Relativistische Bahnkurven und Cauerfilter. Dr.-Ing. Klaus Huber Sesenheimer Str Berlin

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1 Relativistische Bahnkurven und Cauerfilter Dr.-Ing. Klaus Huber Sesenheimer Str Berlin Zarm Universität Bremen Am Fallturm Bremen

2 Übersicht: - Tiefpassfilter - Orbitgleichung - Exakte Lösung der Orbitgleichung - Orbit von Photonen - Weierstrass Theorie - Geschlossene Orbits - Orbit von Elektron um Proton - Abschließende Bemerkungen und Ausblick 2

3 Tiefpassfilter läßt Signale mit Frequenz ω < ω s passieren sperrt Signale mit Frequenz ω > ω s. In Praxis: Vorgabe einer Schablone α α min α max Fig.1 1 ω s Hochpass-, Bandpass- und Bandsperrefilter werden durch einfache Transformationen des Tiefpassfilters erhalten. ω 3

4 Y (s) = H(s) X(s) H(s): Übertragungsfunktion X(s): Laplacetrf. der Eingangszeitfunktion Y (s): Laplacetrf. der Ausgangszeitfunktion (quadrierter) Amplitudengang: H(jω) H( jω) =! ε 2 F n (ω) 2 Butterworth Filter: F n (ω) = ω n Tschebyscheff Filter: F n (ω) = T n (ω) = cos(n arccos ω) Cauer Filter: F n (ω) = R n (ω) = cd(n f(ω))! = cd(cθ) cd(x) ist eine sogenannte Jacobi-elliptische Funktion (Cauerfilter enthält Butterworthund Tschebyscheffilter als Spezialfälle). 4

5 Ausgangspunkt: Orbitgleichung u + u = α + 3β u 2 mit u = 1/r(Θ), wobei α und β Konstanten sind, die je nach Anwendungsfall zu wählen sind: - Klassische Planetenbahn: α = G G H 2, β = 0 - Relativistische Bahn: α = G G H 2, β = G G c 2 - Photon um Masse m: α = 0, β = γm c 2 - Elektron um Proton - Andere (Elementar-)Teilchen wobei γ: Gravitationskonstante, c: Lichtgeschwindigkeit, Θ: Winkel, G G = γ(m S + m p ), H = r 2 Θ. 5

6 Exakte Lösung der Orbitgleichung Im Prinzip ist Lösung in Buch von Lawden zu finden: r = 1 A+B sn 2 (CΘ) Problem: Die Konstanten A, B und C sind nur näherungsweise bestimmt worden (dies war für die Bestimmung der Periheldrehung von Merkur ausreichend). Lösung hat gleiche Gestalt wie Amplitudengang der Cauerfilter, da gilt: sn(z + K, k) = cd(z, k) Interessant: Die Konstanten A, B und C können verhältnismäßig leicht exakt bestimmt werden. Mit dem Ansatz u = A+Bsn 2 (CΘ, k) folgt nach Termvergleich und etwas Rechnen die exakte Lösung. 6

7 Exakte Lösung r = 1 A+B sn 2 (CΘ,k) wobei ( A = 1 ) 1 12αβ 6β 1 k 4 k (k2 + 1) B = k2 1 12αβ 2β k 4 k C = αβ 2 4 k 4 k Interessant: Die Konstante C ist invariant gegenüber der Transformation k 2 k 2 = 1 k 2. Die Perihelverschiebung Θ folgt somit zu: Θ = 2K C 2π = 4K 4 k 4 k αβ 2π. 7

8 Benutzung von ɛ 2 = B/A ( Cauerfilter) dann folgt r = 1 A ɛ 2 sn 2 (CΘ) und sowie 1 12αβ = k4 k ( 3+ɛ2 ɛ 2 k2 + 1) 2, A = 1 2β B = 1 2β C = 1 2 Θ = 4K k 2 /ɛ 2 3+ɛ 2 ɛ 2 k2 + 1 k 2 3+ɛ 2 ɛ 2 k ɛ 2 ɛ 2 k ɛ 2 ɛ 2 k π., 8

9 Bahnkurve somit gegeben durch 3 + ɛ 2 + ɛ2 r = 2β k ɛ 2 sn 2 (CΘ). Der Wert von k oder ɛ kann gegen Null gehen und 2β mal dem Zähler kann auf gewünschte Werte gesetzt werden ( Tschebyscheffund Butterworthfilter als Spezialfälle von Cauer Filtern). Für Planetenbewegung ergibt sich r = r Schwarzschild 3 + ɛ 2 + ɛ2 k ɛ 2 sn 2 (CΘ), wobei r Schwarzschild = 2γ(M S+m p ) c 2. 9

10 Orbit von Photonen Mit α = 0 und β = γm/c 2 folgt ( ) 3 + ɛ 2 2 ɛ 2 k = k 4 k 2 + 1, und somit k 2 = 0 oder k 2 = ɛ2 (ɛ 2 + 2) (2ɛ 2 + 3). Enthält Kreisbahn mit Radius r = 3β = 3γ m/c 2 Negative oder komplexe Werte von k sind kein Problem (z.b. k = i = 1 entspricht dem Sinus Lemniscatus). Mit ɛ k = i 2 (ɛ 2 + 2) 2ɛ = i κ sowie sn(u, iκ) = (entsprechend bei cd) κ 2 sd( 1 + κ 2 u, κ 1 + κ 2 ) 10

11 folgt neuer Modul κ 1 + κ 2 = ɛ 2 (ɛ 2 + 2) (ɛ 2 + 1) (ɛ 2 + 3), und der zusätzliche Faktor im Argument der ellipt. Funktion lautet 1 + κ 2 (ɛ = 2 + 1)(ɛ 2 + 3) 2ɛ Schließlich folgt mit cn(iu, k) = 1/cn(u, k ) die Orbitgleichung in Abhängigkeit von β, ɛ und Θ (passt nicht auf Folie). Aus Endformel folgt die Ablenkung von Licht Θ L = 2 (ɛ2 + 2) ɛ 4 + 3ɛ wobei Θ L = 4γm/(c 2 r x ) und r x = 2γ m. c 2 ɛ4 +3ɛ 2 +3 ɛ

12 Weierstrass Theorie Es gilt e (Θ) = 1 e 3 sn 2 ( e 1 e 3 Θ) + e 3, oder (Θ) = C 2 sn 2 (CΘ) (1 + k2 ) C 2 3, mit C! = e 1 e 3. Θ = (Θ) dy 4y 3 g 2 y g 3, g 2 und g 3 sind die Weierstrass Invarianten, wobei gilt 2 = 4 3 g 2 g 3. Die Nullstellen des Polynoms 4y 3 g 2 y g 3 folgen zu e 1 = k2 2 3 e 2 = 2k2 1 3 e 3 = k C 2 C 2 C 2,

13 und die Invarianten folgen zu und g 2 = 1 12 αβ, g 3 = (k2 + 1)(k 2 2)(k ) ( 1 12αβ k 4 k )3 2. Hieraus läßt sich die Diskriminante g2 3 27g3 2 und insbesondere die absolute Invariante g2 3/(27g2 3 ) berechnen: g g 2 3 = (k 4 k 2 + 1) 3 (k 2 + 1) 2 (k 2 2) 2 (k )2. Die Abbildungen: k k = 1 k 2 und k 1 k lassen die absolute Invariante unverändert. 13

14 Geschlossene Orbits Für L Θ = 2π, wobei L ganze Zahl. Allgemeiner: L Θ = l 2π, d.h. L (4K 3 + ɛ 2 ɛ 2 k π) = l 2π. Aufgelöst nach ɛ 2 : ɛ 2 3 k 2 = ( 2K π )2 (1 + L l )2 (k 2 + 1). ( Vereinfachung für Spezialfälle wie kleines k, Kreisbahn, L sehr groß, etc..) Interessant für Berechnung von exakten oder angenäherten Lösungen für L, l : Kettenbruchentwicklung von 3 + ɛ 2 L + l L = 2K π beziehungsweise L + l L = 2K π 4 ɛ 2 k k 4 k αβ. 14

15 Kann für komplexes K verallgemeinert werden. Besonders elegant und in geschlossener Form: Lemniskatenfall k = i, d.h. sl(z) = sn(z, i) r = 6β 1 + ɛ 2 sl 2 (CΘ) Gauß: Länge der Lemniskate = Produkt zweier Gaußscher komplexer Zahlen Satz von Eisenstein: Sei a + ib eine Gaußsche Primzahl der Form a + ib 1 mod 2 + 2i und x = sl(z) dann gilt: sl((a + ib)z) = x W (x4 ) V (x 4 ), wobei V (x) = x a2 +b 2 1 W (1/x) und die Koeffizienten von W (x) Gaußsche ganze Zahlen sind. 15

16 Orbit von Elektron um Proton Neben der Lösung r = 1± gibt es 1 12αβ noch weitere Lösungen für Kreisbahnen: Cauer filter : Für ɛ 2 = k. α = 1 2β k 3 + 2k 2 + k (k 2 + 3k + 1) 2. Setze α als Summe von Anteilen aus Gravitation, Coulombfeld und drittem Anteil an: α = (G C + G K + G G )/H 2. Dann folgt: u c H 2 2β u c H 2 2β 6β k! (k 2 + 3k + 1) 2 = q2 e, 4πɛ 0 k 3! (k 2 + 3k + 1) 2 = γ(m P + m e )m e. D. h. für das Verhältnis von Gravitationskraft und Coulombkraft gilt: F G F C = k 2. 16

17 Kleine Geschwindigkeiten: k 2 = 4πɛ 0 qe 2 γ(m P +m e )m e 2, bei Einsetzen der Ruhemassen. Unter Benutzung der Feinstrukturkonstante α F = q2 e 2cɛ 0 h erhält man qe 2 = α 4πɛ F hc 0 2π. D.h. für das Produkt der Kräfte 1 bei zwei Teilchen mit Abstand r gilt: F C F G = k2 αf 2 ( ) hc 2 r 4 2π Für α erhält man (k + 1)2 α = u c H 2 α F hc 2π. Korrespondenzprinzip: u c m e. 1 Aus diesen Gleichungen folgen nach dem Spiegelungsprinzip geschlossene Lösungen für das relativistische Drei-Körper Problem. 17

18 Analog bei allgemeiner Bahnkurve: α = k2 4β 2ɛ2 k 2 + 3k 2 + ɛ 4 + 2ɛ 2 ((ɛ 2 + 3)k 2 + ɛ 2 ) 2. Entsprechende Zuordnung zu den 4 Kräften: k 2 = F G /F C wie zuvor. α = k2 + 3k2 2ɛ 2 + ɛ u c H 2 α F hc 2π, β = π k 2 ɛ 2 u c H 2 α F h c ((ɛ 2 + 3)k 2 + ɛ 2 ) 2. u c m e Ggf. andere Zuordnungen, je nach Wert von k 2 und ɛ 2. 18

19 Abschließende Bemerkungen und Ausblick - Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen dem Amplitudengang von Cauerfiltern und relativistischen Bahnkurven. - Ergebnisse von Cauerfiltern sind sehr nützlich für die Berechnung von Bahnkurven und Spektren. - Es zeigt sich, daß mit Cauerfiltern Bahnkurven von Teilchen beschrieben werden können, die in die Umlaufbahn einer zentralen Masse gelangen, dort n Umdrehungen durchführen und dann die Umlaufbahn wieder verlassen. - Zahlreiche Kurven und berühmte geometrische Sätze tauchen bei Cauerfiltern auf, die benutzt werden können, um physikalische Effekte zu erklären. - Die hyperbolische Geometrie erscheint auf völlig natürliche Weise. 19

20 Literatur [1] K.Huber, Cauer Filters, to appear. [2] D.F.Lawden, Elliptic Functions and Applications, Springer- Verlag, Berlin Heidelberg New York, [3] W.I.Smirnow, Lehrgang der höheren Mathematik, Teil III/2, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1979, (now Harri Deutsch, Frankfurt). 20