Nicht-proportionale Rückversicherungsmodelle mit Risikopräferenzen

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1 Thema Nicht-proportionale Rückversicherungsmoelle mit Risikopräferenzen Dissertation zur Erlangung es akaemischen Graes octor rerum politicarum Dr. rer. pol.) vorgelegt em Rat er Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät er Frierich-Schiller-Universität Jena am 21. April 21 von: Dipl.- Math. oec. Maik Wagner geboren am: in: Wolfen

2 Gutachter: 1. Prof. Dr. Peter Kischka, FSU Jena, Fakultät für Wirtschaftswissenschaften, Lehrstuhl für Wirtschafts- un Sozialstatistik 2. Prof. Dr. Wolfgang Kürsten, FSU Jena, Fakultät für Wirtschaftswissenschaften, Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre insb. Finanzierung, Banken un Risikomanagement Datum er Verteiigung:

3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Abbilungsverzeichnis 4 Tabellenverzeichnis 6 Symbolverzeichnis 7 I Einleitung 9 II Grunlagen 15 1 Rückversicherungstheorie Einführung Formen er Rückversicherung Obligatorische Rückversicherung Fakultative Rückversicherung Semiobligatorische Rückversicherung Arten er Rückversicherung Proportionale Rückversicherung Quoten-Rückversicherung Summenexzeenten-Rückversicherung Mischformen er proportionalen Rückversicherung Nicht-proportionale Rückversicherung Einzelschaenexzeenten-Rückversicherung Kumulschaenexzeenten-Rückversicherung Jahresüberschaen-Rückversicherung Höchstschaen-Rückversicherung Retrozession Zusammenfassung un Überblick Entscheiungstheorie Einführung in ie Grunlagen er Entscheiungstheorie Grunmoell er Entscheiungstheorie Entscheiung unter Sicherheit Entscheiung unter Unsicherheit Entscheiung unter Risiko

4 INHALTSVERZEICHNIS Risikoeinstellungen un Präferenzfunktional Entscheiungsregeln Entscheiung unter Ungewissheit Konsistenzbetrachtungen zur Erwartungsnutzentheorie Duale Nutzentheorie Stochastische Dominanz Newsvenor Moell Einführung in as Newsvenor Moell Klassisches Newsvenor Moell Newsvenor Moell mit Risikopräferenzen Newsvenor Moell mit nicht-linearer Kostenfunktion Bestimmung er optimalen Bestellmenge Kenngrößen fürieoptimalebestellmenge III Nicht-proportionale Rückversicherungsmoelle 61 4 Einführung Gewinnfunktion eines Erstversicherers Schaensverteilungen Erweiterter Literaturüberblick Prioritätsoptimierungsproblem Erwartungswertkriterium CVaR-Prinzip Hybries Entscheiungsprinzip Φ α,λ G, X)) Hybries Entscheiungsprinzip Φ β,δ G, X)) Kenngrößen Folgerungen aus er Stochastischen Dominanz Zusammenfassung un Überblick Plafonoptimierungsproblem Einführung Hybries Entscheiungsprinzip Φ α,λ Gc, X)) Kenngrößen Folgerungen aus er Stochastischen Dominanz Zusammenfassung un Überblick Das zweiimensionale Optimierungsmoell Allgemeines Moell Kenngrößen Rückversicherungsmoell mit spezieller Rückversicherungsprämie Folgerungen aus er Stochastischen Dominanz Entscheiung unter Ungewissheit Maximax-Regel Maximin-Regel Hurwicz-Regel Laplace-Regel

5 INHALTSVERZEICHNIS Minimax-Regret-Regel Bayes scher Lösungsansatz Zusammenfassung un Überblick Simultane Optimierung es Erst- un Rückversicherungsgeschäfts Gewinnfunktion es Erstversicherers Multiplikative Moellierung es Schaens mit eterministischem un stochastischem Einfluss Gewinnfunktion es Zeenten mit stochastischem Einfluss Erwartungswertkriterium α-λ-prinzip Zusammenfassung un Überblick IV Zusammenfassung un Ausblick 16 Anhänge 166 A Beweise zum Kapitel Entscheiungstheorie 166 B Beweise zum Newsvenor Moell 172 B.1 Newsvenor Moell mit Risikopräferenzen B.2 Newsvenor Moell mit nicht-linearer Kostenfunktion C Beweise zu en Rückversicherungsmoellen 18 C.1 Beweise für as Prioritätsoptimierungsproblem C.2 Beweise für as Plafonoptimierungsproblem C.3 Beweise für as zweiimensionale Optimierungsproblem C.4 Beweise zur simultanen Optimierung von Erst- un Rückversicherungsgeschäft 214 D Beweise unter Stochastischer Dominanz 239 D.1 Beweise für as Prioritätsoptimierungsproblem D.2 Beweise für as zweiimensionale Optimierungsproblem Literaturverzeichnis 272 Eiesstattliche Erklärung 282

6 Abbilungsverzeichnis 1.1 Die größten Erst- un Rückversicherer im Jahr Aufteilung er Schäen bei er Summenexzeenten-Rückversicherung Aufteilung er Schäen bei er Summenexzeenten-Rückversicherung mit Vorwegquote Aufteilung er Schäen bei er Quoten-Rückversicherung mit Vorwegexzeent Aufteilung er Schäen bei nicht-proportionalen Rückversicherungsverträgen Zusammenhang zwischen Zeent un Zessionär Übersicht über ie Rückversicherungsvertragsarten Stochastische Dominanz erster Ornung Stochastische Dominanz zweiter Ornung Schaensaufteilung bei nicht-proportionalen Rückversicherungsverträgen Schaensichten un Schaensverteilungen Schaensichten er Nullpunkt-Paretoverteilung Rückversicherungsprämie in Abhängigkeit von er Priorität Ableitungen er Rückversicherungsprämie in Abhängigkeit von er Priorität Rückversicherungswahl bei em CVaR-Prinzip Gewinnfunktion es Newsvenors mit α-gewinnquantil Gewinnfunktion es Erstversicherers mit α-gewinnquantil Risikopräferenzraum bei Φ α,λ G, X)) Risikopräferenzraum in Abhängigkeit vom Gewinnaufschlag bei Φ α,λ G, X)) Optimale Priorität bei Φ α,λ G, X)) Optimale Priorität bei Φ α,λ G, X)) Risikopräferenzraum bei Φ β,δ G, X)) Risikopräferenzraum in Abhängigkeit vom Gewinnaufschlag bei Φ β,δ G, X)) Optimale Priorität bei Φ β,δ G, X)) Optimale Priorität bei Φ β,δ G, X)) Schaensniveau bei zwei Schaensverteilungen Optimale Priorität bei stochastischer Dominanz erster Ornung Erstversicherungs- un Rückversicherungsschaen bei einer Priorität von Null Gewinnfunktion Plafon) es Erstversicherers mit α-gewinnquantil Risikopräferenzraum bei Φ α,λ Gc, X)) Risikopräferenzraum in Abhängigkeit vom Gewinnaufschlag bei Φ α,λ Gc, X))

7 ABBILDUNGSVERZEICHNIS Beispiel: Lineare Nachfrage Beispiel: Konkave Nachfrage Beispiel: Konvexe Nachfrage C.1 Gewinnfunktion Priorität) es Erstversicherers C.2 Gewinnfunktion Plafon) es Erstversicherers C.3 Ungleichung C.2) D.1 Satz Behauptung 1) D.2 Satz Behauptung 2) D.3 Satz Behauptung 3) D.4 Satz Behauptung 1) D.5 Satz Behauptung 2) D.6 Satz Behauptung 1) Abbilung I D.7 Satz Behauptung 1) Abbilung II D.8 Satz Behauptung 2) Abbilung I D.9 Satz Behauptung 2) Abbilung II D.1 Satz Behauptung 2) Abbilung III D.11 Abschätzung für en erwarteten Rückversicherungsschaen D.12 Lemma 1 1. Fall) D.13 Lemma 1 2. Fall) D.14 Lemma 1 3. Fall) D.15 Lemma 1 4. Fall) D.16 Lemma 1 5. Fall) D.17 Lemma 1 6. Fall) D.18 Lemma 2 1. Fall) D.19 Lemma 2 2. Fall) D.2 Lemma 2 3. Fall) D.21 Lemma 2 4. Fall) D.22 Lemma 2 5. Fall) D.23 Lemma 2 6. Fall)

8 Tabellenverzeichnis 2.1 Entscheiungsmatrix bei Ungewissheit Analogie zwischen em Newsvenor- un em Rückversicherungsmoell Analogie zwischen em Newsvenor- un em Rückversicherungsmoell mit Risikopräferenzen Risikoparameter er Zeenten fürbeispiel Optimale Prioritäten für Beispiel mit γ =, Optimale Prioritäten für Beispiel mit γ =, Risikoparameter er Zeenten fürbeispiel Optimale Prioritäten für Beispiel mit γ =, Optimale Prioritäten für Beispiel mit γ =, Analogie zwischen em Newsvenor- un em Rückversicherungsmoell Plafon) mit Risikopräferenzen Optimale Plafons für Beispiel mit γ =, Optimale Plafons für Beispiel mit γ =,

9 Symbolverzeichnis Allgemeine Symbole: G.) Gewinnfunktion eines Erstversicherers bzw. es Newsvenors g α,g β α-bzw.β-quantil er Gewinnfunktion E.) Erwartungswert Var.) Varianz VaR.) Value at Risk CVaR.) Conitional Value at Risk F. Verteilungsfunktion von. f. Verteilungsichte von. F. verallgemeinerte Inverse er Verteilungsfunktion von. F. 1 Inverse er Verteilungsfunktion von. Φ B Präferenzfunktional es Bayes-Prinzips Φ α Präferenzfunktional es Conitional Value at Risk-Prinzips Φ α,λ Präferenzfunktional es hybrien α-λ-prinzips Φ β,δ Präferenzfunktional es hybrien β-δ-prinzips PL Verlustwahrscheinlichkeit probability of loss) EL erwarteter Verlust expecte loss) D. erste partielle Ableitung nach. D., zweite partielle Ableitung nach. un, Symbole im Versicherungskontext: c Pr p Np) X,Z ε X p x α,x β EVS.) RVS.) RVP.) γ Priorität euctible) Plafon cover) Prämieneinnahmen aller Erstversicherungsverträge eines Erstversicherers Prämie eines Erstversicherungsvertrages Nachfrage an Erstversicherungsverträgen in Abhängigkeit von er Prämie p Schaen es Erstversicherers stochastischer Einfluss auf en Schaen Schaen es Erstversicherers in Abhängigkeit von er Prämie p α-bzw.β-quantil es Schaens Erstversicherungsschaen Rückversicherungsschaen Rückversicherungsprämie Gewinnaufschlag es Rückversicherers 7

10 TABELLENVERZEICHNIS 8 B Betriebskosten eines Erstversicherers Symbole im Newsvenor-Kontext: p c z X x α,x β y k Verkaufspreis Einkaufspreis Rückgabepreis bei Nichtverkauf Prouktnachfrage α-bzw.β-quantil er Nachfrage Bestellmenge nicht-lineare Einkaufskostenfunktion es Newsvenors

11 Teil I Einleitung 9

12 1 Risikomaße gewinnen zunehmen an Beeutung. Sie finen zum einen in er Berechnung von Eigenkapitalhinterlegungen urch ie Bestimmungen Basel II un Solvency II 1 un zum aneren bei Entscheiungsprinzipien 2, bei enen ie Risikoeinstellung berücksichtigt weren soll, Anwenung. Die Risikoeinstellungen weren abei urch eine bestimmte Wahl von Risikoparametern festgelegt. Die Verwenung von Risikomaßen im Rahmen von Entscheiungsprinzipien wir Gegenstan ieser Arbeit sein. Ziel abei ist es, Rück- bzw. Erstversicherungsverträge mit hybrien Entscheiungsprinzipien zu moellieren, um mit Hilfe er Risikoparameter ie Risikoeinstellung von Erstversicherern zu bestimmen. Hauptanliegen abei ist, eine Entscheiungsunterstützung für Erstversicherer zur Verfügung zu stellen, wobei mit er bestimmten Risikoeinstellung Empfehlungen für Deckungsgrenzen von Rückversicherungsverträgen getroffen weren können 3. Im Folgenen soll ein Überblick über ie Verwenung verschieener Entscheiungsprinzipien im Versicherungsgeschäft gegeben weren. In iesem Zusammenhang wir auf as Erwartungswert-, Erwartungsnutzen-, µ-σ-, Value at Risk- un Conitional Value at Risk-Prinzip eingegangen. Zunächst wir auf ie Verwenung es Erwartungswertes im Versicherungskontext Bezug genommen. Das Erwartungswertprinzip wir unter anerem im Bereich er Personenversicherung als auch im Bereich er Rückversicherung angewenet 4. Dies geschieht jeoch nur in en Fällen, in enen er Erstversicherer eine risikoneutrale Einstellung bzgl. seiner Hanlungsalternativen aufweist. Dabei ist festzustellen, ass er erwartete Schaen kleiner als ie Versicherungsprämie ist 5 un somit ein risikoneutraler Entscheier ie Versicherung ablehnt 6.Ebensopräferiert ein risikofreuiger Entscheier ie Versicherung nicht. Im Fall eines risikoneutralen Entscheiers im Bezug auf eine Versicherungsprämie, ie keinen Gewinnaufschlag es Versicherers berücksichtigt, ist er Versicherungsnehmer inifferent in er Entscheiung zwischen er Wahl un er Ablehnung er Versicherung. In iesem Fall spricht man von einer fairen Versicherung bzw. fairen Prämie 7.DerAspekterfairenPrämie ist jeoch rein von entscheiungstheoretischer Beeutung, a ein Versicherungsunternehmen immer Verwaltungsaufwan hat un somit eine faire Prämie nie anbieten wir. Ein risikoaverser Entscheier zieht agegen unter gewissen Umstänen 8 ie sichere Alternati- 1 Vgl. zu Basel II BaFin 28a) un zu Solvency II BaFin 28b). 2 Vgl. Bamberg, Coenenberg 26), S.1 ff. 3 Dazu muss eine Schaensverteilung angenommen weren, welche er Erstversicherer bzgl. seiner Schäen in Zukunft erwartet. 4 Vgl. Liebwein 2a), S Vgl. Stocker, Strobach 23), S. 116 ff. 6 Vgl. auch Aam 1996), S. 228 sowie Schulenburg 25), S Vgl. Stocker, Strobach 23), S Im Fall einer fairen Versicherungsprämie präferiert ein risikoaverser Entscheier ie Vollversicherung. Bei einer Versicherung mit Gewinnaufschlag seitens es Versicherers können risikoaverse Entscheier ie Versicherung sowohl präferieren Teilversicherung) als auch ablehnen. Dies ist abhängig vom Gewinnaufschlag es Versicherers un er Stärke er Risikoaversion es Versicherungsnehmers.

13 11 ve ie Versicherung) er unsicheren Alternative keine Versicherung) vor 9.Dieskannjeoch nicht mit em Erwartungswertprinzip moelliert weren. Damit stellt er Erwartungswert keine generell verwenbare Beurteilungsgröße 1 im Versicherungskontext ar. Zur Lösung ieses Problems kann as Erwartungsnutzenkriterium 11 für risikoaverse Entscheier angewenet weren, welches ie Einstellung es Iniviuums zum Risiko berücksichtigt 12. Der Erwartungsnutzen wir abei mit Hilfe einer Nutzenfunktion ermittelt. Verläuft ie Nutzenfunktion konkav,...] beschreibt ies Risikoaversion....] Risikofreue wir hingegen urch eine strikt konvexe Nutzenfunktion angezeigt 13. Ein risikoneutraler Entscheier besitzt agegen eine lineare Nutzenfunktion. Dabei wir er risikoneutrale Entscheier keine Versicherung wählen, a er erwartete Nutzen ohne Versicherung größer als er erwartete Nutzen mit Versicherung ist 14. Ebenso ist bei Risikofreue konvexe Nutzenfunktion) er erwartete Nutzen ohne Versicherung größer als er erwartete Nutzen mit Versicherung, so ass auch ein risikofreuiger Entscheier keine Versicherung nachfragt. Bzgl. einer konkaven Nutzenfunktion Risikoaversion) können zwei Situationen auftreten. Zum einen kann ein risikoaverser Entscheier ie Versicherung präferieren un zum aneren ablehnen 15. Die Entscheiung für ie Versicherung ist abhängig von er Nutzenfunktion sowie er Versicherungsprämie. Des Weiteren bevorzugt ein risikoaverser Entscheier bei einer fairen Prämie ie Vollversicherung 16. Damit ist as Bernoulli-Prinzip,. h. ie Maximierung es Erwartungsnutzens, ein aus normativer Sicht vernünftiges Entscheiungskriterium 17. Ausführungen zur Verwenung es µ-σ-prinzips im Versicherungskontext finen sich bei Liebwein 18.SeineAusführungen beziehen sich abei auf en speziellen Sachverhalt er Rückversicherung, inem ein Erstversicherer urch Wahl es Risikoparameters es µ-σ-prinzips en Einfluss er Stanarabweichung regulieren un somit nicht nur Risikoneutralität, sonern auch Risikofreue un Risikoaversion in seine Entscheiung einfließen lassen kann. Einen expliziten Sachverhalt rechnet abei er Autor jeoch nicht vor. Es bleibt allein bei theoretischen Überlegungen. Ansonsten ist as µ-σ-prinzip im Versicherungskontext nur spärlich behanelt. Die nächsten Ausführungen seien er Verwenung es Value at Risk VaR) bzw. em Conitional Value at Risk CVaR) gewimet. Verwenet weren iese Risikomaße zur Betrach- 9 Vgl. Stocker, Strobach 23), S. 116 f. 1 Vgl. Schulenburg 25), S Vgl. Schulenburg, Greiner 27), S. 37 f. Das Erwartungsnutzenkriterium ist nach seinem Entecker Daniel Bernoulli ) auch als Bernoulli-Prinzip bekannt. Vgl. bzgl. Bernoulli-Prinzip im Versicherungskontext Wagner 2), S. 48 sowie Ritter 26), S. 23. Vgl. bzgl. er Anwenung es Erwartungsnutzenkriteriums mit Rückversicherung u. a. Guerra, Centeno 28), Kaluszka, Okolewski 28), Samson 1986) sowie Samson, Thompson 1983). 12 Vgl. Schulenburg, Greiner 27), S Vgl. Schulenburg, Greiner 27), S Vgl. Rosenkranz, Missler-Behr 25), S. 62 f. 15 Vgl. Gries, Sieg, Strulik 1996), S. 71 f. 16 Vgl. Wiese 25), S Vgl. Wiese 25), S Vgl. Liebwein 2), S. 232.

14 12 tung von Einzelrisiken 19 bzw. zur Bestimmung er Eigenmittelanforerungen einer Versicherung 2. Die Grunlage für ie Berechnung es Eigenkapitals anhan ieser Risikomaße bilen ie Regularien Solvency II 21. Hauptkritikpunkt am Value at Risk 22 ist, ass ieser eine Einpunktbetrachtung er Verteilung er Zufallsvariable ist un ie Ausprägungen außerhalb es Sicherheitsniveaus unbeachtet lässt. Außerem ist er VaR kein kohärentes Risikomaß 23. Der VaR ist bei er Risikomessung 24 amit als aäquates Maß abzulehnen. Der Conitional Value at Risk bietet agegen en Vorteil er Kohärenz, führt aber zu einer höheren Komplexität er Berechnungen un zur Erhöhung es Eigenkapitalbearfs 25.Ausführungen bzgl. es Risikomanagements un er Eigenkapitalhinterlegung er Versicherungsunternehmen sin in er Literatur zahlreich vertreten 26,beschränkensichhäufig jeoch auf theoretische Betrachtungen von Risikomaßen un lassen meist as Instrument er Rückversicherung außen vor. Des Weiteren weren iese Risikomaße zum Beispiel für ie Minimierung es Insolvenzrisikos eines Erstversicherers in Verbinung mit Rückversicherungsverträgen 27 sowie für ie Bestimmung er optimalen Schaensfunktion eines Erstversicherers 28 angewenet. In aneren Fällen wir nur as Rückversicherungsgeschäft betrachtet un essen Kosten mit iversen Risikomaßen un Prämienstrukturen minimiert 29. Die Verwenung es Conitional Value at Risk zur Präferenzmessung bzgl. er Gewinnfunktion eines Erstversicherers ist in er Literatur nicht zu finen. Dies gilt ebenfalls für hybrie Entscheiungsprinzipien basieren auf en CVaR 3. Diese Entscheiungsprinzipien finen jeoch bereits unter anerem im Bereich es Supply Chain Managements 31 Anwenung. Die vorliegene Arbeit hat zum Ziel, Deckungsgrenzen für Versicherungsverträge, welche ie Risikoeinstellung es Versicherungsnehmers berücksichtigen, mit en Entscheiungsprinzipien aus em Supply Chain Management zu berechnen. Zentrale Aufgabe ist aher ie Moellierung von Versicherungs- bzw. Rückversicherungsverträgen unter Verwenung es CVaR- 19 Vgl. Koryciorz 24), S. 12 f. Zur Verwenung es Value at Risk im Bankensektor siehe Gritzmann 1998), S. 191 bzw. Albrecht 21), S. 1 ff. 2 Vgl. Vollmer 27), S Vgl. BaFin 28b). 22 Vgl. unter anerem Hartung 27), S. 11 ff. 23 Vgl. Hartung 27), S. 112 f. 24 Vgl. bzgl. Risikomessung mit em Value at Risk im Versicherungskontext auch Albrecht, Koryciorz 1999), S.5ff.bzw.Albrecht,Bährle, König 1997), S. 1 ff. 25 Vgl. Hartung 27), S Vgl. unter anerem bzgl. Risikomessung in einem Versicherungsunternehmen un Solvabilitätsregulierung Molinari, Nguyen 29), Nguyen un Molinari 29), Vollmer 27), Milliman 27), bzgl. Personenversicherung Herrmann 26), bzgl. es Kapitalanlagegeschäfts eines Versicherungsunternehmens Arneth, Sauka 28) un bzgl. Rückversicherung Schubert, Stienen, Kraft 27). Eine empirische Untersuchung zum Aspekt Risikomanagement un Solvency II finet sich bei Capgemin 24). Zur Verwenung interner Risikomoelle in Versicherungsunternehmen vgl. Osetrova, Schmeiser 25). 27 Vgl. Bernar, Tian 29) für en VaR S. 2 ff. un bzgl. CVaR S. 7ff. 28 Vgl. Cai, Tan, Weng, Zhang 28). 29 Vgl. für ie Anwenung er Varianz Gajek, Zagrony 2), für allgemeine Risikomaße Balbás, Balbás, Heras 29) bzw. Gajek, Zagrony 24), für ie Verwenung es Erwartungswerts in Kombination mit er Varianz Kaluszka 24) un für en VaR un CVaR Cai, Tan 27). Einen genereller Überblick finet sich bei Centeno, Simões 29). 3 Vgl. Jammernegg, Kischka 25). 31 Vgl. Chopra, Meinl 24).

15 13 Prinzips bzw. von hybrien Entscheiungsprinzipien basieren auf en CVaR. Hauptaugenmerk liegt abei auf er Moellierung nicht-proportionaler Rückversicherungsverträge. Die Entscheiungsprinzipien weren in iesem Zusammenhang auf ie Gewinnfunktion es Erstversicherers angewenet, welche as Erst- un Rückversicherungsgeschäft beinhaltet. Die Ergebnisse es Erstversicherers bzgl. seiner Rückversicherungswahl sin abei auf en Sachverhalt eines Privatkunen bzgl. einer vom Erstversicherer angebotenen Versicherung übertragbar. Dies gelingt, a im letztgenannten Fall er Kune er Versicherungsnehmer bzgl. einer Versicherung ist, er Erstversicherer agegen er Versicherungsnehmer bzgl. er Rückversicherung. Zunächst wir in Kapitel 1 eine Einführung in ie Rückversicherung gegeben. Es wir ie Klasse er proportionalen un nicht-proportionalen Rückversicherung vorgestellt un ie Funktionsweise er jeweiligen Vertragsarten besprochen. Besonere Aufmerksamkeit liegt in iesem Rahmen bei er nicht-proportionalen Rückversicherung, auf ie später ie hybrien Entscheiungsprinzipien angewenet weren. In Kapitel 2 weren ie Grunlagen zur Moellierung von Entscheiungsprinzipien gelegt un ie verweneten Prinzipien vorgestellt. Dabei wir auf en Aspekt er Risikoeinstellung un Risikomessung eingegangen sowie auf en Begriff er Kohärenz. Fortführen wir ie Erwartungsnutzen- un ie uale Nutzentheorie beleuchtet un ie Konsistenz er Entscheiungsprinzipien zu en jeweiligen Nutzentheorien gezeigt. Kapitel 3 stellt as Newsvenor Moell, ein Moell es Supply Chain Managements, vor, für welches ie hybrien Entscheiungsprinzipien bereits Anwenung gefunen haben, um später auf Analogien zwischen iesem Moell un em Rückversicherungsmoell eingehen zu können. Im arauf folgenen Kapitel 4 weren ann für as Rückversicherungsproblem ie unterstellte Gewinnfunktion es Erstversicherers un ie verweneten Schaensverteilungen vorgestellt, mit enen im weiteren Verlauf ie zwei Deckungsgrenzen er nicht-proportionalen Rückversicherung optimiert weren. Die grunlegenen Fragen sin abei: Bei welcher Risikoeinstellung wir ein Erstversicherer ie Rückversicherung präferieren? Wenn ein Erstversicherer ie Rückversicherung präferiert, welche Deckungsgrenzen bevorzugt er? Welchen Einfluss hat er Gewinnaufschlag es Rückversicherers? Wie änern sich ie präferierten Deckungsgrenzen mit er Zunahme an Risikoaversion? Wann ist er Erstversicherer inifferent in seiner Entscheiung? Inhalt es Kapitel 5 bzw. es Kapitel 6 ist abei ie Optimierung er Gewinnfunktion eines Zeenten mit hybrien Entscheiungsprinzipien bzgl. er unteren bzw. er oberen Deckungsgrenze eines nicht-proportionalen Rückversicherungsvertrages. Des Weiteren weren ie Analogien zwischen en beien Rückversicherungsmoellen un em Newsvenor Moell

16 14 beleuchtet un auch ie Möglichkeit er Bestimmung er Risikoeinstellung es Erstversicherers bzgl. eines gewählten Rückversicherungsvertrages vorgeführt. Aus er Wahl eines konkreten Rückversicherungsvertrages wir abei für as jeweilige Entscheiungsprinzip ie Risikoeinstellung abgeleitet. Mit er festgestellten Risikoeinstellung es Erstversicherers ist es wieerum möglich, Hanlungsempfehlungen bzgl. zukünftiger nichtproportionaler Rückversicherungsverträge, unter Annahme einer Schaensverteilung un eines Gewinnaufschlages es Rückversicherers, zu geben. Anschließen wir in Kapitel 7 as Moell für beie Deckungsgrenzen optimiert. Zusätzlich wir as Moell in er Situation er Entscheiung unter Ungewissheit betrachtet. Des Weiteren weren verschieene Kenngrößen es Erstversicherers mit Hilfe er stochastischen Dominanz untersucht. Im Kapitel 8 wir as Erst- un as Rückversicherungsgeschäft simultan optimiert. Zentrale Fragen abei sin: Welchen Deckungsschutz bzgl. er Rückversicherung präferiert er Erstversicherer? Welche Erstversicherungsprämie sollte er Versicherer von seinen Privatkunen verlangen? Beeinflussen sich as Erst- un Rückversicherungsgeschäft gegenseitig? Für ieses Moell weren insbesonere Abschätzungen bzgl. er Prämie gegeben. Den Abschluss er Arbeit bilet ein Fazit sowie ein Forschungsausblick.

17 Teil II Grunlagen 15

18 Kapitel 1 Rückversicherungstheorie 1.1 Einführung Jeer möchte sich vor Risiko schützen, so auch eine Versicherung. Denn währen eine Versicherung ie Schäen ihrer Kunen versichert, wir sie gleichzeitig immer auch von em Risiko beroht, sich bei einem extrem hohen Schaen finanziell zu überforern. Um ies zu verhinern, schließen Versicherer im Privatkunenbereich, auch Erstversicherer oer Direktversicherer genannt, Versicherungen bei Rückversicherern ab. Eine Rückversicherung ist somit in ihrer einfachsten Definition ie Versicherung eines Versicherungsunternehmens. Eine Rückversicherung ient somit zur Abgabe eines Teils er Schäen es Erstversicherers aus seinem Privatkunengeschäft. Der Rückversicherer erhält für ie übernommenen Schäen eine Rückversicherungsprämie. Die Überwälzung ieser Schäen erfolgt mittels Versicherungsverträgen aufgrun gesetzlicher Bestimmungen. Ziel er Rückversicherung ist amit ie Risikobegrenzung un Risikoverteilung es Erstversicherers 1. Das Ausmaß er benötigten Rückversicherung liegt abei im unternehmerischen Ermessen es Erstversicherers. Entscheiene Faktoren hierfür sin unter anerem Risikobereitschaft, Größe es Zeenten, finanzielle Kapazität un Reservekraft es Erstversicherers. Eine absolute Sicherheit vor finanzieller Überforerung gibt es nicht. Unternehmen können mittels Rückversicherungsverträgen leiglich ie Wahrscheinlichkeit eines Existenzverlustes verringern. Eine Rückversicherung hat emnach zwei grunsätzliche Aufgaben: erstens, ie jährlichen Schwankungen er Schaenslast es Erstversicherers einzuschränken un zweitens, für en Katastrophen-, as heißt en Extremfall gewappnet zu sein 2. Letzteres soll ie Solvabilität es Versicherungsunternehmens auch im Extremfall sicherstellen. Unter Solvabilität eines Versicherungsunternehmens versteht man in iesem Zusammenhang ie Fähigkeit von Versicherungsunternehmen, ie urch en Abschluss von Versicherungs- 1 Vgl. Schwepcke 21), S. 14, Grossmann 199), S. 7 bzw. Mack 1997), S Vgl. auch Straub 1988), S. 68 bzgl. er Vorgehensweise im Rückversicherungsgeschäft. In iesem Zusammenhang geht er auch auf Retrozession Versicherung eines Rückversicherers) ein. 2 Vgl. Schweizerische Rückversicherungs-Gesellschaft Zürich 22), S

19 KAPITEL 1. RÜCKVERSICHERUNGSTHEORIE 17 verträgen eingegangenen Verpflichtungen erfüllenzukönnen. 3. Die Funktionen, ie eine Rückversicherung abei für ie Erstversicherer erfüllt, sin vielfältig un meist von Fall zu Fall verschieen. In er Regel richten sie sich nach en Beürfnissen er Zeenten 4, wie zum Beispiel eren Spezialisierung, regionale Ausrichtung, Vertriebsweg, Fokus auf Kunengruppen un er jeweilig in Anspruch genommenen Leistungen. Die Hauptfunktionen er Rückversicherung sin erstens in er Übertragung un amit Teilung von Risiko, zweitens in er Finanzierung von Risiko un amit verbunen er Unterstützung von Zeenten bei er Übernahme von Leistungen, ie oberhalb eigener finanzieller Möglichkeiten liegen un rittens in Beratung un Support es Zeenten zu sehen 5. Die Serviceleistungen sin insgesamt vielfältig un von Kunenbeürfnissen als auch Marktgegebenheiten abhängig 6. Beeutene Erstversicherer nach Marktkapitalisierung stellen abei unter anerem Axa, Allianz un Generali 7,iegrößten Rückversicherer weltweit nach Netto-Rückversicherungsbeiträgen im Jahr 25 ie Swiss Re, Münchener Rück, Berkshire Hathaway Re, Hannover Rück, Lloy s un XL Re 8 ar. Abbilung 1.1: Die größten Erst- un Rückversicherer im Jahr 25, Financial Times Deutschlan 27). 3 Vgl. Dillmann 27), S Ein Erstversicherer wir auch Zeent genannt. 5 Vgl. Schwepcke 21), S Sie reichen von Prouktentwicklungen, Aufbauhilfe, Bestans- un Schaensanalyse bis zu Mitarbeiterausbilung un Schaensmanagement. Neben umfassenem Branchenwissen bieten Rückversicherungen auch langjährige Erfahrungen an. 7 Vergleich er größten Versicherer siehe Abbilung Vergleich er größten Rückversicherer siehe Abbilung 1.1.

20 KAPITEL 1. RÜCKVERSICHERUNGSTHEORIE 18 Die größten vier Rückversicherer ecken in iesem Rahmen über 35 Prozent es Marktes ab 9. Neben en weltweit agierenen Rückversicherern gibt es zusätzlich auch zahlreiche regional agierene beziehungsweise auf verschieenste Sparten spezialisierte Anbieter. Typische Versicherungssparten stellen abei für Erst- un Rückversicherer ie Lebensversicherung, Krankenversicherung, Unfallversicherung, Allgemeine Haftpflicht, Kraftfahrtversicherung, Feuerversicherung, Sachversicherung, Transport- un Luftfahrtversicherung un ie Kreitversicherung ar. Die ersten Anfänge er Rückversicherung sin im 14. Jahrhunert mit em Abschluss es ersten Rückversicherungsvertrages zu suchen. Die professionelle Rückversicherung wure abei im Rahmen er inustriellen Revolution begrünet un hat sich seither stetig fortentwickelt. Es lässt sich nunmehr ie traitionelle als auch nicht-traitionelle Rückversicherung unterscheien. Erstere soll hier betrachtet weren. Diese lässt sich anhan von Formen un Arten weiter unterteilen. Fortfolgen sollen wesentliche Formen von Rückversicherungsverträgen im Allgemeinen erörtert weren. Dies geschieht unabhängig von speziellen Rückversicherungsunternehmen. 1.2 Formen er Rückversicherung Traitionelle Rückversicherungsverträge lassen sich in zwei grunlegene Ansätze unterteilen. Einerseits wir unterschieen nach Versicherungsformen un anererseits nach Versicherungsarten. Erstere geben Informationen über ie Gestaltung von Versicherungsverträgen, letztere über ie Methoe er Risikoabeckung. Die Ansätze sin kombinierbar. Im Folgenen sollen ie Formen er Rückversicherung näher betrachtet weren. Die Rückversicherungsform charakterisiert ie Ausgestaltung es Rückversicherungsvertrages. Dabei ist entscheien, ob ie Risikoübernahme binen oer freiwillig geschieht. Sin beie, er Erstun er Rückversicherer, an ie Risikoübernahme gebunen, spricht man von obligatorischer Rückversicherung, sin beie frei in ihrer Entscheiung von fakultativer Rückversicherung. Ist nur eine Vertragspartei gebunen un ie anere frei, spricht man von semiobligatorischer Rückversicherung 1. Es lassen sich als Versicherungsformen, ie obligatorische, fakultative als auch semiobligatorische Rückversicherung festhalten. Diese sollen im Weiteren kurz erläutert weren Obligatorische Rückversicherung Das Wesen er obligatorischen Rückversicherung ist ie vertragliche Einigung es Erstversicherers mit em Rückversicherer auf alle Risiken eines bestimmten Bestanes. Die Übergabe bzw. ie Übernahme er Risiken ist abei verpflichten 11. Diese Vertragsart wir auch Ver- 9 Vgl. Schweizerische Rückversicherungs-Gesellschaft Zürich 22), S Vgl. Schwepcke 21), S Vgl. Grossmann 199), S. 74.

21 KAPITEL 1. RÜCKVERSICHERUNGSTHEORIE 19 tragsrückversicherung genannt. Die Einzelrisiken weren in er Regel em Rückversicherer nicht bekannt gegeben. Alle im Rahmen er vereinbarten Annahmerichtlinien versicherten Risiken fallen automatisch unter en Geltungsbereich es Rückversicherungsvertrages. Dies bringt für en Zeenten vor allem eine Vereinfachung er Aministration, für en Zessionär 12 jeoch Nachteile urch ie verminerten Kontrollmöglichkeiten un ie eingeschränkte Chance, sich vor extremen Risiken zu schützen. Die obligatorische Rückversicherung setzt zuem ein hohes Vertrauen er Vertragspartner voraus, a iese Vertragsform eine automatische Kaptitalbereitstellung für en Erstversicherer vorsieht, inem er Rückversicherer laut Vertragsbeingungen zur Übernahme er Risiken verpflichtet ist 13. Ein typisches Beispiel hierfür ist er Kraftfahrzeugsversicherungsbestan eines Erstversicherers, wobei jees im vereinbarten Vertragszeitraum im Bestan befinliche Kraftfahrzeug automatisch rückversichert ist Fakultative Rückversicherung Das Wesen er fakultativen Rückversicherung im Vergleich zur obligatorischen Rückversicherung besteht in er fallweisen Übertragung einer oer mehrerer Schäen auf en Zessionär. Da beie Vertragsparteien nicht an ie vertraglichen Abmachungen gebunen sin, wir sie auch als freiwillige Rückversicherung bezeichnet 14. Ein Erstversicherer hat hierbei ie freie Wahl es Rückversicherers sowie ie Möglichkeit zu entscheien, ob un in welcher Höhe er sein Risiko ecken lassen will. Der Rückversicherer agegen hat nach Prüfung aller relevanten Informationen ie Wahl, ob er sich tatsächlich un in welcher Höhe an em Risiko beteiligen möchte. Der araus entwickelte Vertrag bezieht sich auf ie Deckung von Einzelrisiken un enet mit em Enatum er Police. Eine Verlängerung liegt im Ermessen beier Parteien. Währen man ie obligatorische Rückversicherung oft auch als Generalrückversicherung bezeichnet, a ein Portfolio von Risiken verpflichten versichert wir, weren für fakultative Formen auch oft ie Ausrücke Einzel- oer Spezialrückversicherung verwenet 15,aiese iniviuelle Einzelrisiken tangieren. Im Vergleich hieße ies also, ass sich bei er fakultativen Rückversicherung ie Vertragspartner auf ie Versicherung eines bestimmten Risikos, bei er obligatorischen Rückversicherung auf ie Versicherung aller Risiken, einigen. Die fakultative Rückversicherung wir hiernach entweer für Sonerrisiken verwenet, ie in keinem obligatorischen Rückversicherungsvertrag erfasst sin oer für Spitzenrisiken, ie über en Umfang bestehener obligatorischer Rückversicherungsverträge hinaus für en Erst- 12 Ein Rückversicherer wir auch Zessionär oer Zessionar genannt. 13 Vgl. Schwepcke 21), S Vgl. Grossmann 199), S Vgl. Grossmann 199), S. 73.

22 KAPITEL 1. RÜCKVERSICHERUNGSTHEORIE 2 versicherer entstehen. Ein typisches Beispiel für eine fakultative Rückversicherung stellt ie Versicherung eines größeren Gebäues, zum Beispiel einer Fabrik, ar Semiobligatorische Rückversicherung Über ie fakultative un ie obligatorische Rückversicherung hinaus gibt es Mischverträge aus beien Formen. Sie umfassen en fakultativ-obligatorischen 16 als auch en obligatorischfakultativen 17 Rückversicherungsvertrag 18. Die fakultativ-obligatorische Rückversicherung ist auch unter em Begriff Open Cover bekannt. Die Zession eines Risikos bleibt bei ieser Form im Ermessen es Erstversicherers. Der Erstversicherer stellt amit as fakultative Element es Vertrages ar. Der Rückversicherer hingegen muss jee Zession akzeptieren un ist somit as obligatorische Element es Vertrages. Bei er obligatorisch-fakultativen Rückversicherungsform agegen ist er Erstversicherer zur Zession bestimmter Risiken verpflichtet, währen ie Annahme er Zession im Ermessen es Rückversicherers liegt. Der Erstversicherer stellt in iesem Fall as obligatorische, er Rückversicherer agegen as fakultative Element es Vertrages ar. Da ie semiobligatorischen Vertragsformen sehr verwaltungsaufwenig sin, treten iese in er Praxis sehr selten auf. Darüber hinaus setzen sie Vertrauen, als auch Kenntnis er jeweiligen Geschäftsprozesse voraus, amit eine stark einseitige Benachteiligung vermieen wir. 1.3 Arten er Rückversicherung Neben er Unterscheiung nach er Form von Versicherungen un amit er Differenzierung nach Pflicht oer Freiwilligkeit er Abgabe beziehungsweise Annahme von Risiken, weren Rückversicherungsverträge auch in ihre Arten unterteilt. Diese geben Aufschluss arüber, mit welcher Methoe ie Risiken rückversichert weren. Innerhalb er Arten weren proportionale un nicht-proportionale Verträge unterschieen. Die proportionalen Versicherungen weren abei auch oft unter em Begriff er Summenrückversicherung, ie nicht-proportionalen unter em Begriff Schaensrückversicherung aufgeführt. Beie Arten sin in fakultativer als auch obligatorischer Form er Rückversicherung verwenbar. Die Arten, inklusive eren Hauptformen, sollen im Folgenen näher erläutert weren. 16 Auch akzeptionspflichtige Rückversicherung genannt. In ieser ist er Zessionär zur Übernahme bestimmter Risiken verpflichtet. 17 Auch zessionspflichtige Rückversicherung genannt. In ieser ist er Zeent zur Abgabe bestimmter Risiken verpflichtet. 18 Vgl. Schwepcke 21), S. 19 f.

23 KAPITEL 1. RÜCKVERSICHERUNGSTHEORIE Proportionale Rückversicherung Bei er proportionalen Rückversicherung wir as rückzuversicherne Risiko zwischen Zeent un Rückversicherer nach einem festen Prozentsatz aufgeteilt, er zugleich en Anteil es Rückversicherers an en auf ie Versicherungen entfallenen Teil- oer Totalschäen bestimmt sowie en Anteil es Rückversicherers an er Originalprämie. 19. Es hanelt sich also per Definition um Vertragsarten, bei enen sich er Rückversicherer in einem bestimmten efinierten Verhältnis am Risiko un an en Schäen es Erstversicherers beteiligt. Die Versicherungssummen, ie Schäen un ie Prämien weren zwischen beien Parteien proportional aufgeteilt. Durch ie Schaensbeteiligung teilt er Rückversicherer bei essen Zeichnungspolitik irekt as Schicksal es Erstversicherers un somit ie Schaenserfahrung. Grunlage es Aufteilungsverhältnisses zwischen Zeent un Zessionär ist as Volumen es versicherungstechnischen Gesamtrisikos es Zeenten. Das versicherungstechnische Gesamtrisiko ist ie Summe aller Versicherungssummen aus em Privatkunengeschäft 2.Daherweren proportionale Rückversicherungen auch Summenrückversicherungen genannt. Die Hauptformen ieser Versicherungsart sin ie Quoten-Rückversicherung sowie ie Summenexzeenten-Rückversicherung. Zusätzlich existieren Mischformen er proportionalen Arten, eine Quotenexzeenten-Rückversicherung, ein Summenexzeent mit Vorwegquote un eine Quote mit Vorwegexzeent. Seine hauptsächliche Verwenung finen solche proportionalen Verträge besoners in er obligatorischen Rückversicherung. Vor allem kleine Erstversicherer wählen iese Vertragsart, a iese in größerem Ausmaß von einzelnen größeren Schäen oer auch er Schaenshäufigkeit gefähret weren. Dies ist em Versicherungskollektiv geschulet, a as Gesetz er großen Zahlen noch nicht für einen ausreichenen Risikoausgleich sorgt. Das Gesetz besagt, ass mit steigener Anzahl von gleichartigen Ereignissen 21 sich er tatsächliche Ausgang Summe er Schäen) em erwarteten Ausgang erwartete Summe er Schäen) anpasst. Dabei nimmt ie Variabilität er Summe er Schäen um ie erwartete Summe er Schäen ab 22. Im Folgenen wir näher auf ie Vertragsarten er proportionalen Rückversicherung eingegangen Quoten-Rückversicherung Die Quoten-Rückversicherung ist eine er Hauptformen er proportionalen Rückversicherungen. Dabei übernimmt er Zessionär immer en gleichen prozentualen Anteil Quote) von allen Erstversicherungsverträgen währen er gesamten Vertragszeit innerhalb einer Sparte oer Branche Vgl. Pfeiffer 1986), S Vgl. Schwepcke 21), S Im Versicherungskontext sin as ie Schaensfälle. 22 Vgl. Schulte 26) S, 54 ff. 23 Vgl. Grossmann 199), S. 89. Die Übernahmepflicht es Zessionärs ist abei in er Summe beschränkt.

24 KAPITEL 1. RÜCKVERSICHERUNGSTHEORIE 22 Entsprechen er festgelegten Quote weren ann ie Prämien, Haftungen un ie Schaensleistungen zwischen en Parteien aufgeteilt. Der Beteiligungssatz er Rückversicherer ergibt sich abei aus em Quotient von Versicherungssumme reuziert um en Selbstbehalt 24 un er Versicherungssumme. Der Vorteil ieser Vertragsart liegt abei besoners in er einfachen Hanhabung, er weniger kostenintensiven Verwaltung un em Schutz vor er Kumulierung vieler kleiner un mittlerer Schäen, ie im Schaensfall meist auftreten. Sie empfiehlt sich besoners für ie Versicherung mehrerer gleichartiger Risiken, bei enen eine ifferenzierte Behanlung nicht von Interesse ist. Die Risikoüberwälzung ist abei optimal, wenn sich ie versicherten Risiken möglichst ähnlich sin. Da ie Quoten-Rückversicherung keine nivellierene, ausgleichene Wirkung besitzt, ist sie weit weniger verbreitet als ie Summenexzeenten-Rückversicherung. Generell ist sie zum Beispiel in er Allgemeinen Unfall- un Haftpflichtversicherung, in er Kreitversicherung, in er Kraftfahrzeug-Haftplichtversicherung un in er Krankenversicherung aufzufinen. Sie ist besoners für en Klein- un Mittelschaenbereich geeignet, im Bereich er großen Einzelschäen ist sie aufgrun er fehlenen ausgleichenen Wirkung weniger zu empfehlen. Die Risikoteilung zwischen Erst- un Rückversicherer bei er Quoten-Rückversicherung soll im Folgenen an zwei Beispielen, einmal ohne un einmal mit Haftungsbeschränkung es Rückversicherers, vereutlicht weren. Beispiel Quoten-Rückversicherung ohne Haftungsbeschränkung) Ein Erstversicherer möchte seinen gesamten Kraftfahrzeughaftpflichtbestan rückversichern. Die Summe er von ihm eingenommenen Prämien belaufe sich auf 1 Euro un ie Versicherungssumme aller Verträge sei 25 Euro. Zwischen em Zeent un em Zessionär wure eine Quoten-Rückversicherung mit einer Quote von 4 % vereinbart. Zunächst weren ie eingenommenen Versicherungsprämien entsprechen er Quote zwischen beien Parteien aufgeteilt. Somit erhält er Rückversicherer als Rückversicherungsprämie 25 4 % von allen Erstversicherungsprämien,. h. 4 Euro. Die restlichen 6 Euro verbleiben em Zeenten als Gegenleistung für sein übernommenes Risiko. Es tritt ein Schaen von 5 Euro ein. Somit muss er Rückversicherer für 4 Prozent es Schaens, also 2 Euro, haften. Der Zeent übernimmt ie restlichen 3 Euro. Treten weitere Schäen ein, bleibt as Aufteilungsverhältnis von 4 Prozent unveränert. Beispiel Quoten-Rückversicherung mit Haftungsbeschränkung) Man unterstelle en gleichen Sachverhalt es vorangegangenen Beispiels mit einer Prämiensumme von 1 un einer Versicherungssumme von 25 Euro. Ebenfalls sei eine 24 Den Schaen, er vom Erstversicherer übernommen wir, bezeichnet man als Selbstbehalt. Somit gibt ie Quote en Anteil es Rückversicherers an en Schäen un Prämien an. 25 Das Entgelt für as vom Rückversicherer übernommene Risiko wir Rückversicherungsprämie genannt.

25 KAPITEL 1. RÜCKVERSICHERUNGSTHEORIE 23 Quote von 4 % vereinbart woren. Zusätzlich möchte er Rückversicherer seine Haftung bezogen auf en Maximalschaen auf 2 Euro beschränken. Dies entspricht einer Haftung von 8 %. Dies beeutet, ass bei allen auftretenen Schäen nur 8 % er Schaenssumme unter en Rückversicherungsvertrag fallen. Demzufolge stehen em Rückversicherer als Prämie nur 4 % von 8 % 8 Euro) er eingenommenen Versicherungsprämien zu. Somit zahlt er Zeent an en Zessionär eine Rückversicherungsprämie von 3 2 Euro. Analog verhält es sich bei en eingetretenen Schäen. Es trete ein Schaen von 5 Euro ein. Unter en Rückversicherungsvertrag fallen aber nur 8 %, also4euro.dieseweren entsprechen er Quote zwischen em Erst- 24 Euro) un Rückversicherer 16 Euro) aufgeteilt. Die vom Quoten-Vertrag nicht abgeeckten 2 % er Schäen weren entweer vom Zeenten getragen oer urch eine weitere Rückversicherung versichert. Dafür stehen em Erstversicherer 2 % er Versicherungsprämien 2 Euro) zur Verfügung. Im Folgenen soll auf ie zweite Hauptform er proportionalen Rückversicherung, ie Summenexzeenten-Rückversicherung, eingegangen weren Summenexzeenten-Rückversicherung Bei er Summenexzeenten-Rückversicherung transferiert er Zeent nur ie Haftung er Risiken oberhalb eines Selbstbehaltes an en Rückversicherer. Das Verhältnis er Risikoteilung zwischen beien Vertragsparteien ist somit von Fall zu Fall verschieen 26. Dabei weren verschieene Policen entsprechen ihrer Risiken zu Gruppen zusammengefasst. Die Rückversicherung finet ann anhan einer festgelegten Summe statt. Der Anteil es Rückversicherers bestimmt sich aus en übernommenen Rückversicherungssummen bezogen auf ie Gesamtversicherungssumme es Zeenten. Er wir im Vergleich zum Quotenrückversicherungsvertrag nicht mehr an er Absicherung aller Risiken beteiligt, sonern nur an Schäen, ie en Selbstbehalt es Zeenten übersteigen. Diese Schäen weren ann proportional unter en Vertragsparteien aufgeteilt. Dabei wir sich an höheren Risiken stärker beteiligt als an kleinen. Häufig wir ie Rückversicherungssumme Summenexzeent) 27 seitens es Zessionärs begrenzt, so ass eine Höchstzeichnungsgrenze für en Zeent entsteht 28. Dabei finet iese Vertragsart üblicherweise in Form er obligatorischen oer semi-obligatorischen Rückversicherung Anwenung. Die Schaensteilung für ie Summenexzeenten-Rückversicherung soll Abbilung 1.2 vereutlichen. Der Vorteil er Summenexzeenten-Rückversicherung ist in iesem Rahmen ie Reuktion von Spitzenrisiken un ie resultierene Homogenisierung es risikobehafteten Bestanes es Zeenten. Für en Erstversicherer erhöht sich aufgrun ieser Art er Risikoübernahme seine 26 Vgl. Helbig 1987), S Im Englischen auch surplus genannt. 28 Vgl. Farny 1995), S. 488.

26 KAPITEL 1. RÜCKVERSICHERUNGSTHEORIE 24 Schaenshöhe Gesamtschaen Rückversicherer Erstversicherer Selbstbehalt Schaen Abbilung 1.2: Aufteilung er Schäen bei er Summenexzeenten-Rückversicherung. Zeichnungskapazität. Es wir ihm ermöglicht, größere Risiken zu übernehmen. Im Vergleich zur Quotenrückversicherung setzt er Vertrag erst mit einer bestimmten Schaenshöhe ein. Dafür ist er jeoch auch für uneinheitliche Risiken zu verwenen. Besoners lässt sich iese Vertragsart in en Sachversicherungszweigen, er Feuer-, Unfallun Lebensversicherung finen. Vor allem in Branchen mit stark unterschielichen Versicherungssummen ist iese ein bewährtes Instrument. Nachteilig ist jeoch er mit ihr verbunene höhere Verwaltungs- un Kostenaufwan. Außerem bietet er Summenexzeent keinen absoluten Schutz vor Kumulschäen 29. Die Summenexzeenten-Rückversicherung ist ie älteste un gleichzeitig auch wichtigste Art er proportionalen Rückversicherung un soll zum Abschluss an zwei Beispielen veranschaulicht weren. Beispiel Summenexzeenten-Rückversicherung ohne Haftungsbeschränkung) Ein Zeent besitzt ein Versicherungsportfolio bzgl. Feuerversicherung mit einer Versicherungssumme von 1 Million Euro. Dafür hat er insgesamt Versicherungsprämien im Wert von 5 Euro eingenommen. Der Zeent möchte ie Schäen aus iesem Versicherungsportfolio reuzieren un schließt eine Summenexzeenten-Rückversicherung ab. Dabei ist er bereit, Schäen unter 2 Euro Selbstbehalt) selbst zutragen. Zunächst wir as Verhältnis zwischen Selbstbehalt un Haftungsstrecke bestimmt. Der Selbstbehalt beträgt 2 Euro un somit ist ie Haftungsstrecke 8 Euro, zusammen eine Million Euro. Es liegt ein Verhältnis von 1:4 vor. Dieses Verhältnis ist ie Grunlage zur Berechnung er Rückversicherungsprämie. Dem Zessionär stehen vier von fünf Teilen er eingenommenen Versicherungsprämien zu, also 4 Euro. Es trete ein Schaen nach em Vertragsabschluss er Rückversicherung in Höhe von 16 Euro ein. Dieser fällt aufgrun es Selbstbehaltes nicht unter en Rückversicherungsschutz. Für iesen Schaen haftet allein er Erstversicherer. Es trete ein zweiter Scha- 29 Vgl. Strauß 1988), S. 14.

27 KAPITEL 1. RÜCKVERSICHERUNGSTHEORIE 25 en von 4 Euro ein. Dieser Schaen überschreitet en Selbstbehalt un wir zwischen em Zeenten un em Zessionär entsprechen em festgestellten Verhältnis geteilt. Somit übernimmt er Rückversicherer vier von fünf Teilen es Schaens 32 Euro) un für en restlichen Teil von 8 Euro haftet er Erstversicherer. Beispiel Summenexzeenten-Rückversicherung mit Haftungsbeschränkung) Es bestehe gleicher Sachverhalt wie im vorherigen Beispiel. Zusätzlich möchte er Zessionär seine Haftung auf en reifachen Selbstbehalt beschränken. Somit haftet er Rückversicherer bei einem Maximalschaen mit 6 Euro, er restliche Schaen von 4 Euro ist vom Zeenten zu ecken. Somit ist as Verhältnis zwischen Erst- un Rückversicherer 4 zu 6 bzw. 2 zu 3. Für ie Rückversicherungsprämie zahlt er Zeent amit rei von fünf Teilen er eingenommenen Versicherungsprämien, also 3 Euro. Es trete ein Schaen von 16 Euro ein, ieser ist kleiner als er Selbstbehalt un muss somit allein vom Erstversicherer getragen weren. Ein Schaen von 4 Euro wir entsprechen em Verhältnis 2:3 zwischen em Erst- 16 Euro) un Rückversicherer 24 Euro) aufgeteilt. Bei ieser Summenexzeenten-Rückversicherung mit Haftungsbeschränkung trägt er Erstversicherer nicht 2 Prozent 3, sonern 4 Prozent es Schaens, wenn er Schaen oberhalb es Selbstbehaltes liegt. Dieses zusätzlich übernommene Risiko kann er Zeent urch eine weitere Rückversicherung ecken lassen Mischformen er proportionalen Rückversicherung Neben Quoten- un Summenexzeenten-Rückversicherung existiert eine Mischform aus iesen zwei Hauptarten, ie Quotenexzeenten-Rückversicherung. Ihre Aufgabe ist im Allgemeinen ie Kombination er Finanzierungsweise er Quoten-Rückversicherung mit er Homogenisierungs- un Kapazitätsbeschaffungsfunktion er Summenexzeenten-Rückversicherung un amit ie optimale Anpassung an ie Beürfnisse er Erstversicherer. Meist stellt sie jeoch eher eine Übergangslösung für noch im Wachstum befinliche Unternehmen ar. Bei ieser Mischform finet eine weitere Reuktion es Selbstbehaltes es Erstversicherers in essen Summenexzenenten-Rückversicherung urch eine Quotenrückversicherung statt. Die in iesem Prozess einfließenen Anteile müssen nicht ientisch sein. Sin Beteiligungsumfang un Beteiligte ientisch, so spricht man allgemein von er Quotenexzeenten-Rückversicherung, ie eine ientische Schaensaufteilung zur Quoten-Rückversicherung aufweist. Sin ie Anteile nicht ientisch, lassen sich zwei Unterarten entsprechen ihrer zeitlichen Anwenungsreihenfolge unterscheien. Dabei bezeichnet man ie Unterart, in er ie Quote zeitlich vorangehen ist, ass heißt rechnerisch zuerst angewenet wir, als Summenexzeent mit Vorwegquote, ie Unterart, in er ie Quote rechnerisch zuletzt angewenet wir, als Quote mit Vorwegexzeent. 3 2 Prozent ist er Anteil es Erstversicherers ohne Haftungsbeschränkung.