) Lösung: es wird z = ( 1 ) i = 1 4 i Aus der Rechnung folgt noch = 4 1 i 8 1 z = c) Bestimmen Sie alle x R für die gilt x + 1 x 1 < 1 (Machen sie dazu geeignete Fallunterscheidungen.) (4 Punkte) Lösung: Sei zunächst x < 1. Dann folgt x + 1 x 1 = x + 1 (1 x) = x < 1

4 Sei nun 1 x < 1. Dann wird x + 1 x 1 = x + 1 (1 x) = x 1 Analog folgt für x 1 x + 1 x 1 = x + 1 (x 1) = 1 Da sich die linke Seite der Ungleichung nicht ändert, wenn man x durch x ersetzt, folgt hieraus, dass die Unkleichung genau durch alle x R mit 1 < x < 1 gelöst wird. 3. Die Folge (F n ) n N0 der sogenannten Fibonacci-Zahlen ist gegeben durch F 0 := 0, F 1 := 1, F n := F n 1 + F n für n a) Geben Sie die ersten Fibonacci-Zahlen an bis n = 6. (1 Punkt) Lösung: 0;1;1;;3;;8; b) Sei a := 1 + und b := 1 Zeigen Sie a = a + 1 und b = b + 1. (1 Punkt) Lösung: Es wird a = ( 1 + ) = 1 4 (1 + + ) = 1 (3 + ) = a + 1 b = ( 1 ) = 1 4 (1 + ) = 1 (3 ) = b + 1 c) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass gilt F n = 1 (a n b n ). (4 Punkte) Lösung: Für n = 0 und n = 1 ist die Behauptung richtig, denn nach der Formel wird F 0 = 0 und F 1 = 1 = 1. Gelte die Behauptung nun für n N und für n 1. Dann folgt für n + 1: F n+1 = F n + F n 1 = 1 (a n b n ) + 1 (a n 1 b n 1 ) = 1 (a n + a n 1 b n b n 1 ) = 1 (a n 1 (a + 1) b n 1 (b + 1)) = 1 (a n 1 a b n 1 b ) = 1 (a n+1 b n+1 ) Dies beweist die Behauptung für alle n N.

5 4. Die reelle Zahlenfolge (x n ) n N0 sei rekursiv definiert durch x 0 :=, x n+1 := x n 1 (n N 0 ) a) Zeigen Sie x n 1 für alle n N 0 mittels vollständiger Induktion. (3 Punkte) Lösung: Für n = 0 ist x 0 = 1, also die Behauptung für n = 0 erfüllt. Gelte nun x n 1 für ein n N. Dann folgt x n+1 = x n 1 1 = 1 Also gilt für alle n N 0 auch x n 1. b) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die Folge (x n ) n N0 monoton fallend ist. (3 Punkte) Lösung: (Induktion nach n N.) Für n = 1 wird x 1 = 3 = x 0, also ist die Behauptung richtig für n = 1. Gelte nun für ein n N x n+1 x n. Dann folgt x n+ = x n+1 1 x n 1 = x n+1 Dies beweist, dass die Folge monoton fallend ist. c) Beweisen Sie die Konvergenz der Folge (x n ) n N0 mittels a) und b). ( Punkte) Lösung: Die Folge ist nach a) beschränkt nach unten und nach b) monoton fallend. Somit konvergiert die Folge. d) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge. ( Punkte) Lösung: Nach c) existiert lim n x n = a. Aus der rekursionsgleichung folgt a = lim x n = lim xn 1 = a 1 n n D.h., es ist a = a 1 bzw. a a + 1 = (a 1) = 0, also a = 1. Somit gilt lim n x n = 1. a) Untersuchen Sie, für welche z C die folgende Reihe absolut konvergiert: z j j (4 Punkte) j=1

6 Lösung: (Wurzelkriterium) z k k k = z k k = z ( k k) Wegen lim k k k = 1 konvergiert die Reihe für z < 1 und divergiert für z > 1. Für z = 1 ist j=1 1 eine konvergente j Majorante, d.h. die Reihe konvergiert für alle z C mit z 1. b) Bestimmen Sie eine Zahl ρ > 0, so dass die folgende Reihe für z < ρ konvergiert und für z > ρ divergiert. z k ( 3k ) k j=1 (4 Punkte) Lösung: (Quotientenkriterium) Also folgt a j+1 a j = z (j+1)!(j+)! (3j+3)! j!(j)! (3j)! (j + 1)!(j + )!(3j)! = z j!(j)!(3j + 3)! (j + 1)(j + 1)(j + ) = z (3j + 1)(3j + )(3j + 3) a j+1 lim = z 4 j a j 7 Also konvergiert die Reihe nach dem Wurzelkriterium für z < 7 4 und divergiert für z > 7 4. Also ist ρ = 7 4. c) Berechnen Sie folgende Reihensumme: ( ) 3 j ( 1)j 4 j ( Punkte) Lösung: Es ist ( ) 3 j ( 1)j 4 j = ( 1 3 )j ( 1 4 )j Aus der Summenformel für die geometrische Reihe a j = 1 1 a für a < 1 folgt ( ) 3 j ( 1)j 1 4 j = 1 (1/3) (1/4) = 11

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