Übstunden 7. Klasse Aufgaben und Lösungen zur Algebra

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1 Übstunden 7. Klasse Aufgaben und Lösungen zur Algebra Jens Möller Owingen 5 Blätter

2 Übungen und Hausaufgaben Blatt 01 Regeln: (1) Punktrechnung ( bzw: ) geht vor Strichrechnung ( + bzw ). () Steht eine Klammer, so wird zuerst der Inhalt der Klammer berechnet. Beispiele: (4 + 3) (0 3) (6 5 3) 7. 6(5 3) : 9. ( ) : (4 + 6 : ) ( ) Aufgaben: (0 10) 4. (0 + 10) (4 8 3) 7 7. ( ) : : (15 9) (5+ 6) (93 38) : 3 (0 + 30) 13. ( ) : (58 3) : 3 Stelle in den folgenden Aufgaben zunächst einen Rechenausdruck (Term) auf. Anschließend berechne den Term. Beispiel: Subtrahiere vom 4-fachen der Zahl 1 das 3-fache der Zahl 11. Lösung: Addiere zum 9-fachen der Zahl 8 das 5-fache der Zahl Subtrahiere vom 6-fachen der Zahl 11 die Zahl Multipliziere die Zahl 1 mit 15, addiere dann 10 und teile anschließend durch Vermindere 180 um 81 und teile das Ergebnis durch Teile 1000 durch 5, addiere 11 dazu und teile anschließend durch 3.

3 Lösungen Blatt 01 Regeln: (1) Punktrechnung ( bzw: ) geht vor Strichrechnung ( + bzw ). () Steht eine Klammer, so wird zuerst der Inhalt der Klammer berechnet. Beispiele: Aufgaben: Subtrahiere vom 6-fachen der Zahl 11 die Zahl Multipliziere die Zahl 1 mit 15, addiere dann 10 und teile anschließend durch 19. ( ) :19 ( ) : : Vermindere 180 um 81 und teile das Ergebnis durch 9. (180 81) : 9 99 : Teile 1000 durch 5, addiere 11 dazu und teile anschließend durch 3. (1000 : ) : 3 ( ) : 3 51: Addiere zum 9-fachen der Zahl 8 das 5-fache der Zahl

4 Übungen und Hausaufgaben Blatt 0a Regeln: Gibt es einen Term ( Rechenausdruck) mit mehreren Klammern, so wird die innerste Klammer zuerst berechnet. Innere Klammern sind rund, äußere eckig, weitere geschweift. Beispiele: Finde jeweils einen geeigneten Term und berechne ihn: 1. Multipliziere die Summe aus 14 und 16 mit 5.. Teile die Differenz aus 7 und 17 durch Vermindere das Produkt aus 6 und 8 um Bilde den Quotienten aus 36 und 4, addiere 1 und teile das Ergebnis durch 5. Berechne die Klammer-Terme: [(55 35) (7 6)] 6. [54 (0 6)] [(54 0) 6] { } 7. ( ) ( 4) ( + 3) ( 4) ( 3) 9. ( ) ( 1) + ( + 10) : ( 5) 10. [( 1) ( 3) ] ( 5) ( 7) ( 4) Aufgaben: [Den Rechengang bitte mit aufschreiben!] 1. Multipliziere die Differenz aus 36 und 11 mit 4.. Teile die Summe aus 56 und 44 durch Vermehre das Produkt aus 4 und 3 um 8 und teile das Ergebnis dann durch. 4. Vermindere den Quotienten aus 7 und 8 um 3 und multipliziere das Ergebnis mit (8 1) 6. [ 37 (15 1) ] [ (37 15) 1] 7. [ 3 (1 4) ] [ (3 1) 4] 8. { [ ]} (5+ 5) [( 3) ( 1) ]: ( + 4) [( 3) ( 6) ] 11. [( ) ( + 3) ] ( 5) 1. [( + 3) ( 5) ] [ ( 1) + ( + 18) ] ( 3) ( + 9) 15. ( ) ( 0) ( 100) : ( 5) (7 3) ( ) : : : (6 13) 0. [ 15 (30 7) ]: ( 6)

5 Lösungen Beispiele: 1. Multipliziere die Summe aus 14 und 16 mit 5. ( ) Blatt 0a. Teile die Differenz aus 7 und 17 durch 11. (7 17) :11 55: Vermindere das Produkt aus 6 und 8 um Bilde den Quotienten aus 36 und 4, addiere 1 und teile das Ergebnis durch 5. (36:4+ 1):5 (9+ 1):5 10: [(55 35) (7 6)] 64 [0 10] [54 (0 6)] [(54 0) 6] [54 14] [34 6] { } { [ ]} { } ( ) 8. ( 4) ( + 3) ( 4) ( 3) 1 ( + 1) ( ) ( 1) + ( + 10) : ( 5) [( 1) ( 3) ] ( 5) ( 7) ( 4) [ ] ( 5) + ( 8) 9 ( 5) Aufgaben: 1. (36 11) ( ) : : (4 3+ 8) : (1 + 8) : (7 :8 3) 5 (9 3)

6 Übungen und Hausaufgaben Blatt 0b Regeln: Gibt es einen Term ( Rechenausdruck) mit mehreren Klammern, so wird die innerste Klammer zuerst berechnet. Innere Klammern sind rund, äußere eckig, weitere geschweift. Beispiele: Finde für die folgenden Aufgaben jeweils einen geeigneten Term und berechne ihn: 1. Bilde die Summe aus 3 und 64 und teile dann durch 8.. Bilde die Differenz aus 131 und 63 und dividiere anschließend durch Bilde das Produkt aus 16 und 5, addiere 0 und dividiere anschließend durch Subtrahiere von 60 den Quotienten aus 100 und 4, anschließend multipliziere mit. Aufgaben: Berechne die folgenden Klammer-Terme: (8 14). [5 ( 1)] [(5 ) 1] (50 5) 4. [100 (50 5)] [(100 50) 5] 5. { [ ]} (7+ 7) [( + 1) ( 3) ]:( 4) [ 7 19] 8. 5 ( 5) ( + 5) 9. 5 [ 5 (5+ 5) ] 10. ( 5) ( 5) ( 5):( 5) 11. [( 5) ( 5) ( 5) ]:( + 5) 1. [ 70 (30 10) ]: 13. [ 100 (80 60) ] [ 45 (9 ) ] [(9 ) + 1: 7 ]: { [ 3 ( 4) ]} Schreibe für die folgenden Aufgaben jeweils einen geeigneten Term auf und berechne ihn: 17. Bilde die Summe aus 44 und 16 und teile sie dann durch Bilde die Differenz aus 88 und 33 und multipliziere sie anschließend mit Bilde das Produkt aus 15 und 4, anschließend subtrahiere davon Addiere zur Zahl 100 den Quotienten aus 68 und 17, anschließend dividiere durch 13.

7 Lösungen Beispiele: Finde für die folgenden Aufgaben jeweils einen geeigneten Term und berechne ihn: 1. (3 + 64) :8 96 :8 1 Blatt 0b. ( ) : 4 68: ( ) : 5 (80 + 0) : : ( : 4) (60 5) Aufgaben: [5 10] [30 1] ( 36) : ( 4) ( 1) ( 15) (5+ 5):5 30: [ 70 0 ]: 50 : [ 100 0] (0 7) [ 7+ 3 ]:5 10: { 1} ( ) :15 60 : (88 33) : :

8 Übungen und Hausaufgaben Blatt 0c Schreibe die Aufgaben in dein Heft ab. Schreibe beim Rechnen auch die Zwischenschritte mit auf. Das Ergebnis unterstreiche bitte zweimal. Aufgaben: Berechne die folgenden Klammer-Terme: (13+ 7) 6. (9 8 ) (13 7) (64 13) : 8. (100 60) : : ( ) : [7 (17 7)] [(7 17) 7] 1. [34 (4 14)] [(34 4) 14] { 3 [ 3 (3 1) ]} { 4 [ 4 (4 1) ]} { 5 [ 5 (5 1) ]} Regel: Die innerste Klammer zuerst ausrechnen [( 13) ( 100) ] ( 13) ( 5) 18. [( 5) ( 4) ]:5 19. [ ( 6) ]: ( 1) 0. 1 { 3 [ 3 4 5] } Schreibe für die folgenden Aufgaben jeweils einen geeigneten Term auf und berechne ihn: 1. Bilde die Differenz aus 74 und 19 und teile sie anschließend durch 5.. Subtrahiere von 100 die Summe aus 17 und Vermindere das Produkt aus 7 und 6 um, dann teile durch Bilde den Quotienten aus 51 und 3, addiere 13, anschließend dividiere durch Berechne ( ) : (100 60)

9 Lösungen Blatt 0c : : (5 9) : ( 60) : ( 1) (6 7) (74 19) : 5 55: (17 + 3) (7 6 ) :8 40 : (51:3+ 13):6 30: : % 5/ 5

10 Übungen und Hausaufgaben / Auflösen von Klammern Fasse geschickt zusammen: Beispiele Blatt 03a. a+ a+ a+ a+ a 5 a 5a 4. 5a+ 3a+ a 10a a+ 10b+ 3a 5b+ a 5a+ 3a+ a+ 10b 5b 10a+ 5b Löse die Klammern auf: (5 + ) (5 + ) a+ ( b+ c) a+ b+ c 11. a ( b+ c) a b c (5 ) [ ] [ ] [ ] Regeln: 1. a ( b c) a b+ c a ( a b) ( a+ b) a a b a b) a a b a+ a+ b a+ b Steht vor einer Klammer ein +Zeichen, so bleiben beim Auflösen der Klammer alle Vorzeichen in der Klammer unverändert. Steht vor einer Klammer ein Zeichen, so kehren sich beim Auflösen der Klammer alle Vorzeichen in der Klammer um. Aufgaben: Schreibe die Aufgaben in dein Heft ab, schreibe auch Zwischenrechnungen mit auf, das Ergebnis unterstreiche bitte zweimal x + x+ x+ x a 5a+ a a+ 7a 3b+ a+ 5b 8a 7. a+ ( a b) ( a b) 8. 5 a (3a 9 a) 9. ( a+ b+ c) ( a b c) 10. ( a+ b) ( a b) 11. (5a b) (7b 3 a) (6a 8 b) [ 11 (11 1) ] 13. a [ a ( a 1) ] [ 7 (7+ 1) ] 15. b [ b ( b 1) ] [ 64 (56 16) ] [ (64 56) 16] 17. [ a ( b c) ] [( a b) c] [( ) (17 57) ] 19. a [( a+ b) ( b a) ] 0. 4x { 3x [ x ( x 1) ]}

11 Lösungen Blatt 03a x + x+ x+ x 4x a 5a+ a 10a a+ 7a 3b+ a+ 5b 8a a+ b 7. a+ ( a b) ( a b) a+ a b a+ b a 8. 5 a (3a 9 a) 5a 3a+ 9a 11a 9. ( a+ b+ c) ( a b c) a+ b+ c a+ b+ c b+ c 10. ( a+ b) ( a b) a+ b a+ b 4b 11. (5a b) (7b 3 a) (6a 8 b) 5a b 7b+ 3a 6a+ 8b a b [ 11 (11 1) ] [ ] 13. a [ a ( a 1) ] [ ] a a a+ 1 a [ 7 (7+ 1) ] b [ b ( b 1) ] + + b+ b b 1 b [ 64 (56 16) ] [ (64 56) 16] [ ] [ ] ( 8) [ a ( b c) ] [ ( a b) c] [ + ] [ ] [( ) (17 57) ] [ ] a b c a b c a b c a b c c ( 40) a [( a+ b) ( b a) ] a [ a+ b b+ a] a a a 0. 4x { 3x [ x ( x 1) ]} { [ ]} { } 4x 3x x+ 1 4x 3x x 1 4x 3x+ x+ 1 x+ 1

12 Übungen und Hausaufgaben / Auflösen von Klammern Blatt 03b Regeln: Steht vor einer Klammer ein +Zeichen, so bleiben beim Auflösen der Klammer alle Vorzeichen unverändert, die Klammer kann also einfach weggelassen werden. Steht vor einer Klammer ein Zeichen, so müssen beim Auflösen der Klammer alle Vorzeichen umgekehrt werden. Ineinander verschachtelte Klammern werden von innen nach außen aufgelöst. Beispiele: 1. a+ ( a b) ( a b) a+ a b a+ b a. 10 b (b 11 b) 10b b+ 11b 19b 3. 10y [ 10 y (10y 4 y) ] 10 y [10y 10y+ 4 y] 10y 10y+ 10y 4y 6y Aufgaben: Schreibe die Aufgaben in dein Heft ab, schreibe auch Zwischenrechnungen mit auf, das Ergebnis unterstreiche bitte zweimal. Fasse geschickt zusammen: a+ a+ a+ a+ a a ( a+ b) ( a b) 9a ( a+ 7b) ( a+ 7b) a+ ( a 5b) ( 3a 6b) 4. 11a 10a+ 7a a a ( 3a b) + ( 3a b) 6. 17a 14b+ c 16a+ 16b+ c Löse die Klammern auf und fasse neu zusammen: 7. a ( a b) + ( a b) 8. ( a b c) ( a b c) 9. 7a 1 b (7a 3 a) (13a 17 a) c+ (8b 5 c) (6b+ 3 c) ( b c) Klammern von innen nach außen auflösen: [ 9 (8 7) ] [ 10 (5 + 4) ] 13. a [ b ( a b) ] ( a+ b) ( a b) ( b a) 19. a ( a b) ( b a) { } 0. 5a 4a 3a ( a ) [ 64 (56 16) ] [ (64 56) 16]. [ a ( b c) ] [( a b) c] * [( ) (17 57) ] 4. a [( a+ b) ( b a) ] 5. 4a { 3a [ a ( a 1) ]} 6. (5a b) (7b 3 a) (6a 8 b)

13 Lösungen Blatt 03b a+ a+ a+ a+ a 5a a 10a+ 7a a 7a a 14b+ c 16a+ 16b+ c a+ b+ 3c 7. a ( a b) + ( a b) a a+ b+ a b a 8. ( a b c) ( a b c) a b c a+ b+ c b+ c 9. 7a 1 b (7a 3 a) (13a 17 a) 7a 1b 7a+ 3a 13a+ 17a 7a 1b c+ (8b 5 c) (6b+ 3 c) ( b c) 7c+ 8b 5c 6b 3c b+ c b [ 9 (8 7) ] 10 [ 9 1] [ 10 (5 + 4) ] 15 [ 10 9] a [ b ( a+ b) ] [ ] + + a b a b a b a b a 14. 3a ( a+ b) ( a b) a [ a b a b] a 3b 15. 9a ( a+ 7b) ( a+ 7b) [ ] 9a a+ 7b a 7b 9a+ a 10 a 16. 7a+ ( a 5b) ( 3a 6b) [ ] a ( 3a b) + ( 3a b) [ ] 18. ( a+ b) ( a b) ( b a) a+ b a+ b b+ a a+ b 19. a ( a b) ( b a) a a+ b+ b a b { } 0. 5a 4a+ 3a ( a+ ) 7a+ a 5b 3a+ 6b 7a+ a 5b 3a+ 6b 5a+ b 11a 3a b+ 3a b 11 a (6a 4 b) 5a+ 4b 5a 4 a a ( ) 1. [ 64 (56 16) ] [ (64 56) 16] [ ] [ ] [ a ( b c) ] [ ( a b) c] [ + ] [ ] [( ) (17 57) ] [ ] a b c a b c a b c a b c c a [( a+ b) ( b a) ] [ ] a a+ b b+ a a a b+ b a a 5. 4a { 3a [ a ( a 1) ]} { [ ]} 4a 3a a+ 1 4a 3a+ a+ 1 a (5a b) (7b 3 a) (6a 8 b) 5a b 7b+ 3a 6a+ 8b a b

14 Übungen und Hausaufgaben / Auflösen von Klammern Blatt 03c a + 1a a 1a Klammern werden von innen nach außen aufgelöst. + ( a + b c) + a + b c + vor der Klammer lässt alle Vorzeichen unverändert. ( a + b c) a b + c vor der Klammer kehrt alle Vorzeichen um. Beispiele: ( ) ( 10 5) ( ) [ ] ( 1 + 6) ( 1 6) ( ) [ ] ( 5 + 4) ( 5 4) ( ) [ ] Was fällt dir bei den vorhergehenden Beispielen auf? Berechne allgemein: ( a+ b) ( a b) a b a Berechne allgemein: [ ] + b ( ) + b a b a+ b a b a b a+ a a 5a 4 a (7 a)... 7 Prüfe das Ergebnis für a 1, a und a 3. Merke: Algebra ist das Rechnen mit allgemeinen Zahlen. Jedes Rechengesetz wird in der Sprache der Algebra ausgedrückt. Aufgaben: a+ a+ 3a+ 4a 4. ( ) (10 5 6) 5. ( ) (10 7 5) 6. (1 6 + ) ( ) 7. ( a+ b c) ( a b c) 8. 0 ( 10 7) ( 7 10) 9. 1 ( 6 7) ( 7 6) 10. ( 11 3) ( 3 11) ( ) ( ) 11. a a b b a 1. a a 1 ( a 1) + Prüfe das Ergebnis für a 3, a 5, a a 3a ( b a) Prüfe für a 1 und b 7 Prüfe für a 3 und b 5 Prüfe für a 10 und b ( 10a 3b c) ( 7a 5b c) 15. a ( b d) ( d c) a ( b a) ( b c) ( 7a b) ( 3a c) ( b 3c) 18. ( 3x 5y) ( 7x 3y) ( 5x 7y) + { } y y x y + y 19. ( ) { } 0. 5a 4a 3a ( a ) + + x x x x x? 3 8

15 Lösungen Blatt 03c Das Ergebnis ist immer das Doppelte der zweiten Zahl ( ) ( ) a+ b a b a + b a + b b [ ] [ ] [ ] ( 5) ( 6) ( 4) 8 ( ) a b a+ b a b a b a ( a) a Das Ergebnis ist immer das Doppelte der ersten Zahl. 5a 4 a (7 a) 5a 4a 7+ a 5a 5a 7 5a 5a [ ] [ ] [ ] Aufgaben: [ ] [ ] [ ] für a (7 1) [ ] [ ] für a 10 8 (7 ) [ ] [ ] für a (7 3) a 4. 9 ( 1) ( ) a+ b c a+ b+ c b 8. ( ) [ 1 1] 1 ( ) ( ) [ ] a a b b+ a b 1. [ ] a a+ 1 a+ 1 a Prüfe das Ergebnis für a 3, a 5, a 7. 3 [ 4 ] 1 stimmt 5 [ 6 4] 5 3 stimmt stimmt stimmt stimmt 7 [ 8 6] 7 5 stimmt 13. 4a [ 3a b+ a] b 4 [ 3 6] stimmt 1 [ 9 ] stimmt 40 [ 30 ( 4) ] ok a+ b+ c 15. a+ b+ c 16. a+ c 17. 4a c 18. x + y 19. x { } { [ ]} { } 0. 5a 4a 3a ( a ) + + 5a 4a+ a 5a 5a 1. HN 4 x 48

16 Übungen und Hausaufgaben / Auflösen von Klammern Blatt 03d a + 1a a 1a Klammern werden von innen nach außen aufgelöst. + ( a + b c) + a + b c + vor der Klammer lässt alle Vorzeichen unverändert. ( a + b c) a b + c vor der Klammer kehrt alle Vorzeichen um. Algebra ist das Rechnen mit allgemeinen Zahlen. Jedes Rechengesetz wird in der Sprache der Algebra ausgedrückt. Beispiele: 3 a ( a b) ( a+ b) 3a a+ b a b a Prüfe für a 5 und b : 15 (5 ) (5 + ) stimmt weil a 5 ist. Prüfe für a 9 und b 4: 7 (9 4) (9 + 4) stimmt weil a 9 ist. Prüfe für a 11 und b 15: 33 (11 15) (11+ 15) 33 ( 4) 6 11 stimmt weil a 11 ist. Aufgaben: a+ 4a+ 6a+ 8a a 1a+ a a 7. ( a+ b) ( a b) 3b 8. Prüfe für a 10 und b 9. Prüfe für a 15 und b Prüfe für a 0 und b a a+ b b a [Bitte alle Ergebnisse unterstreichen.] ( ) ( ) 1. Prüfe für a 7 und b Prüfe für a 5 und b Prüfe für a 11 und b a [ 3 a ( a 1) ] 16. Prüfe für a Prüfe für a Prüfe für a x [ 10 (5x 10) ] c+ (8b 5 c) (6b+ 3 c) ( b c) 1. 5a [ 3 a ( a 9) ] +. 9 a [( a 17 b) (a 17 b) ] y { y [ y ( x y) ]} 4. a { b ( a b) } + Löse die Gleichungen 5. x+ (3x+ 8) ( x+ 7) 8 x? x x x x? 3 7. Fritz gab die Hälfte seines Ersparten für CDs aus, ein Fünftel für Bücher, ein Drittel für Naschereien. Dann hatte er 1,50 Schulden. Wie hoch war sein Erspartes?

17 Lösungen Blatt 03d a+ 4a+ 6a+ 8a 0a a 1a+ a a a 7. a+ b a+ b 3b b 8. Prüfe für a 10 und b (10 + 4) (10 4) stimmt 9. Prüfe für a 15 und b 5 ( ) (15 10) stimmt 10. Prüfe für a 0 und b 9 (0 + 18) (0 18) stimmt 3a a+ b b a 3a a+ b b a + a 11. ( ) ( ) 1. Prüfe für a 7 und b 9 ( ) ( ) [ ] stimmt stimmt 13. Prüfe für a 5 und b 15 ( ) ( ) [ ] 14. Prüfe für a 11 und b 3 ( ) ( ) [ ] 15. [ ] 4a 3 a ( a 1) 4a a 1 a Prüfe für a 1 4 [ 3 0] 1 stimmt 17. Prüfe für a 3 1 [ 9 ] 5 stimmt stimmt 18. Prüfe für a 7 8 [ 1 6] 13 stimmt 5x 10 (5x+ 10) 5x 10 5x 10 10x 19. [ ] 0. 7 c+ (8b 5 c) (6b+ 3 c) ( b c) 7c+ 8b 5c 6b 3c b+ c b 1. [ ] 5a 3 a+ ( a 9) 5a 3a a+ 9 a+ 9. [ ] [ ] 9 a ( a+ 17 b) (a+ 17 b) 9a a+ 17b a 17b 9a+ a 10a 3. { [ ]} y y y ( x y) y y+ y x+ y y x 4. { } a b+ ( a b) a b a + b 0 x x 5. x x HN 6 x 1 3 x x x ,5 x HN 30 x

18 Übungen und Hausaufgaben / Auflösen von Klammern Beispiele: Blatt 04a (10 + ) (0 + 4) ( a+ b+ c) 15a+ 15b+ 15c 4. 1 ( a+ b c) 1a 1b+ 1c 5. 7( a b c) 7a 7b 7c ( a+ b 4) + 4 (11 5b a) 11a+ b b 8a 3a+ b 7. 5 ( a b) 3 (3a b) 10a 5b 9a+ 6b a+ b Regel: Eine Klammer wird mit einer Zahl multipliziert, indem man jedes Glied der Klammer mit der Zahl multipliziert. Aufgaben: (10 + 5) [Bitte alle Ergebnisse unterstreichen.] 14. 9( a b) 8( a b). 15 (0 + 6) 3. 3( a+ ) b 4. 7(3 a ) b ( a b c) 6. 3( a 4) b + 7( a+ ) b 7. 5( a+ ) b 4( a b) 8. 9(3 a ) b + 3( a+ 6) b 9. 5 (6a 10) (9a 50) 10. 6(7 x+ 11) (1 x+ 8) * * * Ein Malzeichen vor einer Klammer kann auch weggelassen werden (4x ) 4(7x 5) 1. 3(5 a) 5(3 a) ( a+ b) 11( a b) 15. 5(a+ 3 b) 5(a 3 b) 16. ( a+ b) + 3( a+ b) ( a+ b) 17. ( a+ b) + ( a b) 3( a b) 18. ( a+ b) ( a b) + (3a b) 19. ( a+ b+ c) ( a+ 3b+ c) 0. 7( a 4 b c) (3a 14b 4 c) * * * Löse die folgenden Gleichungen: 1. 9( x 5) 9( x+ 5) 6( x+ 3). x+ (3x+ 8) ( x+ 7) 10 x x 3. x { } 5. x + ( x ) 10 x x x x

19 Lösungen Blatt 04a (10 + 5) (0 + 6) ( a+ ) b 3a+ 6b 4. 7(3 a ) b 1a 14b ( a b c) 10a 10b 0c 6. 3( a 4) b + 7( a+ ) b 3a 1b+ 7a+ 14b 10a+ b 7. 5( a+ ) b 4( a b) 5a+ 10b 4a+ 4b a+ 14b 8. 9(3 a ) b + 3( a+ 6) b 7a 18b+ 3a+ 18b 30a 9. 5 (6a 10) (9a 50) 30a 50 9a+ 50 a 10. 6(7 x+ 11) (1 x+ 8) 4x+ 66 4x * * * 11. 7(4x ) 4(7x 5) 8x 14 8x (5 a) 5(3 a) 15 6a a 4a ( a+ b) 11( a b) 11 a+ 11b 11 a+ 11b b 14. 9( a b) 8( a b) 9a 9b 8a+ 8b a b 15. 5(a+ 3 b) 5(a 3 b) 10a+ 15b 10a+ 15b 30b 16. ( a+ b) + 3( a+ b) ( a+ b) a+ b+ 3a+ 3b a b 4a 4b 17. ( a+ b) + ( a b) 3( a b) a+ b+ a b 3a+ 3b b 18. ( a+ b) ( a b) + (3a b) a+ b a+ b+ 3a b a+ b 19. ( a+ b+ c) ( a+ 3b+ c) a+ 4b+ c a 3b c a+ b 0. 7( a 4 b c) (3a 14b 4 c) 7a 8b 7c 6a+ 8b+ 8c a+ c * * * 1. 9( x 5) 9( x+ 5) 6( x+ 3) 9 x 45 9 x x 18 x 1. x+ (3x+ 8) ( x+ 7) 10 x+ 3x+ 8 x 7 10 x 3 x x 3. x 0 6 3x x 6x 10 x x { x } + ( ) 10 x x 10 x x x x x x+ 8x 6x 3x x

20 Übungen und Hausaufgaben / Auflösen von Klammern Blatt 04b Beispiele: 15 ( a b) 3( a+ b) (8a 33 b) 15a 30b 6a 3b 8a+ 33b a gleichartige Zahlen zusammenfassen Regel: Eine Klammer wird mit einer Zahl multipliziert, indem man jedes Glied der Klammer mit der Zahl multipliziert. Aufgaben: (10 + 5). 5 (0 + 8) 3. 4 (5 a+ b) 4. 6 (3a b) 5. 5 (a 4 b+ c) 6. 9 ( a b) + ( a+ 18 b) 7. (5a 7 b) 3 (3a 5 b) 8. 4 (3a 9) + ( a) (x+ y+ 5) (6x+ 13 y) (3x y 5) (14x 16y 50) (3x 5) 3 (7x 1) 1. 4 (5 3 a) 5 (4 3 a) 13. 6( a+ b) 6( a b) ( x y) 9 ( x y) (a+ 3 b) 5 (a+ 4 b) 16. ( x+ y) + 5 ( x+ y) ( x+ y) MERKE: Der Malpunkt vor der Klammer darf auch weggelassen werden. 17. ( x y) + ( x+ y) ( x y) 18. ( x+ y) ( x y) + 8y 19. ( a+ b) ( a b) (4 b a) 0. 6( a 3 b c) (3a 10b 3 c) ZUSATZAUFGABE: Löse die Gleichung 3( x 7) 3( x+ 3) ( x+ 1)

21 Lösungen Blatt 04b a+ 4b 0a+ 4b a 6 b 18a 1b 5. 5 a 5 4b+ 5c 10a 0b+ 5c 6. 9a 18b+ a+ 18b 10a 7. 10a 14b 9a+ 15b a+ b 8. 1a a 0a 9. 6x+ 13y+ 65 6x 13y x 16y 40 14x+ 16y x x 35 1x a a 3a 13. 6a+ 6b 6a+ 6b 1b x 11y 9x+ 9y x y a+ 1b 10a 0b 4a+ b 16. 6( x+ y) 6x+ 6y 17. x y+ x+ y x+ y x+ y 18. x+ y x+ y+ 8y 10y 19. a+ b a+ 4b 4b+ a a+ b 0. 6 a 18b 6c 6a+ 0b+ 6c b ZUSATZAUFGABE: 3( x 7) 3( x+ 3) ( x+ 1) 3 x 1 3 x+ 9 x 3 x 1 1 x+ 7 1x + 1 x 8 : x 14

22 Blatt 05a Zwei Klammern miteinander multiplizieren 1. Beispiel: 1317 (10 3) (10 7) (0 3) (0 7) (30 3) (30 7) Frage: Gibt es zum Schluss immer eine 1? Die Antwort erhält man durch Algebra. Formel: ( a3) ( a7) a² 7a3a1 a² 10a1 für a 50: 5357 (50 3) (50 7) Beispiel: Formel: ( a) ( a7) a² 7aa14 a² 5a14 für a (0 ) (0 7) Beispiel: Formel: ( a) ( a8) a² 8aa16 a² 10a16 für a (50 ) (50 8) Regel: Zwei Klammern werden miteinander multipliziert, indem man jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert.

23 Blatt 05a AUFGABEN: Multipliziere die Klammern aus (10 4) (10 6). 46 (0 4) (0 6) (30 4) (30 6) 4. ( a4) ( a6) (0 ) (0 8) (30 ) (30 8) 7. ( a) ( a8) (0 ) (0 8) 9. 8 (30 ) (30 8) 10. ( a) ( a8) (0 3) (0 3) (30 3) (30 3) (50 3) (50 3) 14. ( a3) ( a3) ( a3) ( a8) 16. Setze in die Formel a 10 ein. 17. Setze in die Formel a 0 ein. 18. ( a4) ( a5) 19. Setze in die Formel a 0 ein. 0. Setze in die Formel a 30 ein. 1. ( a5) ( a5). Setze in die Formel a 0 ein. 3. Setze in die Formel a 50 ein. 4. ( a3) ( a) 5. Setze in die Formel a 30 ein.

24 Blatt 05a LÖSUNGEN a4a6a 6a4a4a 10a aa8a 8aa16a 6a a a 8a 8a a 16 a 10a a3a3a 3a 3a 9a a3a8a 8a3a4a 5a a4a5a 5a4a0a a a5a5a 5a 5a 5 a a3aa a3a6a 5a

25 Blatt 05b ZWEI KLAMMERN MITEINANDER MULTIPLIZIEREN BEISPIELE ( a) ( a7) a( a5) a 7aa14 a 5a 14 ( a1) ( a6) ( a3) ( a4) a 6aa 6 a 4a3a1a 18 REGEL Zwei Klammern werden miteinander multipliziert, indem man jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert. AUFGABEN VEREINFACHE 1. 5a3b5a10b. 6a b 3c 3a b 6c x y z 15y 7,5z 4. 7 x 3yz 3 7y4x 7z 5. 8a 10b 4a 40b 5 6. a4a6 aa10 7. a3a4 aa7 8. a5a a3a 9. a 3 a 7 a a a 9 a 3 a 6 a a 5 a 7 a 5 a 7 1. a 8 a 4 a 8 a a 7 a 6 a 14 a a 6 a a 3 a a1a1 16. aa 17. a3a3 18. a4a4 19. a4a4 0. a4a4 1. x 5 x 4 5 Löse die Gleichung.

26 Blatt 05b LÖSUNGEN a15 b10 a0 b 5 b. 6a6b18c3a6b18c 3a x 30 y15 z30 y15 z 15x x 1 y7 z1 y1 x7 z x a 80 b8 a 80 b10 10 a a a a a a a a a 3a103aa 10 a 10 a1a 10 a16 a 37 a 1 a7 a 1 a36 a 63 a a35a a35a 70 a 4a3a 4a3a 64 a 13 a4 a 11 a4 a 4a a 8a1a a1a 7a a a a a a a a 16 8a 16 x 10x5 x 8x 16 5 x 5 10x 8x 16 x 16 x 8

27 Blatt 06a ZAHLENGESETZE ENTDECKEN BEISPIELE ( a1) ( a1) a a a 1 a 1 REGEL ( a1) ( a1) a 1 MERKE

28 Blatt 06a BERECHNE MIT HILFE DER REGEL ( a1) ( a1) a LÖSE DIE KLAMMERN AUF, FASSE NEU ZUSAMMEN, WIE LAUTET DIE REGEL? 5. ( a) ( a) 6. ( a3) ( a3) 7. ( a4) ( a4) 8. ( a5) ( a5) 9. ( a6) ( a6) 10. ( a11) ( a11) ( ab) ( ab) a b BERECHNE MIT HILFE DER REGEL [a 0 / b ] [a 90 / b 3] a 1 a 1 0. a a 1. a 7 a 7. WIE LAUTET DIE REGEL FÜR a bab? 3. WIE LAUTET DIE REGEL FÜR a bab?

29 Blatt 06a LÖSUNGEN a aa4a 4 a 3a3a9a 9 a 4a4a16 a 16 a 5a5a5 a 5 a 6a6a36 a 36 a 11a11a11 a 11 REGEL ( a b) ( a b) a b a a a a a 1 1 a a a a a a a a a a ab ab a ababb a ab b 3. ab ab a ababb a ab b REGELN a b a b a a b b

30 Blatt 06b KLAMMERN AUFLÖSEN UND NEU ZUSAMMENFASSEN ( ) ( ) a a a a a 4 a 4 ( 5) ( 5) 5 a a a a 5 a 4 a 5 ( ab) ( ab) a ab ab b a b REGEL ( a b) ( a b) a b III. binomische Formel a die Mitte beider Zahlen b die Abweichung von der Mitte abab a b AUFGABEN LÖSE DIE KLAMMERN AUF UND FASSE NEU ZUSAMMEN 10. ( a4) ( a4) 19. a1 a1 11. ( a9) ( a9) 0. 3a 73a7 1. ( a11) ( a11) 1. 5 a5a 13. (a3) (a3) 14. (3a4) (3a4). 4 3a 43a 15. (5a) (5a) 3. 5a105a a 10 5a 16. abab 17. a 7 a a 10 a a a 6. a bab

31 Blatt 06b LÖSUNGEN a a a 8a a 81 a 11 4a 1a 9 9a 4a 16 5 a 0 a a b a b a ab b I. binomische Formel a a a 14 a 49 0 a 100 a 1 9a 4a a 4 a 16 4 a 9 a 5 a 100 a a 5 a 100 a100 5 a ab ab a ab b II.binomische Formel 6.

32 Blatt 07a DIE BINOMISCHEN FORMELN 1 I ab ab a abb II ab ab a abb III ab ab a b III ab ab a b BERECHNE MIT HILFE DER I. FORMEL a ab b BERECHNE MIT HILFE DER II. FORMEL a ab b AUFGABEN BERECHNE MIT HILFE DER I. FORMEL a 5 a 5 BERECHNE MIT HILFE DER II. FORMEL BERECHNE MIT HILFE DER III. FORMEL x 7 x b 4 b 7. x y x y 8. x y x y 9. 5 x 5 x 13. ( a 3) ( a3) 14. (7 b) (7 b) 15. 3x y 3x y y 5 y 0. x 3y x 3y ERGÄNZE DIE FOLGENDEN ZAHLENAUSDRÜCKE ( TERME) 1. ( a...) ( a...) a (... 3) (......) x x 5 u (......) (......)

33 Blatt 07a LÖSUNGEN a 10 a b b x xy y 4 x 4 xy y 5 0 x 4 x a 6a b b 9 x 1 xy 4 y x 49 5 y 4 x 9 y ( a7) ( a7) a 14 a 49. ( x3) ( x3) x 6 x x 5 y 7x5y 7x 5y

34 Blatt 07b DIE BINOMISCHEN FORMELN I ab ab a abb II ab ab a abb III a b a b a b BEISPIELE I II III I x y x y x x y y x xy y II y y y y y y III x x x AUFGABEN BERECHNE MIT HILFE DER I. FORMEL x y 5x y BERECHNE MIT HILFE DER II. FORMEL x 5 x BERECHNE MIT HILFE DER III. FORMEL a b a b 7. 3 b3b 8. x x 9. x 5y 5y y 4 y 15. ( a 6 b) ( a6 b) 16. 7x 3y 7x 3y 19. 5x 6y 5x 6y 0. a 9y a 9y ERGÄNZE DIE FOLGENDEN ZAHLENAUSDRÜCKE ( TERME) 1. (......) (... 7)... 8 a.... (3 a...) (......)... 6 ab x... (... 7 y) (......)

35 Blatt 07b LÖSUNGEN x 10 xy y 4a 4ab b 96b b x 4 x 4 4 x 0 xy 5 y x x 16 8 y y a 1 ab 36 b 49 x 4 xy 9 y x 36 y 4a 81y 1. (a7) (a7) 4 a 8 a 49. (3 ab) (3 ab) 9 a 6 ab b 3. 5 x 49 y 5x7y 5x 7y

36 Blatt 08a DIE BINOMISCHEN FORMELN QUADRAT SUMME I a abb a b II ab a abb III a b a b a b PRODUKT AUFGABEN SCHREIBE ALS SUMME a8 a 16a a 9. a 5 3. a 11 4x 168 x x 4. 7 x 5. 3x 6. 1z k3 k3 k 9 7. k 7 k x 5 x 9. 6 y 6 y * 10. a x 1. 5 x 5 x 13. 4x 9y 4x 9y VERWANDLE IN EIN QUADRAT a a a a a 14 a49 4a aa VERWANDLE IN EIN QUADRAT x x x x x x a 4 x a49 VERWANDLE IN EIN PRODUKT b b b a x y 4x 9y ERGÄNZE DIE FOLGENDEN ZAHLENAUSDRÜCKE ( TERME) (......) 4 a... 9 b (... 5 b) ab... (......) (... 1) a...

37 Blatt 08a LÖSUNGEN a a a 18 a a 5 a x x 96 y y 1 z z k 49 5 x 36 y 4a 8a x 49 x 5 4 x 16 x 81 y 14. a a a x ZUSATZAUFABE 18. x 1 x x a 7 Bestimme x. 0. a9a 9 1. x15x y14 y 3. x 3yx 3y ( a3 b) 4 a 1ab 9 b (9a5 b) 81 a 90 ab 5 b ( a1) ( a1) a 1

38 Blatt 08b VERWENDE DIE BINOMISCHEN FORMELN QUADRAT SUMME I a abb a b II ab a abb III a b a b a b PRODUKT AUFGABEN SCHREIBE ALS SUMME 1. x 6. 5 x VERWANDLE IN EIN QUADRAT a a a a 10 a x bb 4. 8 y 5. y y 5 7. z 5 z z 4 z z 10 z 10. x x3y 1. x5y 13. 6a5b6a5b 14. 4x 10y 4x 10y bb 4 x 1 xy 9 y a a a a 14 a bb 5 x 70 xy 49 y 100 x 300 xy 5 y VERWANDLE IN EIN PRODUKT a b a b a b 4 x 16 y 100 x 196 y 81 a 1 ERGÄNZE DIE FOLGENDEN ZAHLENAUSDRÜCKE ( TERME) 6. a x ab... 5a (......) (... 3 x) x x4 16 x?

39 Blatt 08b LÖSUNGEN x 1 x x x 5 30 x 9 x y y y 8 y y 40 y 5 z 5 16 z z 4 x 8 x x 4 xy 9 y 4 x 0 x 5 y 36 a 5 b 16 x 100 y 6. a 5 a5 a x 4 x1 x a 10 abb 5a b (13 x) (13 x) 1 9 x x 4x4 x 8x x x 8 x a b b 18. x 3y 19. a b 1. 5x 7y. 10x 15y 3. x 4yx 4y 4. 10x 14y10x 14y 5. 9a19a 1

40 Blatt 08c VERWENDE DIE BINOMISCHEN FORMELN QUADRAT SUMME I a b a abb II ab a abb III a ba b a b PRODUKT SCHREIBE ALS SUMME ODER DIFFERENZ 1. a 7. 4 a aa x 4 xy x x y x y 4. 8 x 5. y 11 y y 1 y 7. a a 9. 4x x 7y 4x 7y VERWANDLE IN EIN QUADRAT ODER PRODUKT 11. a 1 a a 40 a a a 100 x 00 xy 100 ERGÄNZE 5 x 65 y x y (5 x...) y a 44 ab y x x LÖSE DIE FOLGENDEN GLEICHUNGEN 6. x 10 x 5 [Das Ergebnis ist eine ganze Zahl.] 7. 5 x x [Das Ergebnis ist eine Dezimalzahl.] 8. x x [Das Ergebnis ist ein Bruch.] 9. x x 6 1 [Das Ergebnis ist eine ganze Zahl.] 30. x x [Das Ergebnis ist eine ganze Zahl.]

41 Blatt 08c LÖSUNGEN 1. a 14 a (10 x 9 y) (10x9 y) 100 x 81 y a a 5. (7 x) (7 x) 49 4 x x 1 x x x y y 4a 8a a 5 a 16 x 48 x x 49 y 11. a a 13. x x 15. y16y y17 y GLEICHUNGEN 6. x10 x 5 x x x 16x 7 x 45, 8. 8x 114x 1 4x 1 1 x x1x 4x x x 4 6x9 x 30x x 360 x a a x x 5y15x 5y 1. x 10y 4 x 40 xy 100 y. 5x 7 y 5 x 70 xy 49 y 3. 11a b 11 a 44 ab 4 b

42 Blatt 09a GLEICHUNGEN MIT KLAMMERN x x Klammern auflösen 0x15 1x8 17 Ordnen x 0 x1x Zusammenfassen 8x 4 Isolieren : 8 x 3 PROBE? ? ? ? ! stimmt LÖSE DIE GLEICHUNGEN UND MACHE ANSCHLIESSEND DIE PROBE ( x 1) ( x 8) ( x 1) 7x ( x 3) 4(10 x) ( x) 6 ( x 8) ( x3) 7 x (9 x) 5 3x 8. 5(x9) 3(x 9) 9. 7( 1) 6(11 ) 3 4 x x x ohne Probe 10. ( 3) 9( 1) 3 3 x x x ohne Probe ZUSATZAUFGABEN 11. ( x3) x( x4) ( x4) x4 x( x6) 3

43 Blatt 09a LÖSUNGEN 1. x x x x x x x x x7666x 3x 1 0 x73 3 x 1 17 x 85 x x69x9 3x 9 4 x 6 6 x x 6 x x 6x9 x 4x 17 x 8 x 4 1. x 16 x 6x 3 6 x 48 x 8

44 Blatt 09b GLEICHUNGEN MIT KLAMMERN x x Klammern auflösen 74 15x 6 8 7x + 7x 74 8x x 40 : (- 8) x 5 PROBE? ? ?? ! 7 7 stimmt LÖSE DIE GLEICHUNGEN UND MACHE ANSCHLIESSEND DIE PROBE 1. 7( x 3) 35. 9(4 x) (x7) 4x (5 4) x (17 14) x (3x8) 7 (15 3x 1) 6. x(7 x) (18 x) 8 x ( x1) (4 x) (10 ) x 3 x (9 ) x 5( x9) 8 ZUSATZAUFGABEN x x x x ohne Probe 1. ( x 7) ( x ) x 5 x x 1 11 ohne Probe

45 Blatt 09b LÖSUNGEN 1. x x x x x x x x x x ZUSATZAUFGABEN 11. x 35, 1. x 10

46 Blatt 09c LÖSE DIE GLEICHUNGEN UND MACHE ANSCHLIESSEND DIE PROBE 1. 7( x 1) 17 x. 8 x (7 x) 9x3 4x x( x19) x(14 x) x(3x 5) 5. 3 ( x5) 7 (10 x) x x 3 (9 ) (4x 3) 137 8x 8. 8(3 x ) 5(1 3) x x 9. x(1 x) x ( x7) x 8 ZUSATZAUFGABEN 11. 3x5x5x16x 4 1. x6 x9 x9 x x 16 15x x 48 13x 13x 14. x x x x x 100 ( 7) ( ) 5 0, x x x x x

47 Blatt 09c LÖSUNGEN 1. x 3. x 1 3. x 9 4. x 1 5. x x 5 7. x 3 8. x 9. x x ZUSATZAUFGABEN 11. x 7 1. x x 35, 14. x x 8

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49 Blatt 09d TEST A Löse die folgenden Gleichungen und mache anschließend die PROBE. AUFGABEN: 1. 6( x ) ( x+ 1) +. 4(9 + x) 5(7 x) ( x 8) (0 x) x 4. x + 3(0 x) 7(1 x) 5. 8(3x ) 0x 5(1 3 x) 6. 1x ( x+ 7) 3x x+ 10 (x 1) ( x 1) 3 ( x+ 7) + 5 ( x+ 1) 9. 7 ( x 3) (5x+ 5) ( x+ 7) ( x+ 17) x 4 (6 7 x) 56 (+ 3 x) x+ 7 (4 + x) 31x 14 ( x ) ZUSATZAUFGABE: 13. x [ x] (3 ) 7 51 (7x 13) Hinweis: Löse die Klammern von innen auf.

50 Blatt 09d Lösungen A

51 Blatt 09e TEST B Löse die folgenden Gleichungen und mache anschließend die PROBE. AUFGABEN: 1. 5( x 8) (0 x) x. 5(7 x) + 8 4(9 + x) 3. 6( x ) ( x+ 1) (1 x) x+ 3 (0 x) 5. 5(1 3 x) 8(3x ) 0x 6. 1x ( x+ 7) 3x x+ 10 (x 1) ( x 1) 3 ( x+ 7) + 5 ( x+ 1) 9. 7 ( x 3) (5x+ 5) ( x+ 7) ( x+ 17) x 4 (6 7 x) 56 (+ 3 x) x+ 7 (4 + x) 31x 14 ( x ) ZUSATZAUFGABE: 13. x [ x] (3 ) 7 51 (7x 13) Hinweis: Löse die Klammern von innen auf.

52 Blatt 09e Lösungen B