Lineare DGL-Systeme 1. Ordnung

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1 Lineare DGL-Systeme 1. Ordnung Eine Reihe von naturwissenschaftlichen Problemstellungen, wie z. B. Feder- Dämpfer-Systeme der Mechanik oder Kirchhoffsche Netzwerke der Elektrotechnik, lassen sich durch lineare DGL-Systeme beschreiben. D. h., sie lassen sich auf die Form ẋ = A(t)x + b(t), x R n, A C 0 (I, R n n ), b C 0 (I, R n ) (1) bringen. Man nennt A(t) := (a ij (t)) R n n die Koeffizientenmatrix und den Funktionenvektor b(t) = (b 1 (t),..., b n (t)) T die Störfunktion (auch Inhomogenität). Die Funktionen a ij, b i : I R sind über einem gemeinsamen Intervall I R definiert und stetig. Das System (1) heißt homogen, wenn b(t) = 0 für alle t I, sonst inhomogen. Das DGL-System ẋ = A(t)x (2) ist das dem DGL-System (1) zugeordnete homogene DGL-System. Da nur Ableitungen 1. Ordnung in (1) bzw. (2) vorkommen, handelt es sich um DGL- Systeme 1. Ordnung. Das wesentliche Merkmal linearer Systeme ist die algebraische Struktur der Gleichungen sowie der dazugehörigen Lösungsräume. Wir wissen bereits, dass für jedes (, x 0 ) I R n das AWP ẋ = A(t)x + b(t), x( ) = x 0 (3) eine eindeutig bestimmte globale Lösung ϕ( ;, x 0 ) : I R n besitzt. Somit können also im Inneren des Intervalls I keine Explosionszeiten von Lösungen von (1) auftreten. (i) Superpositionsprinzip. Sind ϕ i : I R n Lösungen des DGL-Systems (1) mit Inhomogenitäten b i (t), i = 1, 2, so ist für beliebige reelle c 1, c 2 die auf I erklärte Funktion c 1 ϕ 1 (t) + c 2 ϕ 2 (t) eine Lösung von ẋ = A(t)x + c 1 b 1 (t) + c 2 b 2 (t). Insbesondere ist mit je zwei Lösungen von (2) auch jede Linearkombination wieder eine Lösung dieser Gleichung. Diese Überlagerung von Lösungen nennt man Superposition. 1

2 (ii) Lösungsraum von (1). Für dieses DGL-System soll nach der Menge aller Lösungen gefragt werden. Wir führen dazu einen linearen Operator L ein, der den reellen Vektorraum C 1 (I, R n ) in den Vektorraum C 0 (I, R n ) nach der Vorschrift ( ) d L : C 1 (I, R n ) C 0 (I, R), x Lx := dt A( ) x abbildet. Damit kann (1) als lineare Operatorgleichung Lx = b mit x C 1 (I, R n ) (4) und gegebenem b C 0 (I, R n ) geschrieben werden. Wir führen zunächst noch die folgenden Lösungsmengen L 0 := {x C 1 (I, R n ) Lx = 0} = ker L (Lösungsmenge des linearen homogenen DGL-Systems) und L := {x C 1 (I, R n ) Lx = b, b C 0 (I, R n ) gegeben} (Lösungsmenge des linearen inhomogenen DGL-Systems) ein, um die Aussage präzise formulieren zu können. Dann ist L 0 C 1 (I, R n ) ein reeller Vektorraum und L = x p + L 0 := {x = x p + x 0 x p ist Lösung von Lx = b und x 0 L 0 }. Vorgehensweise für die Gleichung (1): Man bestimme zunächst die Lösungsmenge L 0 des homogenen Systems ẋ = A(t)x (siehe Punkt (iii)). Dann bestimme man eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung Lx = b. Diese kann mittels spezieller Lösungsansätze bzw. in jedem Fall mit der Methode der Variation der Konstanten erfolgen (siehe Punkt vi). (iii) Die Dimension des Lösungsraumes von L 0. Es gilt: dim ker L = n, n N 2

3 (iv) Fundamentalmatrix. Zunächst sei noch einmal festgestellt: Jede Linearkombination von Lösungen von Lx = 0 ist wieder eine Lösung von Lx = 0. Es gibt nach (iii) genau n = dim R n linear unabhängige Lösungen x 1,..., x n C 1 (I, R n ) von Lx = 0. Jedes System {x 1,..., x n } von n linear unabhängigen Lösungen von Lx = 0 heißt Fundamentalsystem von Lx = 0. Es sei {x 1,..., x n } ein Fundamentalsystem von (2). Dann heißt die Matrix X mit den Spalten x 1,..., x n, also X(t) := [x 1 (t),..., x n (t)] Fundamentalmatrix. Gilt außerdem X( ) = I, d. h., x ij ( ) = δ ij, 1 i, j n, so heißt X t0 := X Hauptfundamentalmatrix (auch Übergangsmatrix) zum Zeitpunkt für (2). Die Hauptfundamentalmatrix X t0 ist die eindeutige globale Lösung des linearen homogenen AWPs (auch Matrixdifferentialgleichung genannt) Ẋ = A(t)X, X( ) = I. Ist X t0 die Hauptfundamentalmatrix zum Zeitpunkt für (2), so wird für jedes x 0 R n die eindeutige globale Lösung ϕ( ;, x 0 ) C 1 (I, R n ) des AWPs durch ẋ = A(t)x, x( ) = x 0 ϕ(t;, x 0 ) = X t0 (t)x 0 gegeben. Insbesondere ist V := {X t0 ( )x 0 x 0 R n } C 1 (I, R n ) der Lösungsraum von (2). Allgemein heißt jede Lösung von Ẋ = A(t)X Lösungsmatrix der linearen homogenen DGL (2). 3

4 (v) Wronskideterminante. Ist X eine Lösungsmatrix von (2), d. h., jeder Spaltenvektor von X ist Lösung von (2), so heißt die Funktion W : I R R mit W (t) := det X(t) (5) die Wronskideterminante der Lösungsmatrix X = [x 1,..., x n ] oder des Lösungssystems {x 1,..., x n } von (2). Es gilt die Formel von Liouville: spur (A(s)) t W (t) = W ( ) e ds 0, t, I. Aus der Exponentialdarstellung der Wronskideterminante folgt: 1. Die Wronskideterminante einer Lösungsmatrix von ẋ = A(t)x verschwindet entweder identisch oder nirgends. 2. Ein Lösungssystem {x 1,..., x n } ist genau dann ein Fundamentalsystem, wenn die zugehörige Wronskideterminante von Null verschieden ist. W-Test: Für die Lösungen x 1 (t),..., x n (t) von ẋ = A(t) x gilt: x 1,..., x n lin. unabh. auf I W ( ) 0 für ein I. (vi) Die inhomogene DGL. Wir wenden uns nun dem inhomogenen DGL-System ẋ = A(t)x + b(t), t I (6) zu und erhalten aufgrund der Überlegungen in (ii) sofort den Sachverhalt: Die Gesamtheit der Lösungen von (6) bildet den affinen Unterraum x p + V von C 1 (I, R n ), wobei x p C 1 (I, R n ) eine beliebige Lösung der inhomogenen Gleichung (6) und V C 1 (I, R n ) (siehe (iv)) der Lösungsraum der zugehörigen homogenen Gleichung ẋ = A(t)x sind. Es muss also (6) irgendwie integriert werden. Üblich ist in der Literatur die Methode der Variation der Konstanten. Sie besteht darin, mit dem Ansatz: x p (t) = X(t) u(t) mit unbekanntem u C 1 (I, R n ) und (bekannter) Fundamentalmatrix X( ) ein geeignetes u( ) derart auszurechnen, dass x p eine spezielle Lösung von (6) darstellt. 4

5 Rechenweg: Wir berechnen ẋ p (t): Einsetzten in (6) liefert: ẋ p (t) = Ẋ(t) u(t) + X(t) u(t). Ẋ(t) u(t) + X(t) u(t) = A(t) X(t) u(t) + b(t). }{{} A(t)X(t) X(t) u(t) = b(t) u(t) = X 1 (t) b(t). x p (t) = X(t) X 1 (τ) b(τ) dτ bzw. x allg (t) = x h (t) + x p (t) = X(t) c + X(t) X 1 (τ) b(τ) dτ Allgemeine Lösungsformel: [ x allg (t) = X(t) c + ] X 1 (τ ) b(τ ) dτ, c R n Das AWP (3) besitzt die Lösung [ x allg (t) = X(t) X 1 ( ) x 0 + ] X 1 (τ ) b(τ ) dτ 5