IT-Sicherheit: Kryptographie. Asymmetrische Kryptographie

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1 IT-Sicherheit: Kryptographie Asymmetrische Kryptographie

2 Fragen zur Übung 5 C oder Java? Ja (gerne auch Python); Tips waren allerdings nur für C Wie ist das mit der nonce? Genau! (Die Erkennung und geeignete Lösung des Problems ist Teil der Aufgabe.) Wie dokumentieren? Im Programm, außerhalb des Programms Hauptsache, es steht drin, wie die Probleme gelöst (und welche Entscheidungen dabei gefällt) wurden Deutsch, Englisch sind als Abgabesprachen stets OK 2

3 Motivation: Asymmetrische Kryptographie Bislang symmetrische Verschlüsselung: Beide Kommunikationspartner besitzen einen gemeinsamen Schlüssel K zur Ver- und Entschlüsselung. K ist in der Regel nur den beiden Partnern bekannt. Symmetrische Verschlüsselung setzt einen vertraulichen Informationskanal zur Übertragung des Schlüssels K voraus! (Problem des Schlüsselaustauschs bzw. Schlüsselvereinbarung) Weiteres Problem: Bei n Kommunikationsteilnehmern benötigt man bis zu n (n 1)/2 Schlüssel. n= ungefähr Schlüssel Wie kann man den Schlüsselaustausch (und die Schlüsselverwaltung) vereinfachen? 3

4 Asymmetrische (Public Key-) Verschlüsselung Diffie, Hellmann (1976) Ein Schlüsselpaar (K E,K D ) pro Kommunikationspartner. Schlüsselpaar: ein privater und ein öffentlicher Schlüssel Verschlüsselung einer Nachricht durch öffentlichen Schlüssel. Entschlüsselung durch privaten Schlüssel. Alice K Bob E K Bob D Bob M E Verschlüsselte Nachricht D M 4

5 Einweg-Funktionen Basis für asymmetrische Kryptographie sind Einweg- Funktionen (one-way) f: X Y Eigenschaften von Einweg-Funktionen: 1) x X gilt: f(x) ist effizient berechenbar; und 2) für fast alle y Y gilt, dass es nicht effizient möglich ist, das Urbild zu y zu berechnen, also x X zu berechnen, mit y = f(x) Bis heute nicht bewiesen, ob überhaupt Einwegfunktionen existieren. Bewiesen ist: Sie existieren gdw. P!= NP. 5

6 Einweg-Funktionen Gute Kandidaten: 1) Faktorisierung: gegeben n=pq, berechne p,q 2) Diskreter Logarithmus (Detail später) Einweg-Funktionen mit Falltür (trapdoor one-way): mit Zusatzinformation sind Urbilder effizient berechenbar Beispiele für asymmetrische Verfahren: RSA ( Quasi-Standard ), EIGamal-Verfahren, Schlüsselaustausch nach Diffie und Hellman 6

7 Allgemeine Eigenschaften asymmetrischer Verfahren Die Schlüsselpaare (K E, K D ) müssen folgende Eigenschaft erfüllen: Für alle Nachrichten M: D (E (M, K E ), K D ) = M, K E sei der öffentliche, K D der geheime Schlüssel: Solche Schlüsselpaare müssen leicht zu erzeugen sein. Ver- und Entschlüsselungen (E und D) sind effizient durchführbar K D ist aus K E nicht mit vertretbarem Aufwand berechenbar Einsatz von Einweg-Funktionen mit Falltür 7

8 Diskreter Logarithmus: Primitivwurzel Vorausgesetzte Begrifflichkeit: Primitivwurzel (Generator) mod p erzeugt alle von 0 verschiedenen Zahlen mod p. Beispiel: p=7. Dann ist g=5 eine Primitivwurzel mod 7. Denn: 5 1 = 5 mod = 25 = 4 mod = 4x5 = 6 mod = 6x5 = 2 mod = 2x5 = 3 mod = 3x5 = 1 mod 7 8

9 Problem des diskreten Logarithmus Gegeben p Primzahl, g p 1, und y. Bestimme die eindeutige Zahl k (1 k p 1) so, dass y = g k mod p. Diskreter Logarithmus als Umkehrung der Potenzierung, ganzzahliges Problem ( diskret ). Potenzierung (auch für große p) effizient durchführbar Bestimmung des diskreten Logarithmus aber nicht (nur Inspektion), Problem aus NP f: x g x (mod p) ist eine Einweg-Funktion mit Falltür 9

10 Schlüsselvereinbarung nach Diffie und Hellman (1) Ziel: Vereinbarung eines gemeinsamen geheimen Schlüssels, ohne diesen auszutauschen (z.b. für eine symmetrische Verschlüsselung) Achtung: Diffie-Hellman allein liefert keine Verschlüsselung, keine Authentisierung der Partner! Einsatz u.a. in SSL/TLS, Kerberos, IPsec-Protokollen basiert auf dem Problem des diskreten Logarithmus (EIGamal-Verfahren basiert auf der gleichen Idee) 10

11 Schlüsselvereinbarung nach Diffie und Hellman (2) Funktionsweise Wähle große Primzahl p (allen Teilnehmern bekannt); Wähle einen allen Teilnehmern bekannten Wert g, der primitive Wurzel von p ist. Es gilt also: {g 1,..., g p-2, g p-1 }={1, 2,..., p-2, p-1}. 11

12 Schlüsselvereinbarung nach Diffie und Hellman (3) Alice Bob Wählt zufällig eine Zahl a. Berechnet α:=g a mod p. α β Wählt zufällig eine Zahl b. Berechnet β:= g b mod p. Berechnet β a mod p Berechnet α b mod p K AB = β a mod p = (g b ) a mod p = g ba mod p = g ab mod p = (g a ) b mod p = α b mod p 12

13 ElGamal- Verschlüsselungsverfahren Taher ElGamal (1985) Public-Key-Verfahren, basiert auch auf dem diskreten Logarithmus Variante von Diffie-Hellman Wir setzen also wieder voraus: p Primzahl, g Primitivwurzel 13

14 Funktionsweise: ElGamal- Verschlüsselung (1) Schlüsselerzeugung von Bob: Wählt zufällig eine Zahl b und berechnet β:= g b mod p. Veröffentlicht (β, g, p) als öffentlichen Schlüssel b ist der private Schlüssel Verschlüsselung einer Nachricht M (mit M < p): Alice schlägt (β, g, p) im Schlüsselverzeichnis nach. Alice wählt eine nonce (einmalige Zufallszahl) a und berechnet: α:=g a mod p k:=. β a mod p c:= km mod p 14

15 Funktionsweise: ElGamal- Verschlüsselung (2) Versenden der Nachricht: Alice verschickt die chiffrierte Nachricht (α, c) an Bob. Der Chiffretext ist doppelt so lang wie der Klartext! Entschlüsselung: Bob berechnet: α b mod p = (g a ) b = g ba mod p = (g b ) a mod p = β a mod p = k, k -1 c mod p = k -1 k M mod p = 1 M mod p = M (k -1 ist das multiplikativ Inverse von k mod p) 15

16 RSA-Algorithmus RSA (1977/1978): Ron Rivest, Adi Shamir, Len Adleman 1983 patentiert, seit 2000 frei Ähnliches System bereits 1973 von Clifford Cocks erfunden, aber geheimgehalten Einsatzbereiche: Verschlüsseln, Signieren, Schlüsselaustausch Basis: Primfaktorzerlegung 16

17 RSA: Funktionsweise Hier: nur skizziert; detaillierte Beschreibung: Übungen, Literatur 1) Wähle Primzahlen p, q, Modul n = pq 2) Wähle d so, dass ggt((p -1)(q -1), d) = 1, 3) Berechne e mit ed = 1 mod ((p -1)(q -1)) (typischer Wert: e = (= )) (e, n) öffentlicher Schlüssel; (d, n) geheimer Schlüssel Verschlüsselung E: E(M) = M e mod n = C Entschlüsselung D: D(C) = C d mod n = M ed mod n = M 17

18 Hybride Verschlüsselung Public-Key-Verfahren wesentlicher ineffizienter (Faktor 1000) als symmetrische Verfahren (z.b. XOR, Shift, Vertauschungsoperationen) In der Praxis deshalb häufig in hybriden Verfahren eingesetzt: Public-Key-Verfahren: Austausch des geheimen Schlüssels K symmetrisches Verfahren zur effizienten Daten-Verschlüsselung Typische Beispiele hierfür: SSL/TLS SSH PGP 18

19 Ablauf: Hybride Verschlüsselung Beispiel: vertrauliche Kommunikation zwischen A und B; Schlüsselaustausch (mittels Public Key Verfahren): A: Erzeuge Sitzungsschlüssel K AB für symmetrisches Kryptoverfahren E asym (K AB, K EB )= Crypt_Key, Verschl. mit Public Key von B B: D asym (Crypt_Key, K DB ) = K AB, Ents. mit Private Key von B Eigentliche Verschlüsselung (mit symmetrischem Verfahren): A: E sym (M, K AB )= Crypt_Text, verschlüsselte Nachricht M B: D sym (Crypt_Text, K AB ) = M entschlüsselte Nachricht 19

20 Man-in-the-middle-Angriff Problem: keine ausreichende Authentisierung bei Public Key- Verfahren Woher weiß Alice, dass der gefundene Public Key wirklich zu Bob gehört? Gefahr eines Man-in-the-Middle-Angriffs (besser: Middle-Person-Angriff): Angreifer Mallory gibt sich gegenüber Alice als Bob aus. Angreifer Mallory gibt sich gegenüber Bob als Alice aus. Problem der Schachgroßmeister Lösungsansätze später in der Vorlesung Alice Mallory Bob 20

21 Einsatz von RSA für digitale Signaturen Verschlüsselung: Verschlüsselung E: E(M) = M e mod n = C Entschlüsselung D: D(C) = C d mod n = M ed mod n = M Digitale Unterschrift: Signatur D: D(M) = M d mod n = S Verifikation E: E(S) = S e mod n = M de mod n = M 21

22 Nächste Termine Mo, Uhr: Vertiefung Asymmetrische Kryptographie Do, Uhr: Authentisierung, Digitale Signatur, Zertifikate, PKI Übungsblatt 6 bald auf Stud.IP, s.: https://elearning.uni-bremen.de 22

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