Karteikarten, Analysis 2, Sätze und Definitionen nach der Vorlesung von PD Hanke

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1 Karteikarten,, Sätze und en nach der Vorlesung von PD Hanke Felix Müller, Diese Karteikärtchen sollten alle en und Sätze der Vorlesung bei Herrn PD Hanke enthalten Falls ihr Fehler finden solltet, dann wäre es nett, wenn ihr mit ein kurzes Mail mit dem Fehler schickt Viel Spaß beim Lernen! 1

2 NICHT VERGESSEN: DUPLEX-DRUCKMODUS + SEITEANPASSUNG UNTER DATEI - DRUCKEN - KEINE WÄHLEN!!

3 Metrik Norm Satz 11 Bezeichnung einer Metrik auf V offene Kugel Satz 12 Umgebung Hausdorffsches Trennungsaxiom Satz 13 offene Mengen Eigenschaften für offene Mengen eines metrischen Raums X abeschlossene Mengen Randpunkt

4 Sei V ein Vektorraum über dem Körper K = R oder K = C Unter einer Norm auf V versteht man eine Abbildung :V R, x x mit folgenden Eigenschaften: i x =0 x=0 ii λx = λ x λ K und x V iii x + y x + y x,y, V Sei X eine Menge Unter einer Metrik auf X versteht man eine Abbildung d : X X R(x, y) d(x, y) mit den folgenden Eigenschaften: i d(x,y) = 0 genau dann, wenn x=y ii Symmetrie: x, y, X gilt d(x,y) = d(y,x) iii Dreicksungleichung: x, y, z X gilt d(x,z) d(x,y) + d(x,z) Sei (X, d) ein metrischer Raum, a X ein Punkt und r > 0 Dann heißt B r (a) := {x X : d(a, x) < r} die offene Kugel mit Mittelpunkt a und Radius r bzgl der Metrik d Sei (V, ) ein normierter Vektorraum Dann wird durch d(x, y) := x y für x, y V eine Metrik auf V definiert Sei X ein metrischer Raum Dann gibt es zu je zwei Punkten x, y X mit x y Umgebungen U von x und V von y, die punktfremd sind, dh U V = Sei X ein metrischer Raum Eine Teilmenge U X heißt Umgebung eines Punktes x X, falls ein ε > 0 existiert, so dass B ε (x) U Insbesondere ist B ε (x) selbst eine Umgebung von x Man nennt B ε (x) die ε-umgebung von x Für die offenen Mengen eines metrischen Raums X gilt: i und X sind offen ii Sind U und V offen, so ist auch der Durchschnitt U V offen iii Sei U i, i I, eine Familie offener Teilmengen von X Dann ist auch die Vereinigung i I U i offen Eine Teilmenge U eines metrischen Raums X heißt offen, wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte ist, dh wenn x U ε > 0 : B ε (x) U Bemerkung: im R n : B ε (a) := {x R n : x a < ε} Sei X ein metrischer Raum und Y X eine Teilmenge und x X Der Punkt x heißt Randpunkt von Y, wenn in jeder Umgebung von x sowohl ein Punkt von Y als auch ein Punkt von X \ Y liegt Die Menge aller Randpunkte von Y heißt der Rand von Y und wird mit Y bezeichnet Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement X \ A offen ist

5 Satz 14 Sei X ein metrischer Raum und Y X Dann gilt: Inneres, abgeschlossene Hülle Topologie Umgebung in einem topologischen Raum Haussdorff-Raum Konvergenz von Folgen Satz 21 Satz 22 Konvergenz einer Folge von Punkten abgeschlossene Teilmenge Cauchy Folge Vollständigkeit

6 Ist Y Teilmenge eines metrischen Raumes X, so heißt Y := Y \ Y das Innere oder der offene Kern von Y und Ȳ := Y Y die abgeschlossene Hülle von Y i Die Menge Y \ Y ist offen ii Die Menge Y Y ist abgeschlossen iii Der Rand Y ist abgeschlossen Sei (X, τ) ein topologischer Raum und x X ein Punkt Eine Teilmenge V X heißt Umgebung von x, wenn U X offen : x U V Offenbar ist diese im Fall metrischer Räume mit der früher gegebenen äquivalent, da die ɛ-umgebungen Bɛ(x) in einem metrischen Raum offen sind Sei X eine Menge Eine Menge τ von Teilmengen von X heißt Topologie auf X, falls gilt: i, X τ ii Sind U, V τ, so gilt auch U V τ iii Ist I eine beliebige Indexmenge und U i τ i I i I τ Sei X ein metrischer Raum und (x k ) k N eine Folge von Punkten aus X Die Folge (x k ) heißt konvergent gegen den Punkt a X, also lim k x k = a U ε (a) N N : x k U k N ε > 0 N N : x k, a < ε k N Ein topologischer Raum (X, τ) heißt Hausdorff-Raum, falls in ihm das Hausdorffsche Trennungsaxiom gilt, dh zu je zwei Punkten x, y X, x y existieren Umgebungen U von x und V von y mit U V = Bemerkung: Nach Satz 12 ist jeder metrische Raum ein Hausforff-Raum Sei X ein metrischer Raum Eine Teilmenge A X ist genau dann abgeschlossen, wenn gilt: Ist (x k ) k N eine Folge von Punkten x k A, die gegen einen Punkt x X konvergiert, so liegt x schon in A Bemerkung: Dies ist eine Verallgemeinerung von Ana 1, $4, Cor zu Satz5 Sei (x k ) k N eine Folge von Punkten im R n, x k = (x k1, x k2,, x kn ), k N Genau dann konvergiert die Folge (x k ) gegen den Punkt a = (a 1, a 2,, a n ) R n, wenn für ν = 1, 2,, n gilt: lim k x kν = a ν Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn in ihm jede Cauchy-Folge konvergiert Sei X ein metrischer Raum Eine Folge (x k ) k N von Punkten aus X heißt Cauchy Folge, wenn gilt: ε > 0 N N : x k, x m < ε k, m N Bemerkung: Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist eine CF

7 Banachraum Bananachraum Satz 23 Im R n konvergiert jede Cauchy-Folge Durchmesser Satz 24 Schachtelungsprinzip Stetigkeit (Abbildung) Satz 25 Satz 26 Komposition stetiger Abbildungen Stetigkeit Abbildung - Komponenten Satz 27 Corollar aus Satz 27 Folgende Abbildungen sind stetig: Diese Funktionen sind auch stetig Folgende Abbildungen sind stetig

8 Ein vollständig normierter, gelber und krummer Vektorraum heißt Bananachraum Ein vollständig normierter Vektorraum heißt Banachraum Für eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X wird ihr Durchmesser definiert als diam(a) := sup{ x, y : x, y, A} Die Menge heißt beschränkt, falls diam(a) < Bemerkung: Offenbar ist A genau dann beschränkt, wenn A in einer genügend großen Kugel enthalten ist, dh wenn a X & r > 0 : A Br (a) Es gilt diam(br (a)) 2r, wie aus der -Ungl folgt Beweis: Sei x k = x 1k, x 2k,, x nk, k N, eine Cauchy-Folge in R n Da x kν x mν x k x m, ist für jedes ν = 1, 2,, n die Folge (x kν ) k N eine Cauchy-Folge in R, die wegen der Vollständigkeit von R konvergiert Nach Satz 21 konvergiert dann die Folge (x k ) k N in R n Seien X und Y metrische Räume und f : X Y eine Abbildung f heißt stetig im Punkt a X, falls lim f(x) = f(a), x a dh wenn für jede Folge (x n ) n N von Punkten aus X mit lim x n = a gilt lim f(x n) = f(a) Die Abbildung heißt stetig auf X, falls f in jedem Punkt a X x n stetig ist Sei X ein vollständig metrischer Raum und A 0 A 1 A 2 A 3 eine absteigende Folge nichtleerer abgeschlossener Teilmengen mit lim diam(a k) = 0 k Dann gibt es genau einen Punkt x X, der in allen A k liegt Sei X ein metrischer Raum Eine Abbildung f = (f 1,, f n ) : X R n ist genau dann stetig, wenn alle Komponenten f ν : X R, ν = 1,, n stetig sind Seien X, Y, Z metrische Räume und f : X Y, g : Y Z Abbildungen Ist f stetig im Punkt a X und g stetig in b := f(a) Y, so ist setig in a g f : X Z Sei X ein metrischer Raum und seien f, g : X R stetige Funktionen Dann sind auch die Funktionen f + g : X R und fg : X R stetig Gilt außerdem g(x) 0 x X, so ist auch f g : X R stetig Folgende Abbildungen sind stetig: a) add: R R R (x, y) x + y b) mult: R R R (x, y) xy c) quot: R R R (x, y) xy 1

9 Satz 28 δ ε-kriterium der Stetigkeit Homöomorphismus Satz 29 Eine Folge (f n ) n N konvergiert gleichmäßig gegen f Zusammenhang Konvergenz, Stetigkeit Satz 210 Stetigkeit einer linearen Abbildung Norm einer linearen Abbildung Satz 211 Stetigkeit von Abbildungen offene Überdeckung von Mengen Satz 31 Kopmpaktheit lim (x n) n N = a x Welche Menge ist kompakt?

10 Seien X, Y metrische Räume Eine bijektive Abbildung f : X Y heißt Homöomorphismus (oder topologische Abbildung), wenn f stetig ist und die Umkehrabbildung f 1 : Y X ebenfalls stetig ist Zwei metrische Räume heißen homöomorph, wenn es einen Homöomorphismus f : X Y gibt Seien X, Y metrische Räume und a X ein Punkt Eine Abbildung f : X Y ist genau dann in a stetig, wenn ε > 0 δ > 0 : f(x), f(a) < ε x X & x, a < δ Beispiel: R n ist homöom zur offenen Einheitskugel B := {x R n : x < 1} Seien X eine beliebige Menge, Y ein metrischer Raum, sowie Seien X, Y metrische Räume und f n : X Y, n N, eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion f : X Y konvergiere Dann ist auch f stetig f n (x) : X Y, n N und f : X Y Abbildungen Man sagt, die Folge (f n ) n N konvergiere gleichmäßig gegen f, falls ε > 0 N N : f n (x), f(x) < ε x x & n N Seien V und W normierte Vektorräume und A : V W eine stetig lineare Abbildung Dann wird ihre Norm definiert als A := sup{ A(x) : x V mit x 1} Bemerkung: Nach Satz 210 ist A < Es gilt A(x) A x x V ( ) Dies folgt daraus, dass A x A x 0 x Seien V und W normierte Vektorräume ( über R oder C ) und sei A : V W eine lineare Abbildung A ist genau dann stetig, wenn C R + 0 : A(x) C x x X Bemerkung: Eine lineare Abbildung A : V W ist genau dann auf ganz V stetig, wenn A im Nullpunkt stetig ist Beispiel: Sei C[a, b] der Vektorraum aller stetigen Funktionen f : [a, b] R auf dem Intervall [a, b] R, versehen mit der Supremums-Norm f := sup{ f(x) : x [a, b]} Sei A eine Teilmenge eines metrischen Raumes X Unter einer offenen Überdeckung von A versteht man eine Familie (U i ) i I von offenen Teilmengen U i X mit A i I U i Dabei ist I eine beliebige (endliche oder unendliche) Indexmenge Seien X, Y metrische Räume und f : X Y eine Abbildung 1) Die Abbildung f ist stetig im Punkt a V := U ε (f(a)) U := U ε (a) mit f(u) V 2) Die Abbildung f ist auf ganz X stetig f 1 (V ) offene Mengen V Y offen in X Sei X ein metrischer Raum und (x n ) n N eine Punktfolge in X, die gegen den Punkt a X konvergiert Dann ist die Menge kompakt A := {x n : n N} {a} Eine Teilmenge A eines metrischen Raums X heißt kompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung (U i ) i I von A endlich viele Indizes i 1,, i k I gibt, so dass A U i1 U i2 U ik Bemerkung: Die besagt nicht, dass A kompakt ist, wenn A eine endliche offene Überdeckung besitzt Es wird vielmehr verlangt, dass eine beliebige vorgegebene offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung enthält

11 Satz 32 Satz 33 kompakter Quader kompakte Teilmenge - Beschränktheit und Abgeschlossenheit Satz 34 Satz 35 K X kompakte Teilmenge, A K abgeschlossen Heine-Borel Satz 36 Satz 37 f stetige Abbildung, K X kompakt f stetige Funktion, f beschränkt und nimmt ihr Maximum bzw Minimum an, dh Satz 38 Bolzano-Weierstraß Gleichmäßige Stetigkeit Satz 39 X kompakt, jede stetige Abbildung f : X Y ist Kurve im R n

12 Jede kompakte Teilmenge A eines metrischen Raumes X ist beschränkt und abgeschlossen Corollar: Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist beschränkt Dabei heißt eine Folge (x n ) n N beschränkt, wenn die Menge {x n : n N} beschränkt ist Seien a ν, b ν R, a ν b ν, ν = 1, 2,, n Dann ist der abgeschlossene Quader Q := {(x 1,, x n ) R n : a ν x ν b ν } kompakt in R n Teilmenge A R n kompakt, abgeschlossen & beschränkt Beweis: Ist A kompakt, so ist es nach Satz 33 abgeschlossen und beschränkt Ist A beschränkt und abgeschlossen, so ist A in einem genügend großen abgeschlossenen Quader Q enthalten, der nach Satz 32 kompakt ist Nach Satz 34 ist dann A kompakt Sei X ein metrischer Raum, K X eine kompakte Teilmenge und A K eine abgeschlossene Teilmenge Dann ist auch A kompakt Punkte p, q X mit f(p) = sup{f(x) : x X}, f(q) = inf{f(x) : x X} Seien X, Y metrische Räume und f : X Y eine stetige Abbildung K X kompakt f(k) Y kompakt Seien X, Y metrische Räume Eine Abbildung f : X Y heißt gleichmäßig stetig, wenn ε > 0 δ > 0 : f(x), f(x ) < ε x, x X mit x, x < δ Sei A eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes X und (x n ) n N eine Folge von Punkten x n A Dann gibt es eine Teilfolge (x nk ) k N, die gegen einen Punkt a A konvergiert Corollar: Jede beschränkte Folge (x i ) i I im R n besitzt eine konvergente Teilfolge Unter einer Kurve im R n versteht man eine stetige Abbildung f : I R n wobei I R ein (eigentliches oder uneigentliches) Intervall ist Nach Satz 26 wird die Kurve f gegeben durch ein n- Tupel f = (f 1, f 2,, f n) stetiger Funktionen f k : I R, k = 1, 2,, n Die Kurve heißt (stetig) differenzierbar wenn alle Funktionen f k (stetig) differenzierbar sind Bsp: Kreis in Ebene f : [0, 2π] R 2 t (r cos(t), r sin(t)) Seien X, Y metrische Räume und sei X kompakt Dann ist jede stetige Abbildung f : X Y gleichmäßig stetig

13 Tangentialvektor regulär (nicht singuläre) Kurve Schnittwinkel Bogenlänge Satz 41 rektifizierbare Kurve Jede stetig differenzierbare Kurve ist rektifizierbar, ihr Länge ist Parametertransformation partielle Ableitung stetig partielle Differenzierbarkeit Nabla Operator

14 Sei I R ein Intervall und f = (f 1, f 2,, f n ) : I R n Sei f : I R n eine stetig differenzierbare Kurve Die Kurve heißt regulär (nicht singulär), falls f (t) 0 t I Ein Parameterwert t I mit f (t) = 0 heißt singulär eine differenzierbare Kurve Für t I heißt f (t) = (f 1(t), f 2(t),, f n(t)) R n der Tangentialvektor der Kurve f zum Parameterwert t Falls f (t) 0, heißt der auf den Betrag 1 normierte f Vektor (t) f (t) Tangenten-Einheitsvektor Sei [a, b] R, a < b ein abgeschlossenes Intervall und f : [a, b] R n eine Kurve Unterteilt man das Intervall a = t 0 < t 1 < < t k = b und verbindet die Punkte f(t i 1) mit f(t i), für i = 1, 2,, k geradlinig, erhält man einen Polygonzug im R n Die Länge des Polygonzugs ist gleich p f (t 0,, t k ) := k f(t i) f(t i 1) i=1 Seien f : I 1 R n g : I 2 R n 2 reguläre Kurven Es gelte f(t 1 ) = g(t 2 ) Der Schnittwinkel ist der Winkel ϑ der Tangentialvektoren f (t 1 ) und f (t 2 ) cos ϑ = f (t 1 ), g (t 2 ) f (t 1 ) g (t 2 ) mit 0 ϑ π Die Länge der Kurve wird nun definiert als der Grenzwert der Längen der Polygonzüge bei immer feineren Unterteilungen Jede stetig differenzierbare Kurve f : [a, b] R n ist rektifizierbar, und für ihre Länge gilt L = b a f (t) dt Bemerkung: Die stetige Differenzierbarkeit ist nicht notwenig dafür, dass eine Kurve rektifizierbar ist Es gibt jedoch Kurven, die nicht rektifizierbar sind Eine Kurve f : [a, b] R n heißt rektifizierbar mit der Länge L, ε > 0 δ > 0 : Unterteilung a = t 0 < t 1 < < t k = b der Feinheit < δ gilt k f(t i ) f(t i 1 ) L < ε i=1 Sei U R n eine offene Teilmenge und f : U R eine reelle Funktion f heißt im Punkt x U partiell differenzierbar in der i-ten Koordinatenrichtung, falls der Limes D if(x) := lim h 0 f(x + he i) f(x) h existiert Dabei ist e i R n der i-te Einheitsvektor e i = (0,, 0, 1 }{{}, 0,, 0) i te Stelle und für den Limes h 0 hat man sich auf solche h R zu beschränken, für die h 0 und x + he i U D if(x) heißt die i-te partielle Ableitung von f in x Sei f : [a, b] R n eine Kurve, [α, β] R ein weiteres Intervall und ϕ : [α, β] [a, b] eine bijektive stetige Abbildung Dann ist die zusammengesetzte Abbildung g := f ϕ : [α, β] R n wieder eine Kurve im R n Man sagt, dass die Kurve g aus der Parametertransformation ϕ hervorgeht Sind sowohl ϕ als auch ϕ 1 : [a, b] [α, β] stetig differenzierbar, so nennt man ϕ eine C 1 - Parametertransformation = f x 1 f x 2 f x x = 1 f 2 f n f Sei U R n offen Eine Funktion f : U R heißt partiell differenzierbar, falls D i f(x) x U i = 1,, n f heißt stetig partiell differenzierbar, falls zusätzlich alle partiell Ableitungen D i f : U R stetig sind Bemerkung: D if(x) = f x i (x) = f(x) x i

15 Gradient Vektorfeld Satz 51 Divergenz Satz von Schwarz Corollar zu 51 Notation Satz von Schwarz in n-dimensionen partielle Ableitung NOTATION Rotation Laplace Operator Satz 61 Sei f total differenzierbar in x und es gilt: totale Differnzierbarkeit f(x + ξ) = f(x) + Aξ + O(ξ) Dann gilt

16 Sei U R n eine offene Teilmenge von R n Unter einem Vektorfeld auf U versteht man eine Abbildung ν : U R n Jedem Punkt x U wird also ein Vektor ν(x) R n zugeordnet Der Gradient f einer partiell differenzierbaren Funktion f : U R ist ein spezielles Vektorfeld Sei U R n offen und f : U R eine partiell differenzierbare Funktion Dann heißt der Vektor ( f grad f(x) = (x),, f ) (x) x 1 x n der Gradient von f im Punkt x U Sei U R n eine offene Menge und Sei U R n offen und f : U R eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion Dann gilt a U und i, j = 1, 2,, n i j f(a) = j i f(a) ν = (ν 1,, ν n ) : U R n ein partiell differenzierbares Vektorfeld (dh alle Komponenten ν i : U R seien partiell differenzierbar) Dann heißt die Funktion ν = div ν := n i=1 die Divergenz des Vektorfeldes ν ν i x i = 1 ν + + n ν D j D i f = D i D i f = D 2 i f = 2 f x 2 i 2 f x j x i, ( ) 2 = f x i k f D ik D i1 f = usw x ik x i1 Sei U R n offen und f : U R eine k-mal stetig differenzierbare Funktion Dann gilt ik i2 i1 f = iπ(k) iπ(2) iπ(1) f i 1, i 2,, i k {1, 2,, n} und jede Permutation π der Zahlen 1,, k f := div grad f = 2 f x f 1 x 2 n Man nennt := x 2 1 x den Laplace-Operator 2 n rot A = A = 2 A 3 3 A 2 3 A 1 1 A 3 1 A 2 2 A 1 Bemerkung:, = n i=1 x i = x i Bemerkung: Ist f : U R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, so gilt: rot grad f = 0 Sei U R n offen und f : U R m eine Abbildung, die im Punkt x U differenzierbar ist, und zwar gelte f(x + ξ) = f(x) + Aξ + O(ξ) mit der Matrix A = (a ij ) M(m n, R) Dann gilt a) f ist im Punkt x stetig b) Alle Komponenten f i : U R, 1 i m, von f sind in x partiell differenzierbar mit fi x j = a ij Sei U R n eine offene Menge und f : U R m eine Abbildung f heißt im Punkt x U total differenzierbar, falls lineare Abbildung A : R n R m, so dass in einer Umgebung von x gilt f(x+ξ) = f(x)+aξ+ϕ(ξ), wobei ϕ eine in einer Umgebung von 0 R n definierten Funktion mit den Werten in R m ist mit ϕ(ξ) lim ξ 0 ξ = 0

17 Satz 62 Jacobi-Matrix f stetig partiell differenzierbar f Corollar zu Satz 62 Satz 63 Es gelten folgende Implikationen (Stetigkeit, Differenzierbarkeit) Kettenregel Corollar zu 63 Corollar zur Kettenregel Richtungsableitung Satz 64 Satz 65 f stetig differenzierbar x ν, ν = 1 gilt Mittelwertsatz Corollar zu 65 Hilssatz für 65 Corollar aus dem Mittelwertsatz Sei ν : [a, b] R m eine stetige vektorwertige Funktion auf dem Intervall [a, b] R Dann gilt

18 Sei U R n offen und f : U R eine in U partiell differenzierbare Funktion Alle partiellen Ableitungen D k f seien im Punkt x U stetig Dann ist f in x total differenzierbar Corollar: Sei U R n offen und f : U R eine stetig partiell differenzierbare Funktion Dann ist f in U stetig (Df)(x) := J f (x) := (f1,,fm) (x 1,,x n) (x) = f 1 f 1 x 1 f n x 1 f 1 x n x 2 f n x 2 f n x n Bemerkung: Die i-te Zeile der Jacobi-Matrix ist der Gradient der Funktion ( fi f i : (x),, f ) i x 1 xn (x) = grad f i (x) Seien U R n und V R m offene Mengen sowie f : U R m und g : V R k Abbildungen mit f(u) V Die Abbildung f sei im Punkt x U differenzierbar und die Abbildung g im Punkt y := f(x) V differenzierbar Dann ist die zusammengesetzte Abbildung g f : U R k im Punkt x differenzierbar und für ihr Differential gilt D(g f)(x) = (Dg) (f(x)) Df(x) f stetig partiell differenzierbar f stetig f total differenzierbar f stetig f partiell differenzierbar f i Bemerkung: Eine stetig partiell differenzierbare Funktion nennt man stetig differenzierbar Sei U R n offen und f : U R eine Funktion Weiter sei x U ein Punkt und ν R n ein Vektor mit ν = 1 Unter der Richtungsableitung von f im Punkt x in Richtung ν versteht man den Differenzialquotienten d ν f(x) := d dt f(x + tν) t=0 = lim t 0 f(x + tν) f(x) t Bemerkung: Für ν = e i ist also De f gleich der i-ten partiellen Ableitung i D i f Seien U R n und V R m offene Mengen, f : V R, x f(x), eine differenzierbare Funktion sowie ϕ 1 ϕ = : U Rm, t x = ϕ(t) ϕ m eine stetig differenzierbare Abbildung ϕ(u) V Dann ist die Funktion F := f ϕ : U R, t f (ϕ(t)) partiell differenzierbar und es gilt für i = 1,, n F t i (t 1,, t n) = m j=1 f x j (ϕ 1(t),, ϕ m(t)) ϕj t i (t 1,, t n) Sei U R n offen und f : U R m eine stetig differenzierbare Abbildung Sei x U und ξ R n ein Vektor derart, dass die ganze Strecke x + tξ, 0 t 1, in U liegt Dann gilt ( 1 ) f(x + ξ) f(x) = Df(x + tξ)dt ξ 0 Sei U R n offen und f : U R eine stetig differenzierbare Funktion Dann gilt für jedes x U und jeden Vektor ν R n mit ν = 1 D ν f(x) = ν, grad f(x) b a ν(t)dt b a ν(t) dt Es sei Damit gilt M := sup Df(x + tξ) 0 t 1 f(x + ξ) f(x) M ξ

19 Satz 71 Satz 72 Lineare Approximation einer Funktion Taylorsche Formel Corollar aus 72 Corollar zur Taylor-Formel Hessesche Matrix Satz 73 notwenige Bedingung für lokales Extrema Definitheit einer Matrix Satz zur Defintion Satz 74 Determinantenkriterium für Definitheit Hinreichende Bedingung für lokales Extremum Satz 81 Satz 82 Banachscher Fixpunktsatz Satz über implizite Funktionen

20 Sei U R n offen, x U ein Punkt und ξ R n ein Vektor derart, dass die Strecke x+tξ, 0 t 1, ganz in U liegt Weiter sei f : U R eine (k +1)-mal stetig differenzierbare Funktion θ [0, 1] : f(x + ξ) = α k D α f(x) α! ξ α + α =k+1 D α f(x + θξ) ξ α α! Sei U R n offen und f : U R eine k-mal stetig differenzierbare Funktion Sei x U und ξ R n ein Vektor derart, dass die Strecke x + tξ, 0 t 1, ganz in U liegt Dann ist die Funktion g : [0 : 1] R, g(t) := f(x + tξ), k-mal stetig differenzierbar und es gilt d k g dt k (t) = α =k k! α! (Dα f)(x + tξ)ξ α Sei U R n offen und f : U R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion Unter der Hesseschen Matrix von f im Punkt x U versteht man die x n Matrix (Hess f)(x) := 2 f = x i x j 2 f x f xn x 1 2 f x 1 x 2 2 f xn x 2 2 f x 1 xn 2 f x 2 n Sei U R n offen, und f : U R eine k-mal stetig differenzierbare Funktion Dann gilt x U: f(x + ξ) = α k D α f(x) ξ α + O( ξ k ), für ξ 0 α! Sei A M(n n, R) eine symmetrische n n Matrix a) Die Matrix A heißt positiv definit, falls ξ, Aξ > 0, ξ R n \0 b) Die Matrix A heißt positiv semidefinit, falls ξ, Aξ 0, ξ R n \0 c) Die Matrix A heißt negativ definit, falls ξ, Aξ < 0, ξ R n \0 d) Die Matrix A heißt negativ semidefinit, falls ξ, Aξ 0, ξ R n \0 e) Die Matrix A heißt indefinit, falls Vektoren ξ, η R n : ξ, Aξ > 0 η, Aη < 0 Sei U R n offen und f : U R eine partiell differenzierbare Funktion Besitzt f in x U ein lokales Extremum, so gilt grad f(x) = 0 Sei U R n offen, f : U R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und x U ein Punkt mit grad f(x) = 0 a) Ist (Hess f)(x) positiv definit, so besitzt f in x ein striktes lokales Minimum b) Ist (Hess f)(x) negativ definit, so besitzt f in x ein striktes lokales Maximum c) Ist (Hess f)(x) indefinit, so besitzt f in x kein lokales Extrumum Sei a 11 a 1n A = M(n n, R) a n1 a nn eine reelle symmetrische n n-matrix A ist genau dann positiv definit, wenn k = 1,, n gilt: a 11 a 1n det > 0 a n1 a nn U 1 R k und U 2 R m offene Teilmengen und F : U 1 U 2 R m, (x, y) F (x, y), stetig differenzierbare Abbildungen Sei (a, b) U 1 U 2 ein Punkt mit F (a, b) = 0 Die m m Matrix F y = (F 1,,Fm) (y 1,,ym) := F 1 y 1 Fm y 1 F 1 ym Fm ym sei im Punkt (a, b) invertierbar offene Umgebungen V 1 U 1 von a, eine Umgebung V 2 U 2 von b sowie eine stetig differenzierbare Abbildung g : V 1 V 2 R m mit g(a) = b, sodass F (x, g(x)) = 0 x V 1 Ist (x, y) V 1 V 2 ein Punkt mit F (x, y) = 0, so folgt y = g(x) Sei A eine abgeschlossene Teilmenge eines Banachraums Die Abbildung φ : A A sei eine Kontraktion, dh es gebe eine Konstante θ mit 0 < θ < 1 : φ(f) φ(g) θ f g f, g A Dann besitzt φ genau einen Fixpunkt, dh eindeutig bestimmtes Element f A mit φ(f ) = f Für einen beliebigen Anfangswert f 0 A konvergiert die furch f k := φ(f k 1 ) rekursiv definierte Folge (f k ) k N gegen den Fixpunkt f

21 Satz 83 Satz über die Umkehrabbildungen Immersion Satz 91 Sei ϕ eine Immersion t T offene V T : Untermannigfaltigkeit Proposition 92 F : U R m stetig differenzierbar, DF (x) R m n surjektiv x F 1 (0) Codimension der Untermannigfaltigkeit Corollar 93 regulärer Wert Corollar zur Def Regulärer Wert Zusammenhang regulärer Wert Untermannigfaltigkeit Satz 94 Extrema unter Nebenbedingungen

22 Sei T R k eine offene Teilmenge Eine stetig differenzierbare Abbildung ϕ : T R n, (t 1,, t k ) ϕ(t 1,, t k ), heißt Immersion, wenn der Rang der Jacobi-Matrix f 1 f 1 x 1 f n x 1 f 1 x n x 2 f n x 2 in jedem Punkt t T gleich k ist f n x n Sei U R n offen und f : U R n eine stetig differenzierbaer Abbildung Sei a U und b := f(a) Die Jacobi-Matrix Df(a) sei invertierbar: offene Umgebungen U o U von a und eine offene Umgebung V 0 von b : f die Menge U 0 bijektiv auf V 0 abbildet und die Umkehrabbildung g = f 1 : V 0 U 0 stetig differenzierbar ist Es gilt Dg(b) = (F f(a)) 1 M R n heißt Untermannigfaltigkeit der dim k a M, nach eventueller Umnummerierung der Korrdinaten, offene Umgebungen U R k von a := (a 1,, a k ) und U R n k von a := (a k+1,, a n ) sowie eine stetig differenzierbare Abbildung g : U U, sodass M (U U ) = {(x, x ) U U x = g(x )} mit anderen Worten: M ist lokal Graph einer auf einer k dim Koordinatenumgebung U R k definierten Abbildung U U Sei T R k offen und ϕ : T R n eine Immersion t T offene Umgebungen V T, sodass die Beschränkungen ϕ V ϕ(v ) R n injektiv ist und einen Homöomorphismus von V auf ϕ(v ) darstellt Die Zahl n k heißt Codimension der Untermannigfaltigkeit Untermannigfaltigkeiten der Codimension 1 nennt man auch Hyperflächen Es sei U R n sowie F : U R m stetig differenzierbar, und x F 1 (0) sei das Differential DF (x) R m n surjektiv (als lineare Abbildung R n R m ) M := F 1 (0) R n ist eine Untermannigfaltigkeit der Dimension k = n m Es sei c ein regulärer Wert von F Dann ist F 1 (c) R n eine Untermannigfaltigkeit der Dimension m n (die möglicherweise leer ist) Dies ist das nichtlineare Analogon des folgenden Resultats aus der linearen Algebra: Ist F : R n R m eine surjektive Abbildung, so ist der Kern von F ein Untervektorraum von R n der Dimension n m Es sei U R n offen und F : U R m stetig differenzierbar Ein Punkt c R m heißt regulärer Wert von F, x F 1 (c) das Differential DF (x) : R n R m surjektiv ist Ist c kein regulärer Wert, so heißt c ein singulärer Wert von F Sei U R n eine offene Teilmenge und f : U R stetig differenzierbar Wir setzen M := f 1 (0) R n Sei a M so gewählt, dass Df(a) : R n R surjektiv ist (dh grad f(a) R 1 n ist als Abbildung R n R surjektiv - insbesondere ist also M in einer Umgebung von a eine Untermannigfaltigkeit von R n der Dimension n 1 Es sei nun h : U R stetig differenzierbar und a sei ein lokales Maximum (Minimum) von h unter der Nebenbedingung f = 0, dh eine Umgebung V U R n von a, sodass h(x) h(a) (h(x) h(a)) x M V λ R mit grad h(a) = λ grad f(a) λ heißt Lagrange-Multiplikator