Die reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte. Iwan Otschkowski

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1 Die reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte Iwan Otschkowski

2 1 Einleitung In dieser Ausarbeitung konstruieren wir einen vollständig geordneten Körper aus gewissen Teilmengen von Q, den Dedekindschen Schnitten. Dieser Körper hat alle gewönlichen Eigenschaften der reellen Zahlen. Wir beginnen mit der Definition eines vollständig geordneten Körpers und eines Dedekindschen Schnittes. Definition 1. Ein Körper ist eine Menge K mit zwei Verknüpfungen "+" und " ", die die folgenden Eigenschaften haben. 1. Es gilt a + (b + c) = (a + b) + c für alle a, b, c K. (Assoziativgesetz der Addition) 2. Es gilt a + b = b + a für alle a, b K. (Kommutativgesetz der Addition) 3. Es existiert ein Element 0 K mit 0 + a = a für alle a K. 4. Zu jedem a K existiert ein Element a K mit ( a) + a = Es gilt (a b) c = a (b c) für alle a, b, c K. (Assoziativgesetz der Multiplikation) 6. Es gilt a b = b a für alle a, b K. (Kommutativgesetz der Multiplikation) 7. Es existiert ein von 0 verschiedenes Element 1 K mit 1 a = a. 8. Zu jedem a K \ {0} existiert ein Element a 1 K mit a a 1 = Es gilt a (b + c) = (a b) + (a c) für alle a, b, c K. (Distributivgesetz) Der Körper K heißt geordnet, falls es eine Relation "<" auf K mit den folgenden Eigenschaften gibt. 1. Für alle a, b K gilt genau eine der Aussagen a = b, a < b, b < a. 2. Aus a < b folgt a + c < b + c für alle a, b, c K. 3. Aus 0 < a und 0 < b folgt 0 < a b für alle a, b K. 4. Aus a < b und b < c folgt a < c für alle a, b K. Schließlich heißt ein geordneter Körper K vollständig, falls jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von K eine kleinste obere Schranke hat. Definition 2. Ein (Dedekindscher) Schnitt α ist eine Menge rationaler Zahlen mit den folgenden Eigenschaften. 1. Seien x α und y Q mit y < x. Dann ist y α. 2. Es gilt α. 3. Es gilt α Q. 4. Es existiert kein größtes Element in α, d.h. für jedes x α gibt es ein y α mit y > x. 2

3 Beispiel 3. Einige Beispiele zur Veranschaulichung der Definition. Die Menge α = {x Q : x 2 < 2} ist kein Schnitt, denn sie hat Eigenschaft 1 nicht. Die Menge β = {x Q : x 1} ist kein Schnitt, denn sie hat Eigenschaft 4 nicht. Die Menge γ = {x Q : x < 0 oder x 2 < 2} ist ein Schnitt. Nun versehen wir die Menge aller Dedekindscher Schnitte mit zwei Verknüpfungen +, sowie einer Relation < und verifizieren, dass diese Struktur ein vollständig geordneter Körper ist. 2 Die Supremumseigenschaft Definition 4. Seien α, β Schnitte. Wir schreiben α β, falls α eine Teilmenge von β ist, und α < β, falls α eine echte Teilmenge von β ist. Satz 5. (Supremumseigenschaft) Sei A eine nach oben beschränkte Menge Dedekindscher Schnitte. Dann hat A eine kleinste obere Schranke. Beweis. Zunächst zeigen wir, dass ein Dedekindscher Schnitt ist. β := {α : α A} 1. Seien x β und y Q mit y < x. Da x β ist, liegt x in einem α A. Da α ein Schnitt ist, ist y in α und somit y in β. 2. Da A ist, gibt es eine nichtleere Menge α in A und somit existiert ein x in β, d.h. es gilt β. 3. Da A nach oben beschränkt ist, existiert ein Schnitt γ mit α < γ für alle α in A. Nun ist γ Q, d.h. es gibt x Q mit x / γ und da α γ für alle α A gilt, ist x / β. Damit gilt β Q. 4. Sei x β. Dann ist x in mindestens einem α A. Da jedes α kein größtes Element besitzt, existiert immer ein y in α mit x < y. Somit ist auch y β und β hat kein größtes Element. Für alle α A ist α β und somit β eine obere Schranke für A. Sei nun γ eine weitere obere Schranke für A. Dann ist α γ für alle α A. Damit ist β γ und β ist die kleinste obere Schranke von A. 3 Arithmetik Definition 6. Seien α und β Schnitte. Dann ist ihre Summe durch α + β = {x : x = y + z mit y α und z β} 3

4 Satz 7. Seien α und β Schnitte. Dann ist α + β auch ein Schnitt. Beweis. Wir weisen die vier Eigenschaften für α + β nach. 1. Sei x α + β und w Q mit w < x. Dann ist x = y + z mit y α und z β und es gilt w < y + z sowie w y < z. Somit ist w y β und da w = y + (w y) ist, gilt w α + β. 2. Da α und β sind, ist auch α + β. 3. Da α Q und β Q, existieren rationale Zahlen a und b mit a / α und b / β. Für jedes y α gilt y < a und für jedes z β gilt z < b. Somit ist y + z < a + b für alle y α und z β. Damit ist a + b nicht in α + β. 4. Sei x α + β. Dann ist x = y + z mit y α und z β. Da α und β Schnitte sind, existieren y α und z β mit y > y und z > z. Damit ist y + z α und y + z > y + z und y + z liegt in α + β. Satz 8. (Assoziativgesetz bezüglich Addition) Seien α, β und γ Schnitte. Dann gilt (α + β) + γ = α + (β + γ). Satz 9. (Kommutativgesetz bezüglich Addition) Seien α, β Schnitte. Dann gilt α + β = β + α. Definition 10. (Neutrale Element bezüglich Addition) Das neutrale Element bezüglich der Addition ist durch 0 = {x Q : x < 0} Satz 11. Sei α ein Schnitt. Dann gilt α + 0 = α. Beweis. Wir zeigen, dass α + 0 α sowie α α + 0 ist, sodass α + 0 = α gilt. Sei x α und y 0. Dann ist y < 0 und x + y < x. Damit ist x + y in α. Folglich gilt α + 0 α. Sei nun x α, dann existeren ein y α, sodass y > x und x y in Q ist. Da x = y + (x y) gilt, ist x α + 0. Folglich gilt α α + 0. Definition 12. (Inverse bezüglich Addition) Sei α ein Schnitt. Dann ist das additive Inverse zu α durch α = {x Q : x / α, aber x ist nicht das kleinste Element von Q \ α} Bemerkung 13. Falls die Menge Q \ α ein kleinstes Element x 0 hat, so hat die Menge {x Q : x / α} ein größtes Element x 0. Satz 14. Sei α ein Schnitt. Dann ist α ein Schnitt. 4

5 Lemma 15. Sei α ein Schnitt und z Q mit z > 0. Dann existiert ein x α und y / α mit y x = z und y ist nicht das kleinste Element von Q \ α. Satz 16. Sei α ein Schnitt. Dann gilt α + ( α) = 0. Beweis. Wir zeigen, dass α + ( α) 0 sowie 0 α + ( α) ist, sodass α + ( α) = 0 gilt. Sei x in α und y in α. Dann ist y nicht in α und es gilt y > x. Daher ist x + y < 0 und somit x + y 0. Folglich gilt α + ( α) 0. Sei nun z in 0. Dann ist z > 0. Nach dem Lemma 15 existiert ein x α und ein y / α mit y x = z, sodass x + ( y) = z ist. Da x α und y α sind, ist z α + ( α). Folglich gilt 0 α + ( α). 4 Ordnung Definition 17. Die positiven reellen Zahlen P sind durch die Menge P = {α : α ist Schnitt und α > 0} Bemerkung 18. Es ist aus der Definition ersichtlich, dass α + β P für α P und β P gilt. Satz 19. Sei α ein Schnitt. Dann gilt genau eine der folgenden Aussagen. 1. Es gilt α = Es gilt α P. 3. Es gilt α P. Satz 20. Seien α, β und γ Schnitte und α < β. Dann gilt α + γ < β + γ. Beweis. Da α eine echte Teilmenge von β ist, folgt aus der Definition der Addition, dass α + β eine Teilmenge von β + γ ist. Somit ist α + γ β + γ. Sei nun α + γ = β + γ. Dann gilt α = α + γ + ( γ) = β + γ + ( γ) = β und dies ist ein Widerspruch zu α < β. Definition 21. Seien α, β Schnitte mit α, β > 0. Dann ist das Produkt durch α β = {z : z 0 z = xy mit x α, y β und x, y > 0} Satz 22. Seien α und β Schnitte mit α, β > 0. Dann ist α β ein Schnitt. Bemerkung 23. Seien α, β P mit 0 < α, 0 < β. Dann ist α β P, d.h. es gilt 0 < α β. 5

6 Definition 24. Sei α ein Schnitt. Dann ist der Betrag α durch α = { α, falls α 0, α, falls α > 0, Definition 25. Seien α, β Schnitte. Dann ist das Produkt α β durch 0, falls α = 0 oder β = 0, α β = α β, falls α > 0, β > 0 oder α < 0, β < 0, ( α β ), falls α > 0, β < 0 oder α < 0, β > 0, Satz 26. (Assoziativgesetz bezüglich Multiplikation) Seien α, β und γ Schnitte. Dann gilt α (β γ) = (α β) γ. Satz 27. (Kommutativgesetz bezüglich Multiplikation) Seien α, β Schnitte. Dann gilt α β = β α. Definition 28. (Neutrale Element bezüglich Multiplikation) Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist durch 1 = {x Q : x < 1} Satz 29. Sei α ein Schnitt. Dann gilt α 1 = α. Beweis. Wir zeigen, dass α 1 α sowie α α 1 ist und somit α 1 = α gilt. Sei zunächst α > 0. Jedes Element aus α 1 ist auch in α, sodass α 1 α. Sei nun x in α. Falls x 0 gilt, ist x in α 1. Falls x > 0 ist, existiert ein y in α mit x < y. Damit gilt x = y( x) mit y α und x 1. Somit ist x in α und α 1 α. y y Für α < 0 und α = 0 folgt die Aussage aus der Definition der Multiplikation. Definition 30. (Inverse bezüglich Multiplikation) Sei α ein Schnitt mit α > 0. Dann ist das multiplikative Inverse zu α durch α 1 ={x Q : x 0} {x Q : x > 0 und 1 x / α, aber 1 x ist nicht das kleinste Element von Q \ α} Satz 31. Sei α ein Schnitt und α 0. Dann ist α 1 ein Schnitt. Lemma 32. Sei α ein Schnitt mit α > 0 und z Q mit z > 1. Dann existiert x α und y / α mit y = z und y ist nicht das kleinste Element von Q \ α. x Satz 33. Sei α ein Schnitt und α 0. Dann gilt α α 1 = 1. 6

7 Beweis. Wir zeigen, dass α α 1 1 sowie 1 α α 1 ist und somit α α 1 = 1 gilt. Sei 0 < x α und 0 < y α 1. Dann ist 1 nicht in α und somit xy < 1. Daher ist xy y in 1. Ferner gilt x 0 und somit α α 1 1. Sei nun z 1. Falls z 0 gilt, ist z in α α 1. Sei 0 < z < 1. Dann existiert nach Lemma 32 ein x > 0 in α und y > 0 mit y / α, sodass y = 1 gilt und y nicht das x z kleinste Element von Q \ α ist. Damit ist z = x( 1) mit x in α und 1 in y y α 1. Somit ist z in α α 1. Satz 34. (Distributivgesetz) Seien α, β und γ Schnitte. Dann gilt α (β+γ) = α β+α γ. 7