Aufgabe 3 An welcher Stelle bricht die Argumentation zusammen, wenn man einen analogen Beweis für die Irrationalität von 4 führen wollte?

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Axel Kurzmann
vor 6 Jahren
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1 Station Der Beweis, dass 2 irrational ist ufgabe 1 Hört euch auf youtube von DorFuchs den Song Die Wurzel aus 2 ist irrational an. Der Link dazu ist Notiert euch die Schritte des Beweises! Unter Umständen müsst ihr dazu das Lied öfter stoppen. Welche Schritte sind klar? Welche Schritte sind noch unverständlich? Diskutiert gemeinsam in der Gruppe! ufgabe 2 Beweist nun auf analoge Weise, dass 3 irrational ist! ufgabe 3 n welcher Stelle bricht die rgumentation zusammen, wenn man einen analogen Beweis für die Irrationalität von 4 führen wollte?

2 Station B Näherungsweise Berechnung von irrationalen Zahlen I) Das Verfahren der Intervallschachtelung 3 ist eine irrationale Zahl. Mit Hilfe der Intervallschachtelung kannst du erkennen, zwischen welchen rationalen Zahlen 3 liegt. 3 liegt zwischen 1 und 2 weil 1² < 3 < 2² (1 < 3 < 4) 1,7 und 1,8 weil 1,7² < 3 < 1,8² (2,89 < 3 < 3,24) ufgabe 1 Führt das Verfahren der Intervallschachtelung fort und bestimmt somit die ersten 5 Nachkommastellen von 3! II) Das Heron-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Quadratwurzeln Heron von lexandria (ca. 65 ca. 125 n. Chr.) schlug ein Verfahren zur Wurzelbildung vor. Dem Heron-Verfahren liegt die Idee zu Grunde, dass ein Quadrat mit Flächeninhalt eine Seitenlänge von hat. Man startet mit einem Rechteck mit Flächeninhalt. Schritt für Schritt wird das Seitenverhältnis des Rechtecks so geändert, dass sich seine Form immer mehr der eines Quadrats annähert, während der Flächeninhalt gleich bleibt. Die Seitenlängen des Rechtecks sind dann die Näherungswerte für. Im ersten Schritt wird eine beliebige Seitenlänge x für das Rechteck gewählt. Damit dieses den gewünschten Flächeninhalt hat, wird die zweite Seitenlänge mit der Formel y = berechnet. y x x Die Ähnlichkeit des Rechtecks mit einem Quadrat wird wahrscheinlich gering sein. Um eine bessere Näherung zu erhalten, muss die lange Seite gekürzt und die kurze Seite verlängert x + y werden. ls neue Länge der langen Seite wird der Mittelwert x1 = der beiden bisherigen Seitenlängen angenommen. Die Länge der anderen Seite berechnet sich wie oben zu 2 y 1 =. y x 1 1 x 1 Dieses Verfahren wird nun Schritt für Schritt wiederholt bis die Figur annähernd quadratisch ist. Die Seitenlänge ist dann eine Näherung für.

3 ufgabe 2 Führt das Heron-Verfahren für 3 durch! Startet mit einem Rechteck mit den Seitenlängen x =3, y =1. Führt insgesamt 4 Schritte des Heron-Verfahrens aus und vervollständigt die Tabelle! Benutzt den Speicher des Taschenrechners um mit den exakten Werten weiterzurechnen. Start 1. Schritt 2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt =3 =3 =3 =3 =3 x =3 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = y =1 y1= y 2 = y 3 = y 4 = fl 3 º ufgabe 3 Führt das Heron-Verfahren für 72 durch, um eine Näherung auf 3 Nachkommastellen zu erreichen. Wie soll hier der Startwert (also die Seitenlänge x des ersten Rechtecks) gewählt werden? ufgabe 4 Diskutiert, welche Vor- und Nachteile das Verfahren der Intervallschachtelung und das Heron-Verfahren haben!

4 Station C Eine besondere irrationale Zahl: p Kaum eine andere Zahl hat die Menschen so beschäftigt und fasziniert wie die Kreiszahl p. Schon von den Griechen wurde nach dieser geheimnisvollen Zahl gesucht, und auch wenn immer genauer geschätzt wurde, gelang es erst dem griechischen Mathematiker rchimedes um 25 v. Chr., diese Zahl mathematisch einzugrenzen. Bis heute werden immer wieder Rekordjagden veranstaltet, um p weiter anzunähern. Derzeit wurde p auf 1 Billionen Nachkommastellen berechnet. p ist die Kreiszahl im doppelten Sinn: p ist die Größe der Fläche des Einheitskreises. p ist der halbe Umfang des Einheitskreises. = p U = 2p Kurioses zur Kreiszahl p Die ufnahmeprüfung zum Verein Freunde von p ( besteht darin, 1 Nachkommastellen von p auswendig aufzusagen. Den Weltrekord hält der Chinese Chao Lu, der 6789 Nachkommastellen von p aufsagen konnte. Der Wert von p ist ungefähr 3,14, daher wird am (wegen der amerikanischen Datumsdarstellung 3/14) zu Ehren der Kreiszahl p der p-tag gefeiert. Dazu isst man runde Kuchen (Pie s) und trinkt Pineapple juice oder Pina Colada ;-) ufgabe 1 a) Überlegt euch Wege, wie die Zahl p näherungsweise bestimmt werden kann. b) Wie könnte man vorgehen, um die Genauigkeit zu erhöhen? (Wenn euch selbst keine Wege einfallen, informiert euch im Internet.) ufgabe 2 Die Nachkommastellen von p genügen keinerlei Regelmäßigkeit. uf der Internetseite könnt ihr nachsehen, an welcher Nachkommastelle von p euer Geburtsdatum steht!

Station D Der goldene Schnitt Der goldene Schnitt ist ein bestimmtes Verhältnis zweier Zahlen, meist Längen von Strecken, das in der Kunst und rchitektur oft als ideale Proportion und als Inbegriff

5 Station D Der goldene Schnitt Der goldene Schnitt ist ein bestimmtes Verhältnis zweier Zahlen, meist Längen von Strecken, das in der Kunst und rchitektur oft als ideale Proportion und als Inbegriff von Ästhetik und Harmonie angesehen wird. Darüber hinaus tritt dieses Teilungsverhältnis auch in der Natur auf, zum Beispiel am menschlichen Körper. Daneben gibt es noch viele Längenverhältnisse am menschlichen Körper, die dem goldenen Schnitt entsprechen. Der goldene Schnitt wird mathematisch beschrieben durch die Gleichung: b a + b = a b a b ufgabe 1 Drückt diese Gleichung in euren Worten aus. Was besagt sie? ufgabe 2 Bestimmt die Zahl a möglichst genau, wenn a+b=1 ist. ufgabe 3 Im folgenden Bild werden verschiedene Verhältnisse am menschlichen Körper betrachtet, die näherungsweise dem goldenen Schnitt genügen. Wählt drei Verhältnisse aus und messt mit dem Maßband nach, ob auch an euren Gruppenmitgliedern die Verhältnisse dieser Längen dem goldenen Schnitt entsprechen! Beispiel: a = Länge von Kopf bis Bauchnabel = cm b = Länge von Bauchnabel bis Fußsohle =.. cm

6 Station E Zuordnung von Zahlen zu Zahlenmengen ufgabe 1 Kreuzt alle wahren ussagen an! Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Jede reelle Zahl ist auch eine natürliche Zahl. Eine ganze Zahl kann auch eine irrationale Zahl sein. Eine ganze Zahl muss keine rationale Zahl sein. Eine reelle Zahl kann auch irrational sein. Eine reelle Zahl muss rational sein. lle ganzen Zahlen sind reelle Zahlen. Es gibt irrationale Zahlen, die keine reellen Zahlen sind. Es gibt irrationale Zahlen, deren 1-Faches eine rationale Zahl ergibt. ufgabe 2 Gebt drei rationale Zahlen an, die zwischen 1,3 und 1,9 liegen! Gebt drei natürliche Zahlen an, deren Wurzel wieder eine natürliche Zahl ist! Gebt drei natürliche Zahlen an, deren Wurzel eine irrationale Zahl ist! Gebt drei Zahlen an, deren Wurzel rational und größer als 1 ist! ufgabe 3 Diskutiert in der Gruppe, ob die folgenden ussagen wahr oder falsch sind. Ist die Frage immer eindeutig zu beantworten? Begründet eure ntwort: Gebt wenn möglich Beispiele bzw. Gegenbeispiele an! a) Wird mit einer irrationalen Zahl gerechnet, ist das Ergebnis immer irrational. b) Zieht man die Wurzel aus einer Zahl, ist das Ergebnis immer irrational. c) Dividiert man zwei ganze Zahlen, ist das Ergebnis immer eine ganze Zahl. d) Das Produkt zweier irrationaler Zahlen ist wieder eine irrationale Zahl. ufgabe 4 Kreuzt in jeder Zeile alle zutreffenden ussagen an!,3 œ -6 œ π œ œ œ œ œ 2. 3 œ

7 ufgabe 5 Gegeben ist die Zahl - 5. Kreuzt die beiden wahren ussagen an! Die Zahl - 5 liegt nicht in. Die Zahl - 5 liegt in, aber nicht in. Die Zahl - 5 ist irrational. Die Zahl - 5 liegt in und in. Die Zahl - 5 kann nicht als periodische Dezimalzahl geschrieben werden. Zusatzaufgabe Erfindet selber ähnliche ufgaben, die besonders knifflig sind und gebt eure ufgaben der Lehrperson!

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