Flussmethoden: orthogonales Graphenzeichnen

Transkript

1 Algorithmen zur Visualisierung von Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Tamara Mchedlidze Martin Nöllenburg

2 Orthogonale Gitterzeichnungen 2

3 Orthogonale Gitterzeichnungen Wiederholung: Was kennen Sie schon dazu? 2

4 (Planare) Orthogonale Zeichnungen Dreistufiger Ansatz: V = {v,v 2,v 3,v 4 } E = {v v 2,v v 3,v v 4,v 2 v 3,v 2 v 4 } Topology Shape Metrics [Tamassia SIAM J. Comput. 987] 3

5 (Planare) Orthogonale Zeichnungen Dreistufiger Ansatz: V = {v,v 2,v 3,v 4 } E = {v v 2,v v 3,v v 4,v 2 v 3,v 2 v 4 } Topology Shape Metrics [Tamassia SIAM J. Comput. 987] Kreuzungsminimierung kombinatorische Einbettung

6 (Planare) Orthogonale Zeichnungen Dreistufiger Ansatz: V = {v,v 2,v 3,v 4 } E = {v v 2,v v 3,v v 4,v 2 v 3,v 2 v 4 } Topology Shape Metrics [Tamassia SIAM J. Comput. 987] Kreuzungsminimierung kombinatorische Einbettung Knickminimierung orthogonale Beschreibung

7 (Planare) Orthogonale Zeichnungen Dreistufiger Ansatz: V = {v,v 2,v 3,v 4 } E = {v v 2,v v 3,v v 4,v 2 v 3,v 2 v 4 } Kreuzungsminimierung kombinatorische Einbettung Topology Shape Metrics Knickminimierung orthogonale Beschreibung [Tamassia SIAM J. Comput. 987] planare Einbettung Flächenminimierung 4 3

8 (Planare) Orthogonale Zeichnungen Dreistufiger Ansatz: V = {v,v 2,v 3,v 4 } E = {v v 2,v v 3,v v 4,v 2 v 3,v 2 v 4 } Kreuzungsminimierung kombinatorische Einbettung Topology Shape Metrics Knickminimierung orthogonale Beschreibung [Tamassia SIAM J. Comput. 987] planare Einbettung Flächenminimierung 4 3

9 Knickminimierung bei fester Einbettung Problem geometrische Knickminimierung Geg: planarer Graph G =(V,E) mit Maximalgrad 4 kombinatorische Einbettung F und äußere Facette f 0 Ges: einbettungsäquivalente orthogonale Gitterzeichnung mit minimaler Knickanzahl 4

10 Knickminimierung bei fester Einbettung Problem geometrische Knickminimierung Geg: planarer Graph G =(V,E) mit Maximalgrad 4 kombinatorische Einbettung F und äußere Facette f 0 Ges: einbettungsäquivalente orthogonale Gitterzeichnung mit minimaler Knickanzahl bzw. zunächst folgende Variante Problem kombinatorische Knickminimierung Geg: planarer Graph G =(V,E) mit Maximalgrad 4 kombinatorische Einbettung F und äußere Facette f 0 Ges: einbettungsäquivalente orthogonale Beschreibung H(G) mit minimaler Knickanzahl 4

11 Orthogonale Beschreibung Eingabe: planarer Graph G =(V,E), Facettenmenge F, äußere Facette f 0 Ausgabe: orthogonale Beschreibung H(G) ={H(f) f 2F} Facettenbeschreibung H(f): im UZS um f geordnete Folge von Kantenbeschreibungen (e,, ) mit e ist Randkante von f ist Folge in {0, } (0 = Rechtsknick, = Linksknick) ist Winkel 2{ 2,, 3 2, 2 } zwischen e und Nachfolger e0 5

12 Orthogonale Beschreibung: Beispiel H(f 0 )=((e,, 2 ), (e 5,, 3 2 ), (e 4, ;, ),(e 3, ;, ),(e 2, ;, 2 )) H(f )=((e, 00, 3 2 ), (e 2, ;, 2 ), (e 6, 00, )) H(f 2 )=((e 5, 000, 2 ), (e 6,, 2 ), (e 3, ;, ),(e 4, ;, 2 )) f 0 e e e 3 2 f f 2 e 4 e 6 e 5 Wie sieht die kombinatorische Zeichnung zu H(G) aus? 6

13 Orthogonale Beschreibung: Beispiel H(f 0 )=((e,, 2 ), (e 5,, 3 2 ), (e 4, ;, ),(e 3, ;, ),(e 2, ;, 2 )) H(f )=((e, 00, 3 2 ), (e 2, ;, 2 ), (e 6, 00, )) H(f 2 )=((e 5, 000, 2 ), (e 6,, 2 ), (e 3, ;, ),(e 4, ;, 2 )) f 0 0 e 0 f 0 e e e 3 2 f f 2 e 4 e 6 e e 6 e 5 e 2 e 3 e 4 f 0 f 2 0 6

14 Orthogonale Beschreibung: Beispiel H(f 0 )=((e,, 2 ), (e 5,, 3 2 ), (e 4, ;, ), (e 3, ;, ), (e 2, ;, 2 )) H(f )=((e, 00, 3 2 ), (e 2, ;, 2 ), (e 6, 00, )) H(f 2 )=((e 5, 000, 2 ), (e 6,, 2 ), (e 3, ;, ),(e 4, ;, 2 )) f 0 falsch rum!? f 0 0 e 0 f 0 e e e 3 2 f f 2 e 4 e 6 e e 6 e 5 e 2 e 3 e 4 f 0 f 2 0 6

15 Orthogonale Beschreibung: Beispiel H(f 0 )=((e,, 2 ), (e 5,, 3 2 ), (e 4, ;, ),(e 3, ;, ),(e 2, ;, 2 )) H(f )=((e, 00, 3 2 ), (e 2, ;, 2 ), (e 6, 00, )) H(f 2 )=((e 5, 000, 2 ), (e 6,, 2 ), (e 3, ;, ),(e 4, ;, 2 )) f 0 e e e 3 2 f f 2 e 4 e 6 e 5 f e e 6 e 5 e 2 e 3 e f 0 f 2 0 6

16 Orthogonale Beschreibung: Beispiel H(f 0 )=((e,, 2 ), (e 5,, 3 2 ), (e 4, ;, ),(e 3, ;, ),(e 2, ;, 2 )) H(f )=((e, 00, 3 2 ), (e 2, ;, 2 ), (e 6, 00, )) H(f 2 )=((e 5, 000, 2 ), (e 6,, 2 ), (e 3, ;, ),(e 4, ;, 2 )) f 0 e e e 3 2 f f 2 e 4 e 6 e 5 f e 0 2 e 2 e 3 e f 0 f 2 e 6 e 5 0 konkrete Geometrie noch nicht festgelegt! 6

17 Korrektheit einer orthogonalen Beschreibung (H) H(G) entspricht F,f 0 7

18 Korrektheit einer orthogonalen Beschreibung (H) H(G) entspricht F,f 0 (H2) für gemeinsame Randkante {u, v} zweier Facetten f und g mit ((u, v),, ) 2 H(f) und ((v, u), 2, 2 ) 2 H(g) gilt ist invertierte und umgedrehte Folge 2 7

19 Korrektheit einer orthogonalen Beschreibung (H) H(G) entspricht F,f 0 (H2) für gemeinsame Randkante {u, v} zweier Facetten f und g mit ((u, v),, ) 2 H(f) und ((v, u), 2, 2 ) 2 H(g) gilt ist invertierte und umgedrehte Folge 2 (H3) Sei 0 (bzw. )dieanzahlnullen(bzw.einsen)in und X r =(e,, ). Für C(r) := 0 X +2 2 / gilt: C(r) =4für f 6= f 0 und C(r) = 4 r2h(f) r2h(f 0 ) 7

20 Korrektheit einer orthogonalen Beschreibung (H) H(G) entspricht F,f 0 (H2) für gemeinsame Randkante {u, v} zweier Facetten f und g mit ((u, v),, ) 2 H(f) und ((v, u), 2, 2 ) 2 H(g) gilt ist invertierte und umgedrehte Folge 2 (H3) Sei 0 (bzw. )dieanzahlnullen(bzw.einsen)in und X r =(e,, ). Für C(r) := 0 X +2 2 / gilt: C(r) =4für f 6= f 0 und C(r) = 4 r2h(f) r2h(f 0 ) (H4) Für jeden Knoten v ist die Summe der anliegenden Winkel gleich 2 7

21 Kombinatorische Knickminimierung Problem kombinatorische Knickminimierung Geg: Graph G =(V,E) mit Maximalgrad 4 kombinatorische Einbettung F und äußere Facette f 0 Ges: einbettungsäquivalente orthogonale Beschreibung H(G) mit minimaler Knickanzahl 8

22 Kombinatorische Knickminimierung Problem kombinatorische Knickminimierung Geg: Graph G =(V,E) mit Maximalgrad 4 kombinatorische Einbettung F und äußere Facette f 0 Ges: einbettungsäquivalente orthogonale Beschreibung H(G) mit minimaler Knickanzahl Idee: erstelle ein Flussnetzwerk mit eine Flusseinheit entspricht einem /2 Winkel Fluss von Knoten zu Facetten entspricht Knotenwinkel Fluss zwischen Facetten entspricht Kantenknicken 8

23 Erinnerung: s-t Flussnetzwerk Flussnetzwerk (D =(V,A); s, t; c) mit gerichtetem Graph D =(V,A) Kantenkapazitäten c : A! R + 0 Quelle s 2 V,Senket 2 V Eine Abbildung X : A! R + 0 heißt s-t-fluss, falls gilt: X (i,j)2a X(i, j) 0 apple X(i, j) apple c(i, j) 8(i, j) 2 A () X X(j, i) =0 8i 2 V \{s, t} (2) (j,i)2a 9

24 Erinnerung: Allgemeines Flussnetzwerk Flussnetzwerk (D =(V,A); `; u; b) mit gerichtetem Graph D =(V,A) untere Kantenkapazitäten ` : A! R + 0 obere Kantenkapazitäten u : A! R + 0 Knotenbewertung b : V! R mit P i2v Eine Abbildung X : A! R + 0 b(i) =0 heißt Fluss, falls gilt: X (i,j)2a `(i, j) apple X(i, j) apple u(i, j) 8(i, j) 2 A (3) X X(i, j) X(j, i) =b(i) 8i 2 V (4) (j,i)2a 0

25 Fragestellungen für Flussnetzwerke (A) Gültiger Fluss: Finde einen gültigen Fluss X : A! R + 0,d.h. Kapazitäten l(e),u(e) werden respektiert Bedarf b(v) wird genau erfüllt

26 Fragestellungen für Flussnetzwerke (A) Gültiger Fluss: Finde einen gültigen Fluss X : A! R + 0,d.h. Kapazitäten l(e),u(e) werden respektiert Bedarf b(v) wird genau erfüllt Zusätzlich gegeben: Kostenfunktion cost : A! R + 0 Def: cost(x) := P (i,j)2a cost(i, j) X(i, j)

27 Fragestellungen für Flussnetzwerke (A) Gültiger Fluss: Finde einen gültigen Fluss X : A! R + 0,d.h. Kapazitäten l(e),u(e) werden respektiert Bedarf b(v) wird genau erfüllt Zusätzlich gegeben: Kostenfunktion cost : A! R + 0 Def: cost(x) := P (i,j)2a cost(i, j) X(i, j) (B) Minimalkostenfluss Finde einen gültigen Fluss X : A! R + 0,dercost(X) minimiert (unter allen gültigen Flüssen)

28 Flussnetzwerk zur Knickminimierung Flussnetzwerk N(G) =((V [F,A); `; u; b; cost) A = {(v, f) 2 V F v inzident zu f} [ A = {(f,g) 2F F f,g adjazent via Kante e} 2

29 Flussnetzwerk zur Knickminimierung Flussnetzwerk N(G) =((V [F,A); `; u; b; cost) A = {(v, f) 2 V F v inzident zu f} [ A = {(f,g) 2F F f,g adjazent via Kante e} b(v) =4 8v 2 V 2

30 Flussnetzwerk zur Knickminimierung Flussnetzwerk N(G) =((V [F,A); `; u; b; cost) A = {(v, f) 2 V F v inzident zu f} [ A = {(f,g) 2F F f,g adjazent via Kante e} b(v) =4 8v 2 V b(f) = 2(d G (f) 2) 8f 2F\{f 0 } b(f 0 )= 2(d G (f) + 2) 2

31 Flussnetzwerk zur Knickminimierung Flussnetzwerk N(G) =((V [F,A); `; u; b; cost) A = {(v, f) 2 V F v inzident zu f} [ A = {(f,g) 2F F f,g adjazent via Kante e} 9 b(v) =4 8v 2 V = b(f) = 2(d G (f) 2) 8f 2F\{f 0 } ; ) P w b(w) =0? b(f 0 )= 2(d G (f) + 2) 2

32 Flussnetzwerk zur Knickminimierung Flussnetzwerk N(G) =((V [F,A); `; u; b; cost) A = {(v, f) 2 V F v inzident zu f} [ A = {(f,g) 2F F f,g adjazent via Kante e} 9 b(v) =4 8v 2 V = b(f) = 2(d G (f) 2) 8f 2F\{f 0 } ; ) P w b(f 0 )= 2(d G (f) + 2) b(w) =0 (Euler) 2

33 Flussnetzwerk zur Knickminimierung Flussnetzwerk N(G) =((V [F,A); `; u; b; cost) A = {(v, f) 2 V F v inzident zu f} [ A = {(f,g) 2F F f,g adjazent via Kante e} 9 b(v) =4 8v 2 V = b(f) = 2(d G (f) 2) 8f 2F\{f 0 } ; ) P w b(f 0 )= 2(d G (f) + 2) b(w) =0 (Euler) 8(f,g) 2 A, f, g 2F `(f,g) :=0appleX(f,g) apple=: u(f,g) 8(v, f) 2 A, v 2 V,f 2F `(v, f) :=apple X(v, f) apple 4=:u(v, f) X X 8i 2 V [F X(i, j) X(j, i) =b(i) (i,j)2a (j,i)2a 2

34 Beispiel Flussnetzwerk f 0 f f 2 v 2 v 3 e 2 e 3 v e 4 e 6 e v 5 e 5 v 4 3

35 Beispiel Flussnetzwerk f 0 f f 2 v 2 v 3 e 2 e 3 v e 4 e 6 e v 5 e 5 v 4 3 V F

36 Beispiel Flussnetzwerk f 0 f f 2 v 2 v 3 e 2 e 3 v e 4 e 6 e v 5 e 5 v 4 V F V F 3

37 Beispiel Flussnetzwerk f 0 f f 2 v 2 v 3 e 2 e 3 v e 4 e 6 e v 5 e 5 v 4 V F F F V F 3

38 Beispiel Flussnetzwerk f 0-4 v 2 4 v 3 4 e 2 e 3 f f 2 v 4-2 e 6-4 e 4 e 4 v 5 e 5 4 v 4 V F F F V F 3

39 Beispiel Flussnetzwerk f 0-4 v 2 4 v 3 4 e 2 e 3 f f 2 v 4 e -2 4 e 6 v 5 e 5-4 e 4 4 v 4 `/u/c V F F F /4/0 V F 3

40 Beispiel Flussnetzwerk f 0-4 v 2 4 v 3 4 e 2 e 3 f f 2 v 4 e -2 4 e 6 v 5 e 5-4 e 4 4 v 4 `/u/c V F F F /4/0 0// V F 3

41 Beispiel Flussnetzwerk 3 f v 4 e f f v 2 4 v 3 4 e 2 e e 6 v 5 e e 4 4 v 4 `/u/c V F F F V F /4/0 0//

42 Beispiel Flussnetzwerk 3 f v 4 e f f v 2 4 v 3 4 e 2 e e 6 v 5 e e 4 4 v 4 cost = Knick! (nach außen) `/u/c V F F F V F /4/0 0//

43 Kernaussage Satz : Zu einem planar eingebetteten Graphen (G, F,f 0 ) existiert genau dann eine zulässige orthogonale Beschreibung H(G) mit k Knicken, wenn es im Flussnetzwerk N(G) einen Fluss x mit Kosten k gibt. 4

44 Kernaussage Satz : Zu einem planar eingebetteten Graphen (G, F,f 0 ) existiert genau dann eine zulässige orthogonale Beschreibung H(G) mit k Knicken, wenn es im Flussnetzwerk N(G) einen Fluss x mit Kosten k gibt. Beweis: ( Geg: Fluss x in N(G) mit Kosten k Ges: orthogonale Beschreibung H(G) mit k Knicken 4

45 Kernaussage Satz : Zu einem planar eingebetteten Graphen (G, F,f 0 ) existiert genau dann eine zulässige orthogonale Beschreibung H(G) mit k Knicken, wenn es im Flussnetzwerk N(G) einen Fluss x mit Kosten k gibt. Beweis: ( Geg: Fluss x in N(G) mit Kosten k Ges: orthogonale Beschreibung H(G) mit k Knicken transformiere Fluss in orthogonale Beschreibung zeige Eigenschaften (H) (H4) 4

46 Kernaussage Satz : Zu einem planar eingebetteten Graphen (G, F,f 0 ) existiert genau dann eine zulässige orthogonale Beschreibung H(G) mit k Knicken, wenn es im Flussnetzwerk N(G) einen Fluss x mit Kosten k gibt. Beweis: ( Geg: Fluss x in N(G) mit Kosten k Ges: orthogonale Beschreibung H(G) mit k Knicken transformiere Fluss in orthogonale Beschreibung zeige Eigenschaften (H) (H4) ) Geg: orthogonale Beschreibung H(G) mit k Knicken Ges: Fluss x in N(G) mit Kosten k 4

47 Kernaussage Satz : Zu einem planar eingebetteten Graphen (G, F,f 0 ) existiert genau dann eine zulässige orthogonale Beschreibung H(G) mit k Knicken, wenn es im Flussnetzwerk N(G) einen Fluss x mit Kosten k gibt. Beweis: ( Geg: Fluss x in N(G) mit Kosten k Ges: orthogonale Beschreibung H(G) mit k Knicken transformiere Fluss in orthogonale Beschreibung zeige Eigenschaften (H) (H4) ) Geg: orthogonale Beschreibung H(G) mit k Knicken Ges: Fluss x in N(G) mit Kosten k definiere Abbildung x : A! R + 0 zeige x erfüllt Flussbedingungen und hat Kosten k 4

48 Zusammenfassung Knickminimierung Aus Satz folgt, dass die orthogonale Knickminimierung für eingebettete planare Graphen durch Lösen eines Min-Cost-Flow Problems durchgeführt werden kann. 5

49 Zusammenfassung Knickminimierung Aus Satz folgt, dass die orthogonale Knickminimierung für eingebettete planare Graphen durch Lösen eines Min-Cost-Flow Problems durchgeführt werden kann. Dieses spezielle Flussproblem lässt sich unter Ausnutzung der Planarität von N(G) in O(n 3/2 ) Zeit lösen. [Cornelsen, Karrenbauer GD 20] 5

50 Zusammenfassung Knickminimierung Aus Satz folgt, dass die orthogonale Knickminimierung für eingebettete planare Graphen durch Lösen eines Min-Cost-Flow Problems durchgeführt werden kann. Dieses spezielle Flussproblem lässt sich unter Ausnutzung der Planarität von N(G) in O(n 3/2 ) Zeit lösen. [Cornelsen, Karrenbauer GD 20] Die Knickminimierung ohne gegebene kombinatorische Einbettung ist NP-schwer. [Garg, Tamassia SIAM J. Comput. 200] 5

51 Zusammenfassung Knickminimierung Aus Satz folgt, dass die orthogonale Knickminimierung für eingebettete planare Graphen durch Lösen eines Min-Cost-Flow Problems durchgeführt werden kann. Dieses spezielle Flussproblem lässt sich unter Ausnutzung der Planarität von N(G) in O(n 3/2 ) Zeit lösen. [Cornelsen, Karrenbauer GD 20] Die Knickminimierung ohne gegebene kombinatorische Einbettung ist NP-schwer. [Garg, Tamassia SIAM J. Comput. 200] Das Entscheidungsproblem, ob ein Graph eine orthogonale Zeichnung mit höchstens f(e) Knicken pro Kante e besitzt ist polynomiell lösbar, falls f(e) für alle e 2 E. [Bläsius et al. GD 200] 5

52 (Planare) Orthogonale Zeichnungen Dreistufiger Ansatz: V = {v,v 2,v 3,v 4 } E = {v v 2,v v 3,v v 4,v 2 v 3,v 2 v 4 } Kreuzungsminimierung kombinatorische Einbettung Topology Shape Metrics Knickminimierung orthogonale Beschreibung planare Einbettung Flächenminimierung 4 6

53 (Planare) Orthogonale Zeichnungen Dreistufiger Ansatz: V = {v,v 2,v 3,v 4 } E = {v v 2,v v 3,v v 4,v 2 v 3,v 2 v 4 } Kreuzungsminimierung kombinatorische Einbettung Topology Shape Metrics Knickminimierung orthogonale Beschreibung planare Einbettung Flächenminimierung 4 6

54 Kompaktierung Problem Kompaktierung Geg: planarer Graph G =(V,E) mit Maximalgrad 4 orthogonale Beschreibung H(G) Ges: kompaktes orthogonales Layout von G, dash(g) realisiert 7

55 Kompaktierung Problem Kompaktierung Geg: planarer Graph G =(V,E) mit Maximalgrad 4 orthogonale Beschreibung H(G) Ges: kompaktes orthogonales Layout von G, dash(g) realisiert Spezialfall: alle Facetten sind Rechtecke! Garantien möglich minimale Gesamtkantenlänge minimale Fläche 7

56 Kompaktierung Problem Kompaktierung Geg: planarer Graph G =(V,E) mit Maximalgrad 4 orthogonale Beschreibung H(G) Ges: kompaktes orthogonales Layout von G, dash(g) realisiert Spezialfall: alle Facetten sind Rechtecke! Garantien möglich minimale Gesamtkantenlänge minimale Fläche Eigenschaften: Knicke höchstens als Ecken der äußeren Facette gegenüberliegende Seiten einer Facette gleich lang 7

57 Flussnetzwerk Längenzuweisung Def: Flussnetzwerk N hor =((W hor,a hor ); `; u; b; cost) W hor = F\{f 0 }[{s, t} A hor = {(f,g) f,g besitzen gemeinsames horizontales Kantensegment und f liegt unterhalb von g}[{(t, s)} `(a) = 8a 2 A hor u(a) = 8a 2 A hor cost(a) = 8a 2 A hor b(f) =0 8f 2 W hor t 8 s

58 Flussnetzwerk Längenzuweisung Def: Flussnetzwerk N hor =((W hor,a hor ); `; u; b; cost) W hor = F\{f 0 }[{s, t} A hor = {(f,g) f,g besitzen gemeinsames horizontales Kantensegment und f liegt unterhalb von g}[{(t, s)} `(a) = 8a 2 A hor u(a) = 8a 2 A hor cost(a) = 8a 2 A hor b(f) =0 8f 2 W hor s und t repräsentieren untere und obere Hälfte von f 0 t 8 s

59 Flussnetzwerk Längenzuweisung Def: Flussnetzwerk N ver =((W ver,a ver ); `; u; b; cost) W ver = F\{f 0 }[{s, t} A ver = {(f,g) f,g besitzen gemeinsames vertikales Kantensegment und f liegt links von g}[{(t, s)} `(a) = 8a 2 A hor u(a) = 8a 2 A hor cost(a) = 8a 2 A hor b(f) =0 8f 2 W hor s t 9

60 Optimales Layout Satz 2: Ganzzahlige Flüsse x hor und x ver in N hor und N ver mit minimalen Kosten liefern: zugeh. Seitenlängen induzieren gültiges Layout x hor (t, s) und x ver (t, s) entsprechen minimaler Breite und Höhe des Layouts P a2a hor x hor (e) cost(a)+ P e2a ver x ver (a) cost(a) entsprechen minimaler Gesamtkantenlänge 20

61 Optimales Layout Aber was macht man, wenn nicht alle Facetten Rechtecke sind? Satz 2: Ganzzahlige Flüsse x hor und x ver in N hor und N ver mit minimalen Kosten liefern: zugeh. Seitenlängen induzieren gültiges Layout x hor (t, s) und x ver (t, s) entsprechen minimaler Breite und Höhe des Layouts P a2a hor x hor (e) cost(a)+ P e2a ver x ver (a) cost(a) entsprechen minimaler Gesamtkantenlänge 20

62 Verfeinerung von (G, H) innere Facette f Dummyknoten für Knicke 2

63 Verfeinerung von (G, H) innere Facette e 4 e 5 f e 8 e 9 e 3 e 0 e e e 0 e 5 e 4 e 3 e 2 e 7 e2 Dummyknoten für Knicke e 6 2

64 Verfeinerung von (G, H) innere Facette e 5 corner(e) next(e) f e e 4 e 8 e 9 e 3 e 0 e e e 0 e 5 e 4 e 3 e 2 e 7 e2 Dummyknoten für Knicke e 6 2

65 Verfeinerung von (G, H) innere Facette e 4 e 5 e 5 f e 0 e e 3 e 4 e 2 e 6 e 7 e 8 e 9 e e 0 e2 e 3 Dummyknoten für Knicke 8 >< Linksknick turn(e) = 0 kein Knick >: Rechtsknick 2

66 Verfeinerung von (G, H) innere Facette e 4 e 5 e 5 f e 0 e e 3 e 4 e 2 e 6 e 7 e e 8 e 9 e 0 e 3 e2 front(e 0 ): Nachfolger erste Kante mit P turn(e) = Dummyknoten für Knicke 8 >< Linksknick turn(e) = 0 kein Knick >: Rechtsknick 2

67 Verfeinerung von (G, H) innere Facette e 4 e 5 e 5 f e 0 e e 3 e 4 e 2 e 6 e 7 e e 8 e 9 e 0 e 3 extend(e 0 ) project(e 0 ) e2 front(e 0 ): Nachfolger erste Kante mit P turn(e) = Dummyknoten für Knicke 8 >< Linksknick turn(e) = 0 kein Knick >: Rechtsknick 2

68 Verfeinerung von (G, H) innere Facette e 4 e 5 e 5 f e 0 e e 3 e 4 e 2 e 6 e 7 e 8 e 9 e e 0 e2 e 3 Dummyknoten für Knicke 8 >< Linksknick turn(e) = 0 kein Knick >: Rechtsknick 2

69 Verfeinerung von (G, H) innere Facette e 4 e 5 e 5 f e 0 e e 3 e 4 e 2 e 6 e 7 e 8 e 9 e e 0 e2 e 3 Dummyknoten für Knicke 8 >< Linksknick turn(e) = 0 kein Knick >: Rechtsknick 2

70 Verfeinerung von (G, H) innere Facette e 4 e 5 e 5 f e 0 e e 3 e 4 e 2 e 6 e 7 e 8 e 9 e e 0 e2 e 3 Dummyknoten für Knicke 8 >< Linksknick turn(e) = 0 kein Knick >: Rechtsknick 2

71 Verfeinerung von (G, H) innere Facette e 4 e 5 e 5 f e 0 e e 3 e 4 e 2 e 6 e 7 e 8 e 9 e e 0 e2 e 3 Dummyknoten für Knicke 8 >< Linksknick turn(e) = 0 kein Knick >: Rechtsknick 2

72 Verfeinerung von (G, H) innere Facette e 4 e 5 e 5 f e 0 e e 3 e 4 e 2 e 6 e 7 e 8 e 9 e e 0 e2 e 3 Dummyknoten für Knicke 8 >< Linksknick turn(e) = 0 kein Knick >: Rechtsknick 2

73 Verfeinerung von (G, H) innere Facette e 4 e 5 e 5 f e 0 e e 3 e 4 e 2 e 6 e 7 e 8 e 9 e e 0 e2 e 3 Dummyknoten für Knicke 8 >< Linksknick turn(e) = 0 kein Knick >: Rechtsknick 2

74 Verfeinerung von (G, H) innere Facette e 4 e 5 e 5 f e 0 e e 3 e 4 e 2 e 6 e 7 e 8 e 9 e e 0 e2 e 3 Dummyknoten für Knicke 8 >< Linksknick turn(e) = 0 kein Knick >: Rechtsknick 2

75 Verfeinerung von (G, H) äußere Facette e 4 e 5 e 8 e 9 e 0 e e 2 e 3 e 0 e e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 f 0 22

76 Verfeinerung von (G, H) äußere Facette e 5 e 8 e 9 e 0 e e 2 e 0 e e 2 f 0 e 3 e 4 e 4 e 7 e 5 e 6 e 3 22

77 Verfeinerung von (G, H) äußere Facette e 5 e 8 e 9 e 0 e e 2 e 0 e e 2 f 0 e 3 e 4 e 4 e 7 e 5 e 6 e 3 22

78 Verfeinerung von (G, H) äußere Facette e 5 e 8 e 9 e 0 e e 2 e 0 e e 2 f 0 e 3 e 4 e 4 e 7 e 5 e 6 e 3 22

79 Verfeinerung von (G, H) äußere Facette e 5 e 8 e 9 e 0 e e 2 e 0 e e 2 f 0 e 3 e 4 e 4 e 7 e 5 e 6 e 3 22

80 Verfeinerung von (G, H) äußere Facette e 5 e 8 e 9 e 0 e e 2 e 0 e e 2 f 0 e 3 e 4 e 4 e 7 e 5 e 6 e 3 22

81 Verfeinerung von (G, H) äußere Facette e 5 e 8 e 9 e 0 e e 2 e 0 e e 2 f 0 e 3 e 4 e 4 e 7 e 5 e 6 e 3 22

82 Verfeinerung von (G, H) äußere Facette e 5 e 8 e 9 e 0 e e 2 e 0 e e 2 f 0 e 3 e 4 e 4 e 7 e 5 e 6 e 3 22

83 Verfeinerung von (G, H) äußere Facette e 5 e 8 e 9 e 0 e e 2 e 0 e e 2 f 0 e 3 e 4 e 4 e 7 e 5 e 6 e 3 22

84 Verfeinerung von (G, H) äußere Facette e 5 e 8 e 9 e 0 e e 2 e 0 e e 2 f 0 e 3 e 4 e 4 e 7 e 5 e 6 e 3 22

85 Verfeinerung von (G, H) äußere Facette e 5 e 8 e 9 e 0 e e 2 e 0 e e 2 f 0 e 3 e 4 e 4 e 7 e 5 e 6 e 3 22

86 Verfeinerung von (G, H) äußere Facette e 5 e 8 e 9 e 0 e e 2 e 0 e e 2 f 0 e 3 e 4 e 4 e 7 e 5 e 6 e 3 22

87 Verfeinerung von (G, H) äußere Facette e 4 e 5 e 8 e 9 e 0 e e 2 e 3 e 0 e e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 f 0 22

88 Verfeinerung von (G, H) äußere Facette Flächenminimal? 22

89 Verfeinerung von (G, H) äußere Facette Flächenminimal? Nein! 22

90 Verfeinerung von (G, H) äußere Facette Flächenminimal? Nein! Die Flächenkompaktierung bei gegebener orthogonaler Beschreibung ist im Allgemeinen NP-schwer. 22